初中数学苏科版九年级上册 2.2 圆的对称性 同步测试
一、单选题
1．下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。其中正确的命题有（ )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：（1）垂直于弦的直径平分弦，错误；（2）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，错误；（3）垂直于弦且平分弦的直线必过圆心，错误；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦．正确；
其中正确的命题有1个.
故答案为：A．
【分析】垂径定理及其推论有：垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直与弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧．根据这些定理即可判断。
2．（2020·衢州模拟）如图，在⊙O中， ＝ ，∠A＝40°，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．40° C．50° D．70°
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝ （180°﹣∠A）＝ ×（180°﹣40°）＝70°.
故答案为：D.
【分析】先利用等腰三角形的性质得∠B＝∠C，然后根据三角形内角和计算∠B的度数.
3．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2：3：4，则这个扇形圆心角的度数为（ ）
A．30°，60°，90° B．60°，120°，180°
C．50°，100°，150° D．80°，120°，160°
【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：设圆心角的度数分别为2x、3x、4x，
由题意得，2x+3x+4x=360°，
解得，x=40°，
则这三个扇形圆心角的度数为80°、120°、160°，
故答案为：D．
【分析】根据这三个扇形的圆心角的度数之比为2：3：4，而这三个角组成一个周角，可列方程求解。
4．（2020·西湖模拟）如图，已知点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，则∠BAD的度数是（ ）
A．36° B．48° C．72° D．96°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，
∴弧BD的度数为144度，
∴∠A＝72°.
故答案为：C.
【分析】根据圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半即可算出答案.
5．（2020·黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM＝ ＝ ＝8，
∴AB＝2AM＝16.
故答案为：C.
【分析】连接OA，先根据已知条件OM：OD＝3：5易求出OD及OM的长，再用勾股定理可求出AM的长，然后结合垂径定理可求解.
6．已知⊙O的半径是10cm， 是120°，那么弦AB的弦心距是（ ）
A．5cm B． cm C． cm D． cm
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵OC⊥AB，∴AC=CB.
在 和 中，
AC=BC，OA=OB
所以弦AB的弦心距是5cm.
故答案为：A.
【分析】由垂径定理可得AC=BC，用斜边直角边定理可证△OAC≌△OBC.根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可得∠AOB=120°，所以可得∠AOC=∠BOC=，由直角三角形的性质可得OC=OA即可求解。
7．如图，在⊙O中 = ，∠AOB=40°，则∠COD的度数（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = ，
∴∠AOB=∠COD，
∵∠AOB=40°，
∴∠COD=40°，
故答案为：B．
【分析】首先得到AB弧与CD弧相等，利用等弧所对的圆周角相等得到∠AOB=∠COD，即可选择正确选项．
8．（2020九下·合肥月考）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接AB、OA、OC，则CD=2，AB=8；设圆的半径为r。
利用圆和矩形的轴对称性可得：OC⊥AB
∴AD=AB=4 ，OD=r-2
在Rt△OAD中，OD2+AD2=OA2，即（r-2）2+42=r2，解得r=5
∴2r=10（cm）
故答案为：B.
【分析】利用垂径定理和勾股定理求解即可。
9．（2020九下·南召月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；
C.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴ 与 不一定相等，故本选项错误；
D.∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误。
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义得出∠BAC=∠DAC，在同圆中，根据相等的圆周角所对的弦相等即可得出BC=CD.
10．（2019九上·乌鲁木齐期末）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．2 cm B．4 cm
C．2 cm或4 cm D．2 cm或4 cm
【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】连接AC，AO，
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM= AB= ×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM= =3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC= cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5 3=2cm，
在Rt△AMC中,AC= cm.
故答案为：C.
【分析】连接AC，AO，由垂径定理可得AM= AB；由题意分两种情况求解：
①当C点在优弧AB上时，用勾股定理可求得OM的值，则CM=OC+OM，然后在三角形ACM中用勾股定理可求得AC的长；
②当C点在劣弧AB上时，用勾股定理可求得OM的值，则CM=OC-OM，然后在三角形ACM中用勾股定理可求得AC的长。
二、填空题
11．（2020九上·昌平期末）过圆内的一点(非圆心)有 条弦，有 条直径．
【答案】无数；一
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径．
故答案为：无数，1．
【分析】根据弦和直径的定义求解．
12．（2019九上·温州月考）已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为 度。
【答案】60
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，
AB所对的圆心角度数为：
故答案为：60.
【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分， 根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为圆周的.
13．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为 ．
【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=OA=OB，∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故答案为60°．
【分析】先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦AB所对的圆心角．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．则 的度数为 ．
【答案】34°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接CD，
∵∠C=90°，∠B=28°，
∴∠A=62°，
∵CA=CD，
∴∠CDA=∠A=62°，
∴∠ACD=56°，
∴∠CDE=90°﹣56°=34°，
∴ 的度数为34°，
故答案为：34°．
【分析】连接CD，根据三角形内角和定理求出∠A，根据等腰三角形的性质求出∠CDA，求出∠CDE即可．
15．（2020·金昌模拟）如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA＝13，水面宽AB＝24，则水的深度CD是 .
【答案】8
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径OA＝13，水面宽AB＝24，OD⊥AB，
∴OD＝OA＝13，AC＝ AB＝12，
在Rt△AOC中，OC＝ ＝ ＝5，
∴CD＝OD﹣OC＝13﹣5＝8.
故答案为：8.
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再根据勾股定理求出OC的长，根据CD＝OD﹣OC即可得出结论.
16．（2020·湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是 .
【答案】3
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：过点 作 于 ，连接 ，如图，
则 ，
在 中， ，
所以 与 之间的距离是3.
故答案为3.
【分析】过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，利用垂径定理求出CH的长，再利用勾股定理求出OH的长。
17．如图，AB为⊙O直径，E是BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC= ．
【答案】8
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】可以判定OD垂直平分BC，所以根据勾股定理可以得到OD=4，在三角形ABC中OD为中位线，所以AC=8.
【分析】此题考查了圆心角、弧、弦、垂径定理，中位线知识.
18．如图，MN是⊙O的直径，MN=8，∠AMN=20°，点B为弧 的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为 ．
【答案】4
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴ = ，
∵∠AMN=20°，
∴∠A′ON=40°，∠BON=20°，
∴∠A′OB=60°，
∴△A′OB是等边三角形，
∴A′B= MN=4，即PA+PB的最小值4．
故答案为：4．
【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知 = ，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．
三、解答题
19．（2019九上·西城期中）如图，⊙O中， ，∠C＝75°，求∠A的度数．
【答案】解：∵⊙O中， ，∠C＝75°， ∴∠B＝∠C＝75°， ∴∠A＝180°﹣75°×2＝30°．
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据同圆或等圆中等弧所对圆周角相等，得出∠B＝∠C＝75°，再利用三角形内角和定理求出即可．
20．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．
【答案】证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，
则AM=BM．
又∵OE=OF
∴EM=FM，
∴AE=BF．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】
作OM⊥AB后利用垂径定理和等腰三角形三线合一的性质即可得证。
21．（2018九上·金华期中）已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD．
【答案】证明：∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB－∠COB=∠COD－∠COB，∴∠AOC=∠BOD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，可得出∠AOB=∠COD，再证明∠AOC=∠BOD即可。
22．（2020九上·奉化期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN=4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施。
【答案】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连结OA，OA'，如图所示
设半径为x(m)则OA=OA’=OP=x(m)
由垂径定理可知AM=BM A’N=B’N
∵AB=60m，∴AM=30m，且OM=OP-PM=(x-18)m
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2
即x2=(x-18)2+302，解得x=34
∴ON=OP-PN=34-4=30（m)
在△A'ON中，由勾股定理可得
A'N= = =16(m)
A'B'=32m>30m
∴不需要采取紧急措施。
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】 设圆弧所在圆的圆心为O，半径为x， 连结OA，OA'，利用垂径定理求出AM的长，结合已知量把QM用含x的代数式表示，在Rt△AMQ中，利用勾股定理列式求出x， 于是在Rt△A'ON中，由勾股定理列式可求A'N的长，则A'B'长可求，最后和30m作比较，可得判断.
1 / 1初中数学苏科版九年级上册 2.2 圆的对称性 同步测试
一、单选题
1．下列命题：（1）垂直于弦的直线平分弦；（2）平分弦的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦的直线必过圆心；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦。其中正确的命题有（ )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2020·衢州模拟）如图，在⊙O中， ＝ ，∠A＝40°，则∠B的度数是（ ）
A．60° B．40° C．50° D．70°
3．将一个圆分割成三个扇形，它们的圆心角的度数之比为2：3：4，则这个扇形圆心角的度数为（ ）
A．30°，60°，90° B．60°，120°，180°
C．50°，100°，150° D．80°，120°，160°
4．（2020·西湖模拟）如图，已知点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，则∠BAD的度数是（ ）
A．36° B．48° C．72° D．96°
5．（2020·黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
6．已知⊙O的半径是10cm， 是120°，那么弦AB的弦心距是（ ）
A．5cm B． cm C． cm D． cm
7．如图，在⊙O中 = ，∠AOB=40°，则∠COD的度数（ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
8．（2020九下·合肥月考）为了测量一个铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得的有关数据如图所示（单位：cm），则该铁球的直径为（ ）
A．12cm B．10cm C．8cm D．6cm
9．（2020九下·南召月考）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC平分∠BAD，则下列结论正确的是（ ）
A．AB=AD B．BC=CD C． D．∠BCA=∠DCA
10．（2019九上·乌鲁木齐期末）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为（ ）
A．2 cm B．4 cm
C．2 cm或4 cm D．2 cm或4 cm
二、填空题
11．（2020九上·昌平期末）过圆内的一点(非圆心)有 条弦，有 条直径．
12．（2019九上·温州月考）已知弦AB把圆周分成1：5的两部分，则弦AB所对的圆心角的度数为 度。
13．在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为 ．
14．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=28°，以C为圆心，CA为半径的圆交AB于点D，交BC与点E．则 的度数为 ．
15．（2020·金昌模拟）如图是一圆形水管的截面图，已知⊙O的半径OA＝13，水面宽AB＝24，则水的深度CD是 .
16．（2020·湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则CD与AB之间的距离是 .
17．如图，AB为⊙O直径，E是BC中点，OE交BC于点D，BD=3，AB=10，则AC= ．
18．如图，MN是⊙O的直径，MN=8，∠AMN=20°，点B为弧 的中点，点P是直径MN上的一个动点，则PA+PB的最小值为 ．
三、解答题
19．（2019九上·西城期中）如图，⊙O中， ，∠C＝75°，求∠A的度数．
20．已知：如图，AB是⊙O的弦，半径OC、OD分别交AB于点E、F，且OE=OF．求证：AE=BF．
21．（2018九上·金华期中）已知：如图，A，B，C，D是⊙O上的点，且AB=CD，求证：∠AOC=∠BOD．
22．（2020九上·奉化期末）如图，在一座圆弧形拱桥，它的跨度AB为60m，拱高PM为18m，当洪水泛滥到跨度只有30m时，就要采取紧急措施，若某次洪水中，拱顶离水面只有4m，即PN=4m时，试通过计算说明是否需要采取紧急措施。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：（1）垂直于弦的直径平分弦，错误；（2）平分弦（不是直径）的直径必垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，错误；（3）垂直于弦且平分弦的直线必过圆心，错误；（4）弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦．正确；
其中正确的命题有1个.
故答案为：A．
【分析】垂径定理及其推论有：垂直与弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧；连接弦所对的两条弧的中点的直线垂直与弦，且经过圆心；垂直平分弦的直线必过圆心，且平分弦所对的弧．根据这些定理即可判断。
2．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ ，
∴AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠B＝ （180°﹣∠A）＝ ×（180°﹣40°）＝70°.
故答案为：D.
【分析】先利用等腰三角形的性质得∠B＝∠C，然后根据三角形内角和计算∠B的度数.
3．【答案】D
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：设圆心角的度数分别为2x、3x、4x，
由题意得，2x+3x+4x=360°，
解得，x=40°，
则这三个扇形圆心角的度数为80°、120°、160°，
故答案为：D．
【分析】根据这三个扇形的圆心角的度数之比为2：3：4，而这三个角组成一个周角，可列方程求解。
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵点A，B，C，D，E是⊙O的五等分点，
∴弧BD的度数为144度，
∴∠A＝72°.
故答案为：C.
【分析】根据圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半即可算出答案.
5．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM＝ ＝ ＝8，
∴AB＝2AM＝16.
故答案为：C.
【分析】连接OA，先根据已知条件OM：OD＝3：5易求出OD及OM的长，再用勾股定理可求出AM的长，然后结合垂径定理可求解.
6．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】∵OC⊥AB，∴AC=CB.
在 和 中，
AC=BC，OA=OB
所以弦AB的弦心距是5cm.
故答案为：A.
【分析】由垂径定理可得AC=BC，用斜边直角边定理可证△OAC≌△OBC.根据圆心角、弦、弧之间的关系定理可得∠AOB=120°，所以可得∠AOC=∠BOC=，由直角三角形的性质可得OC=OA即可求解。
7．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：∵ = ，
∴ = ，
∴∠AOB=∠COD，
∵∠AOB=40°，
∴∠COD=40°，
故答案为：B．
【分析】首先得到AB弧与CD弧相等，利用等弧所对的圆周角相等得到∠AOB=∠COD，即可选择正确选项．
8．【答案】B
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：如图，连接AB、OA、OC，则CD=2，AB=8；设圆的半径为r。
利用圆和矩形的轴对称性可得：OC⊥AB
∴AD=AB=4 ，OD=r-2
在Rt△OAD中，OD2+AD2=OA2，即（r-2）2+42=r2，解得r=5
∴2r=10（cm）
故答案为：B.
【分析】利用垂径定理和勾股定理求解即可。
9．【答案】B
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：A.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定，∴AB与AD不一定相等，故本选项错误；
B.∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC，∴BC=CD，故本选项正确；
C.∵∠ACB与∠ACD的大小关系不确定,∴ 与 不一定相等，故本选项错误；
D.∠BCA与∠DCA的大小关系不确定，故本选项错误。
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义得出∠BAC=∠DAC，在同圆中，根据相等的圆周角所对的弦相等即可得出BC=CD.
10．【答案】C
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】连接AC，AO，
∵O的直径CD=10cm，AB⊥CD，AB=8cm，
∴AM= AB= ×8=4cm,OD=OC=5cm,
当C点位置如图1所示时，
∵OA=5cm，AM=4cm，CD⊥AB，
∴OM= =3cm，
∴CM=OC+OM=5+3=8cm，
∴AC= cm；
当C点位置如图2所示时，同理可得OM=3cm，
∵OC=5cm，
∴MC=5 3=2cm，
在Rt△AMC中,AC= cm.
故答案为：C.
【分析】连接AC，AO，由垂径定理可得AM= AB；由题意分两种情况求解：
①当C点在优弧AB上时，用勾股定理可求得OM的值，则CM=OC+OM，然后在三角形ACM中用勾股定理可求得AC的长；
②当C点在劣弧AB上时，用勾股定理可求得OM的值，则CM=OC-OM，然后在三角形ACM中用勾股定理可求得AC的长。
11．【答案】无数；一
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】过圆内一点（非圆心）有无数条弦，有1条直径．
故答案为：无数，1．
【分析】根据弦和直径的定义求解．
12．【答案】60
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解： ∵弦AB把圆周分成1：5的两部分，
AB所对的圆心角度数为：
故答案为：60.
【分析】由于弦AB把圆周分成1：5的两部分， 根据圆心角、弧、弦的关系得到弦AB所对的圆心角为圆周的.
13．【答案】60°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：如图，
∵AB=OA=OB，∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB=60°，
故答案为60°．
【分析】先画图，由等边三角形的判定和性质求得弦AB所对的圆心角．
14．【答案】34°
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：连接CD，
∵∠C=90°，∠B=28°，
∴∠A=62°，
∵CA=CD，
∴∠CDA=∠A=62°，
∴∠ACD=56°，
∴∠CDE=90°﹣56°=34°，
∴ 的度数为34°，
故答案为：34°．
【分析】连接CD，根据三角形内角和定理求出∠A，根据等腰三角形的性质求出∠CDA，求出∠CDE即可．
15．【答案】8
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：∵⊙O的半径OA＝13，水面宽AB＝24，OD⊥AB，
∴OD＝OA＝13，AC＝ AB＝12，
在Rt△AOC中，OC＝ ＝ ＝5，
∴CD＝OD﹣OC＝13﹣5＝8.
故答案为：8.
【分析】先根据垂径定理求出AC的长，再根据勾股定理求出OC的长，根据CD＝OD﹣OC即可得出结论.
16．【答案】3
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】解：过点 作 于 ，连接 ，如图，
则 ，
在 中， ，
所以 与 之间的距离是3.
故答案为3.
【分析】过点O作OH⊥CD于点H，连接OC，利用垂径定理求出CH的长，再利用勾股定理求出OH的长。
17．【答案】8
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；三角形的中位线定理
【解析】【解答】可以判定OD垂直平分BC，所以根据勾股定理可以得到OD=4，在三角形ABC中OD为中位线，所以AC=8.
【分析】此题考查了圆心角、弧、弦、垂径定理，中位线知识.
18．【答案】4
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，
连接OB，OA′，AA′，
∵AA′关于直线MN对称，
∴ = ，
∵∠AMN=20°，
∴∠A′ON=40°，∠BON=20°，
∴∠A′OB=60°，
∴△A′OB是等边三角形，
∴A′B= MN=4，即PA+PB的最小值4．
故答案为：4．
【分析】过A作关于直线MN的对称点A′，连接A′B，由轴对称的性质可知A′B即为PA+PB的最小值，由对称的性质可知 = ，再由圆周角定理可求出∠A′ON的度数，再由勾股定理即可求解．
19．【答案】解：∵⊙O中， ，∠C＝75°， ∴∠B＝∠C＝75°， ∴∠A＝180°﹣75°×2＝30°．
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据同圆或等圆中等弧所对圆周角相等，得出∠B＝∠C＝75°，再利用三角形内角和定理求出即可．
20．【答案】证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，
则AM=BM．
又∵OE=OF
∴EM=FM，
∴AE=BF．
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】
作OM⊥AB后利用垂径定理和等腰三角形三线合一的性质即可得证。
21．【答案】证明：∵AB=CD，∴∠AOB=∠COD，∴∠AOB－∠COB=∠COD－∠COB，∴∠AOC=∠BOD
【知识点】圆心角、弧、弦的关系
【解析】【分析】根据圆心角、弧、弦的关系定理，可得出∠AOB=∠COD，再证明∠AOC=∠BOD即可。
22．【答案】解：设圆弧所在圆的圆心为O，连结OA，OA'，如图所示
设半径为x(m)则OA=OA’=OP=x(m)
由垂径定理可知AM=BM A’N=B’N
∵AB=60m，∴AM=30m，且OM=OP-PM=(x-18)m
在Rt△AOM中，由勾股定理可得AO2=OM2+AM2
即x2=(x-18)2+302，解得x=34
∴ON=OP-PN=34-4=30（m)
在△A'ON中，由勾股定理可得
A'N= = =16(m)
A'B'=32m>30m
∴不需要采取紧急措施。
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【分析】 设圆弧所在圆的圆心为O，半径为x， 连结OA，OA'，利用垂径定理求出AM的长，结合已知量把QM用含x的代数式表示，在Rt△AMQ中，利用勾股定理列式求出x， 于是在Rt△A'ON中，由勾股定理列式可求A'N的长，则A'B'长可求，最后和30m作比较，可得判断.
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