初中数学北师大版九年级上学期 第四章 4.6 利用相似三角形测高
一、单选题
1．（2019八下·潍城期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度 ，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与点 在同一直线上.已知纸板的两条直角边 ， ，测得边 离地面的高度 ， ，则树高 是（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠DEF=∠BCD-90° ∠D=∠D
∴△ADEF∽△DCB
∴
∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m
∴ 解得：BC=4
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米
故答案为：5.5.
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.
2．（2020·沙湾模拟）身高1.6米的小明同学利用相似三角形测量学校旗杆的高度，上午10点，小明在阳光下的影长为1米，此时测得旗杆的影长为9米，则学校旗杆的高度是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵同一时刻的物高与影长成正比例,
∴1.6∶1=旗杆的高度∶9.
∴旗杆的高度为14.4米.
故答案为：D.
【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，据此列方程即可解答.
3．（2020九下·龙岗期中）路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是（ ）
A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：延长FH交AB于点M，则得∠AMG=90°，四边形BCMH是矩形。
∵四边形CDFH是矩形
∴BM=CH=DF=3，∠AMG=90°
∵AG∥FE
∴∠AGM=∠FED
又∵∠FDE=∠AMG=90°
∴△AMG∽△FDE
∴AM：MG=DF：DE
即AM：（5+2）=3：4
解得 AM=5.25
∴AB=AM+BM=8.25(米)
故答案为：C。
【分析】延长FH交AB于点M，利用矩形性质得出BM，DF，然后易证△AMG∽△FDE，利用相似三角形的对应边成比例可得AM：MG=DF：DE，据此求出AM，则AB=AM+BM即可得解。
4．（2020·平遥模拟）AB和DE是直立在水平地面上的两根立柱，AB=7米，某一时刻测得在阳光下的投影 米，同时，测量出 在阳光下的投影长为6米，则DE的长为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长EF为6m，
∵△ABC∽△DEF，AB=7m，BC=4m，EF=6m
∴ ，
∴ ，
∴DE= （m）
故答案为：B．
【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题．
5．（2020九上·桂林期末）某数学活动小组在利用太阳光线测量某棵树 的高度时，发现树 的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上.经测量，落在墙壁上影高 为2米，落在地面上的影长 为5米，同一时间测得8米高的国旗杆影长是4米，则树高为（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴四边形BCDE为矩形，
∴ ，
根据题意： ，
∴ ，
∴ ，
∴ (米) ，
故答案为：C
【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用 ，这样就可求出AE的长，再加上墙上的影高就是树高．
6．（2020九上·卫辉期末）如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离N点20米的A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度（精确到0.1米）约是（ ）
A．18.75米 B．18.8米 C．21.3米 D．19米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】由镜面反射的规律得：
又
由题意得：
解得：
故答案为：C.
【分析】根据题意可知∠BAC=∠MAN，∠BCA=∠MNA，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△AMN，然后利用相似三角形的对应边成比例，求出MN的长。
7．（2019九上·朝阳期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前。其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为（ ）
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设竹竿长为x尺。由题意得：
解得x=45
即竹竿长为4丈5尺。
故答案为：B.
【分析】设竹竿长为x尺，根据相似三角形的对应边成比例列出方程，即可求解。
二、填空题
8．（2020·温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上。在F点观测A点后，沿FN方向走到M点.观测C点发现∠1=∠2。测得EF=15米，FM=2米，MN=8米，∠ANE=45°，则场地的边AB为 米，BC为 米。
【答案】15 ；20
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形
【解析】【解答】解： ， ，
，
和 是等腰直角三角形，
， ，
米， 米， 米，
（米 ， （米 ，
， ，
（米 ；
过 作 于 ，过 作 交 于 ，交 于 ，
，
四边形 和四边形 是矩形，
， ， ，
， ，
，
，
设 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ．
【分析】根据题意易证△ANE和△BNF是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，可证得AE=EN，BF=FN，由此可求出AE，BF的长，利用解直角三角形求出AN，BN的长，再根据AB=AN-BN求出AB的长；过点C作CH⊥l于点H，过点B作PQ⊥l，交AE于点P，交CH于点Q，利用矩形的判定和性质，可得到EF，QH的长，再证明△AEF∽△CHM，利用相似三角形的对应边成比例可得到CH与HM的比值，设MH=3x，CH=5x，用含x的代数式表示出CQ，BQ的长，然后证明△APB∽△BQC，利用相似三角形的对应边成比例建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到BQ的长，从而可求出BC的长。
9．（2020·仙居模拟）小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域离网5米的位置上，她的击球高度是2.4米，则她应站在离网的 米处。
【答案】10
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图
由题意可知DE∥BC
∴△AED∽△ABC
∴即
解之：CE=10.
故答案为：10.
【分析】由题意可证△AED∽△ABC，再利用相似三角形的对应边成比例，就可求出CE的长。
10．（2020八下·长春月考）如图是小玲用手电来测量城墙高度的示意图．在点P处水平放置平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米，则该城墙CD的高度 米．
【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP．
∴ ，即 ．
解得CD＝8，
即该城墙的高度是8米．
【分析】根据光学知识反射角等于入射角得到∠APB＝∠CPD，再通过证三角形相似即可求解。
三、解答题
11．（2020·陕西模拟）为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度.
【答案】解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，
∴SO∥AB，
∴△ABC∽△SOC，
∴ ＝ ，即 ，
解得OB＝ h﹣1①，
同理，∵A′B′⊥OC′，
∴△A′B′C′∽△SOC′，
∴ ， ②，
把①代入②得， ，
解得：h＝9（米）.
答：路灯离地面的高度是9米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先根据AB⊥OC′，OS⊥OC′可知△ABC∽△SOC，同理可得△A′B′C′∽△SOC′，再由相似三角形的对应边成比例即可得出h的值.
12．（2020·黄石模拟）白天，小明和小亮在阳光下散步，小亮对小明说：“咱俩的身高都是已知的.如果量出此时我的影长，那么我就能求出你此时的影长.”晚上，他们二人有在路灯下散步，小明想起白天的事，就对小亮说“如果量出此时我的影长，那么我就能求出你此时的影长”.你认为小明、小亮的说法有道理吗？说说你的理由.
【答案】解：如下图，设AB为人，O为太阳，CD为底面，则CB为影子长
太阳离我们足够远，故无论AB身高是多少，在同一个时刻，∠C的角度始终不变
∵tanC= ，∴小亮身高AB和影长CB已知后，可求得tanC的值
∵CB= ，小明的身高AB已知，tanC已求得，故可得小明影长CB
故小亮说得有道理
在路灯下，图中∠C会因为AB的高度不同而改变，故小明无道理
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】如下图，设AB为人，O为太阳，CD为底面，则CB为影子长.已知AB和∠C，利用三角函数是可以求得CB的.因此，若∠C大小不变，则说法有道理，反之则无道理.
13．（2020·雁塔模拟）如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.5m，竹标顶端离地面2.4m，小明到竹杆的距离DF＝2m，竹杆到塔底的距离DB＝32m，求这座古塔的高度.
【答案】解：解：∵小明、竹杆、古塔均与地面垂直，EH⊥AB，
∴BH＝DG＝EF＝1.5m，EG＝DF GH＝DB，
∵小明眼睛离地面1.5m，竹杆顶端离地面2.4m，
∴CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.5＝0.9m，
∵CD∥AB，
∴△EGC～△EHA
∵DF＝2mDB＝32m，
∴ ，
即 ，
解得：AH＝15.3m，
∴AB＝AH+BH＝15.3+1.5＝16.8m，
答：古塔的高度是16.8m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 根据小明、竹杆、古塔均与地面垂直，EH⊥AB， 可得BH＝DG＝EF＝1.5m，EG＝DF，GH＝DB，由题意可得CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.5＝0.9m，由CD∥AB，可证△EGC～△EHA，利用相似三角形对应边成比例可求出AH的长，由AB＝AH+BH即可求出结论.
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第四章 4.6 利用相似三角形测高
一、单选题
1．（2019八下·潍城期末）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板 测量树的高度 ，他调整自己的位置，设法使斜边 保持水平，并且边 与点 在同一直线上.已知纸板的两条直角边 ， ，测得边 离地面的高度 ， ，则树高 是（ ）
A．4米 B．4.5米 C．5米 D．5.5米
2．（2020·沙湾模拟）身高1.6米的小明同学利用相似三角形测量学校旗杆的高度，上午10点，小明在阳光下的影长为1米，此时测得旗杆的影长为9米，则学校旗杆的高度是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
3．（2020九下·龙岗期中）路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是（ ）
A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米
4．（2020·平遥模拟）AB和DE是直立在水平地面上的两根立柱，AB=7米，某一时刻测得在阳光下的投影 米，同时，测量出 在阳光下的投影长为6米，则DE的长为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
5．（2020九上·桂林期末）某数学活动小组在利用太阳光线测量某棵树 的高度时，发现树 的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上.经测量，落在墙壁上影高 为2米，落在地面上的影长 为5米，同一时间测得8米高的国旗杆影长是4米，则树高为（ ）
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
6．（2020九上·卫辉期末）如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离N点20米的A处放了一个平面镜，小明沿NA方向后退1.5米到C点，此时从镜子中恰好看到楼顶的M点，已知小明的眼睛（点B）到地面的高度BC是1.6米，则大楼MN的高度（精确到0.1米）约是（ ）
A．18.75米 B．18.8米 C．21.3米 D．19米
7．（2019九上·朝阳期中）《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前。其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长丈五尺．同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸(提示：1丈=10尺，1尺=10寸)，则竹竿的长为（ ）
A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺
二、填空题
8．（2020·温州）如图，在河对岸有一矩形场地ABCD，为了估测场地大小，在笔直的河岸l上依次取点E，F，N，使AE⊥l，BF⊥l，点N，A，B在同一直线上。在F点观测A点后，沿FN方向走到M点.观测C点发现∠1=∠2。测得EF=15米，FM=2米，MN=8米，∠ANE=45°，则场地的边AB为 米，BC为 米。
9．（2020·仙居模拟）小明在打网球时，为使球恰好能过网（网高0.8米），且落在对方区域离网5米的位置上，她的击球高度是2.4米，则她应站在离网的 米处。
10．（2020八下·长春月考）如图是小玲用手电来测量城墙高度的示意图．在点P处水平放置平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米，则该城墙CD的高度 米．
三、解答题
11．（2020·陕西模拟）为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度.
12．（2020·黄石模拟）白天，小明和小亮在阳光下散步，小亮对小明说：“咱俩的身高都是已知的.如果量出此时我的影长，那么我就能求出你此时的影长.”晚上，他们二人有在路灯下散步，小明想起白天的事，就对小亮说“如果量出此时我的影长，那么我就能求出你此时的影长”.你认为小明、小亮的说法有道理吗？说说你的理由.
13．（2020·雁塔模拟）如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.5m，竹标顶端离地面2.4m，小明到竹杆的距离DF＝2m，竹杆到塔底的距离DB＝32m，求这座古塔的高度.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠DEF=∠BCD-90° ∠D=∠D
∴△ADEF∽△DCB
∴
∴DE=40cm=0.4m，EF-20cm=0.2m，AC-1.5m，CD=8m
∴ 解得：BC=4
∴AB=AC+BC=1.5+4=5.5米
故答案为：5.5.
【分析】利用直角三角形DEF和直角三角形BCD相似求得BC的长后加上小明的身高即可求得树高AB.
2．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵同一时刻的物高与影长成正比例,
∴1.6∶1=旗杆的高度∶9.
∴旗杆的高度为14.4米.
故答案为：D.
【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，据此列方程即可解答.
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：延长FH交AB于点M，则得∠AMG=90°，四边形BCMH是矩形。
∵四边形CDFH是矩形
∴BM=CH=DF=3，∠AMG=90°
∵AG∥FE
∴∠AGM=∠FED
又∵∠FDE=∠AMG=90°
∴△AMG∽△FDE
∴AM：MG=DF：DE
即AM：（5+2）=3：4
解得 AM=5.25
∴AB=AM+BM=8.25(米)
故答案为：C。
【分析】延长FH交AB于点M，利用矩形性质得出BM，DF，然后易证△AMG∽△FDE，利用相似三角形的对应边成比例可得AM：MG=DF：DE，据此求出AM，则AB=AM+BM即可得解。
4．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，在测量AB的投影时，同时测量出DE在阳光下的投影长EF为6m，
∵△ABC∽△DEF，AB=7m，BC=4m，EF=6m
∴ ，
∴ ，
∴DE= （m）
故答案为：B．
【分析】根据在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例，构建方程即可解决问题．
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，过点D作DE⊥AB于E，
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴四边形BCDE为矩形，
∴ ，
根据题意： ，
∴ ，
∴ ，
∴ (米) ，
故答案为：C
【分析】过点D作DE⊥AB于E，利用 ，这样就可求出AE的长，再加上墙上的影高就是树高．
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】由镜面反射的规律得：
又
由题意得：
解得：
故答案为：C.
【分析】根据题意可知∠BAC=∠MAN，∠BCA=∠MNA，利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△ABC∽△AMN，然后利用相似三角形的对应边成比例，求出MN的长。
7．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设竹竿长为x尺。由题意得：
解得x=45
即竹竿长为4丈5尺。
故答案为：B.
【分析】设竹竿长为x尺，根据相似三角形的对应边成比例列出方程，即可求解。
8．【答案】15 ；20
【知识点】相似三角形的应用；解直角三角形
【解析】【解答】解： ， ，
，
和 是等腰直角三角形，
， ，
米， 米， 米，
（米 ， （米 ，
， ，
（米 ；
过 作 于 ，过 作 交 于 ，交 于 ，
，
四边形 和四边形 是矩形，
， ， ，
， ，
，
，
设 ， ，
， ，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ， ．
【分析】根据题意易证△ANE和△BNF是等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，可证得AE=EN，BF=FN，由此可求出AE，BF的长，利用解直角三角形求出AN，BN的长，再根据AB=AN-BN求出AB的长；过点C作CH⊥l于点H，过点B作PQ⊥l，交AE于点P，交CH于点Q，利用矩形的判定和性质，可得到EF，QH的长，再证明△AEF∽△CHM，利用相似三角形的对应边成比例可得到CH与HM的比值，设MH=3x，CH=5x，用含x的代数式表示出CQ，BQ的长，然后证明△APB∽△BQC，利用相似三角形的对应边成比例建立关于x的方程，解方程求出x的值，即可得到BQ的长，从而可求出BC的长。
9．【答案】10
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图
由题意可知DE∥BC
∴△AED∽△ABC
∴即
解之：CE=10.
故答案为：10.
【分析】由题意可证△AED∽△ABC，再利用相似三角形的对应边成比例，就可求出CE的长。
10．【答案】8
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP．
∴ ，即 ．
解得CD＝8，
即该城墙的高度是8米．
【分析】根据光学知识反射角等于入射角得到∠APB＝∠CPD，再通过证三角形相似即可求解。
11．【答案】解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，
∴SO∥AB，
∴△ABC∽△SOC，
∴ ＝ ，即 ，
解得OB＝ h﹣1①，
同理，∵A′B′⊥OC′，
∴△A′B′C′∽△SOC′，
∴ ， ②，
把①代入②得， ，
解得：h＝9（米）.
答：路灯离地面的高度是9米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先根据AB⊥OC′，OS⊥OC′可知△ABC∽△SOC，同理可得△A′B′C′∽△SOC′，再由相似三角形的对应边成比例即可得出h的值.
12．【答案】解：如下图，设AB为人，O为太阳，CD为底面，则CB为影子长
太阳离我们足够远，故无论AB身高是多少，在同一个时刻，∠C的角度始终不变
∵tanC= ，∴小亮身高AB和影长CB已知后，可求得tanC的值
∵CB= ，小明的身高AB已知，tanC已求得，故可得小明影长CB
故小亮说得有道理
在路灯下，图中∠C会因为AB的高度不同而改变，故小明无道理
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】如下图，设AB为人，O为太阳，CD为底面，则CB为影子长.已知AB和∠C，利用三角函数是可以求得CB的.因此，若∠C大小不变，则说法有道理，反之则无道理.
13．【答案】解：解：∵小明、竹杆、古塔均与地面垂直，EH⊥AB，
∴BH＝DG＝EF＝1.5m，EG＝DF GH＝DB，
∵小明眼睛离地面1.5m，竹杆顶端离地面2.4m，
∴CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.5＝0.9m，
∵CD∥AB，
∴△EGC～△EHA
∵DF＝2mDB＝32m，
∴ ，
即 ，
解得：AH＝15.3m，
∴AB＝AH+BH＝15.3+1.5＝16.8m，
答：古塔的高度是16.8m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 根据小明、竹杆、古塔均与地面垂直，EH⊥AB， 可得BH＝DG＝EF＝1.5m，EG＝DF，GH＝DB，由题意可得CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.5＝0.9m，由CD∥AB，可证△EGC～△EHA，利用相似三角形对应边成比例可求出AH的长，由AB＝AH+BH即可求出结论.
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