第十一课时 三角函数的周期性
教学目标：
掌握函数的周期性，会求简单函数的最小正周期，掌握正弦函数、余弦函数的周期及求法；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.
教学重点：
正、余弦函数的周期
教学难点：
函数的周期性
教学过程：
由单位圆中的三角函数线可知，正、余弦函数值的变化呈现出周期现象，每当角增加（或减少）2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正、余弦函数值也分别相同.即有：
sin（2π＋x）＝sinx，cos（2π＋x）＝cosx，
正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性.
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
根据上述定义，可知：
正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
以后如果不加特别说明，函数的周期一般都是指最小正周期
正切函数是周期函数，且周期T＝π
课本P26例1、例2
一般地，函数y＝Asin(ωx＋)及y＝Acos(ωx＋)（其中A、ω、为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T＝，函数y＝Atan (ωx＋)的周期T＝
周期函数应注意以下几点：
1.式子f(x＋T)＝f(x)对定义域中的每一个值都成立.即定义域内任何x，式子都成立.而不能是“一个x”或“某些个x”，另一方面，判断一个函数不是周期函数，只需举一个反例就行了.
例如：由于sin(＋)＝sin，即sin(x＋)＝sinx.该式中x取时等式成立，能否断定是sinx的周期呢?不能，因对于其他一些x值该式不一定成立.如x＝时，sin(x＋)≠sinx.
［例］函数y＝cosx(x≠0)是周期函数吗?
解：不是，举反例，当T＝2π时，令x＝－2π，则有cos(x＋2π)＝cos(－2π＋2π)＝cos0＝1，但x＝0，不属于题设的定义域，则x不能取－2π，故y＝cosx(x≠0)不是周期函数.
2.式子f(x＋T)＝f(T)是对“x”而言.
例如，由cos( ＋2kπ)＝cos (k∈Z)，是否可以说cos的周期为2kπ呢?不能!因为cos( ＋2kπ)＝cos，即cos＝cos (k∈Z)，所以cos的周期是6kπ，而不是2kπ(k∈Z).
3.一个函数是周期函数，但它不一定有最小正周期.例如，f(x)＝a(常数)，显然任何一个正数T都是f(x)的周期，由于正数中不存在最小的数，所以周期函数f(x)＝a无最小正周期.
4.设T是f(x)(x∈R)的周期，那么kT(k∈Z，且k≠0)也一定是f(x)的周期，定义规定了T为一个实常数，而不是一个变数；同时也规定了T的取值范围，只要求不为零，不要误认为T一定是π的倍数.
有许多周期函数的周期中是不含“π”的，如下面几例：
［例1］函数y＝sinπx的周期是T＝＝2.
［例2］函数y＝tan2πx的周期是T＝＝.
［例3］若对于函数y＝f(x)定义域内的任何x的值，都有f(x＋1)＝f(x)成立，则由周期函数的定义可知，函数y＝f(x)是周期函数，且T＝1是其周期.
［例4］设f(x)定义在R上，并且对任意的x，有f(x＋2)＝f(x＋3)－f(x＋4).
求证：f(x)是周期函数，并找出它的一个周期.
证明：∵f(x＋2)＝f(x＋3)－f(x＋4) ①
∴f(x＋3)＝f(x＋4)－f(x＋5) ②
①＋②得：f(x＋2)＝－f(x＋5) ③
由③得：f(x＋5)＝－f(x＋8) ④
∴f(x＋2)＝f(x＋8)
即f(x)＝f(x＋6)
∴f(x)为周期函数，一个周期为6.
5.周期函数必须是函数，但一定要克服思维定势，认为周期性是三角函数所独有的，实质上我们学过的非周期函数f(x)(如y＝log2x，y＝｜x｜，y＝2x，y＝x2等等)将其定义域内限制在一个半开半闭区间上，经左右平移，可以延拓变为周期函数，例如将非周期函数y＝x2(x∈R)在其定义域R内限制在(－1，1］，然后将y＝x2(－1＜x≤1)的图象左、右平移，可以延拓为最小正周期为2的周期函数f(x)＝(x－2k)2(2k－1＜x≤2k＋1)，k∈Z，如图：
［例］已知f(x)＝｜x｜，x∈(－1，1］，求定义在R上的一个周期为2的函数g(x)，使x∈(－1，1］时，g(x)＝f(x).
解：由g(x)的周期性可画出g(x)的图象.如图：
对于任意的x∈R，x一定在周期为2的区间(2n－1，2n＋1］内，则x－2n∈(－1，1］.
∴g(x)＝g(x－2n)＝f(x－2n)＝｜x－2n｜，
即g(x)＝
评述：(1)要判定f(x)是周期函数，自变量x必须取遍定义域内的每一个值.
(2)周期函数是高考中的热点，只有深层次的理解周期函数的意义，才能臻化入境，运用自如.
课堂练习：
课本P27 练习1～4
课时小结：
要初步掌握三角函数的周期性.
课后作业：
课本P45 习题 1
1.3.1 三角函数的周期性
一、课题：三角函数的周期性
二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；
2.会求正、余弦函数的最小正周期。
三、教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。
四、教学过程：
（一）引入：
1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2．观察正（余）弦函数的图象总结规律：
自变量
函数值
正弦函数性质如下：
文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得；
符号语言：当增加（）时，总有．
也即：（1）当自变量增加时，正弦函数的值又重复出现；
（2）对于定义域内的任意，恒成立。
余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。
（二）新课讲解：
1．周期函数的定义
对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有，那么函数就叫做周期函数，非零常数叫做这个函数的周期。
说明：（1）必须是常数，且不为零；
（2）对周期函数来说必须对定义域内的任意都成立。
【思考】
（1）对于函数，有，能否说是它的周期？
（2）正弦函数，是不是周期函数，如果是，周期是多少？（，且）
（3）若函数的周期为，则，也是的周期吗？为什么？
（是，其原因为：）
2．最小正周期的定义
对于一个周期函数，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期。
说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；
（2）从图象上可以看出，；，的最小正周期为；
（3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （没有最小正周期）
3．例题分析：
例1：求下列函数周期：
（1），；
（2），；
（3），．
解：（1）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
（2）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
（3）∵，
∴自变量只要并且至少要增加到，函数，的值才能重复出现，
所以，函数，的周期是．
说明：（1）一般结论：函数及函数，（其中 为常数，且，）的周期；
（2）若，例如：①，；②，；
③，．
则这三个函数的周期又是什么？
一般结论：函数及函数，的周期．
例2：求下列函数的周期：
（1）； （2）；
（3）； （4）； （5）．
解：（1），∴周期为；
（2），∴周期为；
（3） ∴周期为；
（4），∴周期为；
（5），∴周期为．
说明：求函数周期的一般方法是：先将函数转化为的形式，再利用公式进行求解。
五、课堂练习：求下列函数的周期：
（1），； （2），； （3），；
（4），；（5），；（6），．
六、小结：1.周期函数、最小正周期的定义 2. 型函数的周期的求法。
课件12张PPT。§1.3.1 三角函数的周期性?观察摩天轮的转动?观察一个函数图象像如果存在一个非零的常数T使得定义域内的每一个x的值，都满足?一般地，对于函数f(x),f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数?非零常数T叫做这个函数的周期?一个周期函数的周期有多少个？?理解这个定义要注意那几个方面？ ?对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期。?正弦函数和余弦函数的最小正周期
都是?判断下列说法是否正确√× 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示：(1)求该函数的周期;(2)求t=10s时钟摆的高度?应用一般地，函数 及 （其中 为常数，且 ）的周期是?通过我们刚才的研究知道 y=sinx,
y=cosx是周期函数，周期都 是 ，那么下列函数的周期是多少呢？?应用 2，若函数 的最小
正周期为 ，求正数 的值。1，求下列函数的最小正周期函数y=tanx是周期函数吗？那么它的周期是多少？它有最小正周期吗？它的最小正周期是多少？?思考正切线.gsp函数y=tan(ax)(a>0)是周期函数吗？?思考1，下面函数是周期函数吗？如果是周期函数，你能找出最小正周期吗？ 2，已知函数f(x)对定义域中的每个自变量都有f(x+2)=-f(x),它是周期函数吗？如果是，它的周期是多少？ ?谢谢各位光临指导
1．函数y＝5sin的最小正周期为________．
解析 y＝－5 sin，T＝＝8π.
答案 8π
2．已知函数f(x)＝5cos的最小正周期为，则ω＝________.
解析 T＝＝，∴ω＝±3.
答案 ±3
3．若函数f(x)＝2tan的最小正周期T满足1解析 由T＝，1∴1<<2，∴<|k|<π，
又k∈N ∴k＝2或3
答案 2或3
4．已知函数f(x)是周期为6的奇函数，且f(－1)＝1，则f(－5)＝________.
解析 f(x)的周期为6，则f(－5)＝f(－5＋6)＝f(1)＝－f(－1)＝－1
答案 －1
5．已知函数f(x)＝8sin－2的最小正周期不大于3，则正整数k的最小值是________．
解析 由已知T＝≤3，∴|k|≥2π，而k>0，∴k≥2π，正整数k的最小值是7.
答案 7
6．求下列函数的周期：
(1)y＝sin 3x，x∈R；
(2)y＝cos，x∈R；
(3)y＝sin，x∈R.
解 (1)y＝sin 3x的周期为T＝.
(2)y＝cos的周期为T＝＝6π.
(3)y＝sin的周期为T＝＝4π.
7．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是π，且当x∈时，f(x)＝cos x，则f的值为________．
解析 ∵f＝f＝f＝－f＝－cos＝－.
答案 －
8．已知函数f(x)＝sin，其中k≠0，当自变量在任何两个整数间(包括整数本身)变化时，至少含有一个周期，最小正整数k的值是________．
解析 由已知周期T≤1，即＝≤1.
又k>0，∴k≥20π，∴k的最小正整数值为63.
答案 63
9．若存在常数p>0，使得函数f(x)满足f(px)＝f，(x∈R)，则f(x)的一个正周期为________．
解析 令px－＝u，则px＝u＋，依题意有f＝f(u)，此式对任意u∈R都成立，而>0且为常数，因此，f(x)是一个周期函数，是一个正周期．
答案
10．若函数f(x)，对任意x都有f(x＋2)＝－，则函数y＝f(x)的一个正周期为________．
解析 由f(x＋2)＝－，得f(x＋4)＝，
∴f(x)＝f(x＋4)，即f(x)的周期T＝4.
答案 4
11．一机械振动中，某质点离开平衡位置的位移x(cm)与时间t(s)之间的函数关系，如图所示：
(1)求该函数的周期；
(2)求t＝25.5 s时，该质点离开平衡位置的位移．
解 (1)由函数图象可知，该函数的周期为T＝(4.5－0.5)s＝4 s.
(2)设x＝f(t)，∵函数f(t)的周期为4 s，
∴f(25.5)＝f(6×4＋1.5)＝f(1.5)＝－3.
∴t＝25.5 s时，质点位移为－3 cm.
12．设f(x)是定义在R上且最小正周期为π的函数，在某一周期上f(x)＝，求f的值．
解 ∵f(x)的周期为π
∴f＝f＝f.
∵0<<π，∴f＝sin＝sin＝，
即f＝.
13．(创新拓展)求y＝|sin 2x|的周期．
解 设f(x)＝|sin 2x|，
则f＝
＝|sin(π＋2x)|＝|－sin 2x|＝|sin 2x|＝f(x)．
∴是y＝|sin 2x|的一个周期．
若有T是y＝|sin2x|的周期，
则f(x)＝|sin 2x|＝f(x＋T)＝|sin (2x＋2T)|对x∈R恒成立．令x＝0，则有sin 2T＝0，
但0而在(0，π)不存在正弦值为0的角，这与sin 2T＝0矛盾．
故是y＝|sin 2x|的最小正周期．
课件28张PPT。1．3 三角函数的图象和性质
1．3.1 三角函数的周期性周期函数 周期 最小正周期 单击此处进入 活页规范训练课件13张PPT。三角函数的图象内容提要四种基本三角函数的图象
用五点法作函数y=Asin(ωx+φ )的图象
函数y=Asin(ωx+φ )+B中各参数对图象的影响
函数y=Asin(ωx+φ )+B的图象与y=sinx的图象之间的关系
已知函数y=Asin(ωx+φ )+B的图象，确定各参数的值 用五点法画函数y=Asin(ωx+φ)+B的图象 列表，描出一个周期内图象上的五个关键点（处于平衡位置的三个点，一个最高点，一个最低点）;
用平滑曲线顺次连接五个关键点，就得到函数在长度为一个周期内的闭区间上的图象；
根据函数的周期性，将图象左右扩展，就得到所需要的函数图象。
进入作图界面 函数y=Asin(ωx+φ)+B中各参数对图象的影响进入分析画面
由y=sinx的图象得到y=Asin(ωx+φ)+B的图象 显示结论 由y=Asin(ωx+φ)+B 的图象确定各参数的值进入分析界面
显示结论求y=Asin(ωx+φ)+B 中各参数值的结论由最值求A和B
由周期求ω
由特殊点求φ例题分析例题分析进入例2例题分析回到分析例3分析返回题目续课外作业第2题
第3题
第6题总 课 题
三角函数的图象与性质
总课时
第9课时
分 课 题
三角函数的周期性
分课时
第1课时
教学目标
了解周期函数、最小正周期的概念及正弦、余弦、正切函数的周期性，会求一些简单三角函数的周期。
重点难点
函数的周期性、最小正周期的定义，求简单三角函数的周期。
?引入新课
1、问题：（1）今天是星期_____，则过了七天是星期______？过了十四天呢？……
（2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？
2、用三角函数线研究正弦、余弦函数值：
每当角增加（或减少），所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正弦、余弦函数值也分别相同，即有：
_________________________；__________________________。
这种性质我们就称之为周期性。
若记，则对于任意，都有______________。
若记，则对于任意，都有______________。
3、周期函数的概念：一般地，对于函数，如果存在一个非零的常数，使得定义域内的每一个值，都满足_______________________，那么函数就叫做______________，
非零常数叫做这个函数的_____________________。
说明：（1）必须是常数，且不为零；
（2）对周期函数来说必须对定义域内的任意都成立。
4、最小正周期的概念：
5、的周期：
一般地，函数及（其中为常数，
且）的周期__________。
说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期；
6、课前练习：
（1）一个周期函数的周期有_________个。
（2）试举出没有最小正周期的周期函数：__________________________________________。
（3）函数有，则______它的周期（填“是”或“不是”）
（4）正弦函数，是不是周期函数，若是，周期是_____________________。
（5）若函数的周期为，则也是的周期吗？为什么？
?例题剖析
例1、求下列函数的周期。
（1） （2） （3）
例2、若函数的最小正周期为，求正数的值。
例3、若函数的定义域为，且对一切实数，都有，
且，试证明为周期函数，并求出它的一个周期。
例4、电流强度随时间变化的关系式是，。
（1）求电流强度的周期；
（2）当，，（单位：）时，求电流强度。
?巩固练习
1、函数是（ ）
A、周期为的奇函数 B、周期为的偶函数
C、周期为的奇函数 D、周期为的偶函数
2、如图是周期为的函数在上的图象，请画出该函数在上的图象。
?课堂小结
函数的周期性的定义，最小正周期的定义，简单三角函数的周期的求法。
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、下列命题中，正确的是 （ ）
A、是周期函数 B、是周期函数
C、是周期函数 D、的最小正周期为
2、函数的最小正周期是 （ ）
A、 B、 C、 D、
3、函数是定义在上的周期为的奇函数，且，则________。
4、已知函数的最小正周期为，则________。
5、函数的周期为，，则正整数________。
6、若存在常数，使得函数满足，，
则的一个正周期为________。
二、提高题
7、求下列函数的周期：
（1） （2）
（3） （4）
8、已知，求证：是周期函数，并求出它的一个周期。
三、能力题
9、证明：若函数满足常数，则是周期函数，且是它的一个周期。
10、已知函数，
（1）若周期为，求的值； （2）若周期不大于，求自然数的最小值。
探究：函数的周期是____________。
1．函数y＝3cos(x－)的最小正周期是________．
解析：利用周期公式T＝＝5π.
答案：5π
2．若函数y＝sin(kπ＋)(k＞0)的最小正周期为，则k的值为________．
解析：由于k＞0，所以＝，所以k＝6.
答案：6
3．函数y＝的周期是________．
解析：y＝＝＝cosx，所以周期为2π.
答案：2π
4. 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．
则该函数的周期为________．当t＝25 s时，钟摆的高度为________．
解析：由题图可知周期为2 s，所以f(25)＝f(1＋12×2)＝f(1)．
答案：2 s 20 mm
一、填空题
1．下列函数中，周期为的是________．(只填序号)
①y＝sin；②y＝sin2x；③y＝cos；④y＝cos4x.
解析：y＝sin的周期为4π，y＝sin2x的周期为π，y＝cos的周期为8π，y＝cos4x的周期为.
答案：④
2．f(x)＝cos(ωx－)最小正周期为，其中ω＞0，则ω＝________.
解析：∵T＝＝，∴ω＝10.
答案：10
3．已知函数f(x)＝sin(x＋)(k为正整数)，要使f(x)的周期在(，)内，则正整数k的最小值为________，最大值为________．
解析：由周期公式，得T＝＝，由题意知＜＜.因为k＞0，所以＜＜，即＜k＜9π，所以kmin＝15，kmax＝28.
答案：15 28
4．函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)＝2，则f(5)＝________.
解析：因为f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，所以f(x＋3)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，又f(1)＝2，所以f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2
5．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋4)＝－f(x)，且f(3)＝5，则：f(－21)＝________，f(2011)＝________.
解析：由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x)＝－f(x＋4)＝－[－f(x＋4＋4)]＝f(x＋8)，所以T＝8，f(－21)＝f(－24＋3)＝f(3)＝5，f(2011)＝f(251×8＋3)＝f(3)＝5.
答案：5 5
6．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－2)＝f(x＋2)，f(1)＝2，则f(2)＋f(7)＝________.
解析：由f(x－2)＝f(x＋2)得T＝4，由f(x－2)＝f(x＋2)得f(－2)＝f(2)，即－f(2)＝f(2)，所以f(2)＝0，f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.
答案：－2
7．若函数f(n)＝sin(n∈Z)，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)＝________.
解析：因为sin＝ sin(＋2π)＝sin，所以f(n)＝f(n＋12)．又因为f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(12)＝0，且102＝12×8＋6，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(102)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝2＋.
答案：2＋
8．定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝，则f(2011)的值为________．
解析：由已知得f(－1)＝log22＝1，f(0)＝0，f(1)＝f(0)－f(－1)＝－1，f(2)＝f(1)－f(0)＝－1，f(3)＝f(2)－f(1)＝－1－(－1)＝0，f(4)＝f(3)－f(2)＝0－(－1)＝1，f(5)＝f(4)－f(3)＝1，f(6)＝f(5)－f(4)＝0，∴函数f(x)的值以6为周期重复出现，f(2011)＝f(335×6＋1)＝f(1)＝－1.
答案：－1
二、解答题
9．定义在R上的函数f(x)既是偶函数，又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，求f()的值．
解：因为f(x)是周期函数，且最小正周期为π，所以f()＝f(－＋2π)＝f(－)．又因为f(x)是偶函数，所以f(－)＝f()．因为当x∈[0，]时，f(x)＝sinx，所以f()＝sin＝，所以f(－)＝，所以f()＝.
10．已知函数f(x)(x∈N＋)，f(1)＝1，f(2)＝6，f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n)，求f(100)．
解：由f(n＋2)＝f(n＋1)－f(n) ①得
f(n＋3)＝f(n＋2)－f(n＋1) ②
①式＋②式，得f(n＋3)＝－f(n)．
∴f(n＋6)＝f[(n＋3)＋3]＝－f(n＋3)
＝－[－f(n)]＝f(n)．
∴T＝6为f(x)的一个周期．
∴f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝－f(1)＝－1.
11．已知偶函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，当x∈[－1,0]时，f(x)＝3x＋.求：f(log5)．
解：∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x＋2)＝f(x)，
∴y＝f(x)是周期为2的函数．
∵(log5)∈(－2，－1)，
∴log5＋2＝log∈(0,1)，
又∵f(x)为偶函数，
且x∈[－1,0]，f(x)＝3x＋，
∴当x∈[0,1]时，f(x)＝3－x＋，
∴f(log5)＝f(log)
＝3－log＋
＝3log3＋＝＋＝1.
