初中数学北师大版七年级下学期 第一章 1.6 完全平方公式
一、单选题
1．（2020七下·张家界期末）下列各式中，与 相等的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·枣庄）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020七下·兴化期中）若 ， ，那么 值等于（ ）
A．5200 B．1484 C．5804 D．9904
4．（2019七下·全椒期末）已知a+b=-5，ab=-4，则a2-ab+b2的值是（ ）
A．37 B．33 C．29 D．21
5．（2020八上·射洪期中）如果 是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．7 B．-7 C．-5或7 D．-5或5
6．（2020八上·永定期中）已知 ，则 的值是（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
二、填空题
7．（2020·武侯模拟）当x＝﹣1时，ax﹣b+1的值为3，则（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）的值为 ．
8．（2020七下·萧山期末）已知 ，则代数式 的值为 .
9．（2020八上·重庆开学考）已知 ， ，则 .
10．（2020七下·深圳期中）若（7x﹣a）2=49x2﹣bx+9，则|a+b|的值为 .
11．（2020七下·顺德月考）已知 ，则 的值是 ．
12．（2020八下·张掖期中）若一个正方形的面积是9m2+24mn+16n2，则这个正方形的边长是 .
三、计算题
13．（2020八上·周口期中）如果 ，求 的值.
14．（2020七下·江都期中）若 、 满足 ， ，求下列各式的值.
（1） ；
（2） ；
（3）x-y.
15．（2020七下·徐州期中）已知
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值.
四、解答题
16．（浙教版2019年数学中考模拟试卷9）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.
方案二：
方案三：
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（a-1）2=a2-2a+1，
∴与（a-1）2相等的是B，
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公式求出（a-1）2=a2-2a+1，即可选出答案．
2．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意可得，正方形的边长为，故正方形的面积为 ，
又∵原矩形的面积为 ，
∴中间空的部分的面积= .
故答案为：C.
【分析】根据矩形和正方形的面积公式分别表示出原矩形和所拼成的正方形的面积，用拼成正方形的面积减去矩形的面积即为中间空的部分的面积.
3．【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】先对 两边平方，再展开，代入数值计算即可得到答案.
4．【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=-5，ab=-4，
∴a2-ab+b2=（a+b）2-3ab=（-5）2-3×（-4）=37，
故答案为：A．
【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．
5．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2+（m-1）x+9是一个完全平方式，
∴（m-1）x=±2 x 3，
∴m-1=±6，
∴m=-5或7，
故答案为：C．
【分析】根据完全平方式的含义，即可得到m的值。
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： = =32．
故答案为：C．
【分析】根据题意，由完全平方公式，将式子化简变形，求出答案即可。
7．【答案】-9
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：把x＝﹣1代入得：﹣a﹣b+1＝3，即﹣a﹣b＝2，
整理得：a+b＝﹣2，
则原式＝[（a+b）﹣1][1﹣（a+b）]
＝﹣[（a+b）﹣1]2
＝﹣（﹣2﹣1）2
＝﹣（﹣3）2
＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【分析】把x＝﹣1代入代数式，使其值为3求出a+b的值，原式变形后代入计算即可求出值．
8．【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：2.
【分析】观察原式可知，所求代数式符合完全平方公式的特征，所以根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”可得原式=（x-1）2,再把x的值代入计算即可求解.
9．【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ， ，
.
故答案为：6.
【分析】代数式利用完全平方公式展开后，整体代入求解即可.
10．【答案】45
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（7x﹣a）2=49x2﹣bx+9，
∴49x2﹣14ax+a2=49x2﹣bx+9，
∴﹣14a=﹣b，a2=9， 解得 a=3，b=42或a=﹣3，b=﹣42．
当a=3，b=42时，|a+b|=|3+42|=45；
当a=﹣3，b=﹣42时，|a+b|=|﹣3﹣42|=45．
【分析】先将原式化为49x2﹣14ax+a2=49x2﹣bx+9，再根据各未知数的系数对应相等列出关于a、b的方程组，求出a、b的值代入即可．
11．【答案】27
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：把 两边平方得： ，
则 ，
∴ ，
故答案为：27．
【分析】把 两边平方，利用完全平方公式化简即可．
12．【答案】3m+4n
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴这个正方形的边长是 ，
故答案为： .
【分析】根据因式分解把9m2+24mn+16n2，变成完全平方形式，即可求出边长.
13．【答案】解：由 可得x-y=-2，
∵ ，∴原式= .
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】先对已知条件进行变形得到x-y=-2，再对所求代数式变形得到 ，最后把 （x-y）的值整体代入即可得到解答.
14．【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ；
（2）解： ；
（3）解：∵ ，
∴
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）原式利用完全平方公式展开，将各自的值代入计算即可求出值；（2）所求式子利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值；（3）先按（1）的方法求 的值，再开平方根即可得解.
15．【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
即： ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ = = ；
（3）解：∵ ，
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）首先将 两边同时平方，然后进一步结合 进行求解即可；（2）首先将 去掉括号，得到 ，然后进一步代入求值即可；（3）首先利用完全平方公式将原式去掉括号，得到 ，然后结合（1）中的结果进一步加以计算即可.
16．【答案】解：由题意可得，
方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，
方案三：a2+ ＝ ＝a2+2ab+b2＝（a+b）2.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】方案二：利用割补法表示图形的面积为 a2+ab+（a+b）b然后去括号，合并同类项化为最简形式；正方形的边长为（a+b），然后根据正方形的面积等于边长的平方得出 （a+b）2， 根据用两种不同的方法表示同一个图形的面积，这两个式子的值相等即可得出 a2+2ab+b2＝（a+b）2；
方案三：利用割补法表示图形的面积为 a2+ 然后去括号，合并同类项化为最简形式；正方形的边长为（a+b），然后根据正方形的面积等于边长的平方得出 （a+b）2， 根据用两种不同的方法表示同一个图形的面积，这两个式子的值相等即可得出 a2+2ab+b2＝（a+b）2。
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一、单选题
1．（2020七下·张家界期末）下列各式中，与 相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（a-1）2=a2-2a+1，
∴与（a-1）2相等的是B，
故答案为：B．
【分析】根据完全平方公式求出（a-1）2=a2-2a+1，即可选出答案．
2．（2020·枣庄）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【解答】解：由题意可得，正方形的边长为，故正方形的面积为 ，
又∵原矩形的面积为 ，
∴中间空的部分的面积= .
故答案为：C.
【分析】根据矩形和正方形的面积公式分别表示出原矩形和所拼成的正方形的面积，用拼成正方形的面积减去矩形的面积即为中间空的部分的面积.
3．（2020七下·兴化期中）若 ， ，那么 值等于（ ）
A．5200 B．1484 C．5804 D．9904
【答案】D
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】先对 两边平方，再展开，代入数值计算即可得到答案.
4．（2019七下·全椒期末）已知a+b=-5，ab=-4，则a2-ab+b2的值是（ ）
A．37 B．33 C．29 D．21
【答案】A
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵a+b=-5，ab=-4，
∴a2-ab+b2=（a+b）2-3ab=（-5）2-3×（-4）=37，
故答案为：A．
【分析】先根据完全平方公式进行变形，再代入求出即可．
5．（2020八上·射洪期中）如果 是一个完全平方式，那么m的值是（ ）
A．7 B．-7 C．-5或7 D．-5或5
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵x2+（m-1）x+9是一个完全平方式，
∴（m-1）x=±2 x 3，
∴m-1=±6，
∴m=-5或7，
故答案为：C．
【分析】根据完全平方式的含义，即可得到m的值。
6．（2020八上·永定期中）已知 ，则 的值是（ ）
A．28 B．30 C．32 D．34
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： = =32．
故答案为：C．
【分析】根据题意，由完全平方公式，将式子化简变形，求出答案即可。
二、填空题
7．（2020·武侯模拟）当x＝﹣1时，ax﹣b+1的值为3，则（a+b﹣1）（1﹣a﹣b）的值为 ．
【答案】-9
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：把x＝﹣1代入得：﹣a﹣b+1＝3，即﹣a﹣b＝2，
整理得：a+b＝﹣2，
则原式＝[（a+b）﹣1][1﹣（a+b）]
＝﹣[（a+b）﹣1]2
＝﹣（﹣2﹣1）2
＝﹣（﹣3）2
＝﹣9．
故答案为：﹣9．
【分析】把x＝﹣1代入代数式，使其值为3求出a+b的值，原式变形后代入计算即可求出值．
8．（2020七下·萧山期末）已知 ，则代数式 的值为 .
【答案】2
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ，
，
故答案为：2.
【分析】观察原式可知，所求代数式符合完全平方公式的特征，所以根据完全平方公式“a2-2ab+b2=(a-b)2”可得原式=（x-1）2,再把x的值代入计算即可求解.
9．（2020八上·重庆开学考）已知 ， ，则 .
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解： ， ，
.
故答案为：6.
【分析】代数式利用完全平方公式展开后，整体代入求解即可.
10．（2020七下·深圳期中）若（7x﹣a）2=49x2﹣bx+9，则|a+b|的值为 .
【答案】45
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵（7x﹣a）2=49x2﹣bx+9，
∴49x2﹣14ax+a2=49x2﹣bx+9，
∴﹣14a=﹣b，a2=9， 解得 a=3，b=42或a=﹣3，b=﹣42．
当a=3，b=42时，|a+b|=|3+42|=45；
当a=﹣3，b=﹣42时，|a+b|=|﹣3﹣42|=45．
【分析】先将原式化为49x2﹣14ax+a2=49x2﹣bx+9，再根据各未知数的系数对应相等列出关于a、b的方程组，求出a、b的值代入即可．
11．（2020七下·顺德月考）已知 ，则 的值是 ．
【答案】27
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：把 两边平方得： ，
则 ，
∴ ，
故答案为：27．
【分析】把 两边平方，利用完全平方公式化简即可．
12．（2020八下·张掖期中）若一个正方形的面积是9m2+24mn+16n2，则这个正方形的边长是 .
【答案】3m+4n
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴这个正方形的边长是 ，
故答案为： .
【分析】根据因式分解把9m2+24mn+16n2，变成完全平方形式，即可求出边长.
三、计算题
13．（2020八上·周口期中）如果 ，求 的值.
【答案】解：由 可得x-y=-2，
∵ ，∴原式= .
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】先对已知条件进行变形得到x-y=-2，再对所求代数式变形得到 ，最后把 （x-y）的值整体代入即可得到解答.
14．（2020七下·江都期中）若 、 满足 ， ，求下列各式的值.
（1） ；
（2） ；
（3）x-y.
【答案】（1）解：∵ ， ，
∴ ；
（2）解： ；
（3）解：∵ ，
∴
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）原式利用完全平方公式展开，将各自的值代入计算即可求出值；（2）所求式子利用完全平方公式变形，将各自的值代入计算即可求出值；（3）先按（1）的方法求 的值，再开平方根即可得解.
15．（2020七下·徐州期中）已知
（1）求 的值；
（2）求 的值；
（3）求 的值.
【答案】（1）解：∵ ，
∴ ，
即： ，
又∵ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ = = ；
（3）解：∵ ，
∴ .
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【分析】（1）首先将 两边同时平方，然后进一步结合 进行求解即可；（2）首先将 去掉括号，得到 ，然后进一步代入求值即可；（3）首先利用完全平方公式将原式去掉括号，得到 ，然后结合（1）中的结果进一步加以计算即可.
四、解答题
16．（浙教版2019年数学中考模拟试卷9）有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图所示的三种方案：
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝（a+b）2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.
方案二：
方案三：
【答案】解：由题意可得，
方案二：a2+ab+（a+b）b＝a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝（a+b）2，
方案三：a2+ ＝ ＝a2+2ab+b2＝（a+b）2.
【知识点】完全平方公式的几何背景
【解析】【分析】方案二：利用割补法表示图形的面积为 a2+ab+（a+b）b然后去括号，合并同类项化为最简形式；正方形的边长为（a+b），然后根据正方形的面积等于边长的平方得出 （a+b）2， 根据用两种不同的方法表示同一个图形的面积，这两个式子的值相等即可得出 a2+2ab+b2＝（a+b）2；
方案三：利用割补法表示图形的面积为 a2+ 然后去括号，合并同类项化为最简形式；正方形的边长为（a+b），然后根据正方形的面积等于边长的平方得出 （a+b）2， 根据用两种不同的方法表示同一个图形的面积，这两个式子的值相等即可得出 a2+2ab+b2＝（a+b）2。
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