第三课时 弧度制(一)
教学目标：
理解1弧度的角、弧度制的定义，掌握角度与弧度的换算公式并能熟练地进行角度与弧度的换算，熟记特殊角的弧度数；使学生认识到角度制、弧度制都是度量角的制度，二者虽单位不同，但是互相联系的、辩证统一的.进一步加强对辩证统一思想的理解.
教学重点：
使学生理解弧度的意义，正确地进行角度与弧度的换算.
教学难点：
弧度的概念及其与角度的关系.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢?
周角的为1°的角.
这种用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制，今天我们再来学习另一种在数学和其他学科中常用的度量角的单位制——弧度制.
Ⅱ.讲授新课
［师］弧度制的单位符号是rad，读作弧度.
我们把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.即用弧度制度量时，这样的圆心角等于1 rad.
请同学们考虑一下，周角的弧度数是多少?平角呢?直角呢?
因为周角所对的弧长l＝2πr，所以周角的弧度数是＝2π.同理平角的弧度数是＝π，直角的弧度是.
由此可知，任一0°到360°的角的弧度数x（x＝），必然适合不等式0≤x＜2π.角的概念推广后，弧度的概念也随之推广.如果圆心角表示一个负角，且它所对的弧长l＝4πr时，这个圆心角的弧度数是多少呢?此时，我们应该先求出这个角的绝对值，然后在其前面放上“－”号，即所求圆心角的弧度数是－＝－＝－4π
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是零.任一角α的弧度数的绝对值｜α｜＝，其中l是以角α为圆心角时所对弧的长，r是圆的半径，这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制.
从定义中我们可以看出，弧度制实质上是用弧长与其半径的比值来反映弧所对圆心角的大小，这个比值与半径的大小有没有关系呢?
这个比值与半径的大小无关而只与角的大小有关，即这样定义是合理的.
用角度制和弧度制度量零角，单位不同，但量数相同(都是0)，用角度制和弧度制度量任一非零角，单位不同，量数也不同.下面我们来讨论角度与弧度的换算.
因为周角的弧度数是2π，而在角度制下它是360°，所以360°＝2π rad.
180°＝π rad1°＝rad 角度化弧度时用之.
1 rad＝（）° 弧度化角度时用之
Ⅲ.例题分析
［例1］把67°30′化成弧度
解：∵67°30′＝（67）°
∴67°30′＝rad×67＝π rad.
［例2］把 π rad化成度
解：π rad＝π×（）°＝×180°＝108°
注意：
(1)今后用弧度制表示角时，或者说“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或符号“rad”可以省略不写，而只写这个角的弧度数.(此时的弧度在形式上是不名数，但应当把它理解为名数.如α＝2，即α是2 rad的角，sin3表示3 rad角的正弦，π＝180°即π rad＝180°).但用角度制表示角时，或者用“度”为单位度量角时，“度”即“°”不能省去.
(2)用弧度制表示角时，或者说用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π的形式，如无特别要求，不必把π写成小数.
(3)今后在表示与角α终边相同的角时，有弧度制与角度制两种单位制，要根据角α的单位来决定另一项的单位，即两项所用的单位制必须一致，绝对不能出现k·360°＋或者
2kπ－60°一类的写法.
Ⅳ.课堂练习
课本P10练习 1、2、3、4、7
对于练习中的1题再补充将60°、135°、150°化成弧度；3题再补充将11°15′化成弧度.
Ⅴ.课堂小结
本节课我们学习了弧度制的定义，角度与弧度的换算公式与方法.应该注意，角度制与弧度制是度量角的两种不同的单位制，它们是互相联系的，辩证统一的；角度与弧度的换算，关键要理解并牢记180°＝π rad这一关系式，由此可以很方便地进行角度与弧度的换算；三个注意的问题，同学们要切记；特殊角的弧度数，同学们要熟记.
Ⅵ.课后作业
（一）课本P10习题 3、6、7
（二）预习内容：课本P9
弧度制(一)
1．角α的顶点在坐标原点，始边在x轴的正半轴上，当终边过点A（，）时，角α是 （ ）
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2．若－＜α＜β＜，则α－β的范围是 （ ）
A.－π＜α－β＜0 B.－＜α－β＜0
C.－＜α－β＜π D.－π＜α－β＜
3．设集合M＝{α|α＝－，k∈Z}，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N等于 （ ）
A.{－，} B.{－，}
C.{－，，－，} D.{ ，－ }
4. 下列各组角中，终边相同的角是 （ ）
A. 与kπ＋ (k∈Z) B.kπ±与 (k∈Z)
C.(2k＋1)π与(4k±1)π (k∈Z) D.kπ＋与2kπ± (k∈Z)
5．若角α、β的终边关于y轴对称，则α、β的关系一定是（其中k∈Z） （ ）
A.α＋β＝π B.α－β＝
C.α－β＝（2k＋1）π D.α＋β＝(2k＋1)π
6．在与210°终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数为_________.
7．4弧度角的终边在第 象限.
8．－πrad化为角度应为 .
9．钝角α的终边与它的5倍角的终边关于y轴对称，则α＝_________.
10．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是多少度？多少弧度?？
11．如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.
弧度制(一)答案
1．B 2．A 3．C 4. C 5．D 6．－ 7．三 8．－345° 9．
10．自行车大链轮有48个齿，小链轮有20个齿，彼此由链条连接，当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是多少度？多少弧度?？
分析：在相同时间内，两轮转动的齿数相同，是解决问题的关键，因此，两轮转过的圈数之比与它们的齿数成反比，使问题得以解决.
解：由于大链轮与小链轮在相同时间内转过的齿数相同，所以两轮转过的圈数之比与它们的齿数成反比，于是大轮转过的圈数：小转轮过的圈数=20∶48
据此解得当大轮转1周时，小轮转2.4周.
故小轮转过的角度为360°×2.4＝864°
小轮转过的弧度为864°×＝rad.
答：当大链轮转过一周时，小链轮转过的角度是864°，弧度是rad.
11．如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.
解：A点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜
14分钟后回到原位，∴14θ＝2kπ,
θ＝，且＜θ＜，
∴θ＝或
第四课时 弧度制(二)
教学目标：
理解角的集合与实数集R之间的一一对应关系，掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式，运用弧长公式、扇形面积公式解、证一些题目；使学生通过总结引入弧度制的好处，学会归纳、整理并认识到任何新知识的学习，都会为我们解决实际问题带来方便，从而激发学生的学习兴趣、求知欲望，培养良好的学习品质.
教学重点：
角的集合与实数集R之间的一一对应关系，弧度制的简单应用.
教学难点：
弧度制的简单应用
教学过程：
角的集合与实数集R之间是一一对应的，即正角对应正实数，负角对应负实数，零角对应0.在弧度制下，弧长公式是怎样的呢?
l＝｜α｜r，其中l表示弧长，r表示圆半径，α表示圆心角的弧度数.
扇形的面积公式S＝lＲ.其中l是扇形的弧长，R是圆的半径，在弧度制下证明，同学们是否想过在角度制下的证明，比较之，哪个方法更简便些?
能够写出弧度制下扇形的面积公式吗?即用角的弧度数α与圆的半径R表示扇形的面积.
S＝｜α｜Ｒ2.
引入弧度制有什么好处呢?
弧度制下的弧长公式比角度制下的弧长公式简单，弧度制下的扇形面积公式比角度制下的扇形面积公式简单，还有一点，弧度表示角时，找与角对应的实数相当方便，而角度表示角时，找与角对应的实数还须进行一番计算.
［例1］已知一扇形的周长为c(c＞0)，当扇形的弧长为何值时，它有最大面积？并求出面积的最大值.
解：设扇形的半径为R，弧长为l，面积为S
∵c＝2R＋l，∴R＝ (l＜c)
则S＝Rl＝×·l＝(cl－l2)
＝－(l2－cl)＝－(l－)2＋
∴当l＝时，Smax＝
答：当扇形的弧长为 时，扇形有最大面积，扇形面积的最大值是.
［例2］一个扇形OAB的面积是1平方厘米，它的周长是4厘米，求∠AOB和弦AB的长.
分析：欲求∠AOB，需要知道的长和半径OA的长，用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，结合已知条件，能比较容易地求得，之后在△AOB中求弦AB的长.作OM⊥AB交AB于M，则AM＝BM＝AB，在Rt△AMO中求AM.
解：设扇形的半径为R cm.∠AOB=α rad.
据题意 解之得
过O作OM⊥AB交AB于M.
则AM＝BM＝AB.
在Rt△AMO中，AM＝sin1，∴AB＝2sin1
故∠AOB＝2 rad.该AB的长为2sin1厘米.
Ⅱ.课堂练习
课本P10练习 5、6
Ⅲ.课时小结
这节课，同学们自己找到了角的集合与实数集R的一一对应关系，对弧度制下的弧长公式、扇形面积公式有了深刻的理解，要把这两个公式记下来，并在解决实际问题中灵活运用，大家能总结出引入弧度制的好处，这点很好，以后的学习中，我们就是要随着学习内容的增加、知识的丰富，不断总结，不断归纳，梳理知识，编织知识的网络，使易记、好用.特别是生丙、生戊善于联想、积极探索的学习品质，更是我们大家学习的榜样，同学们这样持之以恒的坚持下去，我们的数学学习效果将会是非常出色的.
Ⅳ.课后作业
（一）课本P10习题 8、9、13.
（二）1.预习内容：任意角的三角函数(P12~P15)
2.预习提纲：锐角三角函数是用边的比来定义的，任意角的三角函数是怎样定义的?
弧度制(二)
1．一钟表的分针长10 cm，经过25分钟，分针的端点所转过的长为__________cm. （ ）
A.70 B. C. －4 D.
2．如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4 cm，则弓形的面积是_____cm2.（ ）
A. －4 B. －4
C. －4 D. －2
3．设集合M＝{α|α＝kπ±，k∈Z}，N＝{α|α＝kπ＋(－1)k ，k∈Z}那么下列结论中正确的是 （ ）
A.M＝N B.MN C.N M D.MN且NM
4．若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为 （ ）
A. B. C. D.2
5．已知扇形的圆心角为2 rad，扇形的周长为8 cm，则扇形的面积为_________cm2.
6．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角
的 倍.
7．若角α的终边与π角的终边相同，则在［0，2π］上，终边与角的终边相同的角是 .
8．已知扇形AOB的圆心角α＝120°，半径r＝3，求扇形的面积.
9．1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.
10．已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
弧度制(二)答案
1．D 2．C 3．C 4．C 5．4 6． 7．π π π π
8．已知扇形AOB的圆心角α＝120°，半径r＝3，求扇形的面积.
解：α＝120°＝rad
∴S＝r2α＝×32×＝3π(面积单位）
答：扇形的面积为3π面积单位.
9．1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.
解：由已知可得r＝, ∴l＝r·α＝
S扇＝l·r＝·r2·α＝·＝
10．已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
解：∵l＝20－2r
∴S＝lr＝ (20－2r)·r＝－r2＋10r＝－(r－5)2＋25
∴当半径r＝5 cm时，扇形的面积最大为25 cm2
此时，α＝＝＝2(rad)
1.1.2 弧度制（1）
一、课题：弧度制（1）
二、教学目标：1.理解弧度制的意义；
2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；
3.记住公式（为以角作为圆心角时所对圆弧的长，为圆半径）。
三、教学重、难点：弧度与角度之间的换算。
四、教学过程：
（一）复习：
初中时所学的角度制，是怎么规定角的？
（初中时把一个周角的记为）
（二）新课讲解：
1．弧度角的定义：
规定：我们把长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记此角为．
练习：圆的半径为，圆弧长为、、的弧所对的圆心角分别为多少？
说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？
2．弧度的推广及角的弧度数的计算：
规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零；角的弧度数的绝对值是，（其中是以角作为圆心角时所对弧的长，是圆的半径）。
说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或经常省略，即只写一实数表示角的度量。
例如：当弧长且所对的圆心角表示负角时，这个圆心角的弧度数是
．
3．角度与弧度的换算
rad 1=
4．例题分析：
例1 把化成弧度．
解：因为，所以 ．
例2 把化成度。
解： ． 例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。
（1）终边落在轴的非正、非负半轴，轴的非正、非负半轴的角的集合。
（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。
解：（1）终边落在轴的非正半轴的角的集合为；
非负半轴的角的集合为；
终边落在轴的非正半轴的角的集合为；
非负半轴的角的集合为；
所以，终边落在轴上的角的集合为；落在轴上的为
．
（2）第一象限角为；第二象限角为；
第三象限角为；第四象限角为．
例4 将下列各角化为的形式，并判断其所在象限。
（1）； （2）； （3）．
解：（1），所以，此角为第一象限角；
（2），所以此角为第一象限角；
（3），所以此角为第四象限角．
5．一些特殊角的度数与弧度数的对应表：
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
270°
360°
0
五、课堂练习：
六、小结：1．弧度制的定义；
2．弧度制与角度制的转换与区别。3．。
七、作业：
补充：1．在中，若，求A，B，C弧度数。
2．直径为20cm的滑轮，每秒钟旋转，则滑轮上一点经过5秒钟转过的弧长是多少？
1.1.2 弧度制（2）
一、课题：弧度制（2）
二、教学目标：1. 继续研究角度制与弧度制之间的转化；
2．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用；
3．求扇形面积的最值。
三、教学重、难点：弧长公式、扇形面积公式的应用。
四、教学过程：
（一）复习：
（1）弧度制角如何规定的？（其中表示所对的弧长）
（2）； ．
说出下列角所对弧度数．
（练习）写出阴影部分的角的集合：
（3）在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？
圆的半径为，圆心角为所对弧长为；
扇形面积为．
（二）新课讲解：
1．弧长公式：
在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？
∵（其中表示所对的弧长），
所以，弧长公式为．]
2．扇形面积公式：扇形面积公式为：．
说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；
②以上公式中的必须为弧度单位．
3．例题分析：
例1 （1）已知扇形的圆心角为，半径，求弧长及扇形面积。
（2）已知扇形周长为，当扇形的中心角为多大时它有最大面积，最大面积是多少？
解：（1）因为，所以，．
（2）设弧长为，半径为，由已知，所以，，
从而，
当时，最大，最大值为，这时．
例2 如图，扇形的面积是，它的周长是，求扇形的中心角及弦的长。
解：设扇形的弧长为，半径为，则有
，
所以，中心角为，弦长＝．
五、课堂练习：
1．集合的关系是 （ ）
（A） （B） （C） （D）以上都不对。
2．已知集合，则等于（ ）
（A） （B）
（C） （D）或
3．圆的半径变为原来的，而弧长不变，则该弧所对的圆心角是原来的 倍。
4．若2弧度的圆心角所对的弧长是，则这个圆心角所在的扇形面积是 ．
5．在以原点为圆心，半径为１的单位圆中，一条弦的长度为，所对的圆心角
的弧度数为 ．
六、小结：1．牢记弧度制下的弧长公式和扇形面积公式，并灵活运用；
2．由将转化成，利用这个与的二次函数关系求出扇形面积的最值。
七、作业：
补充：1．一个扇形周长等于它的弧所在圆的周长的一半，若圆的半径为，求扇形的面积。
2．2弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长，及圆心角所夹扇形面
积（要求作图）。
3．已知扇形的周长为30，当它的半径和圆心角各取多少值时，扇形面积最大，
最大值为多少？
课件10张PPT。§1.1.2 弧度制学习目标:
1、理解弧度制的含义
2、弧度数的绝对值公式
3、会弧度与角度的换算角的度量角度制弧度制弧度制弧度制和角度制之间的换算： 360°=2? rad
180°= ? rad 弧度制的作用：1、弧度制下角的集合与实数集的 一一对应：正角
零角
负角正实数
零
负实数2、求弧长：例1（1）把67°30′化成弧度。 （2） 把 rad化成角度.例2：利用弧度制来推导扇形面积公式S= R, 其中 是扇形的弧长，R是圆的半径．
练习：1、利用弧度制证明下列公式2、把小结： π =180°1rad=57°18′，1°=rad=0.01745 rad
作业：弧度制
班级： 姓名：
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列各组角中，终边相同的角是
A.与kπ+ (k∈Z) B.kπ±与 (k∈Z)
C.(2k+1)π与(4k±1)π (k∈Z) D.kπ+与2kπ± (k∈Z)
2.若角、的终边关于y轴对称，则α、β的关系一定是（其中k∈Z）
A. +=π B. －=
C. －=（2k+1）π D. +=(2k+1)π
3.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为
A. B.
C. D.2
4.在半径为10 cm的圆中，的圆心角所对弧长为
A.π B.π
C.π D.π
5.将分针拨快10分钟，则分针转过的弧度数是
A. B.－
C. D.－
6.圆的半径是6 cm，则15°的圆心角与圆弧围成的扇形面积是
A. cm2 B. cm2
C.πcm2 D.3π cm2
二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分.把答案填在题中横线上）
7.4弧度角的终边在第 象限.
8.－πrad化为角度应为 .
9.设α,β满足－＜＜＜，则－的范围是 .
10.圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.
11.若角的终边与π角的终边相同，则在［0，2π］上，终边与角的终边相同的角是 .
三、解答题（本大题共3小题，共28分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
12.（8分）1弧度的圆心角所对的弦长为2，求这个圆心角所对的弧长及圆心角所夹的扇形的面积.
13.（10分）已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？
14.（10分）如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.
§4.2 弧度制
一、1.C 2.D 3.C 4.A 5.B 6.B
二、7.三 8.－345°
9.－π＜α－β＜0 10.
11.π π π π
三、12.解：由已知可得r=,
∴l=r·α=
S扇=l·r=·r2·α=·
=
13.解：∵l=20－2r
∴S=lr= (20－2r)·r=－r2+10r
=－(r－5)2+25
∴当半径r=5 cm时，扇形的面积最大为25 cm2
此时，α===2(rad)
14.解：A点2分钟转过2θ，且π＜2θ＜π
14分钟后回到原位，∴14θ=2kπ,
θ=，且＜θ＜π，
∴θ=π或π
弧度制的练习
一、 选择题
1．如将分针拨慢10分钟，则分针转过的弧度数是（??? ）。
A． ???? B．－ ????? C． ??? D．－
2．下列与 的终边相同的角的表达式中，正确的是（??? ）
A． ???????? B．
C． ????D．
3．设集合 ， ，则M、N的关系是（??? ）
A． ???? B． ??? C． ???? D．
二、 填空题
4．用弧度制表示，终边落在坐标轴上的角的集合为??????? 。
5．若 ，则 是第??????? 象限角。
6．若 ，则 的范围是?????????? 。
7．一个半径为R的扇形，若它的周长等于它所在圆的周长的一半，则扇形圆心角的度数为?????? 。
三、 解答题
8．两角差为 ，两角和为1 ，求这两角的弧度数。
9．已知扇形的圆心角为 ，弧长为 ，求此扇形内切圆的面积。
【弧度制的练习参考答案】
一、 选择题
1．A? 2．C? 3．A
二、 填空题
4．
5．一、三．
6．
7．
三、 解答题
8．设两角分别为 、 ，则有
∴
9．设扇形半径为R，其内接圆半径为 ，
则有 ，
于是
故内切圆面积
???????
1．将下列弧度转化为角度：
(1)＝________°；(2)－＝________°__________′；
(3)＝________°.
答案 (1)15 (2)－157 30 (3)390
2．将下列角度转化为弧度：
(1)36°＝________(rad)；(2)－105°＝________(rad)；
(3)37°30′＝________(rad)．
答案 (1) (2)－ (3)
3．把－1 125°化成α＋2kπ (0≤α<2π，k∈Z)的形式是________________．
答案 －1 125°＝－8π
4．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为________．
解析 216°＝π，则r＝＝＝25.
答案 25
5．下列命题中，是假命题的序号为________．
①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位
②1°的角是周角的，1 rad的角是周角的
③1 rad的角比1°的角要大
④用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
答案 ④
6．已知α＝1 690°.
(1)把α表示成2kπ＋β的形式(k∈Z，β∈[0,2π))；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且θ∈(－4π，－2π)．
解 (1)α＝1 690°＝1 690×＝π＝8π＋π
∴α＝4×2π＋π.
(2)依题意θ＝2kπ＋π，(k∈Z)
由θ∈(－4π，－2π)，得
－4π<2kπ＋π<－2π，又k∈Z，
∴k＝－2，
∴θ＝－4π＋π＝－π.
7．把－π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是________．
解析 ∵－π＝－2π＋ ∴θ＝－π.
答案 －π
8．扇形周长为6 cm，面积为2 cm2，则其圆心角的弧度数是________．
解析 设扇形半径为r，圆心角为α，则
解得或.
答案 1或4
9．若角α，β终边关于原点对称，且α＝－，则β角的集合是________．
解析 由对称性知β角的终边与π终边相同
∴β的集合为
答案
10．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则角α的集合为________．
解析 角α的终边与终边相同，∴α＝＋2kπ
又－4π<＋2kπ<4π得：k＝1,0，－1，－2
∴分别为，，－π，－π
答案
11．把下列角化成2kπ＋α(0≤α＜2π，k∈Z)形式，写出终边相同的角的集合，并指出它是第几象限角．
(1)－π；(2)－1 485°；(3)－20.
解 (1)－π＝－8×2π＋，它是第二象限角，终边相同的角的集合为{α|α＝2kπ＋，k∈Z}．
(2)－1 485°＝－5×360°＋315°＝－5×2π＋，
它是第四象限角，终边相同的角的集合为
{α|α＝2kπ＋，k∈Z}．
(3)－20＝－4×2π＋(8π－20)，而＜8π－20＜2π
∴－20是第四象限角，终边相同的角的集合为
{α|α＝2kπ＋(8π－20)，k∈Z}．
12．(1)用弧度制表示终边在第四象限的角的集合；
(2)如图用弧度制表示终边落在阴影部分的角的集合．
解 (1)S＝α|＋2kπ<α<2kπ＋2π，k∈Z或S＝α
(2)因为θ＝135°＝，315°＝，则阴影部分的角的集合为.
13．(创新拓展)已知一扇形的圆心角是α，所在圆的半径是R，若扇形的周长是一定值C(C>0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积．
解 由题意知：C＝2R＋α·R，
则α＝＝－2
S扇＝α·R2＝·R2＝－R2＋R
＝－2＋
当R＝，即α＝－2＝2时
该扇形有最大面积.
课件32张PPT。1.1.2 弧度制半径 1 rad 正数 负数 零 想一想：在大小不同的圆中，长为1的弧所对的圆心角相等吗？
提示 不相等，这是因为长为1的弧是指弧的长度为1，在大小不同的圆中，由于半径不同所以圆心角也不同．单击此处进入 活页规范训练总 课 题
任意角、弧度
总课时
第 2 课时
分 课 题
弧度制
分课时
第 2 课时
教学目标
理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；了解角的集合与实数集之间建立起一一对应的关系；掌握弧度制下的弧长公式，会利用弧度制解决某些简单的实际问题。
重点难点
弧度的意义，弧度与角度的换算
?引入新课
1、问题：角度是怎样规定的？是否有其它方法来度量角？
2、角度的定义：周角的为度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制。
3、弧度的定义
4、角度与弧度的换算
5、特殊角的弧度数与角度制
（1） (2) (3)
6、弧长公式、扇形的面积公式
?例题剖析
例1、把下列各角从弧度化为度：
（1） （2）
例2、把下列各角从度化为弧度：
（1） （2）
例3、已知扇形的周长为，圆心角为，求该扇形的面积。
?巩固练习
把下列各角从角度化为弧度：
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
2、把下列各角从弧度化为度：
（1） （2） （3） （4）
3、把下列各角从度化为弧度：
（1） （2） （3） （4）
4、把下列各角从弧度化为度：
（1） （2） （3） （4）
5、若，则角的终边在（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
6、已知半径为的圆上，有一段弧的长是，求此弧所对的圆心角的弧度数。
?课堂小结
弧度数的定义，一些特殊角的弧度数；弧长公式、扇形的面积公式。
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、的角的终边所在的象限为（ ）
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
2、的角化成角度制是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、下列各角中与角终边相同的角为（ ）
A、 B、 C、 D、
4、集合的关系是（ ）
A、 B、 C、 D、以上都不对
5、在半径不等的两个圆内，弧度的圆心角（ ）
A、所对的弧长相等 B、所对的弦长相等
C、所对的弧长等于各自的圆的半径 D、所对的弦长等于各自的圆的半径
二、提高题
6、已知，角的终边与的终边关于直线对称，则角的集合为____________________.
7、角的终边落在第______象限，角的终边落在第______象限。
8、在半径为的轮子上有一点，轮子按顺时针方向旋转一周半，则圆心与点的连线所转过的角的弧度数为_________，扫过面积为_________，点经过的路程为_________。
9、知扇形的半径为，圆心角为，则扇形的弧长为__________，扇形的面积为_________。
三、能力题
10、把下列各角从度化为弧度：
（1） （2） （3） （4）
11、把下列各角从弧度化为度：
（1） （2） （3） （4）
12、把下列各角化成的形式，并指出它们是第几象限角：
（1） （2） （3） （4）
1．下列常见角0°，30°，45°，60°，90°，120°，135°，150°，180°，将它们用弧度制分别表示为________．
答案：0，，，，，，，，π
2．α＝－2 rad，则α的终边在________．
解析：－2 rad＝－2×()°≈－57.30°×2＝－114.60°，
∴α为第三象限角．
答案：第三象限
3．已知圆内1 rad的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长为________．
解析：首先求出圆的半径r＝，再利用弧长公式求弧长．
答案：
4．设集合M＝{α|α＝－，k∈Z}，N＝{α|－π＜α＜π}，则M∩N＝________.
解析：分别取k＝－1,0,1,2，得α＝－，－，，.
答案：{－，－，，}
一、填空题
1．下列结论不正确的是________．(只填序号)
①rad＝60°；②10°＝rad；③36°＝rad；④rad＝115°.
解析： rad＝×()°＝112.5°，所以④错．
答案：④
2．集合A＝{x|x＝kπ＋，k∈Z}与集合B＝{x|x＝2kπ±，k∈Z}之间的关系是________．
解析：因为角的集合{x|x＝2kπ＋，k∈Z}与{x|x＝2kπ－，k∈Z}分别表示终边落在y轴的正、负半轴上的角的集合，所以B表示终边落在y轴上的角的集合，所以A＝B.
答案：A＝B
3．已知A，B是半径为2的圆O上两点，∠AOB＝2弧度，则劣弧的长度是________．
解析：根据弧长公式l＝|α|·r知劣弧的长度为2×2＝4.
答案：4
4．若长为30 cm的弧所对圆心角为72°，则这条弧所在的圆的半径为________．(精确到1 cm)
解析：∵72°＝72×＝，∴这条弧所在的圆的半径为30÷＝≈24 (cm)．
答案：24 cm
5．若角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝________.
解析：∵角α的终边与角的终边关于直线y＝x对称，∴α＋＝2kπ＋(k∈Z)，∴角α的集合为{α|α＝2kπ＋，k∈Z}．∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋＜4π，k∈Z，∴－＜k＜.∵k∈Z，∴k＝－2，－1,0,1，∴α＝－，－，，.
答案：－，－，，
6．在(－4π，4π)内与－角的终边相同的角是________．
解析：首先写出与－π角的终边相同的角的集合{α|α＝2kπ－π，k∈Z}．然后再写出(－4π，4π)内的角α.
答案：－，－，，
7．已知圆上的一段弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段弧所对的圆心角的弧度数为________．
解析：设圆的半径为r，这段弧所对的圆心角为α，则正方形边长为r，则r＝r·α，即α＝.
答案：
8．已知一扇形的圆心角为 rad，半径为R，则该扇形的内切圆面积与扇形面积之比为________．
解析：先求出圆的半径r与扇形半径R的比为1∶3，再求它们的面积的比．
答案：2∶3
二、解答题
9．已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：
(1)的长；
(2)扇形所含弓形的面积．
解：(1)∵120°＝π＝π，
∴l＝|α|·r＝6×π＝4π，
∴的长为4π.
(2)∵S扇形OAB＝lr＝×4π×6＝12π，
如图所示，过点O作OD⊥AB，交AB于D点，
于是有S△OAB＝×AB×OD
＝×2×6cos30°×3＝9.
∴弓形的面积为S扇形OAB－S△OAB＝12π－9.
∴弓形的面积是12π－9.
10．一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是多少弧度？是多少度？扇形面积是多少？
解：设弧长为l，所对圆心角为α，
则l＋2r＝πr，即l＝(π－2)r.
∵|α|＝＝π－2，|α|＝(π－2)·()°≈65.41°.
∴α的弧度数是π－2，度数为65.41°.
从而S扇形＝lr＝(π－2)r2.
11．设集合A＝{x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}，B＝{x|x2≤36}，试求集合A∩B.
解：由集合A＝{x|kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z}，可知A＝…∪[－，－]∪[－，－]∪[－，]∪[，]∪[，]∪….由B＝{x|x2≤36}，可得B＝{x|－6≤x≤6}，在数轴上将两个集合分别作出，如图．
可得集合A∩B＝[－6，－]∪[－，－]∪[－，]∪[，]∪[，6]．
