人教新课标A版 必修一 3.1.1 方程的根与函数的零点

人教新课标A版 必修一 3.1.1 方程的根与函数的零点
一、单选题
1．（2020高二下·天津期末）函数 的零点所在区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为 ， ，
所以
根据零点存在定理可得函数的零点所在区间为 .
故答案为：B．
【分析】经计算可得 ，根据零点存在定理，即可得到结果．
2．（2020高一下·开鲁期末）下列函数中，在定义域上既是奇函数又存在零点的函数是（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的零点
【解析】【解答】利用奇函数的定义结合零点存在性定理，容易验证 在定义域上既是奇函数又存在零点的函数，
故答案为：D．
【分析】利用奇函数的定义结合零点存在性定理，从而找出在定义域上既是奇函数又存在零点的函数。
3．（2020高二下·重庆期末）函数f（x）＝|2x﹣1|+ ﹣1的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】函数的图象；函数的零点
【解析】【解答】令 ，
设 ，
当 时，两个函数的图象没有交点；
当 时， 都是增函数，
，
所以当 时，两个函数的图象没有交点.
所以函数的零点的个数为0.
故答案为：A.
【分析】令 得到 ，再设 ，画出两个函数的图象分析即得解.
4．（2020·芜湖模拟）已知 ，且 ，则 所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】 ,则 ,
根据单调性的性质可知 是定义域上的增函数,
故 在定义域内最多有一个零点,
又 ,
所以存在 ,使得 ,
故答案为：A.
【分析】先求出 ,可知其为定义域上的增函数,再根据零点存在性定理求出零点所在区间.
5．（2020高二下·奉化期中）函数 的零点所在区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】由函数 ，
所以， ， ，
所以，函数 的零点所在的区间为 .
故答案为：C.
【分析】直接根据函数零点存在定理判断即可.
6．（2020高二下·天津期中）方程 的解所在区间为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】取 ，则函数单调递增， ， ，
故函数在 上有唯一零点，即 的解所在区间为 .
故答案为： .
【分析】取 ，则函数单调递增，根据零点存在定理计算得到答案.
7．（2020高一下·泸县月考）函数 的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为 单调递增，且是连续函数，
故函数 至多有一个零点，
因为 ，
，
所以 ，
所以函数 的零点所在区间是 ,
故选C．
【分析】判断函数的单调性，利用函数零点存在定理，对区间端点函数值进行符号判断，异号的就是函数零点存在的区间．
8．（2020·江门模拟）设函数 ，则函数 的零点的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由 得 ，
作出 与 的图象，由图象知两个函数共有4个交点，
则函数 的零点个数为4个，
故答案为：
【分析】根据函数与方程的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
9．（2020高一上·南开期末）已知三个函数 ， ， 的零点依次为 、 、 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 ，得出 ，令 ，得出 ，
则函数 与函数 、 交点的横坐标分别为 、 .
函数 与 的图象关于直线 对称，且直线 与直线 垂直，
如下图所示：
联立 ，得 ，则点 ，
由图象可知，直线 与函数 、 的交点关于点 对称，则 ，
由题意得 ，解得 ，因此， .
故答案为：C.
【分析】令 ，得出 ，令 ，得出 ，由于函数 与 的图象关于直线 对称，且直线 与直线 垂直，利用对称性可求出 的值，利用代数法求出函数 的零点 的值，即可求出 的值.
二、填空题
10．（2020高二下·哈尔滨期末）已知函数 ，若关于 的方程 有两个不同的实根，则实数k的取值范围是　 　．
【答案】（0,1）
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 可画函数图象如下所示：
因为关于x的方程 有两个不同的实根，即函数 与函数 有两个不同的交点，从函数图象可得 时，函数 与函数 有两个不同的交点，
故
故答案为：
【分析】将方程 的解，转化为函数 与函数 的交点情况，画出函数图象，数形结合即可得解.
11．（2020·泰州模拟）若函数 只有一个零点，则实数a的取值范围为　 　.
【答案】
【知识点】不等式的综合；函数的零点
【解析】【解答】函数 的零点为 .
①当 时，函数 在区间 上无零点，
则函数 在区间 上有零点 ，可得 ，解得 ，此时 ；
②当 时，函数 在区间 上有零点 ，
则函数 在区间 上无零点，则 ，解得 ，此时 ；
③当 时，函数 在区间 上的零点为 ，不合乎题意.
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】分 、 、 三种情况讨论，结合函数 只有一个零点得出关于实数a的不等式（组），即可求得实数a的取值范围.
12．（2020高一下·海丰月考）函数 的零点个数为　 　.
【答案】1
【知识点】复合函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】由于函数 是增函数，函数 为减函数，所以，函数 为增函数，
又 ， ，由零点存在定理可知，函数 有且只有一个零点，且该零点位于区间 .
故答案为：1.
【分析】分析函数 的单调性，结合零点存在定理可判断出函数 的零点个数.
13．（2020高一上·苏州期末）函数 的零点所在区间为 (n,n+1),n ∈ Z，则 n = 　 　.
【答案】2
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为 ,
所以 ,
由函数零点存在定理知函数 在区间(2,3)上有零点,所以 .
故答案为:2
【分析】由函数零点存在定理,结合答案直接代入计算取两端点函数值异号的即可.
14．（2020高一上·武汉期末）已知函数 的零点位于区间 内，则实数 的取值范围是　 　.
【答案】（0,1）
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】由题意,令 ,得 ,
因为 ,所以 ,故 .
故答案为: .
【分析】结合零点的概念,可得 ,然后由 ,可求得 的取值范围,进而可得到 的取值范围.
三、解答题
15．（2019高一上·西湖月考）
（1） 为何值时， .①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；
（2）若函数 有4个零点，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：① 有且仅有一个零点 方程 有两个相等实根 Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.
②设f(x)的两个零点分别为 ，
则 ＝－2m， ＝3m＋4.
由题意，知
∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．
（2）解：令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，
则|4x－x2|＝－a.
令g(x)＝|4x－x2|，
h(x)＝－a.
作出g(x)，h(x)的图象．
由图象可知，当0＜－a＜4，
即 时，g(x)与h(x)的图象有4个交点.
【知识点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）① 有且仅有一个零点 方程 有两个相等实根 Δ＝0；②设f(x)的两个零点分别为 ，则 ＝－2m， ＝3m＋4.由题意，知 ；（2）数形结合，作出g(x)＝|4x－x2|和h(x)＝－a的图象即可.
16．（2020高一下·泸县月考）已知二次函数 有两个零点0和 ，且 最小值是 ，函数 与 的图象关于原点对称．
（1）求 和 的解析式；
（2）若 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围．
【答案】（1）解：依题意，设 ，对称轴是 ，
∴ ，∴ ，∴
由函数 与 的图象关于原点对称，
∴
（2）解：由（1）得
①当 时， 满足在区间 上是增函数；
②当 时， 图象在对称轴是 ，则 ，
又∵ ，解得
③当 时，有 ，又∵ ，解得
综上所述，满足条件的实数 的取值范围是
【知识点】函数单调性的性质；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）依题意，设 ，对称轴是 ，所以 ，所以 ，即 . 与 关于原点对称，所以 .（2）化简 ，当 时， 满足在区间 上是增函数；当 时，函数开口向下，只需对称轴大于或等于 ；当 时，函数开口向上，只需对称轴小于或等于 .综上求得实数 的取值范围．
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一、单选题
1．（2020高二下·天津期末）函数 的零点所在区间为（　　）
A． B． C． D．
2．（2020高一下·开鲁期末）下列函数中，在定义域上既是奇函数又存在零点的函数是（　　）．
A． B． C． D．
3．（2020高二下·重庆期末）函数f（x）＝|2x﹣1|+ ﹣1的零点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2020·芜湖模拟）已知 ，且 ，则 所在的区间为（　　）
A． B． C． D．
5．（2020高二下·奉化期中）函数 的零点所在区间是（　　）
A． B． C． D．
6．（2020高二下·天津期中）方程 的解所在区间为（　　）
A． B． C． D．
7．（2020高一下·泸县月考）函数 的零点所在的区间是（　　）
A． B． C． D．
8．（2020·江门模拟）设函数 ，则函数 的零点的个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2020高一上·南开期末）已知三个函数 ， ， 的零点依次为 、 、 ，则 （　　）
A． B． C． D．
二、填空题
10．（2020高二下·哈尔滨期末）已知函数 ，若关于 的方程 有两个不同的实根，则实数k的取值范围是　 　．
11．（2020·泰州模拟）若函数 只有一个零点，则实数a的取值范围为　 　.
12．（2020高一下·海丰月考）函数 的零点个数为　 　.
13．（2020高一上·苏州期末）函数 的零点所在区间为 (n,n+1),n ∈ Z，则 n = 　 　.
14．（2020高一上·武汉期末）已知函数 的零点位于区间 内，则实数 的取值范围是　 　.
三、解答题
15．（2019高一上·西湖月考）
（1） 为何值时， .①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；
（2）若函数 有4个零点，求实数 的取值范围．
16．（2020高一下·泸县月考）已知二次函数 有两个零点0和 ，且 最小值是 ，函数 与 的图象关于原点对称．
（1）求 和 的解析式；
（2）若 在区间 上是增函数，求实数 的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为 ， ，
所以
根据零点存在定理可得函数的零点所在区间为 .
故答案为：B．
【分析】经计算可得 ，根据零点存在定理，即可得到结果．
2．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；函数的零点
【解析】【解答】利用奇函数的定义结合零点存在性定理，容易验证 在定义域上既是奇函数又存在零点的函数，
故答案为：D．
【分析】利用奇函数的定义结合零点存在性定理，从而找出在定义域上既是奇函数又存在零点的函数。
3．【答案】A
【知识点】函数的图象；函数的零点
【解析】【解答】令 ，
设 ，
当 时，两个函数的图象没有交点；
当 时， 都是增函数，
，
所以当 时，两个函数的图象没有交点.
所以函数的零点的个数为0.
故答案为：A.
【分析】令 得到 ，再设 ，画出两个函数的图象分析即得解.
4．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数零点存在定理
【解析】【解答】 ,则 ,
根据单调性的性质可知 是定义域上的增函数,
故 在定义域内最多有一个零点,
又 ,
所以存在 ,使得 ,
故答案为：A.
【分析】先求出 ,可知其为定义域上的增函数,再根据零点存在性定理求出零点所在区间.
5．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】由函数 ，
所以， ， ，
所以，函数 的零点所在的区间为 .
故答案为：C.
【分析】直接根据函数零点存在定理判断即可.
6．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】取 ，则函数单调递增， ， ，
故函数在 上有唯一零点，即 的解所在区间为 .
故答案为： .
【分析】取 ，则函数单调递增，根据零点存在定理计算得到答案.
7．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为 单调递增，且是连续函数，
故函数 至多有一个零点，
因为 ，
，
所以 ，
所以函数 的零点所在区间是 ,
故选C．
【分析】判断函数的单调性，利用函数零点存在定理，对区间端点函数值进行符号判断，异号的就是函数零点存在的区间．
8．【答案】D
【知识点】函数的图象；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由 得 ，
作出 与 的图象，由图象知两个函数共有4个交点，
则函数 的零点个数为4个，
故答案为：
【分析】根据函数与方程的关系转化为两个函数图象交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．
9．【答案】C
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】令 ，得出 ，令 ，得出 ，
则函数 与函数 、 交点的横坐标分别为 、 .
函数 与 的图象关于直线 对称，且直线 与直线 垂直，
如下图所示：
联立 ，得 ，则点 ，
由图象可知，直线 与函数 、 的交点关于点 对称，则 ，
由题意得 ，解得 ，因此， .
故答案为：C.
【分析】令 ，得出 ，令 ，得出 ，由于函数 与 的图象关于直线 对称，且直线 与直线 垂直，利用对称性可求出 的值，利用代数法求出函数 的零点 的值，即可求出 的值.
10．【答案】（0,1）
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解： 可画函数图象如下所示：
因为关于x的方程 有两个不同的实根，即函数 与函数 有两个不同的交点，从函数图象可得 时，函数 与函数 有两个不同的交点，
故
故答案为：
【分析】将方程 的解，转化为函数 与函数 的交点情况，画出函数图象，数形结合即可得解.
11．【答案】
【知识点】不等式的综合；函数的零点
【解析】【解答】函数 的零点为 .
①当 时，函数 在区间 上无零点，
则函数 在区间 上有零点 ，可得 ，解得 ，此时 ；
②当 时，函数 在区间 上有零点 ，
则函数 在区间 上无零点，则 ，解得 ，此时 ；
③当 时，函数 在区间 上的零点为 ，不合乎题意.
综上所述，实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【分析】分 、 、 三种情况讨论，结合函数 只有一个零点得出关于实数a的不等式（组），即可求得实数a的取值范围.
12．【答案】1
【知识点】复合函数的单调性；函数零点存在定理
【解析】【解答】由于函数 是增函数，函数 为减函数，所以，函数 为增函数，
又 ， ，由零点存在定理可知，函数 有且只有一个零点，且该零点位于区间 .
故答案为：1.
【分析】分析函数 的单调性，结合零点存在定理可判断出函数 的零点个数.
13．【答案】2
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】因为 ,
所以 ,
由函数零点存在定理知函数 在区间(2,3)上有零点,所以 .
故答案为:2
【分析】由函数零点存在定理,结合答案直接代入计算取两端点函数值异号的即可.
14．【答案】（0,1）
【知识点】函数的零点
【解析】【解答】由题意,令 ,得 ,
因为 ,所以 ,故 .
故答案为: .
【分析】结合零点的概念,可得 ,然后由 ,可求得 的取值范围,进而可得到 的取值范围.
15．【答案】（1）解：① 有且仅有一个零点 方程 有两个相等实根 Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.
②设f(x)的两个零点分别为 ，
则 ＝－2m， ＝3m＋4.
由题意，知
∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．
（2）解：令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，
则|4x－x2|＝－a.
令g(x)＝|4x－x2|，
h(x)＝－a.
作出g(x)，h(x)的图象．
由图象可知，当0＜－a＜4，
即 时，g(x)与h(x)的图象有4个交点.
【知识点】分段函数的应用；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）① 有且仅有一个零点 方程 有两个相等实根 Δ＝0；②设f(x)的两个零点分别为 ，则 ＝－2m， ＝3m＋4.由题意，知 ；（2）数形结合，作出g(x)＝|4x－x2|和h(x)＝－a的图象即可.
16．【答案】（1）解：依题意，设 ，对称轴是 ，
∴ ，∴ ，∴
由函数 与 的图象关于原点对称，
∴
（2）解：由（1）得
①当 时， 满足在区间 上是增函数；
②当 时， 图象在对称轴是 ，则 ，
又∵ ，解得
③当 时，有 ，又∵ ，解得
综上所述，满足条件的实数 的取值范围是
【知识点】函数单调性的性质；二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）依题意，设 ，对称轴是 ，所以 ，所以 ，即 . 与 关于原点对称，所以 .（2）化简 ，当 时， 满足在区间 上是增函数；当 时，函数开口向下，只需对称轴大于或等于 ；当 时，函数开口向上，只需对称轴小于或等于 .综上求得实数 的取值范围．
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