第七课时 同角三角函数的基本关系式
教学目标：
理解并掌握同角三角函数的基本关系，并能应用之解决一类三角函数的求值问题，通过同角三角函数关系的应用，使学生面对问题养成分析的习惯、学会分析的方法.
教学重点：
同角三角函数的基本关系.
教学难点：
已知某角的一个三角函数值，求它其余的各三角函数值时，符号的确定.
教学过程：
Ⅰ.自学指导
今天我们来学习同角三角函数的基本关系式，课下同学们已经对这部分内容进行了预习，这些关系式的具体内容是_________.
sin2α＋cos2α＝1，＝tanα
请同学们再仔细看一下课本，看这些关系式是怎样得到的?它们的成立有条件吗?若有，是什么?
这些关系式都是由任意角的三角函数定义得到的，它们的成立有条件：一是必须为同角，二是关系式对式子两边都有意义的角＝tanα成立.
通过分析，我们必须明确注意：
(1)关系式是对于同角而言的.
(2)关系式是对于式子两边都有意义的角而言的.?
(3)sin2α读作“sinα”的平方，它与α2的正弦是不同的.
这两个关系式是两个三角恒等式，只要α的值使式子的两边都有意义，无论α取什么值，三个式子分别都是恒成立的，即式子的左右两边是恒等的.以后说到三角恒等式时，除特殊注明的情况外，也都假定是在使两边都有意义的情况下的恒等式.
这些关系式有哪些方面的应用呢?
①求值②化简③证明(学生边答，教师边板书).
所谓求值，就是已知某角的一个三角函数值，可以利用这些关系式，求出这个角其余的各三角函数值，但应该注意，利用平方关系求值时，由于要开平方，就面临一个正负号的选择问题，究竟选正号还是选负号，要由角所在的象限决定.
注意：
(1)应用平方关系求角的三角函数值时，一定要先确定角所在的象限.
(2)正确选用公式以及公式的变用或活用.
课本上的例1、例2、例3都是已知角α的一个三角函数值，求它的其余三角函数值问题，例1和例2有什么不同呢?
例1还告诉了角所在的象限，例2没有告诉.
例2没有告诉角所在的象限，求解的过程就比较复杂啦，因为已知一个角的某一三角函数值，这个角一般位于两个象限，故要分两种情况讨论求值.
现在我们来看一下例3，例3说明若角的某一三角函数值不是一个具体值(或者说是一个字母)时，又要分这个字母表示的数是正、是负、是零三种情况进行讨论，这又增加了问题的复杂程度.
归纳三个例题之情况，求值的问题有三种类型：
①已知某角的某一三角函数值，且知角的象限；
②已知某角的某一三角函数值，不知角的象限；
③已知某角的某一三角函数值为字母，不知角的象限.
对于第二、第三种类型一定要注意分情况讨论，否则，将导致解答的不完整.
下面我们来练习几个题
Ⅱ.课堂练习
课本P18练习1、2、3、4、5、6.
Ⅲ.课时小结
本节课我们学习了同角三角函数的基本关系，明确了关系式成立的条件以及关系式的作用，并对在求值方面的应用进行了练习与分析，特别要注意利用平方关系求值时正负号的选择问题，解决的关键是确定角所在的象限.求值问题有三种类型，对不清楚角所在象限的，一定要分一切可能情况，不遗漏地进行讨论.这些关系式贯穿于三角学习的始终，希望同学们很好掌握.
Ⅳ.课后作业
课本P23习题 7、8、9.
同角三角函数的基本关系式
1．若（）sinθ＜1，则θ的取值范围是 （ ）
A.{θ|+2kπ＜θ＜π+2kπ，k∈Z} B.{θ|π+2kπ＜θ＜2π+2kπ，k∈Z}
C.{θ|2kπ＜θ＜π+2kπ，k∈Z} D.{θ|+2kπ＜θ＜π+2kπ，k∈Z}
2．若sinθ＝，且θ为第二象限角，则tanθ的值等于（ ）
A.－ B.± C.± D.
3．已知α为锐角，且2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，则sinα的值为 （ ）
A. B. C. D.
4．设＝－1，则的值是 （ ）
A.4 B.6 C.5 D.
5．已知sinθ－cosθ＝，则sin3θ－cos3θ＝ .
6．已知tanα＝2，则2sin2α－3sinαcosα－2cos2α＝ .
7．化简＋(α为第四象限角）＝ .
8．已知cosθ＝t，求sinθ，tanθ的值.
9．已知tanα＝2，求下列各式的值.
（1） (2)
(3) sin2α＋cos2α
同角三角函数的基本关系式答案
1．C 2．A 3．A 4．C 5． 6．0 7．－
8．已知cosθ＝t，求sinθ，tanθ的值.
分析：依据cosθ＝t，对t进行分类讨论，利用同角三角函数关系式化简求值.
解：（1）当0＜t＜1时，θ为第一或第四象限角，
θ为第一象限角时，sinθ＝＝，tanθ＝＝
θ为第四象限时，sinθ＝－，tanθ＝－
(2)当－1＜t＜0时，θ在第二或第三象限，
θ为第二象限时，sinθ＝，tanθ＝
θ为第三象限时，sinθ＝－，tanθ＝－
(3)当t＝1时，θ＝2kπ(k∈Z)，sinθ＝0，tanθ＝0，
(4)当t＝0时，θ＝2kπ±(k∈Z)
θ＝2kπ＋ (k∈Z)时，sinθ＝1，tanθ不存在
θ＝2kπ－ (k∈Z)时，sinθ＝－1，tanθ不存在.
（5）当t＝－1时，θ＝2kπ＋π(k∈Z)
sinθ＝0，tanθ＝0
9．已知tanα＝2，求下列各式的值.
（1） (2)
(3) sin2α＋cos2α
分析：依据已知条件tanα＝2，求出sinα与cosα，或将所求式子用tanα表示出来.
解：（1）∵cosα≠0
∴ 原式＝＝＝
(2)∵cos2α≠0
∴＝＝
(3) sin2α＋cos2α
＝＝＝.
第八课时 同角三角函数关系的应用
教学目标：
熟练运用同角三角函数化简三角函数式，活用同角三角函数关系证明三角恒等式，明确化简结果的要求，掌握证明恒等的方法；通过化简与证明，使学生提高三角恒等变形的能力，树立化归的思想方法.
教学重点：
三角函数式的化简，三角恒等式的证明.
教学难点：
同角三角函数关系的变用、活用.
教学过程：
［例1］化简
法一：原式＝
＝＝
法二：原式＝
＝
＝
＝＝＝
法三：原式＝
＝
＝＝＝
①以上三种解法虽思路不同，但都应用了公式sin2α+cos2α＝1,其中生2、3是顺用公式，1是逆用公式，显然1的解法简单明了.②在1的解法中逆用公式sin2α＋cos2α＝1，实质是“1”的一种三角代换“1＝sin2α＋cos2α”.
对于利用同角三角函数关系式化简时，其结果一般要求：①函数种类少；②式子项数少；③项的次数低；④尽量使分母或根号内不含三角函数式；⑤尽可能求出数值（不能查表））.
［例2］求证＝
证法一：由cosx≠0知1＋sinx≠0，于是
左＝＝＝＝＝右
证法二：由1－sinx≠0，cosx≠0于是
右＝＝＝＝＝左
证法三：左－右＝－＝
＝＝＝0
∴＝
证法四：(分析法) 欲证＝
只须证cos2x＝（1＋sinx）（1－sinx）
只须证cos2x＝1－sin2x 只须证sin2x＋cos2x＝1
∵上式成立是显然的，∴＝成立
分析法证题的思路是“执果索因”：从结论出发，逐步逆推，推出一个真命题或者推出的
与已知一致，从而肯定原式成立.要注意论证格式
Ⅲ.课堂练习
已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求tanθ的值.
分析：依据已知条件sinθ＋cosθ＝，θ∈(0，π)，求得2sinθcosθ的值，进而求得sinθ－cosθ的值，结合sinθ、cosθ的值再求得tanθ即可.
解：∵sinθ＋cosθ＝，(1)
将其平方得，1＋2sinθcosθ＝ ∴2sinθcosθ＝－，
∵θ∈(0，π) ∴cosθ＜0＜sinθ
∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝ ∴sinθ－cosθ＝ (2)
由（1）（2）得
sinθ＝，cosθ＝－， ∴tanθ＝－
Ⅳ.课时小结
本节课我们讨论了同角三角函数关系式的两个方面的应用：化简与证明，与同学们讨论了化简的一般要求，证明恒等的常用方法，对于化简与证明另外还应注意两种技巧：一种是切化弦”，一种是“1”的代换，“1”的代换不要仅限于平方关系的代换，还要注意倒数关系的代换，究竟用哪一种，要由具体问题来决定.
Ⅴ.课后作业
课本P24习题 10、11、12.
同角三角函数关系的应用
1．式子sin4θ＋cos2θ＋sin2θcos2θ的结果是 （ ）
A. B. C. D.1
2．已知tanθ＝ (其中0＜a＜1，θ是三角形的一个内角)，则cosθ的值是 （ ）
A. B. C. D.±
3．若sinα＝，cosα＝，＜α＜π，则a的值满足 （ ）
A.a＝0 B.a＞3或a＜－5 C.a＝8 D.a＝0或a＝8
4．化简的结果为 （ ）
A.cos4 B.－cos4 C.±cos4 D.cos22
5．已知sinα＝，且α为第二象限角，那么tanα＝
6．已知sinαcosα＝，且<α<，则cosα－sinα的值为
7．若tanα＝,π<α<π，则sinα·cosα＝
8．若β∈［0，2π)，且＋＝sinβ－cosβ，求β的取值范围.
9．化简：－.
10．求证：tan2θ－sin2θ＝tan2θ·sin2θ.
同角三角函数关系的应用答案
1．D 2．C 3．C 4．B 5．－ 6．－ 7．
8．若β∈［0，2π)，且＋＝sinβ－cosβ，求β的取值范围.
分析：依据已知条件得cosβ≤0，sinβ≥0，利用同角三角函数之间的关系式求解.
解：∵＋
＝＋＝|sinβ|＋|cosβ|＝sinβ－cosβ
∴sinβ≥0，cosβ≤0
∴β是第二象限角或终边在x轴负半轴和y轴正半轴上的角
∵0≤β≤2π ∴≤β≤π
9．化简：－.
原式＝－
＝＝sinx＋cosx
10．求证：tan2θ－sin2θ＝tan2θ·sin2θ.
左边＝tan2θ－sin2θ＝－sin2θ
＝sin2θ·＝sin2θ·＝sin2θ·tan2θ＝右边
1.2.2 同角三角函数的基本关系式（1）
一、课题：同角三角函数的基本关系式（1）
二、教学目标：1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式；
2.掌握三种基本关系式之间的联系；
3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。
三、教学重点：三角函数基本关系式的推导、记忆及应用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．任意角的三角函数定义：
设角是一个任意角，终边上任意一点，
它与原点的距离为，那么：
，，，，，．
（二）新课讲解：
1．同角三角函数关系式：
（1）倒数关系：，，．
（2）商数关系：，．
（3）平方关系：，，．
说明：
①注意“同角”，至于角的形式无关重要，如等；
②注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的，如
；
③对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用），如：
， ， 等。
2．例题分析：
例1 （1）已知，并且是第二象限角，求．
（2）已知，求．
解：（1）∵， ∴，
又∵是第二象限角，∴，即有，从而
， ．
（2）∵， ∴，
又∵， ∴在第二或三象限角。
当在第二象限时，即有，从而，；
当在第四象限时，即有，从而，．
总结：已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。解题时产生遗漏的主要原因是：①没有确定好或不去确定角的终边位置；②利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。
例2 已知为非零实数，用表示．
解：∵，，
∴，即有，
又∵为非零实数，∴为象限角。
当在第一、四象限时，即有，从而，
；
当在第二、三象限时，即有，从而，
．
例3 已知（），求
解： ∵， 即， 又∵，
∴，即，，
又∵，∴为象限角。
当在第一、四象限时，即有，；
当在第二、三象限时，即有，．
3．总结解题的一般步骤：
①确定终边的位置（判断所求三角函数的符号）；
②根据同角三角函数的关系式求值。
五、课堂练习：六、小结：1．同角三角函数基本关系式及成立的条件；
2．根据一个角的某一个三角函数值求其它三角函数值；
3．在以上的题型中：先确定角的终边位置，再根据关系式求值。如已知正弦或余弦，则先用平方关系，再用其它关系求值；若已知正切或余切，则可构造方程组来求值。
七、作业：
1.2.2 同角三角函数的基本关系式（2）
一、课题：同角三角函数的基本关系（2）
二、教学目标：1.根据三角函数关系式进行三角式的化简和证明；
2.了解已知一个三角函数关系式求三角函数（式）值的方法。
三、教学重、难点：如何运用公式对三角式进行化简和证明。
四、教学过程：
（一）复习：
1．同角三角函数的基本关系式。
（1）倒数关系：，，．
（2）商数关系：，．
（3）平方关系：，，．
（练习）已知，求．
（二）新课讲解：
例1 化简．
解：原式．
例2 化简．
解：原式
．
例3 已知，试确定使等式成立的角的集合。
解：∵=
==．
又∵，
∴， 即得或．
所以，角的集合为：或．
例4 化简．
解：原式=
．
说明：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点：
（1）所含三角函数的种类最少；
（2）能求值（指准确值）尽量求值；
（3）不含特殊角的三角函数值。
例5 求证：．
证法一：由题义知，所以．
∴左边=右边．
∴原式成立．
证法二：由题义知，所以．
又∵，
∴．
证法三：由题义知，所以．
，
∴．
例6．求证：．
证明：左边
，
右边．
所以，原式成立。
总结：证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程，证明时常用的方法有：（1）从一边开始，证明它等于另一边（如例5的证法一）；（2）证明左右两边同等于同一个式子（如例6）；（3）证明与原式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立。
例7 已知，求．
解：由等式两边平方：
．
∴（*），即，
可看作方程的两个根，解得．
又∵，∴．又由（*）式知
因此，．
五、小结：1．运用同角三角函数关系式化简、证明。
2．常用的变形措施有：大角化小，切割化弦等。
六、作业：
