第九课时 诱导公式（一）
教学目标：
理解诱导公式的推导方法，掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明，培养学生化归、转化的能力；通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.
教学重点：
理解并掌握诱导公式.
教学难点：
诱导公式的应用——求三角函数值，化简三角函数式，证明简单的三角恒等式.
教学过程：
学习三角函数定义时，我们强调P是任意角α终边上非顶点的任意一点，至于α是多大的角，多小的角并不知道，那么由三角函数的定义可知：终边相同的角的同一三角函数值相等，由此得到公式一：
sin（k·360°＋α）＝sinα
cos（k·360°＋α）＝cosα
tan（k·360°＋α）＝tanα，(k∈Z）
公式的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0°到360°角的三角函数值.下面我们来看几个例子.
［例1］求下列三角函数的值.
(1)sin1480°10′ （2）cos （3）tan（－）
解：(1）sin1480°10′＝sin（40°10′＋4×360°）＝sin40°10′＝0．6451
(2)cos＝cos（＋2π）＝cos＝
(3)tan（－）＝tan（－2π）＝tan＝.
［例2］化简
利用同角三角函数关系公式脱掉根号是解决此题的关键，即
原式＝
＝＝＝cos80°
利用这组公式可以将求任意角的三角函数值转化为求0°到360°角的三角函数值.
初中我们学习了锐角三角函数，任意一个锐角的三角函数值我们都能求得，但90°到3600角的三角函数值，我们还是不会求，要想求出其值，我们还得继续去寻求办法：看能不能把它转化成锐角三角函数，我们来研究这个问题.
下面我们再来研究任意角α与－α的三角函数之间的关系，任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y），角－α的终边与单位圆相交于点P′，因为这两个角的终边关于x轴对称，所以点P′的坐标是（x，－y），由正弦函数、余弦函数的定义可得.
sinα＝y cosα＝x
sin（－α）＝－y cos（－α）＝x
所以sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα
则tan（－α）＝＝－tanα
于是得到一组公式(公式二)：
sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα
下面由学生推导公式三：
sin（180°－α）＝sinα
cos（180°－α）＝－cosα
tan（180°－α）＝－tanα
已知任意角α的终边与单位圆相交于点P(x，y），由于角180°＋α的终边就是角α的反向延长线，所以角180°＋α的终边与单位圆的交点P′与点P关于原点O对称，由此可知，点P′的坐标是（－x，－y)，由正弦函数、余弦函数的定义可得：
sinα＝y，cosα＝x，sin（180°＋α）＝－y，cos（180°＋α）＝－x
∴sin（180°＋α）＝－sinα
cos（180°＋α）＝－cosα tan（180°＋α）＝tanα
于是我们得到一组公式(公式四)：
sin（180°＋α）＝－sinα
cos（180°＋α）＝－cosα
tan（180°＋α）＝tanα
分析这几组公式，它有如下的特点：
1.－α、180°－α、180°＋α的三角函数都化成了α的同名三角函数.
2.前面的“＋”“－”号是把看作锐角时原函数的符号.即把α看作锐角时，180°＋α是第三象限角，第三象限角的正弦是负值，等号右边放“－”号，第三象限角的余弦是负值，等号右边放“－”号；把α看作锐角时，－α是第四象限角，第四象限角的正弦是负值，等号右边放“－”号，第四象限角的余弦是正值，等号右边放“＋”号.
这也就是说，－α、180°－α、180°＋α的三角函数都等于α的同名三角函数且前面放上把α看作锐角时原函数的符号，可以简记为：
函数名不变，正负看象限
下面我们来看几个例子.
［例3］求下列三角函数值
(1)cos225° （2）sinπ
解：(1)cos225°＝cos（180°＋45°）＝－cos45°＝－；
(2)sinπ＝sin（π＋）＝－sin＝－sin18°＝－0．3090.(sin18°的值系查表所得)
［例4］求下列三角函数值
(1)sin（－） （2）cos（－240°12′）
解：(1)sin（－）＝－sin＝－；
(2)cos（－240°12′）＝cos240°12′＝cos（180°＋60°12′）
＝－cos60°12′＝－0．4970
［例5］化简
解：原式＝＝＝1
课堂练习：
课本P21练习1、2、3.
课时小结：
本节课我们学习了公式一～四，这几组公式在求三角函数值、化简三角函数式及证明三角恒等式时是经常用到的，为了记牢公式，我们总结出了“函数名不变，正负看象限”的简便记法，同学们要正确理解这句话的含义，不过更重要的还是应用，我们要多练习，以便掌握得更好，运用得更自如.
课后作业：
课本P24练习13、16、17.
诱导公式（一）
1．sin(－π)的值等于 （ ）
A. B.－ C. D.－
2．若cos165°＝a，则tan195°等于 （ ）
A. － B. － C. D.
3．已知cos(π＋θ)＝－，则tan(θ－9π)的值 （ ）
A.± B. C.± D.－
4．已知sin（π－α）＝log8，且α∈(－，0)，则tanα的值是 （ ）
A. B.－ C.± D. －
5．下列不等式中，不成立的是 （ ）
A.sin130°＞sin140° B.cos130°＞cos140°
C.tan130°＞tan140° D.cot130°＞cot140°
6．求：的值.
7．求下列各三角函数值.
（1）sin（－π） （2）sin（－1200°）
（3）tan(－π) (4)tan(－855°)
（5）cosπ (6)cos(－945°)
8．已知π＜θ＜2π，cos(θ－9π)＝－，求tan(10π－θ)的值.
诱导公式（一）答案
1．C 2．D 3．C 4．B 5．C 6．－
7．求下列各三角函数值.
（1）sin（－π） （2）sin（－1200°）
（3）tan(－π) (4)tan(－855°)
（5）cosπ (6)cos(－945°)
分析：求三角函数值的步骤为：①利用诱导公式三将负角的三角函数变为正角的三角函数.②利用诱导公式一化为0°到360°间的角的三角函数. ③进一步转化成锐角三角函数.
解:（1）sin（－π）＝－sinπ
＝－sin(4π＋π)＝－sinπ＝－sin（π＋）＝sin＝
(2)sin(－1200°)＝－sin1200°
＝－sin(3·360°＋120°)＝－sin120°＝－sin(180°－60°)＝－sin60°＝－
(3)tan(－π)＝－tanπ
＝－tan(22π＋π－)＝－tan(π－)＝tan＝
(4)tan(－855°)＝－tan855°
＝－tan(2·360°＋135°)＝－tan135°＝－tan(180°－45°)＝tan45°＝1
(5)cosπ＝cos(4π＋)
＝cos＝cos(π－)＝－.
(6)cos(－945°)＝cos945°＝cos(2·360°+225°)
＝cos225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－.
8．已知π＜θ＜2π，cos(θ－9π)＝－，求tan(10π－θ)的值.
分析：依据已知条件求出cosθ，进而求得tan(10π－θ)的值.
解：由已知条件得
cos(θ－π)＝－，cos(π－θ)＝－，
∴cosθ＝ ∵π＜θ＜2π，
∴＜θ＜2π ∴ tanθ＝－
∴tan(10π－θ)＝tan(－θ)＝－tanθ＝
第十课时 诱导公式（二）
教学目标：
理解诱导公式的推导方法，掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明，培养学生化归、转化的能力；通过诱导公式的应用，使学生认识到转化“矛盾”是解决问题的一条行之有效的途径.
教学重点：
理解并掌握诱导公式.
教学难点：
诱导公式的应用——求三角函数值，化简三角函数式，证明简单的三角恒等式.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
公式一～公式四
函数名不变，正负看象限.
Ⅱ.检查预习情况
由－α与α的终边关于直线y＝x对称，可得：
公式五：sin（－α）＝cosα，cos（－α）＝sinα
利用公式二和公式五可得：
公式六：sin（＋α）＝cosα，cos（＋α）＝－sinα
公式一～公式六统称为诱导公式
Ⅲ.例题分析
课本P22例3，例4
补充例题：
［例1］化简
解：原式＝
＝＝－
［例2］化简
解：原式＝
＝
＝＝
＝＝＝cos300＝
［例2］已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值.
分析：依据已知条件及根与系数关系，列出关于m的方程去求解.
解：设直角三角形的两个锐角分别为α、β，则可得α＋β＝，
∴cosα＝sinβ
∵方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0中
Δ＝4（m＋1)2－4·4m＝4(m－1)2≥0
∴当m∈R，方程恒有两实根.
又∵cosα＋cosβ＝sinβ＋cosβ＝
cosα·cosβ＝sinβcosβ＝
∴由以上两式及sin2β＋cos2β＝1，得
1＋2·＝()2 解得m＝±
当m＝时，cosα＋cosβ＝＞0，
cosα·cosβ＝＞0，满足题意，
当m＝－时，
cosα＋cosβ＝＜0，这与α、β是锐角矛盾，应舍去.
综上，m＝
Ⅳ.课堂练习
课本P23练习 1、2、3、4.
Ⅴ.课时小结
本节课同学们自己导出了公式五、公式六，完成了教材中诱导公式的学习任务，为求任意角的三角函数值“铺平了道路”.利用这些公式，可把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，为求值带来很大的方便，这种转化的思想方法，是我们经常用到的一种解题策略，要细心去体会、去把握.利用这些公式，还可以化简三角函数式，证明简单的三角恒等式，我们要多练习，在应用中达到熟练掌握的程度.
Ⅵ.课后作业
课本P24习题14、15、18.
诱导公式（二）
1．下列不等式中，正确的是 （ ）
A.sinπ＞sinπ B.tanπ＞tan(－)
C.sin(－)＞sin(－) D.cos(－π)＞cos(－π)
2．tan300°＋sin450°的值为 （ ）
A.1＋ B.1－ C.－1－ D.－1＋
3．已知cos(π＋θ)＝－，θ是第一象限角，则sin（π＋θ）和tanθ的值分别为（ ）
A. ，－ B.－， C.－，－ D.－，－
4．已知x∈(1，)，则|cosπx|＋|cos|－|cosπx＋cos|的值是 （ ）
A.0 B.1 C.2 D.－1
5．＝ .
6．若α是第三象限角，则= .
7．sin2(－x)＋sin2(＋x)＝ .
8．已知sin（π－α）－cos(π＋α)＝ (＜α＜π，
求sinα－cosα与sin3（＋α）＋cos3(＋α)的值.
9．设sinα＝，cosβ＝－，且α、β不在同一象限，求sin（α＋β)的值.
10．已知cos(75°＋α)＝，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.
诱导公式（二）答案
1．B 2．B 3．B 4．A 5． 6．－sinα－cosα 7．1
8．已知sin（π－α）－cos(π＋α)＝ (＜α＜π，
求sinα－cosα与sin3（＋α）＋cos3(＋α)的值.
分析：对已知条件中的式子与所求式子先利用诱导公式化简，求得sinαcosα，进而求得sinα－cosα的值.
解：∵sin（π－α）－cos(π＋α) ＝ (＜α＜π)
∴sinα＋cosα＝
将其两边平方得：1＋2sinαcosα＝
∴sinαcosα＝－， ∵＜α＜π
∴sinα－cosα
＝＝
又sin3（＋α）＋cos3(＋α)
＝sin3［π－(－α)］＋cos3［π－(－α)］
＝sin3(－α)－cos3(－α)＝－sin3α＋cos3α
＝(cosα－sinα)(cos2α＋sinαcosα＋cos2α)
＝－·（1－)＝－
9．设sinα＝，cosβ＝－，且α、β不在同一象限，求sin（α＋β)的值.
分析：依据已知条件可得α、β满足条件的情况有：
（1）α在第一象限，β在第二象限；
（2）α在第一象限，β在第三象限；
（3）α在第二象限，β在第三象限.
解：（1）当α在第一象限，β在第三象限时，
α＝2kπ＋ (k∈Z)，β＝2nπ＋ (n∈Z)，则有：
α＋β＝2(k＋n)π＋π
sin(α＋β)＝sinπ＝
(2)当α在第一象限，β在第二象限时，α＝2kπ＋ (k∈Z)，β＝2nπ＋π(n∈Z)则有：α＋β＝2(k＋n)π＋π
sin(α＋β)＝sinπ＝sinπ＝－1
(3)当α在第二象限，β在第三象限时，α＝2kπ＋π(k∈Z)，β＝2nπ＋π(n∈Z)则有：α＋β＝2(k＋n)π＋π
sin(α+β)＝sinπ＝sin＝
综上，得sin（α+β）＝
10．已知cos(75°＋α)＝，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.
分析：依据已知条件与所求结论，寻求它们的关系（75°＋α)＋(105°－α)＝180°，结合三角函数诱导公式求得.
解：∵cos(105°－α)＝cos［180°－(75°＋α)］＝－cos(75°＋α)＝－
sin(α－105°)＝－sin［180°－(75°＋α)］＝－sin(75°＋α)
∵cos(75°＋α)＝ ＞0
又∵α为第三象限角，∴75°＋α为第四象限角
∴sin（75°＋α)＝－
＝－＝－
∴cos(105°－α)＋sin(α－105°)
＝－＋＝
1.2.3 三角函数的诱导公式（1）
一、课题：三角函数的诱导公式（1）
二、教学目标：1.理解正弦、余弦的诱导公式二、三的推导过程；
2.掌握公式二、三，并会正确运用公式进行有关计算、化简；
3.了解、领会把为知问题化归为已知问题的数学思想，提高分析问题、解决问题的能力。
三、教学重、难点：1．诱导公式二、三的推导、记忆及符号的判断；
2．应用诱导公式二、三的推导。
四、教学过程：
（一）复习：
1．利用单位圆表示任意角的正弦值和余弦值；
2．诱导公式一及其用途：
．
问：由公式一把任意角转化为内的角后，如何进一步求出它的三角函数值？
我们对范围内的角的三角函数值是熟悉的，那么若能把内的角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值，则问题将得到解决，这就是数学化归思想。
（二）新课讲解：
1．引入：对于任何一个内的角，以下四种情况有且只有一种成立（其中为锐角）：
所以，我们只需研究的同名三角函数的关系即研究了的关系了。
2．诱导公式二：
提问：（1）锐角的终边与的终边位置关系如何？
（2）写出的终边与的终边与单位圆交点的坐标。
（3）任意角与呢？
通过图演示，可以得到：任意与的终边都是关于原点中心对称的。
则有，由正弦函数、余弦函数的定义可知：
， ；
， ．
从而，我们得到诱导公式二： ；．
说明：①公式二中的指任意角；
②若是弧度制，即有，；
③公式特点：函数名不变，符号看象限；
④可以导出正切：．
（此公式要使等式两边同时有意义）
3．诱导公式三：
提问：（1）的终边与的终边位置关系如何？从而得出应先研究；
（2）任何角与的终边位置关系如何？
对照诱导公式二的推导过程，由学生自己完成诱导公式三的推导，
即得：诱导公式三：；．
说明：①公式二中的指任意角；
②在角度制和弧度制下，公式都成立；
③公式特点：函数名不变，符号看象限（交代清楚在什么情况下“名不变”，以及符号确定的具体方法）；
④可以导出正切：．
4．例题分析：
例1 求下列三角函数值：（1）； （2）．
分析：先将不是范围内角的三角函数，转化为范围内的角的三角函
数（利用诱导公式一）或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化到范围内角
的三角函数的值。
解：（1）（诱导公式一）
（诱导公式二）
．
（2）（诱导公式三）
（诱导公式一）
（诱导公式二）
．
方法小结：用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数，其一般步骤是：
①化负角的三角函数为正角的三角函数；
②化为内的三角函数；
③化为锐角的三角函数。
可概括为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”（有时也直接化到锐角求值）。
例2 化简．
解：原式
．
五、课堂练习：
六、小结：1．简述数学的化归思想；
2．两个诱导公式的推导和记忆；
3．公式二可以将范围内的角的三角函数转化为锐角的三角函数；
4．公式三可以将负角的三角函数转化为正角的三角函数。
七、作业：
1.2.3 三角函数的诱导公式（2）
一、课题：三角函数的诱导公式(2)
二、教学目标：1.引导学生利用公式一、二、三推导公式四、五；
2.在理解、记忆五组诱导公式的基础上，正确运用公式求任意角的三角函数值及对三角函数式的化简、证明；
3．加深理解化归思想。
三、教学重、难点：五组诱导公式的记忆、理解、运用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．复习诱导公式一、二、三；
2．对“函数名不变，符号看象限”的理解。
（二）新课讲解：
1．公式推导：
我们继续推导公式：即的同名三角函数的关系。
（1）请学生自行仿上节课的推导方法得出它们的关系。
（2）启发学生讨论：能否根据诱导公式一、二、三推导出它们的关系。
[推导过程]；
；
；
．
[结论]诱导公式四：；
．
诱导公式五：；
．
说明：①公式二中的指任意角；
②在角度制和弧度制下，公式都成立；
③公式特点：函数名不变，符号看象限；
④可以导出正切：；．
2．五组诱导公式：
五组公式可概括如下：的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。
说明：（1）要化的角的形式为（为常整数）；
（2）记忆方法：“函数名不变，符号看象限”；
（3）利用五组诱导公式就可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
其化简方向仍为：“负化正，大化小，化到锐角为终了”。
3．例题分析：
例1 求下列三角函数值：（1）；（2）．
解：（1）；
（2）．
例2 化简：
（1）；
（2）．
解：（1）原式．
（2）原式
．
五、课堂练习：
六、小结：1．五组诱导公式的形式及记忆口诀“函数名不变，符号看象限”；
2．求任意角的三角函数值的一般步骤；
3．熟练运用公式化简、求值。
七、作业：
1.2.3 三角函数的诱导公式（3）
一、课题：三角函数的诱导公式（3）
二、教学目标：1.牢固掌握五组诱导公式，熟练运用公式进行三角函数的求值、化简及恒等证明；
2.能运用化归思想解决与其它知识结合的综合性问题；
3.渗透分类讨论的数学思想，提高分析和解决问题的能力。
三、教学重、难点：1．熟练、准确地运用公式进行三角函数求值、化简及证明；
2．带字母的三角函数的化简（分类讨论类型）。
四、教学过程：
（一）复习：
1．复习五组诱导公式（包括正切）；
2．分析记忆公式的口诀“函数名不变，符号看象限”；
3．求任意角的三角函数的一般步骤。
4．练习：
（1）化简：课本32页的练习第4题；
（2）求值：①． （答案）
②． （答案）
（3）证明：．
说明：结合“口诀”，加强运用公式的熟练性、准确性。
（二）新课讲解：
例1 已知：，求的值。
解：∵，
∴原式．
说明：第二步到第三步应用了“弦化切”的技巧，即分子、分母同除以一个不为零的，得到一个只含的教简单的三角函数式。
变式训练：已知：，求的值。
解答：，原式
．
说明：同样应用上题的技巧，把看成是一个分母为的三角函数式，注意结合“口诀”及的运用。
例2 已知，且是第四象限角，求的值。
解：
由已知得：， ∴原式．
说明：关键在于抓住是第四象限角，判断的正负号，利用同角三角函数关系式得出结论。
变式训练：将例2中的“是第四象限角”条件去掉，结果又怎样？
解答：原式，
∵为负值，∴是第三、四象限角。
当是第三象限角时，．∴原式．
当是第四象限角时，即为上例。
说明：抓住已知条件判断角所在象限，利用分类讨论的思想，同上题类似做法，得出结论。
例3 化简．
解：①当时，
原式．
②当时，
原式．
说明：关键抓住题中的整数是表示的整数倍与公式一中的整数有区别，所以必须把分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论。
五、小结：1．熟练运用公式化简、求值、证明；
2．运用化归思想和分类讨论的思想分析解决问题。
六、作业： 补充：1．化简；
2．化简且；
