第一课时 角的概念的推广(一)
教学目标：
推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法；理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.
教学重点：
理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.
教学难点：
终边相同的角的表示.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
有一块以点O为圆心的半圆空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另两点B、C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，如何选择关于点O对称的点A、D的位置，可以使矩形ABCD的面积最大?
分析：设OA＝t（0＜t＜a)，矩形的面积为S，则S＝２t，求S的最值即可.
将S＝2t两边平方，得S2＝4t2（a2－t2）.令y＝S2，x＝t2，则上式化为y＝4x（a2－x）， 是以x为自变量的二次函数，其最值不难求得.
这种转化的方法，是一种常用的解题策略，同学们要切记并灵活运用，且将此问题的解求出来，不过请同学们注意，求出的y的最值是不是就是矩形面积的最值呢？相应的x的值是不是就是A、D的位置呢?
不是.求出y与x的值后，还须进一步确定S、t的值，才能确定A、D的位置.因为y、x、S、t都是正数，根据y与S的关系、x与t的关系，容易确定S、t的值.
分析二：设矩形的面积为S，∠AOB＝θ（0°＜θ＜90°），则AB＝asinθ，
OA＝acosθ，S＝asinθ·2acosθ＝a2·2sinθcosθ.求S的最值即可.
这个函数式的最值我们会求!但现在还不行，待我们再学习一些基础知识之后，这个问题便可迎刃而解，并且这个办法比法一要简便的多，下面我们就来学习、研究与我们生活密切相关的、解决问题十分便利的、并且在各门科学技术中有着广泛应用的重要的基础知识(板书课题).
Ⅱ.讲授新课
我们知道，角可以看作平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形，在P5图中，一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，形成了一个角α，点O是角的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边和终边.
我们规定：一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.
为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”.
体操中转体720°(即转体两周).转体1080°(即转体三周)的动作名称；紧固螺丝时，扳手旋转所形成的角.
［师］这就是说角度可以不限于0°～３60°范围内，如750°(它实际上是射线OA绕端点O逆时针转过两圈再继续逆时针转了30°)；210°(射线OA绕端点O逆时针旋转了210°)，负角β＝－150°(射线OA绕端点O顺时针旋转了150°)，γ＝－660°(射线OA绕端点O顺时针转过一圈后再继续顺时针转了300°).
如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角，也就是说，零角的始边与终边重合，如果α是零角，那么α＝0°.
角的概念经过这样推广后，就包括正角、负角、零角.
今后，我们常在直角坐标系内讨论角，为此，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.
例如30°、390°、－330°都是第一象限角， 300°、－60°都是第四象限角，585°角是第三象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任一象限，称为轴线角.
在直角坐标系内，使三角板角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，之后，提问学生这是第几象限的角，是多少度的角，我们能否把这些角用一个集合表示出来呢?比如说，我们把这些角记为β，把β的集合记为S，那么S可以怎样表示呢?
S＝｛β｜β＝k·360°＋60°，k∈Z｝
容易看出，所有与60°角终边相同的角，连同60°角在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任一元素，即集合S中的任意一个角显然与60°角终边相同.
我们再来考虑一下，是不是任意一个角，都与0°到360°内的某一个角终边相同呢?
任意一个角都可以表示成0°到360°间的某一角与k（k∈Z）个周角的和，那么大家再看一下，角390°、－330°、585°、－60°它们分别与0°到360°间的哪个角终边相同，用0°到360°的角表示它们该怎样表示呢?
［生］390°＝360°＋30°
－330°＝－360°＋30°
585°＝360°＋225°
－60°＝－360°＋300°
［师］一般地，我们有：
所有与角α终边相同的角，连同角α在内可构成一个集合
S＝｛β｜β＝k·360°＋α，k∈Z｝
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和.
Ⅲ.例题分析
［例1］在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
(1)－120° （2）240° （3）－950°12′
解：(1)－120°＝－360°＋240°
所以与－120°角终边相同的角是240°角，它是第三象限角.
(2)640°＝360°＋280°
所以与640°角终边相同的角是280°角，它是第四象限角.
(3)－950°12′＝（－3）×360°＋129°48′
所以与－950°12′终边相同的角是129°48′，它是第二象限角.
Ⅳ.课堂练习
P7练习 1、2、3、4.
Ⅴ.课时小结
为了解决实际问题的需要，本节课我们开始学习数学学科中的一门基础知识：三角函数.本节课我们学习推广了角的概念，学习了正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法，注意：正角、负角是用射线绕端点的旋转方向定义的，零角是射线没有做任何旋转.一个角是第几象限角，关键是看这个角的终边落在第几象限，终边相同的角的表示有两方面的内容：
一、与角α终边相同的角，这些角的集合为S＝｛β｜β＝k·360°＋α，k∈Z｝；
二、在0°到360°内找与已知角终边相同的角α，其方法是，用所给角除以360°，所得的商为k，余数为α(α为正数)，α即为所找的角.
Ⅵ.课后作业
（一）P10习题1.1 1、2、5、10.
（二）预习内容：课本P6例2
角的概念的推广(一)
1．下列命题中的真命题是 （ ）
A.三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B.第一象限的角是锐角
C.第二象限的角比第一象限的角大 D.角α是第四象限角2kπ－＜α＜2π(k∈Z)
2．A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，则A∩B等于 （ ）
A.{小于90°的角} B.{第一象限的角}
C.{锐角} D.以上都不对
3．已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，下列四个命题：①A＝B＝C ②AC ③CA ④A∩C＝B，其中正确的命题个数为 （ ）
A.0个 B.2个 C.3个 D.4个
4．若α是第一象限角，则下列各角中第四象限角的是 （ ）
A.90°－α B.90°+α C.360°－α D.180°+α
5．若－540°＜α＜－180°且α与40°角的终边相同，则α＝ .
6．终边落在x轴负半轴的角α的集合为 .
7．与－1178°的终边相同且绝对值最小的角是 .
8．经过5小时25分钟，时钟的时针和分针各转了多少度？
9．求－720°和360°之间与－756°角终边相同的角.
10．求与－1692°终边相同的最大负角是多少？
角的概念的推广(一)答案
1．D 2．D 3．A 4．C 5．－320° 6．180°＋ k·360°（k∈Z） 7．－98°
8．分析：依据已知条件先求出时针和分针每小时转动的角度，进而求出问题的结果.
解：∵时针12小时转－360°，
∴时针每小时转－360°÷12＝－30°.
∴时针转动的角度为：5·（－30°)＝－162.5°，
∵分针每小时转－360°，∴分针转动的角度为
5·（－360°)＝－1950°
9．分析：依据已知条件先写出终边相同的角的一般形式，再通过解不等式求出k的值.
解：∵－765°＝－2×360°－36°
∴与－765°角终边相同的角为
α＝k·360°－36°（k∈Z)(*)
∴－720°＜k·360°－36°＜360°（k∈Z）.
∴－＜k＜ (k∈Z）
∴k＝－1，0，1
分别代入（*）式得
α＝－396°，－36°，324°
∴－396°，－36°，324°为所求的角.
10．与－1692°终边相同的角为α＝－1692°+k·360°，k∈Z，当k＝4时，
取得最大负角－252°.
第二课时 角的概念的推广(二)
教学目标：
熟练掌握象限角的集合、轴线角的集合及终边相同的角的表示方法.
教学重点：
轴线角的集合，终边相同的角的表示方法
教学难点：
终边相同的角的表示方法
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
请思考并回答以下问题：
1.正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的表示方法是如何定义的？
2.角的定义只强调了射线绕端点旋转的方向，而没有谈及射线绕端点旋转的圈数，那么射线绕端点旋转的圈数对角有无影响？
3.能否说射线绕端点旋转的圈数越多，角就越大呢？
4.如图所示的∠ABC是第一象限角吗？为什么？
指出：①在角的定义里，射线绕端点旋转的圈数影响着角的
大小.②射线绕端点旋转的方向，若是逆时针方向旋转，则旋转圈
数越多，角越大；若顺时针方向旋转，则旋转圈数越多，角越小.③象限角概念中强调“角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合”这一条件.
Ⅱ.例题分析
［例1］写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示)
第一步：在0°到360°内找到满足上述条件的角，即90°、270°.
第二步：写出与上述角终边相同的角的集合，即
S1＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}
S2＝{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}
第三步：写出几个集合的并集，即
S＝S1∪S2＝{β|β＝90°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝270°＋k·360°，k∈Z}
＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)· 180°，k∈Z}
＝{β|β＝90°＋180°的偶数倍}∪{β|β＝90°＋180°的奇数倍}
＝{β|β＝90°＋180°的整数倍}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}
能写出终边在x轴的非负半轴、非正半轴上的角的集合吗？
终边在x轴非负半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°，k∈Z}，终边在x轴非正半轴上的角的集合为{x|x＝k·360°＋180°，k∈Z}.
以上两个集合的并集代表什么特殊位置上的角的集合呢？
［例2］写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β≤
720°的元素β写出来：
(1)60° （2）－21° （3）363°14′
第一步：利用终边相同的角的集合公式写出：
（1）S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}
(2)S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}
(3)S＝{β|β＝363°14′＋k·360°，k∈Z}
第二步：在第一步的基础上，利用满足约束条件的不等式，对其中的k值，分别采用赋值法求解出元素β:
(1)－300°，60°，420°
(2)－21°，339°，699°
(3)－356°46′，3°14′，363°14′
题目中的k值是靠观测、试探确定的，即赋给k一个任意值m试一试，看是否满足条件，再将m增1或减1再试，直至找到合适的k的最小值（或最大值）.
［例3］若α是第三象限角，试求、的范围.
分析：依据象限角的表示法将α表示出来后，再确定、的范围，再进一步判断、所在的象限.
解：∵α是第三象限角
∴k·360°+180°＜α＜k·360°+270°(k∈Z)
(1)k·180°+90°＜＜k·180°+135°(k∈Z)
当k＝2n(n∈Z)时，n·360°+90°＜＜n·360°+135°
当k＝2n+1(n∈Z)时，n·360°+270°＜＜n·360°+315°
∴为第二或第四象限角.
(2)k·120°+60°＜＜k·120°+90°(k∈Z)
当k＝3n(n∈Z)时，n·360°+60°＜＜n·360°+90°(n∈Z)
当k＝3n+1(n∈Z)时，n·360°+180°＜＜n·360°+210°（n∈Z)
当k＝3n+2(n∈Z)时，n·360°+300°＜＜n·360°+330°(n∈Z)
∴为第一或第三或第四象限角.
Ⅲ.课堂练习
P7练习5
Ⅳ.课时小结
本节课的重点内容仍然是终边相同的角的集合表示，这是学习后续知识的基础，要予以足够的重视，若还有不明白的地方，请同学们再做进一步的讨论，或者提出来，老师再与你一块研究.
Ⅴ.课后作业
（一）P10习题 4、11、12.
（二）1.预习内容
课本P7~P8弧度制
2.预习提纲
弄清楚下列问题：
(1)弧度的单位符号
(2)1弧度的角的定义
(3)弧度制的定义
(4)角度与弧度的换算公式
角的概念的推广(二)
1．若α是第四象限角，则180°－α是 （ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2．设k∈Z，下列终边相同的角是 （ ）
A.（2k+1)·180°与（4k±1)·180° B.k·90°与k·180°+90°
C.k·180°+30°与k·360°±30° D.k·180°+60°与k·60°
3．若90°＜－α＜180°，则180°－α与α的终边 （ ）
A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称 D.以上都不对
4．终边与坐标轴重合的角α的集合是 （ ）
A.{α|α＝k·360°，k∈Z} B.{α|α＝k·180°+90°，k∈Z}
C.{α|α＝k·180°，k∈Z} D.{α|α＝k·90°，k∈Z}
5．若角α与β终边重合，则有 （ ）
A.α－β＝180° B.α+β＝0
C.α－β＝k·360°（k∈Z） D.α+β＝k·360°（k∈Z）
6．若将时钟拨慢5分钟，则时针转了 度，分针转了 度.
7．若角α是第三象限角，则角的终边在 ，2α角的终边在 .
8．如果6α与30°角的终边相同，求适应不等式－180°＜α＜180°的角α的集合.
9．如果角α的终边经过点M（1，），试写出角α的集合A，并求集合A中最大的负角和绝对值最小的角.
10．已知0°＜θ＜360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.
角的概念的推广(二)答案
1．C 2．A 3．B 4．D 5．C 6．2.5 30
7．第二或第四象限 第一或第二象限或终边在y轴的正半轴上
8．如果6α与30°角的终边相同，求适应不等式－180°＜α＜180°的角α的集合.
分析：由6α与30°角的终边相同，得出α的表达式是解题的关键.
解：由题意得
6α＝30°＋k·360°(k∈Z)
∴α＝5°＋k·60°
∵－180°＜α＜180°
∴－180°＜5°＋k·60°＜180°，－185°＜k·60°＜175°
∴－＜k＜
∵k是整数， ∴k＝－3，－2，－1，0，1，2.
分别代入α＝5°＋k·60°，得满足条件的α的集合为：
{－175°，－115°，－55°，5°，65°，125°}
9．如果角α的终边经过点M（1，），试写出角α的集合A，并求集合A中最大的负角和绝对值最小的角.
分析：关键是求出0°到360°范围内的角α.
解：在0°到360°范围内，由几何方法可求得α＝60°.
∴A＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}
其中最大的负角为－300°（当k＝－1时）
绝对值最小的角为60°（当k＝0时）
10．已知0°＜θ＜360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.
由7θ＝θ＋k·360°，得θ＝k·60°（k∈Z）
∴θ＝60°，120°，180°，240°，300°
1.1.1 任意角（1）
一、课题：任意角(1)
二、教学目标：1.理解任意角的概念；
2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。
三、教学重、难点：1．判断已知角所在象限；
2．终边相同的角的书写。
四、教学过程：
（一）复习引入：
1．初中所学角的概念。
2．实际生活中出现一系列关于角的问题。
（二）新课讲解：
1．角的定义：一条射线绕着它的端点，从起始位置旋转到终止位置，形成一个角，点 是角的顶点，射线分别是角的终边、始边。
说明：在不引起混淆的前提下，“角”或“”可以简记为．
2．角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；
负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；
零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。
说明：零角的始边和终边重合。
3．象限角：
在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负轴重合，则
（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
例如：都是第一象限角；是第四象限角。
（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。例如：等等。
说明：角的始边“与轴的非负半轴重合”不能说成是“与轴的正半轴重合”。因为轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。
4．终边相同的角的集合：由特殊角看出：所有与角终边相同的角，连同角自身在内，都可以写成的形式；反之，所有形如的角都与角的终边相同。 从而得出一般规律：
所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，
即：任一与角终边相同的角，都可以表示成角与整数个周角的和。
说明：终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。
5．例题分析：
例1 在与范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限角？
（1） （2） （3）
解：（1），
所以，与角终边相同的角是，它是第三象限角；
（2），
所以，与角终边相同的角是角，它是第四象限角；
（3），
所以，角终边相同的角是角，它是第二象限角。
例2 若，试判断角所在象限。
解：∵
∴与终边相同， 所以，在第三象限。
例3 写出下列各边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出来： （1）； （2）； （3）．
解：（1），
中适合的元素是
（2），
S中适合的元素是
（3）
S中适合的元素是
四、课堂练习：
五、课堂小结：1．正角、负角、零角的定义；
2．象限角、非象限角的定义；
3．终边相同的角的集合的书写及意义。
六、作业：
补充：1．（1）写出与终边相同的角的集合．
（2）若，且，求．
1.1.2 任意角（2）
一、课题：任意角（2）
二、教学目标：1．熟练掌握象限角与非象限角的集合表示；
2．会写出某个区间上角的集合。
三、教学重、难点：区间角的表示。
四、教学过程：
（一）复习：
1．角的分类：按旋转方向分；按终边所在位置分。
2．与角同终边的角的集合表示。
3．练习：把下列各角写成的形式，并指出它们所在的象限或终边位置。
（1）； （2）； （3）．
（答案）（1） 第三象限角。
（2）， 第一象限角。
（3），终边在轴非正半轴。
（二）新课讲解：
1．轴线角的集合表示
例1：写出终边在轴上的角的集合。
分析：（1）到的角落在轴上的有；
（2）与终边分别相同的角的集合为：
（3）所有终边在轴上的角的集合就是和并集：
．
拓展：（1）终边在轴线的角的集合怎么表示？ ；
（2）所有轴线角的集合怎么表示？ ；
（3）相对于轴线角的集合，象限角的集合怎么表示？ ．
提问：第一、二、三、四象限角的集合又怎么表示？ （略）
例2：写出第一象限角的集合．
分析：（1）在内第一象限角可表示为；
（2）与终边相同的角分别为；
（3）第一象限角的集合就是夹在这两个终边相同的角中间的角的集合，我们表示为：
．
学生讨论，归纳出第二、三、四象限角的集合的表示法：
；
；
．
说明：区间角的集合的表示不唯一。
例3 写出所夹区域内的角的集合。
解：当终边落在上时，角的集合为；
当终边落在上时，角的集合为；
所以，按逆时针方向旋转有集合：．
五、课堂练习：
1．若角的终边在第一象限或第三象限的角平分线上，则角的集合是 ．
2．若角与的终边在一条直线上，则与的关系是 ．
3．（思考）若角与的终边关于轴对称，则与的关系是 ．
若角与的终边关于轴对称，则与的关系是 ．
若角与的终边关于原点对称，则与的关系是 ．
六、小结：1．非象限角（轴线角）的集合表示；
2．区间角集合的书写。
七、作业：
补充：1．试写出终边在直线上所有角的集合，并指出上述集合中介于与之间的角。
2．若角是第三象限角，问是哪个象限的角？是哪个象限的角？
课件13张PPT。1.1.1 任 意 角 学习目标:1 理解任意角的概念
2 知道象限角
3 会用集合表示终边相同的角oAB始边 终边顶点角：一条射线绕着它的端点在平面内旋转形成的图形 逆时针 顺时针定义：正角：按逆时针方向旋转形成的角负角：按顺时针方向旋转形成的角 零角：射线不作旋转时形成的角任意角生活中的例子xyo 1)置角的顶点于原点终边落在第几象限就是第几象限角2)始边重合于X轴的正半轴 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ
与 终边相同的角的一般形式为:S={ | = }例2 写出终边落在Y轴上的角的集合。终边落在坐标轴上的情形0090018002700 +Kx3600+Kx3600+Kx3600+Kx3600或3600＋KX3600练习:思考:小结:1.任意角的概念正角：射线按逆时针方向旋转形成的角负角：射线按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不作旋转形成的角2.象限角1)置角的顶点于原点2)始边重合于X轴的正半轴3)终边落在第几象限就是第几象限作业:
1．把－1 485°化成α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式为________________________．
答案 315°－5×360° (k∈Z)
2．下列角中终边与330°相同的角是________(写出正确的所有序号)．
①30°；②－30°；③630°；④－630°.
答案 ②
3．写出－720°到720°之间与－1 068°终边相同的角的集合____________________．
答案 {－708°，－348°，12°，372°}
4．－2 012°是第________象限角
解析 －2 012°＝148°－6×360°，故－2 012°与148°终边相同是第二象限角．
答案 二
5．与－495°终边相同的最大负角是________，最小正角是________．
解析 －495°＝－360°＋(－135°)，－495°＝－2×360°＋225°.
答案 －135° 225°
6．(1)写出终边落在x轴负半轴的角的集合．
(2)写出终边落在y轴上的角的集合．
(3)写出终边落在坐标轴上的角的集合．
(4)写出终边落在直线y＝x上的角的集合．
解 (1)在0°～360°内终边落在x轴负半轴的角为180°，故终边落在x轴负半轴上的角的集合为{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}．
(2)终边落在y轴上的角在0°～360°内有90°和270°两个角，实际上，每旋转半圈就有一个终边在y轴上的角，因此，终边落在y轴上的角的集合为{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}．
(3)终边落在坐标轴上的角每间隔90°就有一个，因此终边落在坐标轴上的角的集合为{α|α＝k·90°，k∈Z}．
(4)终边落在直线y＝x上的角在0°～360°内有45°和225°两个角，实际上，每旋转180°就有一个，因此终边落在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝k·180°＋45°，k∈Z}．
7．若α是第一象限角，则180°－α是第________象限角．
解析 ∵α是第一象限角，则k·360°<α∴－90°－k·360°<－α<－k·360°
90°－k·360°<180°－α<－k·360°＋180°
∴180°－α是第二象限角．
答案 二
8．若α是第三象限的角，则是第__________象限的角．
解析 因为α是第三象限的角，所以k·360°＋180°<α可得k·180°＋90°<若k为偶数，设k＝2n，n∈Z，
则n·360°＋90°<是第二象限的角．若k为奇数，设k＝2n＋1，n∈Z，
则n·360°＋270°<是第四象限的角．故是第二或第四象限的角．
答案 二或四
9．在0°到360°范围内，与－60°的终边在同一条直线上的角为________．
答案 120°与300°
10．已知角θ的终边与角168°的终边相同，则在[0°，360°)范围内终边与的终边相同的角是________．
解析 根据已知，有θ＝k·360°＋168°，k∈Z，
∴＝k·120°＋56°，k∈Z.
又∵0°≤k·120°＋56°<360°，
满足上式的k值为0,1,2.
∴在[0°，360°)内，
＝56°，176°，296°.
答案 56° 176° 296°
11．求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：
(1)－210°；(2)－1 484°37′.
解 (1)∵－210°＝－360°＋150°，
∴与－210°终边相同的角的集合为
{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z}．
其中最小正角为150°，最大负角为－210°.
(2)∵－1 484°37′＝－5×360°＋315°23′，
∴与－1 484°37′终边相同的角的集合为
{α|α＝k·360°＋315°23′，k∈Z}，
其中最小正角为315°23′，最大负角为－44°37′.
12．找出与下列各角终边相同的最小正角，并判断它们分别在第几象限．
(1)430°；(2)909°；(3)1 442°；(4)－60°；(5)－560°26′；
(6)－1 550°.
解 (1)∵430°＝70°＋360°，
∴与430°终边相同的最小正角为70°，
它是第一象限角．
(2)∵909°＝189°＋2×360°，
∴与909°终边相同的最小正角为189°，
它是第三象限角．
(3)∵1 442°＝2°＋4×360°，
∴与1 442°终边相同的最小正角为2°，
它是第一象限角．
(4)∵－60°＝300°＋(－1)×360°，
∴与－60°终边相同的最小正角为300°，
它是第四象限角．
(5)∵－560°26′＝159°34′＋(－2)×360°，
∴与－560°26′终边相同的最小正角为159°34′，
它是第二象限角．
(6)∵－1 550°＝250°＋(－5)×360°，
∴与－1 550°终边相同的最小正角为250°，
它是第三象限角．
13．(创新拓展)已知α为第一象限角，求2α、、终边所在的位置．
解 ∵α是第一象限角，
∴k·360°<α①2k·360°<2α<2k·360°＋180°，k∈Z.
则2α是第一或第二象限角，或是终边在y轴的正半轴上的角．
②k·180°<当k＝2n时(n∈Z)
n·360°<当k＝2n＋1(n∈Z)时，
n·360°＋180°<∴是第一或第三象限角．
③k·120°<当k＝3n(n∈Z)时，
n·360°<∴是第一象限角；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，
n·360°＋120°<∴是第二象限角；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，
n·360°＋240°<∴是第三象限角．
∴为第一或第二或第三象限角．
课件30张PPT。1．1 任意角、弧度
1．1.1 任意角正角 负角 零角 第几象限角 {β|β＝α＋k·360°，k∈Z} (2)一般地，终边相同的角的表达式形式不唯一，我们可利用图形来验证它们的等价性，如α＝k·180°＋90°与β＝k·180°－90°都表示终边在y轴上的所有角.[思路探索] 属于角的概念的推广，抓住旋转大小及旋转方向
解 由角的定义可得到∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝45°＋(－120°)＝－75°.解 如右图所示，由题意知∠AOB＝150°，∠BOC＝－60°，∠COD＝90°，所以∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝150°＋(－60°)＋90°＝180°.[思路探索] 利用任意角的定义，在直角坐标系中作出角的终边．
解 作出各角的终边如图所示
由图可知：(1)420°是第一象限角；(2)－75°是第四象限角；
(3)855°是第二象限角；(4)－510°是第三象限角．(1)420°＝60°＋360°，所以在0°～360°范围内，与420°角终边相同的角是60°.
(2)－75°＝285°－360°，所以在0°～360°范围内，与－75°角终边相同的角是285°；
(3)855°＝135°＋2×360°，所以在0°～360°范围内，与855°角终边相同的角是135°；
(4)－510°＝210°－2×360°，所以在0°～360°范围内，与－510°角终边相同的角是210°.解析 ∵α是第三象限角
∴k·360°＋180°<α∴－k·360°－270°<－α<－k·360°－180°(k∈Z)，
∴－k·360°－90°<180°－α<－k·360°(k∈Z)，
∴－(k＋1)·360°＋270°<180°－α<－(k＋1)·360°＋360°(k∈Z)．
∴180°－α是第四象限角．
答案 四单击此处进入 活页规范训练课件22张PPT。任意角的三角函数及其诱导公式b 称为角 的正弦函数；
记作 b=sin ;一般用x表示自变量，y表示函数；
所以正弦函数表示：y＝sin x 相类似余弦函数是y＝cos x；正弦函数是y＝tan x思考问题1、用任意角的正弦值的定义判断下列各对角的
正弦值的关系.2、与角 x 终边相同的角怎么表示？
它们的正弦值有什么关系？练习：600与4200，(-π/4)与(-9π/4)的三角函数值相等吗？为什么？xy4200600P(a,b)xy-π/4-9π/4P(a,b)Sin(2kπ+α)= Sinα小结：正弦函数是周期函数，周期是
其中最小正周期为 余弦函数是周期函数，周期是
其中最小正周期为特殊角的三角函数值你记住了吗？2）同终边角的同名三角函数值相等.Sin(2kπ+α)= Sinα
cos(2kπ+α)= cosα
tan(2kπ+α)= tanα2kπ是三角函数的周期 诱导公式1练习：确定下列函数值的符号
1）sin1900的符号是——？
2）cos(-3920)的符号是——？
3)tan(-16500)的符号是——？
3)sin(-21π/5）的符号是——？二、三角函数的诱导公式1、若α是一个正锐角，怎样用α表示第一、二、三、四象限角,并研究其终边位置关系.2、角2kπ+α π-α π+α 2π-α或-α与角α的正弦函数值的关系Sin(2kπ+α)__?____sin α
Sin(-α)___?__sin α
Sin(2π-α)_?____sin α
Sin(π-α)__?____sin α
Sin(π+α)__?____sin α方法一、利用单位圆研究α-απ-απ+α 关于x轴对称的角的正弦线互为相反数 Sin(2kπ+α)=sin α
Sin(-α)=- sin α
Sin(2π-α)=-sin α
Sin(π-α)=sin α
Sin(π+α)=sin α函数名不变，符号看象限 关于y轴对称的角的正弦线 相等 正弦诱导公式 cos(2kπ+α)=cosα
cos(-α)=cos α
cos(2π-α)=cos α
cos(π-α)= - cosα
cos(π+α)= - cosα余弦函数的诱导公式函数名不变，符号看象限2、研究角π/2+α与角α的正、余弦函数值的关系 在单位圆中，画出角α和角 π/2+α的终边，由终边的位置关系可得απ/2+αP1OMP2NRt△OP1M≌Rt△P2ON
∴ NP2=OM， ON=-MP1Sinα=MP1,cosα=OMSin(π/2+α)=NP2;
cos(π/2+α)=ONSin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)= -Sinα函数名称变，符号看象限思考：公式
Sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)= Sinα的证明方法 所有的诱导公式中的角α的取值范围是使公式有意义的任意角，记忆公式时可将α看成锐角，从而确定符号.απ/2-αP1OMP2N-α正弦、余弦诱导公式
Sin(2kπ+α)=sin α
cos(2kπ+α)=cosα
Sin(-α)=- sin α
cos(-α)=cos α Sin(2π-α)=-sin α
cos(2π-α)=cos α
Sin(π-α)=sin α cos(π-α)= - cosα
Sin(π+α)=sin α
cos(π+α)= - cosα=>tan(2kπ+α)=tan α=>tan(-α)= - tan α=>tan(2π-α)= - tan α=>tan(π-α)= - tan α=>tan(π+α)= tan α=>正切诱导公式Sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)= -SinαSin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)= Sinα=>=>tan(π/2+α)= -cotαtan(π/2-α)=cotα常用的正弦、余弦、正切诱导公式1、同终边诱导公式
Sin(2kπ+α)=sin α
cos(2kπ+α)=cosα
tan(2kπ+α)=tan α2、负角诱导公式
Sin(-α)=- sin α
cos(-α)=cos α
tan(-α)= - tan α 3、四象限诱导公式
Sin(2π-α)=-sin α
cos(2π-α)=cos α
tan(2π-α)= - tan α4、二象限诱导公式
Sin(π-α)=sin α cos(π-α)= - cosα
tan(π-α)= - tan α5、三象限诱导公式
Sin(π+α)=sin α
cos(π+α)= - cosα
tan(π+α)= tan α视α为锐角，函数名不变，符号看象限7、钝角互余诱导公式
Sin(π/2+α)=cosα
cos(π/2+α)= -Sinα
tan(π/2+α)= -cotα6、锐角互余诱导公式
Sin(π/2-α)=cosα
cos(π/2-α)= Sinα
tan(π/2-α)=cotα视α为锐角，函数名称变互余，符号看象限1、熟记诱导公式的规律；
2、注意符号例：求值 1）sin(-16500)
2) sin(-150015/)
3) sin(-7π/4）方法步骤：负角化为正角，正角化为锐角.例：化简课外练习总 课 题
任意角、弧度
总课时
第 1 课时
分 课 题
任意角
分课时
第 1 课时
教学目标
理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角；能在到范围内，找出与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角；能写出与任一已知角终边相同的角的集合。
重点难点
终边相同的角的集合和符号语言表示
?引入新课
问题1、初中，我们已经学习了到的角，它是怎样定义的？
问题2、体操，跳水中，有“转体”，“翻腾两周半”这样的动作名称，那是怎样的一个角？
1、正角、负角、零角的概念
2、象限角、轴线角
3、终边相同角的集合
练习1、作出角 ，，，，这些角之间有何关系？
结论：一般地，与角终边相同角的集合为
?例题剖析
例1、在到范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
（1） （2） （3）
例2、已知与角的终边相同，判断是第几象限角。
思考：（1）终边落在轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在轴上的角的集合如何表示？
（2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？
（3）若是第三象限角，则是第几象限角？
?巩固练习
1、下列命题中正确的是（ ）
A、第一象限角一定不是负角 B、小于的角一定是锐角
C、钝角一定是第二象限角 D、第一象限角一定是锐角
2、分别作出下列各角的终边，并指出它们是第几象限角：
（1）； （2）； （3）； （4）
3、在到范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
（1）； （2）； （3）
4、试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角：
（1）； （2）； （3）； （4）
5、若是第四象限角，试分别确定，，是第几象限角。
?课堂小结
正角、负角、零角的概念，象限角的概念；终边相同的角的表示方法。
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、以下四个命题中，是真命题的是（ ）
A、小于的角是锐角 B、第二象限角是钝角
C、锐角是第一象限角 D、负角不可能是第一象限角
2、设，则与角终边相同的角可以表示为（ ）
A、 B、
C、 D、
3、若是第三象限角，则是第 象限角，是第 象限角。
4、若角与角的终边相同，则 。
5、写出终边落在直线上的角的集合 。
6、在到范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
（1）； （2）； （3）； （4）
7、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式的元素写出来：
（1）； （2）； （3）； （4）
8、如果与角的终边相同，判断是第几象限角。
二、提高题
9、如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）。
三、能力题
10、设是第一象限角，试探究：
（1）一定不是第几象限角？ （2）是第几象限角？
1．将－885°化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是________．
解析：－885°＝－1080°＋195°＝(－3)×360°＋195°.
答案：(－3)×360°＋195°
2．在148°，475°，－960°，－1601°，－185°这五个角中，属于第二象限角的个数是________．
解析：148°显然是第二象限角．而475°＝360°＋115°，－960°＝－3×360°＋120°，－185°＝－360°＋175°，都是第二象限角．而－1601°＝－5×360°＋199°，不是第二象限角．
答案：4
3．已知集合A＝{第一象限角}、B＝{锐角}、C＝{小于90°的角}，则A∩B＝________，B∩C＝________.
答案：B B
4．钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________．
解析：分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过周．
答案：－120° －1440°
一、填空题
1．下列各组角中，终边相同的是________．(只填序号)
①－60°，300°，420°；
②－60°，－300°，－420°；
③－60°，300°，－420°；
④60°，－300°，－420°.
解析：两角相减是360°的整数倍即是终边相同的角．
答案：③
2．若α为第二象限角，则－是________．
解析：因为α为第二象限角，所以为第一或第三象限角．又因为－与关于x轴对称，所以－是第二或第四象限角．
答案：第二或第四象限角
3．若角α与角β的终边关于x轴对称，则α与β的关系是________；若角α与角β的终边关于原点对称，则α与β的关系是________；若角α与角β的终边关于y轴对称，则α与β的关系是________．
答案：α＋β＝k·360°，k∈Z α－β＝k·360°＋180°，k∈Z α＋β＝(2k＋1)180°，k∈Z
4．已知角α＝－3000°，则与α终边相同的最小正角是________．
解析：与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝－3000°＋k·360°，k∈Z}，与θ终边相同的最小正角是当k＝9时，θ＝－3000°＋9×360°＝240°.所以与α终边相同的最小正角为240°.
答案：240°
5．设集合M＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，N＝{α|－180°＜α＜180°}，则M∩N等于________．
解析：当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°；当k＝－1时，α＝－126°；所以M∩N＝{－36°，54°，－126°，144°}．
答案：{－36°，54°，－126°，144°}
6．若α与β的终边互相垂直，则α－β＝________.
答案：90°＋k·180°(k∈Z)
7．(2011年杭州高一检测)已知θ∈{α|α＝k·180°＋(－1)k·45°，k∈Z}，则角θ的终边所在的象限是________．
答案：第一或第二象限
8．自行车大链轮有48齿，小链轮有20齿，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是________．
解析：大链轮转动一周，小链轮转＝2.4周，角度为2.4×360°＝864°.
答案：864°
二、解答题
9．已知角的顶点与坐标系的原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，判断它们在第几象限，并指出在0°～360°范围内与其终边相同的角．
(1)420°；(2)－75°；(3)855°；(4)－510°.
解：如图所示．
由图可知：
(1)420°角在第一象限，在0°～360°范围内与60°角终边相同．
(2)－75°角在第四象限，在0°～360°范围内与285°角终边相同．
(3)855°角在第二象限，在0°～360°范围内与135°角终边相同．
(4)－510°角在第三象限，在0°～360°范围内与210°角终边相同．
10．已知集合A＝{α|k·180°＋45°＜α＜k·180°＋60°，k∈Z}，集合B＝{β|k·360°－55°＜β＜k·360°＋55°，k∈Z}．
(1)在平面直角坐标系中，表示出角α终边所在区域；
(2)在平面直角坐标系中，表示出角β终边所在区域；
(3)求A∩B.
解：(1) (2)
(3)由(1)(2)知A∩B＝{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋55°，k∈Z}．
11．在角的集合{α|α＝k·90°＋45°(k∈Z)}中：
(1)有几种终边不相同的角？
(2)有几个大于－360°且小于360°的角？
(3)写出其中是第二象限的角的一般表示法．
解：(1)当k＝4n,4n＋1,4n＋2,4n＋3，n∈Z时，在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．
(2)由－360°＜k·90°＋45°＜360°，得－＜k＜.
又k∈Z，故k＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3.
∴在给定的角集合中大于－360°且小于360°的角共有8个．
(3)其中是第二象限的角可表示成k·360°＋135°，k∈Z.
