青岛版数学九年级上册第一章《图形的相似》单元测试
一、单选题
1．在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．关于对位似图形的4个表述中：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
正确的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2017·裕华模拟）如图，已知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形； ②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长比为1：2；④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2018九上·淮南期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（0，1）
C．（﹣3，2） D．（3，﹣2）
5．（2020九下·江阴月考）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的 ，那么点B'的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（－2，－3）
C．（2，3）或（－2，－3） D．（3，2）或（－3，－2）
6．（2020·铜仁模拟）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△DOE与S△COE的比是（ ）
A．1：25 B．1：5 C．1：4 D．1：3
7．（2020九上·渭滨期末）如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD＝4DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．2：1 D．2：3
8．（2020九下·龙岗期中）路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是（ ）
A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米
9．（2019九上·港南期中）如图， ， ， ， ， ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
10．（2020九上·奉化期末）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD与点F，AD交PC与点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD
C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
11．（2020·黄冈模拟）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020九上·渭滨期末）如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．（2020·武汉模拟）四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，点O为位似中心.若AB：A'B'＝2：3，则OB：OB'＝ .
14．（2020九上·新乡期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)，若点A′(5，6)，则A的坐标为 .
15．（2020九下·东台期中）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为 米（精确到0.1米）.
16．（2019·郫县模拟）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为 ，点E的坐标为 ，则点P的坐标为 ．
17．（2020九上·卫辉期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，求PE+PF的值为 .
18．（2020九下·镇江月考）如图，正方形ABCD中， E是AD的中点，点F在CD上，且CF=3FD，若 ，则EF的长等于 .
19．如图，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为 ．
20．（2020九下·镇江月考）在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，△DOE的面积是2，△DOA的面积 ．
三、解答题
21．在矩形ABCD中，F是BC上一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E．根据上述条件，请在图中找出四组相似三角形，并说明其中一组的理由．
22．（2017九上·恩阳期中）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F.求证：△ABF∽△CAF.
23．（2018九上·合肥期中）如图，△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从A开始沿AB边向B点以1cm/s的速度移动，到达点B时停止.点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，到达点C时停止.如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒种△PBQ与△ABC相似？
24．（2020·雁塔模拟）如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.5m，竹标顶端离地面2.4m，小明到竹杆的距离DF＝2m，竹杆到塔底的距离DB＝32m，求这座古塔的高度.
25．（2020九上·建湖期末）如图，小超想要测量窗外的路灯 的高度.星期天晚上，他发现灯光透过窗户照射在房间的地板上，窗户的最高点 落在地板 处、窗户的最低点落在地板是 处，小超测得窗户距地面的高度 ，窗高 ，并测得 ， .请根据以上测量数据，求窗外的路灯 的高度.
26．（2020·陕西模拟）为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度.
27．（2020九下·碑林月考）如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG.小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度.一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5 米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°.请你帮小明求出大树CD的高度.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图，根据位似图形的定义可知第1、2、4个图形是位似图形，而第3个图形对应点的连线不能交于一点，故位似图形有3个．
故选C．
【分析】根据位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2．【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误；
位似图形一定有位似中心，②正确；
如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，③正确；
位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误．
故选：B．
【分析】根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可．
3．【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的 ，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
故选C．
【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
4．【答案】C
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】如图所示：P点即为所求，故P点坐标为：（﹣3，2）．
故答案为：C．
【分析】经过两对对应点分别作直线，两直线的交点即为位似中心。
5．【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ，
∴两矩形面积的相似比为：1：2，
∵B的坐标是（6，4），
∴点B′的坐标是：（3，2）或（ 3， 2）.
故答案为：D.
【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠ACO=∠EDO，∠CAO=∠DEO（两直线平行，内错角相等），
∴△DOE∽△COA，
∴ ，
∴ ，
∴S△DOE与S△COE的比为1：5，
故答案为：B.
【分析】通过证明△DOE∽△COA，可得 ，可求 ，即可得到答案.
7．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DG∥AC交BF于点G，
∵AD=4DE
∴AE=3DE
∵AD是中线，
∴BC=2BD
∵DG∥AC
∴△DGE∽△AFE，△BDG∽△BCF，
∴，
∴
∴AF：FC=3：2.
故答案为：A.
【分析】由已知AD=4DE，AD是△ABC的中线，可证AE=3DE，BC=2BD，再利用平行线分线段成比例定理的推论，可证得△DGE∽△AFE，△BDG∽△BCF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AF：FC的值。
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：延长FH交AB于点M，则得∠AMG=90°，四边形BCMH是矩形。
∵四边形CDFH是矩形
∴BM=CH=DF=3，∠AMG=90°
∵AG∥FE
∴∠AGM=∠FED
又∵∠FDE=∠AMG=90°
∴△AMG∽△FDE
∴AM:MG=DF:DE
即AM:（5+2）=3:4
解得 AM=5.25
∴AB=AM+BM=8.25(米)
故答案为：C。
【分析】延长FH交AB于点M，利用矩形性质得出BM，DF，然后易证△AMG∽△FDE，利用相似三角形的对应边成比例可得AM:MG=DF:DE，据此求出AM，则AB=AM+BM即可得解。
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠CAE=∠BAD= .
故答案为：B.
【分析】利用三边成比例可判定△ABC∽△ADE，再利用相似三角形的性质即得答案.
10．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： A 、∵∠GEC=∠A+∠B=2∠A，
∵∠CPB=∠CPF+∠BPF=∠A+∠BPF，
∵∠BPF=∠A+∠D>∠A，
∴∠CPB>2∠A，
∴∠CPB≠∠GEC，
∴ △CGE和△CBP 不相似，错误，符合题意；
B、∵∠GPD=∠PAD，∠D公用，∴△APD∽△PGD，正确，不符合题意；
C、∵∠A=∠B，
∵∠APG=∠B+∠C，∠BFP=∠C+∠CPF， ∠CPF=∠B，
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP，正确，不符合题意；
D、∵∠B=∠CPF，∠FCP=∠PCF，∴△PCF∽△BCP ，正确，不符合题意；
故答案为；A.
【分析】根据 ∠CPD=∠A=∠B，结合三角形的外角性质，推出对应角∠CPB和∠GEC不相等，判定A错误；根据两组对角分别相等可证∠CPB≠∠GEC，则B正确；根据∠A=∠B，结合三角形外角的性质可得∠APG=∠BFP，于是△APG∽△BFP，C正确；同样根据两组对角分别相等可证△PCF∽△BCP ，则D正确.
11．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴ = ， = ，
∴ + = + = =1.
∵AB=1，CD=3，
∴ + =1，
∴EF= .
故答案为：C.
【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得 = ， = ，从而可得 + = + =1.然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值.
12．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AC2=22+22=8，BC2=12+12=2，AB2=12+32=10
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
A、此选项中的三角形不是直角三角形，故A不符合题意；
B、如图
∵HM=3，MN=2，
∴，
∴，故B不符合题意；
C、如图
∵DE=2，EF=4。
∴
∴，∠ACB=∠DEF=90°
∴△ABC∽△DEF，故C符合题意；
D、此三角形的三边长为
12+22=5，22+32=13，42=16
∴5+13=18≠16
∴此三角形不是直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理分别求出△ABC较小两边的平方和，和最大边的平方，利用勾股定理的逆定理可得到此三角形是直角三角形，由此可以排除A，D；再根据两直角边对应成比例，夹角相等的两三角形相似，可作出判断。
13．【答案】2:3
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，
∴AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴OB：OB′＝AB：A′B′＝2：3，
故答案为：2:3.
【分析】四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，可知AB∥A′B′，OAB∽△OA′B′，进而可求出OB：OB'的比值.
14．【答案】(2.5，3)
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点B(3，1)，B′(6，2)，点A′(5，6)，
∴A的坐标为：(2.5，3).
故答案为：(2.5，3).
【分析】利用点B(3，1)，B′(6，2)即可得出位似比进而得出A的坐标.
15．【答案】5.6
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据镜面反射的性质可得：∠CED=∠AEB，又∠CDE=∠ABE=90°，
所以△ABE∽△CDE，
所以 ，即 ，
解得：AB=5.6米.
故答案为：5.6.
【分析】根据镜面反射的性质可得∠CED=∠AEB，结合已知根据两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△CDE，然后根据相似三角形的对应边成比例可得比例式求解.
16．【答案】（-2,0）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，4）， ∴OC=AB=4，OA=2，
∴点C的坐标为：（0，4），
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为（-1，2），
∴位似比为：2， ∴OP：AP=OD：AB=1：2， 设OP=x，则 ， 解得：x=2，
∴OP=2， 即点P的坐标为：（-2，0）．
【分析】由矩形OABC中，点B的坐标为（2，4），可求得点C的坐标，又由矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点C的对应点点E的坐标为（-1，2），即可求得其位似比，继而求得答案．
17．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】设AP=x，PD=4 x.
∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ADC；
∴△AEP∽△ADC,故 ①；
同理可得△DFP∽△DAB,故 ②
①+②得 = ，
∴PE+PF= .
【分析】根据题意得到△AEP∽△ADC，△DFP∽△DAB，再根据相似三角形的性质找出关系式解答.
18．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，点E是AD的中点，
∴AD=AB=DC=2ED，∠A=∠D=90°，
∵CF=3FD
∴DC=4FD
∴AE=DE=2DF，
∴，
∴
∵∠A=∠D
∴△AEB∽△DFE
∴
∴
解之：.
故答案为：.
【分析】利用正方形的性质，可以推出AD=AB=DC=2ED，∠A=∠D=90°，从而可得到DC=4FD，AE=DE=2DF，就可证得，再利用两组对应边成比例，且夹角相等的两三角形相似，可证得△AEB∽△DFE，然后利用相似三角形的对应边成比例，就可求出EF的长。
19．【答案】（﹣4，﹣3）或（2，3）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0可得y=1；
令y=0可得x=﹣1，
∴点A和点B的坐标分别为（﹣1，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴ = = ，
∴O′B′=3，AO′=3，
∴B′的坐标为（﹣4，﹣3）或（2，3）．
故答案为：（﹣4，﹣3）或（2，3）．
【分析】首先解得点A和点B的坐标，再利用位似变换可得结果．
20．【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
又∵E为CD的中点，
∴DE=CD=AB，
∵AB∥DE，
∴△DOE∽△BOA，
∴，
∴BO=2DO，S△DOE：S△BOA=1:4，
∴S△BOA=8，
又∵BO=2DO，
∴S△BOA=2S△DOA，
∴S△DOA=S△BOA=4.
故答案为：4.
【分析】利用平行四边形的性质可得，AB∥CD，AB=CD，根据AB∥DE，得出△DOE∽△BOA，由相似三角形面积比等于相似比的平方得出S△DOE：S△BOA=1:4，即S△BOA=8，再根据△ABO和△ADO等高，底之比为2:1，所以面积之比也为2:1，进而求出△DOA的面积.
21．【答案】解：根据两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可解决本题．△GDE∽△ADC，△GDE∽△AED，△GCF∽△AGD．∵∠G=∠G，∠GCF=∠GDA，∴△GCF∽△GDA
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用矩形的性质及DE⊥AG，利用两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可解决本题。
22．【答案】证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵EF垂直平分AD，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∵∠FAD=∠FAC+∠2，∠FDA=∠B+∠1，
∴∠B=∠FAC，
又∵∠AFB=∠CFA，
∴△ABF∽△CAF.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定。利用“AA”可以证出相似。
23．【答案】解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，
则有AP=t，BQ=2t，BP=10-t
①当△BPQ∽△BAC时， 即 ，
解得：t=5,
②当△BPQ∽△BCA时，
= 即 = ，
解得：t=2,
综上所述，经过5秒或2秒时，△PBQ与△ABC相似.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似。用含t的代数式表示出线段AP、BQ、BP。在△PBQ与△ABC中，有一公共角∠B，根据相似三角形的判定方法”两边对应成比例且夹角相等“可得，若使△PBQ与△ABC相似，只需或，据此可解。
24．【答案】解：解：∵小明、竹杆、古塔均与地面垂直，EH⊥AB，
∴BH＝DG＝EF＝1.5m，EG＝DF GH＝DB，
∵小明眼睛离地面1.5m，竹杆顶端离地面2.4m，
∴CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.5＝0.9m，
∵CD∥AB，
∴△EGC～△EHA
∵DF＝2mDB＝32m，
∴ ，
即 ，
解得：AH＝15.3m，
∴AB＝AH+BH＝15.3+1.5＝16.8m，
答：古塔的高度是16.8m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 根据小明、竹杆、古塔均与地面垂直，EH⊥AB， 可得BH＝DG＝EF＝1.5m，EG＝DF，GH＝DB，由题意可得CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.5＝0.9m，由CD∥AB，可证△EGC～△EHA，利用相似三角形对应边成比例可求出AH的长，由AB＝AH+BH即可求出结论.
25．【答案】解： ，
，
,
,
设
，
∴
解得： ，经检验： 是原方程的解.
答：窗外的路灯 的高度是
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据QD=QA,可得∠DAQ=45°,证明 ，再证 ，再列比例式，设PH=x,解方程即可.
26．【答案】解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，
∴SO∥AB，
∴△ABC∽△SOC，
∴ ＝ ，即 ，
解得OB＝ h﹣1①，
同理，∵A′B′⊥OC′，
∴△A′B′C′∽△SOC′，
∴ ， ②，
把①代入②得， ，
解得：h＝9（米）.
答：路灯离地面的高度是9米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先根据AB⊥OC′，OS⊥OC′可知△ABC∽△SOC，同理可得△A′B′C′∽△SOC′，再由相似三角形的对应边成比例即可得出h的值.
27．【答案】解：延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，
∵∠ABG＝150°，BE⊥CB，
∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°，
∴∠MFB＝30°，
∵BF的长为2米，
∴BM＝1米，MF＝ 米.
∵BE⊥CB，MF⊥BE，
∴BH∥MF，
∴△EBH∽△EMF，
∴ ＝ .
又∵EB＝1.8米，
∴ ＝ ，
∴BH＝ .
∵BE∥CD，
∴△HBE∽△HCD，
∴ ＝ .
∵CB＝5 ，
∴ ＝ ，
∴CD＝15.8米.
∴大树CD的高度为15.8米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，首先判断出 △EBH∽△EMF， 根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，根据比例式算出BH的长，再判断出 △HBE∽△HCD ，根据相似三角形的对应边成比例得出 ＝ ，由比例式即可算出CD的长.
1 / 1青岛版数学九年级上册第一章《图形的相似》单元测试
一、单选题
1．在如图所示的四个图形为两个圆或相似的正多边形，其中位似图形的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图，根据位似图形的定义可知第1、2、4个图形是位似图形，而第3个图形对应点的连线不能交于一点，故位似图形有3个．
故选C．
【分析】根据位似图形的定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．
2．关于对位似图形的4个表述中：
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于位似比．
正确的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：相似图形不一定是位似图形，位似图形一定是相似图形，①错误；
位似图形一定有位似中心，②正确；
如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么，这两个图形是位似图形，③正确；
位似图形上对应两点与位似中心的距离之比等于位似比，④错误．
故选：B．
【分析】根据位似变换的概念和性质对各个选项进行判断即可．
3．（2017·裕华模拟）如图，已知△ABC，任取一点O，连AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ）
①△ABC与△DEF是位似图形； ②△ABC与△DEF是相似图形；
③△ABC与△DEF的周长比为1：2；④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：根据位似性质得出①△ABC与△DEF是位似图形，②△ABC与△DEF是相似图形，
∵将△ABC的三边缩小的原来的 ，
∴△ABC与△DEF的周长比为2：1，
故③选项错误，
根据面积比等于相似比的平方，
∴④△ABC与△DEF的面积比为4：1．
故选C．
【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC与△DEF是位似图形进而根据位似图形一定是相似图形得出 ②△ABC与△DEF是相似图形，再根据周长比等于位似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案．
4．（2018九上·淮南期末）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（ ）
A．（0，0） B．（0，1）
C．（﹣3，2） D．（3，﹣2）
【答案】C
【知识点】作图﹣位似变换
【解析】【解答】如图所示：P点即为所求，故P点坐标为：（﹣3，2）．
故答案为：C．
【分析】经过两对对应点分别作直线，两直线的交点即为位似中心。
5．（2020九下·江阴月考）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的 ，那么点B'的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（－2，－3）
C．（2，3）或（－2，－3） D．（3，2）或（－3，－2）
【答案】D
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的 ，
∴两矩形面积的相似比为：1：2，
∵B的坐标是（6，4），
∴点B′的坐标是：（3，2）或（ 3， 2）.
故答案为：D.
【分析】利用位似图形的性质得出位似比，进而得出对应点的坐标.
6．（2020·铜仁模拟）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△DOE与S△COE的比是（ ）
A．1：25 B．1：5 C．1：4 D．1：3
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵DE∥AC，
∴∠ACO=∠EDO，∠CAO=∠DEO（两直线平行，内错角相等），
∴△DOE∽△COA，
∴ ，
∴ ，
∴S△DOE与S△COE的比为1：5，
故答案为：B.
【分析】通过证明△DOE∽△COA，可得 ，可求 ，即可得到答案.
7．（2020九上·渭滨期末）如图，AD是△ABC的中线，点E在AD上，AD＝4DE，连接BE并延长交AC于点F，则AF：FC的值是（ ）
A．3：2 B．4：3 C．2：1 D．2：3
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过点D作DG∥AC交BF于点G，
∵AD=4DE
∴AE=3DE
∵AD是中线，
∴BC=2BD
∵DG∥AC
∴△DGE∽△AFE，△BDG∽△BCF，
∴，
∴
∴AF：FC=3：2.
故答案为：A.
【分析】由已知AD=4DE，AD是△ABC的中线，可证AE=3DE，BC=2BD，再利用平行线分线段成比例定理的推论，可证得△DGE∽△AFE，△BDG∽△BCF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AF：FC的值。
8．（2020九下·龙岗期中）路边有一根电线杆AB和一块长方形广告牌，有一天小明突然发现在太阳光照射下，电线杆顶端A的影子刚好落在长方形广告牌的上边中点G处，而长方形广告牌的影子刚好落在地面上E点（如图），已知BC=5米，长方形广告牌的长HF=4米，高HC=3米，DE=4米，则电线杆AB的高度是（ ）
A．6.75米 B．7.75米 C．8.25米 D．10.75米
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：延长FH交AB于点M，则得∠AMG=90°，四边形BCMH是矩形。
∵四边形CDFH是矩形
∴BM=CH=DF=3，∠AMG=90°
∵AG∥FE
∴∠AGM=∠FED
又∵∠FDE=∠AMG=90°
∴△AMG∽△FDE
∴AM:MG=DF:DE
即AM:（5+2）=3:4
解得 AM=5.25
∴AB=AM+BM=8.25(米)
故答案为：C。
【分析】延长FH交AB于点M，利用矩形性质得出BM，DF，然后易证△AMG∽△FDE，利用相似三角形的对应边成比例可得AM:MG=DF:DE，据此求出AM，则AB=AM+BM即可得解。
9．（2019九上·港南期中）如图， ， ， ， ， ， ， ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ， ， ，
∴ ，
∴△ABC∽△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠CAE=∠BAD= .
故答案为：B.
【分析】利用三边成比例可判定△ABC∽△ADE，再利用相似三角形的性质即得答案.
10．（2020九上·奉化期末）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交与点E，∠CPD=∠A=∠B，BC交PD与点F，AD交PC与点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．△CGE∽△CBP B．△APD∽△PGD
C．△APG∽△BFP D．△PCF∽△BCP
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解： A 、∵∠GEC=∠A+∠B=2∠A，
∵∠CPB=∠CPF+∠BPF=∠A+∠BPF，
∵∠BPF=∠A+∠D>∠A，
∴∠CPB>2∠A，
∴∠CPB≠∠GEC，
∴ △CGE和△CBP 不相似，错误，符合题意；
B、∵∠GPD=∠PAD，∠D公用，∴△APD∽△PGD，正确，不符合题意；
C、∵∠A=∠B，
∵∠APG=∠B+∠C，∠BFP=∠C+∠CPF， ∠CPF=∠B，
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP，正确，不符合题意；
D、∵∠B=∠CPF，∠FCP=∠PCF，∴△PCF∽△BCP ，正确，不符合题意；
故答案为；A.
【分析】根据 ∠CPD=∠A=∠B，结合三角形的外角性质，推出对应角∠CPB和∠GEC不相等，判定A错误；根据两组对角分别相等可证∠CPB≠∠GEC，则B正确；根据∠A=∠B，结合三角形外角的性质可得∠APG=∠BFP，于是△APG∽△BFP，C正确；同样根据两组对角分别相等可证△PCF∽△BCP ，则D正确.
11．（2020·黄冈模拟）如图，已知AB、CD、EF都与BD垂直，垂足分别是B、D、F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB、CD、EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴ = ， = ，
∴ + = + = =1.
∵AB=1，CD=3，
∴ + =1，
∴EF= .
故答案为：C.
【分析】易证△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，根据相似三角形的性质可得 = ， = ，从而可得 + = + =1.然后把AB=1，CD=3代入即可求出EF的值.
12．（2020九上·渭滨期末）如图在正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AC2=22+22=8，BC2=12+12=2，AB2=12+32=10
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形；
A、此选项中的三角形不是直角三角形，故A不符合题意；
B、如图
∵HM=3，MN=2，
∴，
∴，故B不符合题意；
C、如图
∵DE=2，EF=4。
∴
∴，∠ACB=∠DEF=90°
∴△ABC∽△DEF，故C符合题意；
D、此三角形的三边长为
12+22=5，22+32=13，42=16
∴5+13=18≠16
∴此三角形不是直角三角形，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】利用勾股定理分别求出△ABC较小两边的平方和，和最大边的平方，利用勾股定理的逆定理可得到此三角形是直角三角形，由此可以排除A，D；再根据两直角边对应成比例，夹角相等的两三角形相似，可作出判断。
二、填空题
13．（2020·武汉模拟）四边形ABCD与四边形A'B'C'D'位似，点O为位似中心.若AB：A'B'＝2：3，则OB：OB'＝ .
【答案】2:3
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：如图，
∵四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，
∴AB∥A′B′，
∴△OAB∽△OA′B′，
∴OB：OB′＝AB：A′B′＝2：3，
故答案为：2:3.
【分析】四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，可知AB∥A′B′，OAB∽△OA′B′，进而可求出OB：OB'的比值.
14．（2020九上·新乡期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)，若点A′(5，6)，则A的坐标为 .
【答案】(2.5，3)
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵点B(3，1)，B′(6，2)，点A′(5，6)，
∴A的坐标为：(2.5，3).
故答案为：(2.5，3).
【分析】利用点B(3，1)，B′(6，2)即可得出位似比进而得出A的坐标.
15．（2020九下·东台期中）为了测量校园水平地面上一棵不可攀的树的高度，学校数学兴趣小组做了如下的探索：根据《科学》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：把一面很小的镜子放在离树底（B）8.4米的点E处，然后沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE=2.4米，观察者目高CD=1.6米，则树（AB）的高度约为 米（精确到0.1米）.
【答案】5.6
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：根据镜面反射的性质可得：∠CED=∠AEB，又∠CDE=∠ABE=90°，
所以△ABE∽△CDE，
所以 ，即 ，
解得：AB=5.6米.
故答案为：5.6.
【分析】根据镜面反射的性质可得∠CED=∠AEB，结合已知根据两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABE∽△CDE，然后根据相似三角形的对应边成比例可得比例式求解.
16．（2019·郫县模拟）如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，若点B的坐标为 ，点E的坐标为 ，则点P的坐标为 ．
【答案】（-2,0）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（2，4）， ∴OC=AB=4，OA=2，
∴点C的坐标为：（0，4），
∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点E的坐标为（-1，2），
∴位似比为：2， ∴OP：AP=OD：AB=1：2， 设OP=x，则 ， 解得：x=2，
∴OP=2， 即点P的坐标为：（-2，0）．
【分析】由矩形OABC中，点B的坐标为（2，4），可求得点C的坐标，又由矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，P是位似中心，点C的对应点点E的坐标为（-1，2），即可求得其位似比，继而求得答案．
17．（2020九上·卫辉期末）如图所示，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上的动点，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，求PE+PF的值为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】设AP=x，PD=4 x.
∵∠EAP=∠EAP，∠AEP=∠ADC；
∴△AEP∽△ADC,故 ①；
同理可得△DFP∽△DAB,故 ②
①+②得 = ，
∴PE+PF= .
【分析】根据题意得到△AEP∽△ADC，△DFP∽△DAB，再根据相似三角形的性质找出关系式解答.
18．（2020九下·镇江月考）如图，正方形ABCD中， E是AD的中点，点F在CD上，且CF=3FD，若 ，则EF的长等于 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD，点E是AD的中点，
∴AD=AB=DC=2ED，∠A=∠D=90°，
∵CF=3FD
∴DC=4FD
∴AE=DE=2DF，
∴，
∴
∵∠A=∠D
∴△AEB∽△DFE
∴
∴
解之：.
故答案为：.
【分析】利用正方形的性质，可以推出AD=AB=DC=2ED，∠A=∠D=90°，从而可得到DC=4FD，AE=DE=2DF，就可证得，再利用两组对应边成比例，且夹角相等的两三角形相似，可证得△AEB∽△DFE，然后利用相似三角形的对应边成比例，就可求出EF的长。
19．如图，直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，则点B的对应点B′的坐标为 ．
【答案】（﹣4，﹣3）或（2，3）
【知识点】位似变换
【解析】【解答】解：∵直线y=x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，
令x=0可得y=1；
令y=0可得x=﹣1，
∴点A和点B的坐标分别为（﹣1，0）；（0，1），
∵△BOC与△B′O′C′是以点A为位似中心的位似图形，且相似比为1：3，
∴ = = ，
∴O′B′=3，AO′=3，
∴B′的坐标为（﹣4，﹣3）或（2，3）．
故答案为：（﹣4，﹣3）或（2，3）．
【分析】首先解得点A和点B的坐标，再利用位似变换可得结果．
20．（2020九下·镇江月考）在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，△DOE的面积是2，△DOA的面积 ．
【答案】4
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
又∵E为CD的中点，
∴DE=CD=AB，
∵AB∥DE，
∴△DOE∽△BOA，
∴，
∴BO=2DO，S△DOE：S△BOA=1:4，
∴S△BOA=8，
又∵BO=2DO，
∴S△BOA=2S△DOA，
∴S△DOA=S△BOA=4.
故答案为：4.
【分析】利用平行四边形的性质可得，AB∥CD，AB=CD，根据AB∥DE，得出△DOE∽△BOA，由相似三角形面积比等于相似比的平方得出S△DOE：S△BOA=1:4，即S△BOA=8，再根据△ABO和△ADO等高，底之比为2:1，所以面积之比也为2:1，进而求出△DOA的面积.
三、解答题
21．在矩形ABCD中，F是BC上一点，AF的延长线交DC的延长线于G，DE⊥AG于E．根据上述条件，请在图中找出四组相似三角形，并说明其中一组的理由．
【答案】解：根据两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可解决本题．△GDE∽△ADC，△GDE∽△AED，△GCF∽△AGD．∵∠G=∠G，∠GCF=∠GDA，∴△GCF∽△GDA
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用矩形的性质及DE⊥AG，利用两个角对应相等的两个三角形是相似三角形可解决本题。
22．（2017九上·恩阳期中）如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于点E，交BC的延长线于点F.求证：△ABF∽△CAF.
【答案】证明：∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
∵EF垂直平分AD，
∴AF=DF，
∴∠FAD=∠FDA，
∵∠FAD=∠FAC+∠2，∠FDA=∠B+∠1，
∴∠B=∠FAC，
又∵∠AFB=∠CFA，
∴△ABF∽△CAF.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定。利用“AA”可以证出相似。
23．（2018九上·合肥期中）如图，△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从A开始沿AB边向B点以1cm/s的速度移动，到达点B时停止.点Q从点B开始沿BC边向C点以2cm/s的速度移动，到达点C时停止.如果P、Q分别从A、B同时出发，经几秒种△PBQ与△ABC相似？
【答案】解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，
则有AP=t，BQ=2t，BP=10-t
①当△BPQ∽△BAC时， 即 ，
解得：t=5,
②当△BPQ∽△BCA时，
= 即 = ，
解得：t=2,
综上所述，经过5秒或2秒时，△PBQ与△ABC相似.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似。用含t的代数式表示出线段AP、BQ、BP。在△PBQ与△ABC中，有一公共角∠B，根据相似三角形的判定方法”两边对应成比例且夹角相等“可得，若使△PBQ与△ABC相似，只需或，据此可解。
24．（2020·雁塔模拟）如图，小明欲测量一座古塔的高度，他拿出一根竹杆竖直插在地面上，然后自己退后，使眼睛通过竹杆的顶端刚好看到塔顶，若小明眼睛离地面1.5m，竹标顶端离地面2.4m，小明到竹杆的距离DF＝2m，竹杆到塔底的距离DB＝32m，求这座古塔的高度.
【答案】解：解：∵小明、竹杆、古塔均与地面垂直，EH⊥AB，
∴BH＝DG＝EF＝1.5m，EG＝DF GH＝DB，
∵小明眼睛离地面1.5m，竹杆顶端离地面2.4m，
∴CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.5＝0.9m，
∵CD∥AB，
∴△EGC～△EHA
∵DF＝2mDB＝32m，
∴ ，
即 ，
解得：AH＝15.3m，
∴AB＝AH+BH＝15.3+1.5＝16.8m，
答：古塔的高度是16.8m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 根据小明、竹杆、古塔均与地面垂直，EH⊥AB， 可得BH＝DG＝EF＝1.5m，EG＝DF，GH＝DB，由题意可得CG＝CD﹣EF＝2.4﹣1.5＝0.9m，由CD∥AB，可证△EGC～△EHA，利用相似三角形对应边成比例可求出AH的长，由AB＝AH+BH即可求出结论.
25．（2020九上·建湖期末）如图，小超想要测量窗外的路灯 的高度.星期天晚上，他发现灯光透过窗户照射在房间的地板上，窗户的最高点 落在地板 处、窗户的最低点落在地板是 处，小超测得窗户距地面的高度 ，窗高 ，并测得 ， .请根据以上测量数据，求窗外的路灯 的高度.
【答案】解： ，
，
,
,
设
，
∴
解得： ，经检验： 是原方程的解.
答：窗外的路灯 的高度是
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据QD=QA,可得∠DAQ=45°,证明 ，再证 ，再列比例式，设PH=x,解方程即可.
26．（2020·陕西模拟）为了测量路灯（OS）的高度，把一根长1.5米的竹竿（AB）竖直立在水平地面上，测得竹竿的影子（BC）长为1米，然后拿竹竿向远离路灯方向走了4米（BB′），再把竹竿竖立在地面上，测得竹竿的影长（B′C′）为1.8米，求路灯离地面的高度.
【答案】解：∵AB⊥OC′，OS⊥OC′，
∴SO∥AB，
∴△ABC∽△SOC，
∴ ＝ ，即 ，
解得OB＝ h﹣1①，
同理，∵A′B′⊥OC′，
∴△A′B′C′∽△SOC′，
∴ ， ②，
把①代入②得， ，
解得：h＝9（米）.
答：路灯离地面的高度是9米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】先根据AB⊥OC′，OS⊥OC′可知△ABC∽△SOC，同理可得△A′B′C′∽△SOC′，再由相似三角形的对应边成比例即可得出h的值.
27．（2020九下·碑林月考）如图，平台AB上有一棵直立的大树CD，平台的边缘B处有一棵直立的小树BE，平台边缘B外有一个向下的斜坡BG.小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度.一天，他发现大树的影子一部分落在平台CB上，一部分落在斜坡上，而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合，且都落在斜坡上的F处，经测量，CB长5 米，BF长2米，小树BE高1.8米，斜坡BG与平台AB所成的∠ABG＝150°.请你帮小明求出大树CD的高度.
【答案】解：延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，
∵∠ABG＝150°，BE⊥CB，
∴∠MBF＝150°﹣90°＝60°，
∴∠MFB＝30°，
∵BF的长为2米，
∴BM＝1米，MF＝ 米.
∵BE⊥CB，MF⊥BE，
∴BH∥MF，
∴△EBH∽△EMF，
∴ ＝ .
又∵EB＝1.8米，
∴ ＝ ，
∴BH＝ .
∵BE∥CD，
∴△HBE∽△HCD，
∴ ＝ .
∵CB＝5 ，
∴ ＝ ，
∴CD＝15.8米.
∴大树CD的高度为15.8米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】 延长CB交EF于点H，过点F作FM⊥EB的延长线于点M，首先判断出 △EBH∽△EMF， 根据相似三角形对应边成比例得出 ＝ ，根据比例式算出BH的长，再判断出 △HBE∽△HCD ，根据相似三角形的对应边成比例得出 ＝ ，由比例式即可算出CD的长.
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