第十三课时 三角函数的性质
教学目标：
理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义，会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点.
教学重点：
正、余弦函数的性质
教学难点：
正、余弦函数性质的理解与应用
教学过程：
Ⅰ.课题导入
上节课，我们研究了正、余弦函数的图象，今天，我们借助它们的图象来研究它们有哪些性质.
(1)定义域：
正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R［或(－∞，＋∞)］，分别记作：
y＝sinx，x∈R
y＝cosx，x∈R
(2)值域
因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度，所以｜sinx｜≤1，｜cosx｜≤1，即
－1≤sinx≤1，－1≤cosx≤1
也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是［－1，1］.
其中正弦函数y=sinx，x∈R
①当且仅当x＝＋2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
②当且仅当x＝－＋2kπ，k∈Z时，取得最小值－1.
而余弦函数y＝cosx，x∈R
①当且仅当x＝2kπ，k∈Z时，取得最大值1.
②当且仅当x＝(2k＋1)π，k∈Z时，取得最小值－1.
(3)周期性
由 (k∈Z)
知：正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.
由此可知，2π，4π，…，－2π，－4π，…2kπ(k∈Z且k≠0)都是这两个函数的周期.
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期.
根据上述定义，可知：
正弦函数、余弦函数都是周期函数,2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的周期，最小正周期是2π.
(4)奇偶性
正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.
(5)单调性
从y＝sinx，x∈［－，］的图象上可看出：
当x∈［－，］时，曲线逐渐上升，sinx的值由－1增大到1.
当x∈［，］时，曲线逐渐下降，sinx的值由1减小到－1.
结合上述周期性可知：
正弦函数在每一个闭区间［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间［＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到
－1.
余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π，2kπ］(k∈Z)上都是增函数，其值从－1增加到1；在每一个闭区间［2kπ，(2k＋1)π］(k∈Z)上都是减函数，其值从1减小到－1.
［例1］求使下列函数取得最大值的自变量x的集合，并说出最大值是什么.
(1)y＝cosx＋1，x∈R； (2)y＝sin2x，x∈R.
解：(1)使函数y＝cosx＋1，x∈R取得最大值的x的集合，就是使函数y＝cosx，x∈R取得最大值的x的集合｛x｜x＝2kπ，k∈Z｝.
函数y＝cosx＋1，x∈R的最大值是1＋1＝2.
(2)令Z＝2x，那么x∈R必须并且只需Z∈R，且使函数y＝sinZ，Z∈R取得最大值的Z的集合是｛Z｜Z＝＋2kπ，k∈Z｝
由2x＝Z＝＋2kπ，得x＝＋kπ
即：使函数y＝sin2x，x∈R取得最大值的x的集合是｛x｜x＝＋kπ，k∈Z｝.
函数y＝sin2x，x∈R的最大值是1.
［例2］求下列函数的定义域：
(1)y＝1＋ (2)y＝
解：(1)由1＋sinx≠0，得sinx≠－1
即x≠＋2kπ(k∈Z)
∴原函数的定义域为｛x｜x≠＋2kπ，k∈Z｝
(2)由cosx≥0
得－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)
∴原函数的定义域为［－＋2kπ，＋2kπ］(k∈Z)
［例3］求下列函数的单调递增区间：
①y＝cos(2x＋)；②y＝3sin(－)
解：①设u＝2x＋，则y＝cosu
当2kπ－π≤u≤2kπ时y＝cosu随u的增大而增大
又∵u＝2x＋随x∈R增大而增大
∴y＝cos(2x＋)当2kπ－π≤2x＋≤2kπ(k∈Z)
即kπ－≤x≤kπ－时，y随x增大而增大
∴y＝cos(2x＋)的单调递增区间为：
［kπ－π，kπ－］(k∈Z)
②设u＝－，则y＝3sinu
当2kπ＋≤u≤2kπ＋时，y＝3sinu随x增大在减小，
又∵u＝－随x∈R增大在减小
∴y＝3sin(－)当2kπ＋≤－≤2kπ＋
即－4kπ－≤x≤－4kπ－时，y随x增大而增大
∴y＝3sin(－)的单调递增区间为 ［4kπ－，4kπ－］(k∈Z)
Ⅲ.课堂练习
课本P33 1～7
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要初步掌握正、余弦函数的性质以及性质的简单应用，解决一些相关问题.
Ⅴ.课后作业
课本P46 习题 2、3、4
课后练习：
1．给出下列命题：
①y＝sinx在第一象限是增函数；
②α是锐角，则y＝sin(α＋)的值域是［－1，1］；
③y＝sin｜x｜的周期是2π；
④y＝sin2x－cos2x的最小值是－1；
其中正确的命题的序号是_____.
分析:①y＝sinx是周期函数，自变量x的取值可周期性出现，如反例：
令x1＝，x2＝＋2π，此时x1＜x2
而sin＞sin(＋2π)
∴①错误；
②当α为锐角时，＜α＋＜＋
由图象可知＜sin(α＋)≤1
∴②错误；
③∵y＝sin｜x｜(x∈R)是偶函数.
其图象是关于y轴对称，可看出它不是周期函数.
∴③错误；
④y＝sin2x－cos2x＝－cos2x，最小值为－1
∴④正确.
答案：④
评述：函数的单调性是函数的局部选择，是针对区间而言的；我们不能说某函数在某象限内是增函数还是减函数，而只能说某函数在某区间上是增函数还是减函数.
2．求下列函数的定义域和值域：
(1)y＝lg(sinx－) (2)y＝2
分析：根据函数有意义列不等式，求x的范围即为定义域.求值域时要注意正弦函数和余弦函数的值域.
解：(1)要使lg(sinx－)有意义，必须且只须sinx＞，
解之得：2kπ＋＜x＜2kπ＋，k∈Z
又∵0＜sinx－≤1－
∴lg(sinx－)≤lg(1－)
∴定义域为(2kπ＋，2kπ＋)，(k∈Z)
值域为(－∞，lg(1－)］.
(2)要使2有意义，必须且只须2cos3x－1≥0，即cos3x≥，
解之得2kπ－≤3x≤2kπ＋
即 －≤x≤＋，k∈Z.
又0≤2cos3x－1≤1
故0≤2≤2
∴定义域为［－，＋］，k∈Z
值域为［0，2］
评述：求由正弦函数和余弦函数组成复合函数的定义域、值域问题，要充分考虑基本的正弦函数和余弦函数的单调性和值域.
4.比较下列各组数的大小：
(1)sin195°与cos170°;
(2)cos，sin，－cos
(3)sin(sin)，sin().
分析：化为同名函数，进而利用单调性来比较函数值的大小.
解：(1)sin195°＝sin(180°＋15°)＝－sin15°
cos170°＝cos(180°－10°)＝－cos10°＝－sin80°
∵0°＜15°＜80°＜90°
又∵y＝sinx在［0°，90°］上是递增函数，
∴sin15°＜sin80° ∴－sin15°＞－sin80°
∴sin195°＞cos170°.
(2)∵sin＝cos(－)?
－cos＝cos(π－)
又∵－＝1.47＜1.5＝
π－＝1.39＜1.4＜－＜
而y＝cosx在［0，π］上是减函数，
由π－＜－＜＜π
得cos＜cos(－)＜cos(π－)
即cos＜sin＜－cos.
(3)∵cos＝sin
∴0＜cos＜sin＜1
而y＝sinx在［0，1］内递增
∴sin(cos)＜sin(sin).
第十二课时 正弦函数、余弦函数的图象
教学目标：
会用单位圆中的线段画出正弦函数的图象，用诱导公式画出余弦函数的图象，会用“五点法”画正、余弦函数的图象；培养学生的数形结合思想，渗透由抽象到具体思想，使学生理解动与静的辩证关系.
教学重点：
用“五点法”画正弦曲线、余弦曲线.
教学难点：
利用单位圆画正弦曲线.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
以前，我们已经学过一次函数、二次函数、指数函数、对数函数等等，对于各种函数我们都讨论过它的图象及性质.那么，现在我们正在学习的三角函数的图象是什么样子呢?今天，我们就来探讨一下.
Ⅱ.讲授新课
三角函数线是三角函数的一种几何表示法，确切地说，就是用有向线段的长度来表示三角函数值的大小，方向表示三角函数的符号的一种方法.
作函数的图象，最基本的方法是列表描点法.作三角函数的图象，为了精确，我们借助单位圆中的三角函数线来作.
下面，我们利用单位圆中的正弦线来画一下正弦函数的图象.
首先，在平面内建立一平面直角坐标系，然后在直角坐标系的x轴上任意取一点O1，以Ｏ1为圆心作单位圆，从⊙O1与x轴的交点A起把⊙O1分成12等份(份数宜取6的倍数，份数越多，画出的图象越精确).过⊙Ｏ1上的各分点作x轴的垂线，可以得到对应于0、、、、…2π等角的正弦线(例如有向线段O1B对应于 角的正弦线)，相应地，再把x轴上从0到2π这一段(2π≈6.28)分成12等份(例如，从原点起向右的第四个点，就是对应于 角的点)，把角x的正弦线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合(例如，把正弦线O1B向右平移，使点O1与x轴上的点 重合).再把这些正弦线的终点用平滑曲线连结起来.
这时，我们看到的这段光滑曲线就是函数y＝sinx在x∈［0，2π］上的函数.
因为终边相同的角有相同的三角函数值，所以函数y＝sinx在x∈［2kπ，2(k＋1)π］， k∈Z且k≠0上的图象与函数y=sinx在x∈［0，2π)上的图象的形状完全一样，只是位置不同，于是我们只要将函数y＝sinx，x∈［0，2π)的图象向左、右平行移动(每次2个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝sinx在x∈R上的图象.
这时，我们看到的这支曲线就是正弦函数y＝sinx在整个定义域上的图象，我们也可把它称为正弦曲线.
用这种方法来作图象，虽然比较精确，但不太实用，我们该如何快捷地画出正弦函数的图象呢?
在函数y＝sinx，x∈［0，2π］的图象上，起着关键作用的点只有以下五个：
(0，0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)
事实上，描出这五个点后，函数y＝sinx，x∈［0，2π］的图象的形状就基本上确定了.因此，在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，然后用光滑曲线将它们连结起来，就可得到函数的简图.今后，我们将经常使用这种近似的“五点(画图)法”.
下面我们看余弦函数图象的一种画法.
由诱导公式可知：y＝cosx＝sin(＋x)＝sin(x＋)
看来，余弦函数y＝cosx，x∈R与函数y＝sin(x＋)，x∈R是同一个函数.
而y＝sin(x＋)，x∈R的图象可通过将正弦曲线向左平行移动个单位长度而得到.
现在看到的曲线也就是余弦函数y＝cosx在x∈R上的图象，即余弦曲线.
同样，可发现在函数y＝cosx，x∈［0，2π］的图象上，起着关键作用的点是以下五个：
(0，1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)与画函数y＝sinx，x∈［0，2π］的简图类似，通过这五个点，可以画出函数y＝cosx，x∈［0，2π］的简图.
下面，请同学们练习一下“五点(作图)法”
Ⅲ.课堂练习
用“五点法”分别作出y＝sinx与y＝cosx在x∈［0，2π］上的简图，并体会它们之间的关系.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要了解如何利用正弦曲线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象，并会用“五点法”画正弦、余弦函数的简图，会用这一方法画出与正弦、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间上的简图.
Ⅴ.课后作业
预习：正弦函数、余弦函数分别具有哪些性质?
第十五课时 正切函数的图象和性质
教学目标：
会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象，理解正切函数的性质，掌握性质的简单应用，会解决一些实际问题；用数形结合的思想理解和处理有关问题，发现数学规律，提高数学素质，培养实践第一观点.
教学重点：
正切函数的图象和性质
教学难点：
正切函数的性质的简单应用
教学过程：
Ⅰ.课题导入
常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质?
Ⅱ.讲授新课
为了精确，我们还是利用单位圆中的正切线来画一下正切曲线.
∵tan(π＋x)＝＝＝tanx(其中x∈R，且x≠＋kπ，k∈Z)
根据周期函数定义，可知正切函数也是周期函数，且π是它的周期.
现在利用正切线画出函数
y＝tanx，x∈(－，)的图象
引导学生完成.
引导学生观察得出正切曲线的特征：
正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的.
现在我们根据正切曲线来看一下正切函数有哪些主要性质.
(1)定义域：｛x｜x≠＋kπ，k∈Z｝
(2)值域：R
(3)周期性：正切函数是周期函数，且周期T＝π
(4)奇偶性：∵tan(－x)＝－tanx
∴正切函数是奇函数
∴正切曲线关于原点O对称
(5)单调性：正切函数在开区间(－＋kπ，＋kπ)，k∈Z内都是增函数.
注意：①正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以不能说它在整个定义域内是增函数.②正切函数在每个单调区间内都是增函数
下面，来看性质的简单应用.
［例1］求函数y＝tan2x的定义域.
解：由2x≠kπ＋，(k∈Z) 得x≠＋，(k∈Z)
∴y＝tan2x的定义域为：｛x｜x∈R且x≠＋，k∈Z｝
［例2］观察正切曲线写出满足下列条件的x的值的范围：tanx＞0
解：画出y＝tanx在(－，)上的图象，不难看出在此区间上满足tanx＞0的x的范围为：0＜x＜
结合周期性，可知在x∈R,且x≠kπ＋上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋)(k∈Z)
［例3］不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小.
解：∵90°＜135°＜138°＜270°
又∵y＝tanx在x∈(90°，270°)上是增函数,
∴tan135°＜tan138°
［例4］求函数y＝tan(x＋)的定义域，并讨论它的单调性.
解：由x＋≠kπ＋，(k∈Z)
得x≠kπ＋，(k∈Z)
∴y＝tan(x＋)的定义域为｛x｜x∈R且x≠kπ＋，k∈Z｝
又由y＝tanx在每个区间(kπ－，kπ＋)k∈Z上是增函数可知：
当kπ－＜x＋＜kπ＋
即kπ－＜x＜kπ＋ (k∈Z)时，y＝tan(x＋)是增函数
∴y＝tan(x＋)在每个区间(kπ－，kπ＋)(k∈Z)上是增函数.
［例5］函数y＝tan2x是否具有周期性，若具有，则最小正周期是什么?
解：由y＝tanx是周期函数，且周期为π可知：只有必须当x至少增加到x＋π时，函数值才重复出现.
也就是说只有2x至少增加到2x＋π时，即x至少增加到x＋时，函数值才重复出现.
∴y＝tan2x具有周期性，且最小正周期为 .
由正、余弦函数最小正周期T＝得正切函数的最小正周期T＝
例如y＝5tan，x≠(2k＋1)π，(k∈Z)的周期T＝＝4π.
y＝tan3x，x≠＋ (k∈Z)的周期T＝.
Ⅲ.课堂练习
课本P35 1～4
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要掌握正切函数的图象，理解它具有的主要性质，并会应用它解决一些较简单问题.
Ⅴ.课后作业
课本P46习题 5
第十四课时 正弦函数、余弦函数的图象和性质应用
教学目标：
掌握正、余弦函数的性质，灵活利用正、余弦函数的性质；渗透数形结合思想，培养联系变化的观点，提高数学素质.
教学重点：
1.熟练掌握正、余弦函数的性质；
2.灵活应用正、余弦函数的性质.
教学难点：
结合图象灵活运用正、余弦函数性质.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
回顾正、余弦函数的图象及其性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性等等.
下面结合例子看其应用：
［例1］不通过求值，指出下列各式大于0还是小于0.
(1)sin(－)－sin(－)；
(2)cos(－)－cos(－).
解：(1)∵－＜－＜－＜.
且函数y＝sinx，x∈［－，］是增函数.
∴sin(－)＜sin(－)， 即sin(－)－sin(－)＞0
(2)cos(－)＝cos＝cos
cos(－)＝cos＝cos
∵0＜＜＜π，且函数y＝cosx，x∈［0，π］是减函数
∴cos＜cos， 即cos－cos＜0
∴cos(－)－cos(－)＜0
［例2］函数y＝sin(2x＋)的图象的一条对称轴方程是 ( )
A.x＝－ B.x＝－ C.x＝ D.x＝
方法一：运用性质1′，y＝sin(2x＋)的所有对称轴方程为xk＝－π(k∈Z)，令k＝－1，得x－1＝－，对于B、C、D都无整数k对应.
故选A.
方法二：运用性质2′，y＝sin(2x＋)＝cos2x，它的对称轴方程为xk＝ (k∈Z)，令k＝－1，得x－1＝－，对于B、C、D都无整数k对应，故选A.
［例3］求函数y＝的值域.
解：由已知：cosx＝｜｜＝｜cosx｜≤1
()2≤13y2＋2y－8≤0
∴－2≤y≤ ∴ymax＝，ymin＝－2
Ⅲ. 课时小结
通过本节学习，要掌握一结论：形如y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω≠0)的T＝；另外，要注意正、余弦函数性质的应用.
Ⅳ. 课后作业
课本P46习题 6、7、12、13
正弦函数、余弦函数的图象和性质应用
1．若<α<，以下不等式成立的是 （ ）
A.cosαC.cosα2．若sinx＝，则实数m的取值范围是 （ ）
A.［0，+∞) B.［－1，1］ C.(－∞，－1］∪［1，+∞) D.［0，1］
3．下列函数中，图象关于原点对称的是 （ ）
A.y＝－｜sinx｜ B.y＝－x·sin｜x｜
C.y＝sin(－｜x｜) D.y＝sin｜x｜
4．如果｜x｜≤，那么函数y＝cos2x＋sinx的最小值为 （ ）
A. B. C.－ D.－1
5．函数值sin1，sin2，sin3，sin4的大小顺序是 .
6．函数y＝的定义域是 .
7．cos，－cos，sin的大小关系是 .
8．函数y＝cos(sinx)的奇偶性是 .
9．已知＝cosα－sinα，则α的取值范围是 .
10．求函数y＝的值域.
11．已知y＝a－bcos3x的最大值为 ，最小值为－，求实数a与b的值.
12．(1)函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数?
(2)函数y＝3sin( －2x)在什么区间是减函数?
正弦函数、余弦函数的图象和性质应用答案
1．A 2．A 3．B 4．B 5．sin2>sin1>sin3>sin4 6．［2kπ＋，2kπ＋］(k∈Z)
7．cos10．（－∞，］∪［3，+∞)
11．已知y＝a－bcos3x的最大值为 ，最小值为－，求实数a与b的值.
解：∵最大值为a＋|b|，最小值为a－|b|
∴ ∴a＝，b＝±1
12．(1)函数y＝sin(x＋)在什么区间上是增函数?
(2)函数y＝3sin( －2x)在什么区间是减函数?
解：(1)函数y＝sinx在下列区间上是增函数：
2kπ－＜x＜2kπ＋ (k∈Z)
∴函数y＝sin(x＋)为增函数，当且仅当2kπ－＜x＋＜2kπ＋
即2kπ－＜x＜2kπ＋ (k∈Z)为所求.
(2)∵y＝3sin(－2x)＝－3sin(2x－)
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋
得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)为所求.
或：令u＝－2x，则u是x的减函数
又∵y＝sinu在［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)上为增函数，
∴原函数y＝3sin(－2x)在区间［2kπ－，2kπ＋］上递减.
设2kπ－≤－2x≤2kπ＋
解得kπ－≤x≤kπ＋ (k∈Z)
∴原函数y＝3sin(－2x)在［kπ－，kπ＋］(k∈Z)上单调递减.
评述：在求三角函数的单调区间时，一定要注意复合函数的有关知识，忽略复合函数的条件，是同学们解题中常发生的错误.
课件17张PPT。正余弦函数图像与性质(1)复习1.周期函数的定义2.最小正周期4.求函数周期的方法：（1）图像法（2）公式法（3）定义法练习1.说出下列函数的周期：练习3.已知定义在R上的函数f(x)满足：
f(x+1)=f(x-1),且当x∈[0,2]时,f(x)=x-4，f(10)= .练习2.已知定义在R上的函数f(x)满足：
f(x+2)+f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？练习4.已知函数f(x)对定义域中的每个自变量都有f(x+2)=1/f(x),它是周期函数吗？如果是,它的周期是多少？练习6.已知定义在R上的偶函数f(x)满足：
f(x+2)=f(-x)，当-1≤x≤1时f(x)=2x+3，则f(5)= .问题1.周期函数的图象具有什么特点?问题2.正弦函数是周期函数吗?周期是多少?问题3.如何作正弦函数y=sinx的图像？(1)描点作图(列表，描点，连线)如何用几何方法在直角坐标系中作出
点OPMXY.几何描点(2)几何法(利用三角函数线)π2πOy x3π4π-π-2π问题4.如何得到函数y＝sinx，x∈R的图象？函数y＝sinx，x∈R的图象叫做正弦曲线问题5.在函数y=sinx，x∈[0,2π]的图象上，起关键作用的点有哪几个？五点作图法列表(2)描点作图（1）y=2sinx , x∈[0,2π]例1.分别作出下列函数简图（五点法作图）0 ? 2?0 2 0 -2 0Y2X0y=2sinx y=2sinx1y=sinx列表(2)描点作图（2）y=sin2x , x∈[0,π]0 ? 2?2x0 1 0 -1 00 ?Y1X0y=sin2x y=sin2xy=sinx例２．画出下列函数的简图（1）y=sinx+1, x∈[0,2π]（2）y=|sinx| , x∈[0,2π]（3）y=sin(x+π/2) , x∈[0,2π]问题7.在函数y=cosx，x∈[0，2π]的图象上，起关键作用的点有哪几个？问题6.正弦函数y=sinx与余弦函数y=cosx的图象有什么关系？--π--2ππ2πOyx--π--2ππ2πOyx(1)正弦函数的图象的最高点，最低点说明什么?(2)正弦函数的图象是轴对称图形吗，对称轴是什么? (3)正弦函数的图象是中心对称图形吗，对称中心是什么? (1)余弦函数的图象的最高点，最低点说明什么?(2)余弦函数的图象是轴对称图形吗，对称轴是什么? (3)余弦函数的图象是中心对称图形吗，对称中心是什么? --π--2ππ2πOyx例2 当x∈[0，2π]时，求不等式
的解集.课件15张PPT。三角函数的性质(2)一、问题情景： 定义域图 像解：∵ ∴ 由正弦函数的图像可得： 函数 的定义域为：值 域图 像定义域周期性定义域值 域图 像图 像定义域值 域周期性奇偶性奇函数偶函数D图 像定义域值 域周期性单调性增区间：减区间：增区间：减区间：定义域值 域周期性奇偶性单调性图 像奇函数偶函数增区间：减区间：增区间：减区间：谢 谢！高中苏教数学④1.3三角函数的图象和性质测试题
一、选择题
1．下列函数中为偶函数的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
2．函数的图象关于（ ）
Ａ．x轴对称 Ｂ．原点对称
Ｃ．y轴对称 Ｄ．直线对称
答案：Ｂ
3．函数的单调递增区间是（ ）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
答案：Ｂ
4．为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（ ）
Ａ．向左平移个单位 Ｂ．向右平移个单位
Ｃ．向左平移个单位 Ｄ．向右平移个单位
答案：Ｄ
5．下列函数中，最小正周期是且在区间上是增函数的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｄ
6．已知且，则与的大小关系是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
二、填空题
7．比较大小： ．
答案：
8．如果和同时有解，则的取值范围是 ．
答案：
9．已知，则 ．
答案：
10．若一个三角函数在内是增函数，又是以为最小正周期的偶函数，则这样的一个三角函数的解析式为 （填上你认为正确的一个即可，不必写上所有可能
的形式）．
答案：
三、解答题
11．下图是正弦型函数的图象．
（1）确定它的解析式；
（2）写出它的对称轴方程．
解：（1）由已知条件可知：，．
，．
把点代入上式，．
又，令，得．
所求解析式为；
（2）由的对称轴方程可知，
解得．
12．求函数的值域．
解：由．
当时，，
当时，．
函数的值域为．
13．已知三角函数，在同一周期内，当时，取得最大值；当时，取得最小值，且，，求函数表达式．
解：由已知条件可得，，
，．
当时，，
又，．
函数表达式为．
14．有两个函数，它们的周期之和为且，求这两个函数，并求的单调递增区间．
解：由条件得，．
由，得 ①
由，得 ②
由①②解得．
，．
当，时，单调递增．
的单调递增区间为．
课件11张PPT。三角函数的图象复习一正余弦图象如何画出正余弦函数的简图
y=sinx五点法(0,0) ( ,1) ( ,0) ( ,-1) ( ,0)
y=cosx(0,1) ( ,o) ( ,-1) ( ,0) ( ,1)
形如y=Asin( x+ )的图象如何作<一>五点作图
令2x+ =t练习：1.函数y=Asin( x+ )(A>0, >0 )的图象
如图，求函数的解析式由图可知:A=1=3-(-1)=4T=8由公式T==又因为(-1,1)对应五点法中的第二点所以则函数的解析式为:2.已知函数f(x)=Asin( x+ )(A>0, >0, )
在相邻两最值点( ,2)(2,-2)上，f(x)分别取最大值
和最小值，求(1)f(x)的解析式
(2)若函数g(x)=af(x)+b,的最大值和最小值为6和2，
求a,b的值⑴①相位变换:②周期变换:③振幅变换:向左平移个 单位y=sin(x+ )y=sin(2x+ )横坐标不变,纵坐标伸长原来的2倍y=2sin(2x+ )纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 倍<二>图象变换例:y=2sin(2x+ )(2)①周期变换:③振幅变换:②相位变换:纵坐标不变,横坐标缩短为原来的 倍y=sin2x横坐标不变,纵坐标伸长原来的2倍y=2sin(2x+ )向左平移个 单位练习：1.已知函数y= ,(x R ),
(1)求当y取得最大值时，x的集合
(2)该函数由y=sinx怎样平移得到2.把函数y=cos(3x+ )的图象适当变动，就可以得到y=sin(-3x)的图象，这种变动可以是（ ）
A.右移 B.左移
C.右移 D.左移小结形如y=Asin( x+ )的图象画法1.五点作图应用：根据函数图象求解析式2.图象变换两种变换的不同点：相位变换课件15张PPT。1．3.2 三角函数的图象与性质
第1课时 正弦函数、余弦函数的图象单击此处进入 活页规范训练课件11张PPT。正弦函数的图象的作法教学设计设计思想
学习要求
方式与手段
教学过程引入
代数作法
几何作法
五点作图法设计思想 三角函数的图象是高中数学研究的最后一类函数的图象，希望能通过这节课让学生掌握画函数图象的一般方法．画函数图象之前，先研究函数的解析式，得出函数的一些性质，再利用这些性质来指导我们画图，可使列表、描点、连线有所依据，图象作得更准确．所以在书上的几何作图法、五点作图法之外又讲了正弦函数的代数作图法． 本节内容涉及大量的图形的运动变换，在教学中使用计算机辅助教学将这些运动变换生动形象地展现出来，可帮助学生更好地理解知识、加深印象，也可提高课堂效率． 本课最后对正弦函数的性质作了些归纳．这主要是为了让学生体会到通过观察函数的图象可以帮助我们去发现、理解、记忆函数的性质．加深学生对数形结合思想的理解，对研究函数的一般方法的认识．
学习要求 知识与技能：会画出正弦函数的图象，了解利用单位圆中的正弦线作正弦函数图象的方法，会用“五点法”画出正弦函数的简图．
过程与方法：从诱导公式出发，研究正弦函数的性质，再利用性质作出正弦函数的图象；利用单位圆中的正弦线作出正弦函数的图象；用五点作图法作出正弦函数的图象． 掌握作函数图象的一般方法，会通过图象变换作出函数的图象．
情感、价值观：在教学中通过由数想形，由形思数，让学生感受数形结合在解决问题中的巨大作用，体会数学美
方式与手段思维互动式及多媒体辅助教学
引入 在高中数学中函数是一个重要研究对象，研究函数的一般方法是：由具体问题抽象出函数解析式，再根据函数解析式讨论函数的图象和性质。
利用函数的解析式画出函数的图象，是高中数学的一个基本问题。下面我们来作正弦函数的图象。代数作法 由诱导公式知，只需作出y=sinx在［0， ］上的图象就可以了，再用对称的方法就可得到y=sinx的图象。几何作法 用正弦比的定义可以用几何的方法来作出正弦函数的图象五点作图法 由分析得出，正弦函数图象中有五个点比较关键，找出这五个点的位置就可以快捷画出正弦函数的草图。总结正弦函数图象的几种作法：
一是代数方法，即从诱导公式出发，研究其性质，再利用性质通过图象变换画出函数的图象。
二是几何方法，即从三角函数的定义出发，得到三角函数线，借助三角函数线，画出在[0，2π]上的图像。
抓住其主要特征，可简化为“五点法”．课件12张PPT。正弦函数、余弦函数
的图象和性质（一）一、引入：应用课件《正弦线》二、知识讲解：1、利用课件：《利用正弦线作正弦函数图象》2、讲解利用正弦线作正弦函数ｙ＝sinx图象的根据。3、函数y=sinx,x?R的图象：将函数y=sinx, x?［0，2p］的图象向左、右平行移动(每次2p个长度单位)，就可以得到函数y=sinx,x?R的图象。正弦函数的图象叫做正弦曲线。如下图：4、讲解用“五点法”作出y=sinx x?［0，2p］的图象。在函数y=sinx, x?［0，2p］的图象上，起着关鍵作用的点有以下五个：5、余弦函数y=cosx, x?R的图象：(1)、 y=cosx, x?［0，2p］的图象。(2)、 y=cosx, x?R的图象。余弦函数y=cosx, x?R的图象可以通过将正弦曲线向左平行移动p?2个单位长度而得到。余弦函数的图象叫做余弦曲线。用“五点法”作出y=cosx, x?［0，2p］的图象:在y=cosx, x?［0，2p］的图象上起着关鍵作用的点是以下五个：通过这五个点可以画出函数y=cosx, x?［0，2p］的简图。三、例题分析：例1、画出下列函数的简图：解：(1)按五个关键点列表：0011110002-1解：(1)按五个关键点列表：描点画图01-101-1-10100(2) y=-cosx, 按五个关键点列表：思考：第(1)、(2)小题中的虚实两个图象之间有何关系？1-1思考：第(1)、(2)小题中的虚实两个图象之间有何关系？四、练习：
P50 练习五、小结
通过本节学习，要了解如何利用正弦线画出正弦函数图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象，并会用“五点法”画出正弦、余弦函数的简图，会用这一方法画出与正弦、余弦函数有关的某些简单函数在长度为一个周期的闭区间上的简图。六、作业：
P57，习题4.8 3
课件14张PPT。正弦函数的图像教学目标:
一、知识与技能
⑴会用单位圆中的正弦线画出正弦函数的图像；
⑵会用“五点作图法”画出正弦函数的图像；
⑶会用“五点作图法”画出与正弦函数有关的简单函数图像。
二、过程与方法
⑴培养观察能力、分析能力、归纳能力和表达能力；
⑵培养数形结合和化归转化的数学思想方法。
三、情感态度与价值观
⑴培养学生合作学习和数学交流的能力；
⑵培养学生勇于探索、勤于思考的科学素养；
⑶渗透由抽象到具体的思想，使学生理解动与静的辩证关系，
培养辩证唯物主义观点。
教学重点和难点:
教学重点：“五点法”画长度为一个周期的
闭区间上的正弦函数图像
教学难点：几何法画正弦函数图像一、复习1、正弦线设任意角 的终边与单位圆交于点P，过点p做x轴的垂线，垂足M，称线段MP为角 的正弦线我们利用单位圆中的正弦线，来做正弦函数的图像
在直角坐标系中的 轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆，从这个圆与 轴的交点起A起，把圆分为12等分，过圆上各分点分别作 轴的垂线，可以得到弧度为0， 相应地，在把 轴上从0到 这一段，分别过这些分点作这些弧度数对应的正弦线，在用光滑的曲线把这些正弦线的终点连接起来，就得到正弦函数 的图像。因为
所以正弦函数 在 时的图像与在 的形状完全一样，只是位置不同，因此我们把 的图像。沿 轴平移 ， 就可得到 的图像。
二、讲授新课：xy0........................oyx五点法0- 10100五点：最高点、最低点、与 x 轴的交点解：(1).....y= -sinx, x [0, ]例2.画出y=1+sinx , x∈[0， ]的简图解：(2).....xyo-112?2?....1.用五点法画出y=sinx+2, x∈[0， ]的简图y=sinx+2, x∈[0， ]练习：xyo-112?2?.....2.用五点法画出y=sinx-1, x∈[0， ]的简图y=sinx-1, x∈[0， ]练习：13oy3.与正弦函数有关的简单图像平移变换正弦函数图象的五点作图法
本课小结正弦函数图象的几何作图法 作业：课本：练习A课件16张PPT。正弦函数的性质教学目标 知识目标：掌握正弦函数的性质，了解周期函数与最小正周期的意义。 能力目标：培养观察能力和归纳能力。 育人目标：养成严谨的思维习惯。教学重点：
正弦函数的性质及应用
教学难点：
周期性
知识链接 在上一节课里我们学习了正弦函数的图像以及五点作图法。想一想：怎样画出正弦函数f(x)=sinx的图象 ？sin(x+2kπ）=sin x, (k∈Z),（3）周期性
当x=________________时，
当x=________________时， 值域是： （2）值域 （1）定义域一、正弦函数 y=sinx 的性质周期函数：f(x+T)=f(x)
最小正周期：所有周期中最小的正数 （4）正弦函数的单调性 y=sinx (x?R)增区间为 [ ， ] 其值从-1增至1 … 0 … … ? …-1 0 1 0 -1减区间为 [ ， ] 其值从 1减至-1sin(-x)= - sinx (x?R) y=sinx (x?R)是奇函数
图象关于原点对称 （5）正弦函数的奇偶性 y=sinxy=sinx (x?R) 图象关于原点对称二、正弦函数性质的简单应用 例1 比较下列各组正弦值的大小：分析： 利用正弦函数的不同区间上的单调性进行比较。解： 1）因为 并且f(x)=sinx在 上是增函数，所以 2）因为并且f(x)=sinx在 上是减函数，所以练习、不求值，比较下列各对正弦值的大小：
（１） （２） 解：
（１）（２） 例2 求函数 在x取何值时到达
最大值？在x取何值是到达最小值？关键点：把 看作一个整体。解： 在 处到达最大值1。即，
当 时， 达到最大值1。 在 处达到最小值-1。即，
当 时， 达到最小值-1。 求函数y=2+sinx的最大值、最小值和周期，并求这个函数取最大值、最小值的x值的集合。解：使y=2+sinx取得最大值的x的集合是： 使y=2+sinx取得最小值的x的集合是： 周期 练习例3 求函数f(x)=sin2x的最小正周期。 分析：本题的关键是找到满足f(x+T)=f(x)的最小正数。 思考：一般的，函数
的周期为？三、巩固练习1、比较下列各组正弦值的大小：2、求下列函数在x取何值时到最大值？在x取何值是到达最小值？
四、课堂小结 ：正弦函数的性质教材 P43 习题 1-5 A组：2、3题五、作业布置
1．函数y＝cos的图象大致为________(写出正确的所有序号)．
答案 ④
2．满足条件cos x<－的x的取值集合是__________．
答案
3．函数y＝的定义域________．
答案 {x|2kπ＜x＜2kπ＋π，k∈Z}
4．y＝－cos x，x∈的图象上最高点的坐标是________．
答案 (π，1)
5．y＝1＋sin x，x∈[0,2π]的图象与直线y＝交点个数是________．
解析 分别画出y＝1＋sin x，x∈[0,2π]与直线y＝的图象即知它们的交点个数为2.
答案 2
6．用“五点法”作函数y＝2－sin x，x∈[0,2π]的图象．
解 y＝2－sin x，x∈[0,2π]
按五点法列表如下：
x
0
π
2π
sin x
0
1
0
－1
0
y＝2－sin x
2
1
2
3
2
描点连线：
7．若集合M＝，N＝θ，0≤θ≤π，则M∩N＝____________.
答案
8．已知0≤x≤2π，则y＝sin x和y＝cos x都是减函数的区间是________．
答案
9．方程sin πx＝x的解共有________个．
解析 在同一坐标系中分别作出函数y1＝sin πx，y2＝x的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计7个．
答案 7
10．函数f(x)＝＋的定义域是________．
答案
11．根据正弦函数的图象，求满足不等式sin≥的x的集合．
解 令3x＋＝z，因sin z≥，
则2kπ＋≤z≤2kπ＋ (k∈Z)，
所以，由2kπ＋≤3x＋≤2kπ＋ (k∈Z)，
得kπ≤x≤kπ＋ (k∈Z)．
即所求满足条件的x的集合为
.
12．求函数y＝的定义域．
解 (1)要使函数有意义
则?
如图利用单位圆得
∴函数的定义域为.
13．(创新拓展)方程sin x＝，x∈[－3π，3π]的解的个数是________．
解析 在同一直角坐标系中作函数y＝sin x与y＝的图象，观察图象交点个数，从而确定方程解的个数．由下图可看出函数图象有7个交点(xi，yi)，其中xi∈[－3π，3π](i＝1,2,3，…，7)是方程sin x＝的解，故方程解的个数为7.
答案 7
1．函数y＝sin，x∈是__________函数(填奇或偶或非奇非偶)．
解析 y＝sin＝cos x，x∈，函数为偶函数．
答案 偶
2．设M和m分别表示函数y＝cos x－1的最大值和最小值，则M＋m等于________．
解析 因为函数g(x)＝cos x的最大值、最小值分别为1和－1.所以y＝cos x－1的最大值、最小值分别为－和－.因此M＋m＝－2.
答案 －2
3．函数y＝cos2x－3cos x＋2的最小值为________．
答案 0
4．函数f(x)＝|cos x＋1|的最小值是____，最大值是____．
答案 0 2
5．函数f(x)＝xsin的奇偶性为________．
答案 奇函数
6．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝xsin(π＋x)；
(2)f(x)＝cos(2π－x)－x3sin x；
(3)f(x)＝.
解 (1)函数的定义域为R关于原点对称．
f(x)＝xsin(π＋x)＝－xsin x，
f(－x)＝－(－x)sin(－x)＝－xsin x＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．
(2)函数的定义域为R关于原点对称．
f(x)＝cos(2π－x)－x3sin x＝cos x－x3sin x，
∴f(－x)＝cos(－x)－(－x)3sin(－x)
＝cos x－x3sin x＝f(x)．
∴f(x)为偶函数．
(3)函数应满足1＋sin x≠0，函数的定义域为
.
函数的定义域关于原点不对称，
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函数．
7．函数y＝sin2x－cos x＋1最小值为________．
答案 0
8．已知a∈R，函数f(x)＝(a＋1)sin x－|a| (x∈R)为奇函数，则a＝________.
解析 由已知f(x)为奇函数，f(x)＋f(－x)＝0，
∴(a＋1)sin x－|a|＋(a＋1)sin(－x)－|a|＝0，
∴－2|a|＝0，∴a＝0.
答案 0
9．设f(x)＝ax＋bsin3x＋1，(a，b为常数)，且f(5)＝7，则f(－5)＝________.
答案 －5
10．已知函数y＝a－bcos 3x(b＞0)的最大值为，最小值为－；则函数y＝－4asin 3bx的最小正周期为________，最大值为________．
答案 2
11．求下列函数的最值，并指出取最值时的x值：
(1)y＝－3cos 3x＋1；(2)y＝sin(2x－)－2.
解 (1)当x＝(2k＋1)π时，ymax＝4；当x＝(k∈Z)时，ymin＝－2.
(2)当x＝kπ＋π时，ymax＝－1；当x＝kπ－π(k∈Z)时，ymin＝－3.
12．设f(x)为定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的奇函数，当x>0时，函数f(x)＝sin 2x＋cos x，求当x<0时，函数f(x)的解析式．
解 当x<0时，－x>0，
由已知f(－x)＝sin(－2x)＋cos(－x)＝－sin 2x＋cos x．又f(x)为奇函数，
∴f(x)＝－f(－x)＝－(－sin 2x＋cos x)＝sin 2x－cos x，
即x<0时，f(x)＝sin 2x－cos x.
13．(创新拓展)若函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ＝________.
解析 由于y＝sin＝cos x，而y＝cos x为偶函数，因此φ＝即可．
答案
课件17张PPT。第2课时 三角函数的最值与奇偶性1 －1 1 －1 奇函数 偶函数 单击此处进入 活页规范训练
1．函数y＝cos的单调递增区间是____________．
答案 (k∈Z)
2．比较下列数值的大小：cos______cos(填空>，<，＝)．
答案 >
3．比较大小：cos(－508°)________cos(－144°)．
答案 <
4．函数y＝－cos的单调递增区间是__________________________．
答案 (k∈Z)
5．函数y＝－cos 3x，x∈的值域是__________．
答案
6．求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)f(x)＝2cos2x＋3sin x＋3，x∈.
解 (1)∵0≤sin2x≤1，∴1≤sin2x＋1≤2，
∴≤y≤1，所以，值域为.
(2)f(x)＝－2sin2x＋3sinx＋5＝－22＋，
∵x∈，∴sin x∈.
当sin x＝时，f(x)max＝；
当sin x＝1或时，f(x)min＝6.
所以，函数的值域为.
7．函数y＝2sin (x∈[0，π])为增函数的区间是______________．
答案
8．已知f(x)＝sin x，若g(x)＝|f(x)|，则g(x)的单调减区间为____________________．
答案 ，k∈Z
9．设ω>0为常数，函数y＝2sin ωx在上单调递增，则实数ω的取值范围是__________．
答案 0<ω≤
10．函数y＝的值域为____________．
答案
11．求函数y＝3－4sin x－4cos2x的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的x的值．
解 y＝3－4sin x－4cos2x＝4sin2x－4sin x－1
＝42－2，令t＝sin x，则－1≤t≤1，
∴y＝42－2 (－1≤t≤1)
∴当t＝，即x＝＋2kπ或x＝＋2kπ(k∈Z)时，
ymin＝－2；
当t＝－1，即x＝＋2kπ (k∈Z)时，ymax＝7.
12．函数y＝asin＋b的值域为，求a的值，以及原函数的单调递增区间．
解 (1)当a>0时，
∴a＝，b＝2，∴y＝sin＋2.
又∵－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z.
∴－＋2kπ≤x≤＋2kπ，k∈Z.
∴原函数的单调递增区间为
，k∈Z.
(2)当a<0时，
∴a＝－，b＝2.
∴y＝－sin＋2.
又∵＋2kπ≤x＋≤π＋2kπ，k∈Z.
∴＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
∴原函数的单调递增区间为
，k∈Z.
13．(创新拓展)已知f(x)＝－sin2x＋sin x＋a，
(1)当f(x)＝0有实数解时，求a的取值范围；
(2)当x∈R，有1≤f(x)≤，求a的取值范围．
解 (1)由f(x)＝0，有a＝sin2x－sin x＝2－.
当sin x＝－1时，amax＝2；当sin x＝时，amin＝－.
∴a∈.
(2)由1≤f(x)≤有1≤－sin2x＋sin x＋a≤，即a≤sin2x－sin x＋和a≥sin2x－sin x＋1对k∈R恒成立．由sin2x－sin x＋＝2＋4≥4，得a≤4.由sin2x－sin x＋1＝2＋≤3，得a≥3.
故3≤a≤4.
课件28张PPT。第3课时 三角函数的单调性与值域单击此处进入 活页规范训练
1．函数y＝tan的定义域为__________________________________．
答案
2．比较tan与tan的大小_______________________________________．
解析 tan＝tan＝tan，
又函数y＝tan x在上是增函数，
而－<－<<，∴tan答案 tan 3．函数y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为________．
答案
4．函数y＝的值域是________．
解析 因为－≤x≤，又因为y＝tan x在x∈－，时为增函数，所以－1≤tan x≤1.又x≠0，所以－1≤tan x<0或0答案 (－∞，－1]∪[1，＋∞]
5．下列四个命题：①函数y＝tan x在定义域内是增函数；
②函数y＝tan(2x＋1)的最小正周期是π；③函数y＝tan x的图象关于点(π，0)成中心对称；④函数y＝tan x的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为________．
解析 ①错，y＝tan x在k∈Z上是增函数；②T＝；③④正确，因为y＝tan x的对称中心为.
答案 ③④
6．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝；(2)y＝lg .
解 (1)要使f(x)＝有意义，
则1＋cos x≠0且x≠kπ＋，
即x≠(2k＋1)π且x≠kπ＋ (k∈Z)，
故函数的定义域关于原点对称．
又f(－x)＝＝－＝－f(x)，
∴f(x)是奇函数．
(2)由＞0，得tan x＞1或tan x＜－1.
故函数的定义域为∪ (k∈Z)，定义域关于原点对称．
又f(－x)＋f(x)＝lg＋lg
＝lg＝0，即f(－x)＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
7．若函数f(x)＝tan ，则f(－1)，f(0)，f(1)按从小到大的顺序是________．
解析 f(－1)＝tan
f(1)＝tan＝tan＝tan
又－<1－<－1＋<<
且tan x在上递增．∴f(1)答案 f(1)8．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得线段长为，则f的值是________．
解析 由题意知T＝，∴ω＝4，
∴f＝tan 4×＝tan＝.
答案
9．函数y＝lg＋的定义域为________．
解析 由题意得
即
由正切函数图象得不等式－kπ－故所求的定义域为∪∪.
答案 ∪∪
10．函数y＝tan x＋sin x－|tan x－sin x|在区间内的图象是________．(只填相应序号)
解析 当0>sin x，
∴y＝2sin x.
答案 ④
11．求函数y＝tan 的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性．
解 由3x－≠kπ＋，得x≠＋，
∴所求定义域为.
值域为R，周期T＝，是非奇非偶函数．
在区间(k∈Z) 上是增函数．
12．比较tan 1，tan 2，tan 3，tan 4的大小．
解 由正切函数的周期性可知，tan 4＝tan(4－π)、tan 3＝tan(3－π)，tan 2＝tan(2－π)．
∵0<4－π<1<，－<2－π<3<π<0.
∴0故tan(2－π)即tan 213．(创新拓展)作出下列函数的图象，并指出其周期，奇偶性及单调区间．
(1)y＝tan|x|；(2)y＝|tan x|.
解 (1)∵y＝tan|x|
＝，
∴当x≥0时，函数y＝tan|x|在y轴右侧的图象即为y＝tan x的图象不变；当x<0时，y＝tan|x|在y轴左侧的图象为y＝tan x在y轴右侧的图象关于y轴对称的图象．如下图所示．
由图象知：函数y＝tan|x|是非周期函数，是偶函数．
单调增区间为：，(k＝0,1,2，…)单调减区间为：，(k＝0，－1，－2，…)．
(2)∵y＝|tan x|＝
类似(1)可作出其图象，如下图所示．
由图象知：T＝π，是偶函数．
单调递增区间：(k∈Z)，
单调递减区间：(k∈Z).
课件25张PPT。第4课时 正切函数的性质与图象周期 奇函数 原点 增函数 单击此处进入 活页规范训练课件17张PPT。----正弦、余弦、正切函数图象三角函数图象正弦函数、余弦函数的图象和性质正弦函数y=sinx和余弦函数y=cosx图象的画法
1、描点法
2、几何法 复习：三角函数线xyoPMT1A的终边-1-111-10yx●●●一、正弦函数y=sinx（x R)的图象y=sinx ( x [0, ] )●●●●●●●●●● sin(2k +x)= (k Z)sinxxy01-1 y=sinx (x R) 二、正弦函数的“五点画图法”(0,0)、( , 1)、( ,0)、( ,-1)、 (2 ,0)0xy1-1●●●●●0xy1-1●●●●●练习：用“五点画图法”画出正弦函数
y=sinx(x [0, 2 ]的图象xy01-1 sin( x+ )=三、余弦函数y=cosx(x R)的图象cosxy=sinx的图象y=cosx的图象余弦函数的“五点画图法”(0,1)、( ,0)、( ,-1)、( ,0)、( , 1)oxy●●●●●1-1例：画出下列函数的简图
(1)y=1+sinx， x [0, ]
(2)y= - cosx， x [0, ]解：(1)按五个关键点列表xsinx1+sinx0 0 1 0 -1 0 1 2 1 0 1oxy12●●●●●y=1+sinx x [0, ] (2)按五个关键点列表xcosx -cosx0 1 0 -1 0 1 -1 0 1 0 -1oxy1●●●●●y=-cosx x [0, ]-1思考：
1、函数y=1+sinx的图象与函数y=sinx的图象有什么关系？
2、函数y=-cosx的图象与函数y=cosx的图象有什么关系？o-112y=sinx x [0, ]y=1+sinx x [0, ] yxyxo-11y=cosx x [0, ]y=-cosx x [0, ]小结：正弦函数、余弦函数图象的五点法练习：课本p56练习31-1y= -sinx, x [0, ]12y=1+cosx, x [0, ](1)(2)xxyy(3)21-1-2yxy=2sinx, x [0, ] 课件20张PPT。正切函数图像与性质教学目标：（1）理解正切函数的定义及正切函数的图像特征，研究并掌握正切函数的基本性质．
（2）在探究正切函数基本性质和图像的过程中，渗透数形结合的思想，形成发现问题、提出问题、解决问题的能力，养成良好的数学学习习惯．
（3）在解决问题的过程中，体验克服困难取得成功的喜悦． 教学重点：掌握正切函数的基本性质．教学难点：正切函数的单调性及证明．一、引入：如何用正弦线作正弦函数图象呢？用正切线作正切函数y=tanx的图象 正切函数的图像和性质：问题1、正切函数 是否为周期函数？ ∴ 是周期函数， 是它的一个周期． 我们先来作一个周期内的图象。想一想：先作哪个区间上的图象好呢？利用正切线画出函数 ， 的图像: 为什么？二、探究用正切线作正切函数图象：作法:(1) 等分：(2) 作正切线(3) 平移(4) 连线把单位圆右半圆分成8等份。问题2、如何利用正切线画出函数 ，
的图像？ 0正切曲线是由通过点 且与 y 轴相互平
行的直线隔开的无穷多支曲线组成⑴ 定义域：⑵ 值域：⑶ 周期性：⑷ 奇偶性： 正切函数图像性质：奇函数，图象关于原点对称。R⑸ 单调性：(6)渐近线方程： (7)对称中心(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？(2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？ 在每一个开区间
， 内都是增函数。问题讨论：3. 每个单调区间都包括两个象限：四、一或二、三 强调：2.正切函数在每个单调区间内都是增函数1.不能说正切函数在整个定义域内是增函数 例1．求函数 的定义域． 由 ，可得
所以函数 的定义域是 解题回顾：这种解法可称为换元法。 典例剖析：练习1：求函数 的定义域。 解：（1）∵ 又 ∵ ，在 上是增函数 ∴ 又∵ ，函数 ，
是增函数， ∴ 即 ． 解题回顾：比较两个正切型实数的大小，关键是把相应的角诱导到的同一单调区间内，利用 的单调递增性来解决． 练习2：比较大小：
求函数 的周期.这说明自变量 x ,至少要增加 ，函数的值才能重复取得，所以函数 的周期是 例３练习3：求下列函数的周期：解：解：解法1解法2例４解：解法1解法2例４（1）直线 （ 为常数）与正切曲线 （ 为常数
且 ）相交的相邻两点间的距离是（ ） D．与 值有关 A． B. C.（2）根据三角函数的图像写出下列不等式成立的角 集合
① ②
C练习4： （1） 的作图是利用平移正切线得到的，当我们获得
上图像后，再利用周期性把该段图像向左右延伸、平移。 奇函数小结：达标训练：答案: 1. 2.3.作业： 课本57页B组3、41.3.2 三角函数的图像与性质（1）
一、课题： 三角函数的图像与性质
二、教学目标：1.会用五点法画正弦、余弦函数的图象；
2.记住正弦、余弦函数的特征；
3.弄清正弦、余弦函数的图象之间的关系。
三、教学重、难点：几何法作正弦曲线。
四、教学过程：
1．利用单位圆中正弦线作正弦函数图象
作法：（几何作法）
（1）在直角坐标系的轴上任取一点，以为圆心作单位圆，从⊙与轴的交点起，把⊙分成等份，过⊙上各点作轴的垂线，可得对应于等角的正弦线；
（2）把轴上这一段分成等份，把角的正弦线向右平行移动，使正弦线的起点与轴上的点重合；
（3）用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起来，就得到正弦函数，的图象。
因为终边相同的角的函数值相同，所以，函数，（）且的图象与函数，的图象的形状完全相同，只是位置不同，于是只要将函数，的图象向左、右平移，就可得到函数，的图象。
2．余弦函数的图象
由于，所以余弦函数，
与函数,是同一个函数；这样，余弦函数的图象可由：
正弦曲线向左平移个单位得到，即：
3．五点法作图
（1），；
自变量
函数值
y
0
1
0
－1
0
（2），．
自变量
函数值
y
1
2
1
0
1
五、课堂练习：
六、小结：1．正弦、余弦函数的图象的几何作法；2．“五点法”作图。
七、作业
1.3.2 三角函数的图像与性质（2）
一、课题：正、余弦函数的定义域、值域
二、教学目标：1.能指出正弦、余弦函数的定义域，并用集合符号来表示；
2.能说出函数，和，的值域、最大值、最小值，以及使函数取得这些值的的集合。
三、教学重、难点：与正、余弦函数相关的函数的定义域的求法。
四、教学过程：
（一）复习：
1．三角函数的定义。
（二）新课讲解：
1．正弦、余弦函数的定义域
函 数
定义域
例1：求下列函数的定义域：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）．
解：（1）， ∴； （2）， ∴；
（3）， ∴；
（4），∴， ∴且；
（5） ∴ ∴ ．
2．正、余弦函数的值域
函 数
值 域
例2：求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么？
（1），； （2），．
解：（1）使函数，取得最大值的的集合，就是使函数， 取得最大值的的集合，
所以，函数，的最大值是．
（2）令，那么必须并且只需，且使函数，取得最大值
的 的集合是，由，得，
即：使函数，取得最大值的的集合是，函数的最大值是．
说明：函数，的最值：最大值，最小值．
例3：求下列函数的值域：
（1）； （2）．
解：（1）∵，∴， ∴
所以，值域为．
（2）， ∴， ∴，
解得， 所以，值域为．
五、练习：
六、小结：1．正、余弦函数的定义域、值域；
2．与正、余弦函数相关的一些函数的定义域、值域。
七、作业：
补充：求下列函数的值域：
（1）；（2）；（3）（其中为常数）．
1.3.2 三角函数的图像与性质（3）
一、课题：正弦、余弦函数的值域（1）
二、教学目标：1.理解正、余弦函数的值域；
2.会求与正、余弦函数相关的函数的值域和最值。
三、教学重、难点：与正、余弦函数相关的函数的值域的求法。
四、教学过程：
（一）复习：
1．正、余弦函数的定义域、值域；
2．练习：求下列函数的定义域：
（1）；（2）．
（答案：（1）；（2））．
（二）新课讲解：
例1：求函数的值域。
解：，
∵，∴，
所以，函数的值域是．
例2：求函数的值域。
解：
∵，∴，
所以，函数的值域为．
【变题】若把本题再加上的条件，则结果又如何？
说明：形式的函数求值域时，可考虑先将函数化为形式的函数来求解。
例3：求函数的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的的值。
解：
，
令，则，
∴（），
∴当，即或（）时，，
当，即（）时，．
例4：求函数的值域。
解：令，则，
又∵，
∴，
当时，，
当时，，
所以，函数的值域为．
五、练习：1．求函数（）的最大值和最小值，并写出函数取最值时对应的的值。
六、小结：1．可化为型的函数值域；
2．可化为求二函数的函数的值域；
3．含，的函数的值域的求法。
七、作业：补充：
求下列函数的值域：
（1）； （2） ；
（3）；
（4）；
（5）（）；
（6）．
1.3.2 三角函数的图像与性质（4）
一、课题：正、余弦函数的值域（2）
二、教学目标：1.进一步掌握与正、余弦相关函数的值域的求法；
2.正、余弦函数的值域在应用题中的应用。
三、教学重、难点：与正、余弦函数值域相关的应用题的解法。
四、教学过程：
（一）复习：
练习：求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）．
（二）新课讲解：
1．三角函数模型的应用题
例1：如图，有一快以点为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形辟为绿地，使其一边落在半圆的直径上，另两点、落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为，如何选择关于点对称的点、的位置，可以使矩形的面积最大？
解：设，
则，，
∴，
∴当取得最大值时，取得最大值，
此时，，，
答：、应该选在离点处，才能使矩形的面积最大，最大面积为．
2．含字母系数的函数最值
例2：已知函数（）的最大值为，最小值为，求函数
的最大值和最小值。
解：（）
当时，， ①
当时，， ②
由①②得， ∴，
所以，当时，，当时，．
例3：已知函数的定义域是，值域是，求常数．
解：
∵，∴， ∴，
若，则当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，
∴，解得：，
若时，则当时函数取得最大值，当时函数取得最小值，
∴，解得：， 所以，或．
五、小结：1．三角函数模型的应用题的解法；
2．函数字母系数的函数最值问题的解法。
六、作业：
补充：
1．求下列函数的值域：
（1）；
（2）；
（3）．
2．已知的定义域为，值域为，求．
3．如图，四边形是一个边长为米的正方形地皮，其中是一个半径为米的扇形小山，是弧上一点，其余部分都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在与上的长方形停车场，求长方形停车场面积的最大值、最小值。
1.3.2 三角函数的图像与性质(5)
一、课题：正切函数的图象和性质（1）
二、教学目标：1．了解利用正切线画出正切函数图象的方法；
2．了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题；
3．掌握正切函数的性质。
三、教学重、难点：1．正切函数图象的作法；2．正切函数的性质。
四、教学过程：
（一）复习：
问题：正弦曲线是怎样画的？
（二）新课讲解：
1．正切函数的定义域是什么？
2．正切函数是不是周期函数？
，
∴是的一个周期。
是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作，的图象
说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
，且的图象，称“正切曲线”。
（3）由图象可以看出，正切曲线是由被相互平行的直线所隔开的无穷多支曲线组成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：
（1）定义域：；
（2）值域：R
观察：当从小于，时，
当从大于，时，。
（3）周期性：；
（4）奇偶性：由知，正切函数是奇函数；
（5）单调性：在开区间内，函数单调递增。
思考：
例：求函数的定义域。 答案：．
五、课堂练习：
六、小结：1．作图的方法和图象特征；
2．正切函数的性质；
七、作业：
1.3.2 三角函数的图象和性质(6)
一、课题：正切函数的图象和性质（2）
二、教学目标：1．熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题；
2．渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。
三、教学重点：正切函数的图象和性质的运用。
四、教学过程：
（一）复习：
1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。
2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。
（二）新课讲解：
例1：求下列函数的周期：
（1） 答：。
（2） 答：。
说明：函数的周期．
【练习】P71．练习4．
例2：求函数的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。
解：由得，
∴所求定义域为，值域为R，周期，是非奇非偶函数，在区间上是增函数。
将图象向右平移个单位，得到的图象；再将
的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），就得到函数的图象。
例3：用图象求函数的定义域。
解：由 得 ，
利用图象知，所求定义域为，
亦可利用单位圆求解。
五、课堂练习：
1．“”是“”的 既不充分也不必要 条件。
2．与函数的图象不相交的一条直线是（ D ）
3．函数的定义域是 ．
4．函数的值域是 ．
5．函数的奇偶性是 奇函数 ，周期是．
六、小结： 正切函数的性质。
七、作业：
总 课 题
三角函数的图象与性质
总课时
第10课时
分 课 题
三角函数的图象与性质（1）
分课时
第 2 课时
教学目标
能画出正弦函数和余弦函数的图象，并能借助图象认识正弦函数和余弦函数的基本性质。
重点难点
正弦函数和余弦函数的图象及性质
?引入新课
1、如何通过正弦线来画正弦函数在内的图象。
2、正弦曲线、余弦曲线的作法：
3、“五点法”作图：
函数的图象上起着关键作用的点有以下五个：
______________________________________________________________。
函数的图象上起着关键作用的点有以下五个：
______________________________________________________________。
4、正弦、余弦函数的性质：
定义域
值 域
_________；最大值___；最小值___。
________；最大值___；最小值___。
周期性
最小正周期为________
最小正周期为________
奇偶性
单 调 性
在每个闭区间____________________上都是____函数；
在每个闭区间____________________上都是____函数。
在每个闭区间____________________上都是____函数；
在每个闭区间____________________上都是____函数。
对称轴
对 称中 心
5、课前练习：
（1）函数的定义域为___________________；值域为___________________。
（2）已知函数的最大值为，最小值为，则____；____。
?例题剖析
例1、用“五点法”作一个周期内的图象。
x
y
例2、通过例1，说明所作函数图象与余弦曲线之间的区别与联系。并归纳以下函数图象与正弦、余弦曲线之间的区别与联系。
（1） （2）
例3、求下列函数的最大值及取得最大值时自变量的集合。
（1） （2）
?巩固练习
1、作出函数的简图，并指出它值域。
2、把余弦曲线上每一个点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），
得到函数______________________的图象。
3、求下列函数的最值，并求取得最值时自变量的值。
（1） （2）
?课堂小结
正弦函数、余弦函数的图象和性质及其简单应用
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、函数的定义域是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、已知，，则的图象（ ）
A、与的图象相同 B、与的图象关于轴对称
C、向左平移个单位，得的图象 D、向右平移个单位，得的图象
3、函数______________的图象可由正弦曲线上的每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）而得到。
4、已知函数的最大值是，则常数____________。
5、函数的值域是__________________。
二、提高题
6、已知方程有解，则的取值范围是________________。
7、求下列函数的最值，并求使函数取得最值时的自变量的集合。
（1） （2）
8、已知函数，
（1）画出函数在长度为一个周期的闭区间上的图象；
（2）写出函数的值域。
三、能力题
9、分别作出函数和，判断它们是否为周期函数，若是，周期是多少？并写出它们的值域。
10、设，，求的最大值和最小值。
总 课 题
三角函数的图象与性质
总课时
第11课时
分 课 题
三角函数的图象与性质（2）
分课时
第 3 课时
教学目标
掌握正弦、余弦函数的图象与性质，能应用正弦、余弦函数的图象与性质解决有关数学问题。
重点难点
正弦、余弦函数图象与性质的应用
?引入新课
1、复习正弦、余弦函数的图象与性质。
（1）“五点法”作图：
函数的图象上起着关键作用的点有以下五个：
______________________________________________________________。
函数的图象上起着关键作用的点有以下五个：
______________________________________________________________。
（2）正弦函数的性质：
定义域：______________；值域：____________；最大值：_____；最小值：_____；
奇偶性：_______；周期：______；对称轴：__________；对称中心：_____________；
在闭区间_________________上是增函数；在闭区间_________________上是减函数。
（3）余弦函数的性质：
定义域：______________；值域：____________；最大值：_____；最小值：_____；
奇偶性：_______；周期：______；对称轴：__________；对称中心：_____________；
在闭区间_________________上是增函数；在闭区间_________________上是减函数。
2、课前训练：
（1）函数的定义域是____________________，值域是________________。
（2）的图象与直线交点个数是____________________。
（3）若，，则符合条件的角的集合是____________________。
（4）不求值，比较大小：①、_____ ②、_____
（5）已知，且，求的值。
?例题剖析
例1、不求值，分别比较下列各组中两个三角函数值的大小：
（1）与 （2）与
例2、求下列函数的定义域和值域：
（1） （2）
例3、求下列函数的单调区间：
（1） （2）
?巩固练习
1、已知，函数的定义域是___________________。
2、把按从大到小排列：________________________________。
3、求下列函数的单调区间：
（1） （2）
?课堂小结
正弦、余弦函数图象与性质的应用 ?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、函数的单调性是 （ ）
A、在上是增函数，在上是减函数
B、在上是增函数，在及上是减函数
C、在上是增函数，在上是减函数
D、在及上是增函数，在上是减函数
2、下列说法中正确的是 （ ）
A、为偶函数 B、是奇函数
C、若，则 D、在第一象限是增函数
3、不求值，比较大小：（1）____；（2）___。
4、函数的定义域是_____________________；
函数的值域是_____________________。
5、函数的单调减区间是_____________________。
6、判断下列函数的奇偶性：（1）________；（2）_________。
二、提高题
7、已知函数，若，求的值。
8、比较大小：（1）与； （2）与。
三、能力题
9、（1）求函数的递增区间；
（2）求函数的递减区间。
10、阅读下列问题及其解法：
“若，求的最大值。
解：由，可得，
∴
∴当时，有最大值。”
判断此解法是否正确，并说明理由。
总 课 题
三角函数的图象与性质
总课时
第12课时
分 课 题
三角函数的图象与性质（3）
分课时
第 4 课时
教学目标
能画出正切函数的图象，并能借助图象认识正切函数的基本性质（定义域、值域、奇偶性、单调性）
重点难点
正切函数的基本性质及其应用
?引入新课
1、利用正切函数线画正切函数在内的图象。
2、正切函数的性质：
定义域
值 域
周 期
奇偶性
单调性
对称中心
对称轴
3、课前训练：
（1）观察正切函数的图象，分别写出满足下列条件的的集合：
①、_______________________；②、_______________________。
（2）不求值，比较大小：①、_____ ②、_____
（3）函数的值域是__________________。
（4）函数的周期是________，在区间_____________________________上是_____函数（填“增”或“减”）
?例题剖析
例1、求函数的定义域。
例2、求下列函数的单调区间：
（1） （2）
例3、不求值，判断下列各式的符号：
（1） （2）
?巩固练习
1、求下列函数的定义域：
（1） （2） （3）
2、利用正切函数的单调性，比较下列各组中两个正切值的大小：
（1）与 （2）与
?课堂小结
正切函数的基本性质及其应用 ?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、函数的定义域为（ ）
A、 B、
C、 D、
2、下列函数中，同时满足①在上递增，②周期为，③是奇函数的是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、函数的单调增区间是______________________。
4、使不等式成立的的范围是_______________________。
5、函数的值域是__________________________。
6、不求值，将按从大到小排列：_______________________________。
二、提高题
7、求函数的定义域、周期和单调区间。
8、利用图象解不等式：
（1） （2）
三、能力题
9、（1）画出函数的图象，并根据图象确定其奇偶性、周期性和单调区间。
（2）画出函数的图象，并根据图象确定其奇偶性、周期性和单调区间。
1．y＝1＋sinx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝的交点个数为________．
解析：在同一坐标系中作出函数y＝1＋sinx，x∈[0,2π]和y＝的图象，由图可得有两个交点．
答案：2
2．使cosx＝有意义的实数m的取值范围是________．
解析：由题设||≤1?|1＋m|≤|1－m|且m≠1，得m≤0.
答案：m≤0
3．函数y＝3＋3cos(2x＋)的值域是________．
解析：－1≤cos(2x＋)≤1，∴0≤y≤6.
答案：[0,6]
4．函数y＝－2sinx在[0,2π]上的图象的最高点坐标是________．
解析：函数y＝－2sinx的图象与函数y＝2sinx的图象关于x轴对称．
答案：(，2)
一、填空题
1．函数f(x)＝－1是________函数．(填“奇”或“偶”)
解析：定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，且f(－x)＝－1＝－1＝f(x)．
答案：偶
2．函数y＝sin(x＋φ)(0≤φ≤π)是R上的偶函数，则φ＝__________.
解析：当φ＝时，y＝sin(x＋)＝cosx为偶函数．
答案：
3．已知函数f(x)＝sin(x－)(x∈R)，下面结论错误的是________．(只填序号)
①函数f(x)的最小正周期为2π；②函数f(x)在区间[0，]上是增函数；③函数f(x)的图象关于直线x＝0对称；④函数f(x)是奇函数．
解析：∵y＝sin(x－)＝－cosx，∴T＝2π，即①正确．y＝cosx在[0，]上是增函数，则y＝－cosx在[0，]上是增函数，即②正确．由图象知y＝－cosx的图象关于x＝0对称，即③正确．y＝－cosx为偶函数，即④不正确．
答案：④
4．下列关系式中正确的是________．
①sin11°＜cos10°＜sin168°；②sin168°＜sin11°＜cos10°；③sin11°＜sin168°＜cos10°；④sin168°＜cos10°＜sin11°.
解析：sin168°＝sin(180°－12°)＝sin12°，cos10°＝sin(90°－10°)＝sin80°，又∵y＝sinx在[0°，90°]上是增函数，∴sin11°＜sin12°＜sin80°，即sin11°＜sin168°＜cos10°.
答案：③
5．函数y＝cos(3x＋φ)的图象关于原点对称的条件是________．
解析：由3x＋φ＝kπ＋，得x＝π＋－为对称中心的横坐标．∵关于原点对称，∴x＝0，即π＋－＝0，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
答案：φ＝kπ＋(k∈Z)
6．设α，β都是锐角，且sinα＜cosβ，则α＋β的取值范围是________．
解析：将sinα，cosβ化同名，得sinα＜sin(－β)，再利用函数单调性求得．
答案：(0，)
7．若函数f(x)＝2sinωx(0＜ω＜1)在区间[0，]上的最大值为，则ω＝________.
解析：由0＜ω＜1知，函数f(x)在[0，]上单调递增，所以f()＝，则可求出ω.
答案：
8．若函数y＝f(x)同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为π；(2)在x＝时取得最大值1；(3)在区间[－，]上是增函数．则y＝f(x)的解析式可以是________．
①y＝sin(＋)； ②y＝cos(2x＋)；
③y＝sin(2x－)； ④y＝cos(2x－)．
解析：由(1)排除①.由(2)可知函数在x＝时取得最大值1，代入可知③满足，而且在区间[－，]上，③是增函数．
答案：③
二、解答题
9．作出下列函数在一个周期上的图象：
(1)y＝2sinx；(2)y＝cos(x＋)；(3)y＝2sinx.
解： (1)y＝2sinx的周期T＝2π，可先确定关键的五个点：(0,0)，(，2)，(π，0)，(，－2)，(2π，0)．在坐标系中将这五个点描出，并且光滑曲线连结这些点，得到图象如图所示．
(2)y＝cos(x＋)的周期T＝2π，确定关键的五个点：(－，1)，(，0)，(，－1)，(，0)，(，1)．在坐标系中将这五个点描出，然后用光滑曲线将它们连结起来，得到该函数的图象如图所示．
(3)y＝2sinx的周期T＝＝4π，故可确定关键的五个点：(0,0)，(π，2，)(2π，0)，(3π，－2)，(4π，0)．在坐标系中描出这五点，然后用光滑曲线将它们连结起来，得到函数的图象如图所示．
10．比较下列各组数的大小：
(1)cos(－π)与cos(－π)；(2)sin194°与cos160°.
解：(1)cos(－π)＝cos(－6π＋π)＝cosπ，
cos(－π)＝cos(－6π＋π)＝cosπ，
∵π＜π＜π＜2π，
∴cosπ＜cosπ，
即cos(－π)＜cos(－π)．
(2)sin194°＝sin(180°＋14°)＝－sin14°，
cos160°＝cos(180°－20°)＝－cos20°＝－sin70°.
∵0°＜14°＜70°＜90°，∴sin14°＜sin70°.
从而－sin14°＞－sin70°，即sin194°＞cos160°.
11．已知函数f(x)＝asin(x－)＋a＋b.
(1)当a＝1时，求函数f(x)的单调递减区间；
(2)当a＜0时，f(x)在[0，π]上的值域为[2,3]，求a，b的值．
解：(1)当a＝1时，f(x)＝sin(x－)＋1＋b.
∵y＝sinx的单调递减区间为[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)，∴当2kπ＋≤x－≤2kπ＋，即2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，所以f(x)的单调递减区间是[2kπ＋，2kπ＋](k∈Z)．
(2)f(x)＝asin(x－)＋a＋b，
∵x∈[0，π]，∴－≤x－≤，
∴－≤sin(x－)≤1.又∵a＜0，
∴a≤asin(x－)≤－a.
∴a＋a＋b≤f(x)≤b，
∵f(x)的值域是[2,3]，
∴a＋a＋b＝2且b＝3，
解得a＝1－，b＝3.
1．函数y＝tan(x＋)的定义域为________．
解析：x＋≠kπ＋，k∈Z，∴x≠kπ＋，k∈Z.
答案：{x|x≠kπ＋，k∈Z}
2．函数y＝3tan(x＋)的增区间为________．
解析：kπ－＜x＋＜kπ＋，k∈Z，∴kπ－＜x＜kπ＋，k∈Z，∴2kπ－＜x＜2kπ＋，k∈Z.
答案：(2kπ－，2kπ＋)，(k∈Z)
3．函数y＝3tan(2x＋)的周期为________．
答案：
4．直线y＝a(a为常数)与正切曲线y＝tanx相交的相邻两点间的距离为________．
解析：由图象可知，直线y＝a与正切曲线y＝tanx相交的相邻两点间的距离为一个周期．
答案：π
一、填空题
1．函数y＝(－≤x≤且x≠0)的值域是________．
解析：当x∈[－，0)∪(0，]时，tanx∈[－1,0)∪(0,1]，∴y∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．
答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)
2．下列函数中同时满足：①在(0，)上是增函数；②奇函数；③以π为最小正周期的函数是________．
①y＝tanx； ②y＝cosx；
③y＝tan； ④y＝|sinx|.
答案：①
3．y＝tan满足下列哪些条件________．
①在(0，)上单调递增；②为奇函数；
③以π为最小正周期；④定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
解析：①令0＜x＜得0＜＜，∴y＝tan在(0，)上单调递增．②tan(－)＝－tan，故为奇函数．③T＝＝2π，故③不正确．④令≠＋kπ，得x≠π＋2kπ，∴定义域为{x|x≠π＋2kπ，k∈Z}，∴④ 不正确．
答案：①②
4．下列不等式中：①tan＞tan；②tan1＞tan2；③＜；④＜.其中正确的是________．
答案：②
5．函数f(x)＝cosx·tan|x|的奇偶性为________．
解析：f(－x)＝cos(－x)·tan|－x|＝cosx·tan|x|＝f(x)．
答案：偶函数
6．函数y＝3tan(2x＋)的对称中心是________．
解析：2x＋＝，k∈Z，∴x＝－，k∈Z.
答案：(－，0)(k∈Z)
7．若tanx＞tan且x在第三象限，则x的取值范围是________．
解析：tanx＞tan＝tan(π＋)＝tanπ，∴π＜x＜π，考虑角的任意性，∴2kπ＋π＜x＜2kπ＋π(k∈Z)．
答案：{x|2kπ＋π＜x＜2kπ＋π，k∈Z}
8．已知函数y＝tanωx在(－，)内是减函数，则ω的取值范围是________．
解析：y＝tanωx在(－，)是减函数，∴ω＜0且≥π?－1≤ω＜0.
答案：－1≤ω＜0
二、解答题
9．求下列函数的定义域．
(1)y＝；
(2)y＝＋lg(1－tanx)．
解：(1)由－tanx≥0，得tanx≤.
在(－，)内满足不等式的范围是(－，]．
又y＝tanx的周期为π，
故原函数的定义域为(kπ－，kπ＋]，k∈Z.
(2)函数y＝＋lg(1－tanx)有意义，等价于所以0≤tanx＜1.由正切曲线可得kπ≤x＜kπ＋，k∈Z.故原函数的定义域为{x|kπ≤x＜kπ＋，k∈Z}．
10．(1)求函数f(x)＝3tan(－)的周期和单调递减区间；
(2)试比较f(π)与f()的大小．
解：(1)因为f(x)＝3tan(－)＝－3tan(－)，所以T＝＝＝4π.
由kπ－＜－＜kπ＋(k∈Z)，
得4kπ－＜x＜4kπ＋(k∈Z)．
因为y＝3tan(－)在(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)内单调递增，所以f(x)＝－3tan(－)在(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)内单调递减．
故原函数的周期为4π，单调递减区间为(4kπ－，4kπ＋)(k∈Z)．
(2)f(π)＝3tan(－)＝3tan(－)＝－3tan，f()＝3tan(－)＝3tan(－)＝－3tan，
因为＜，且y＝tanx在(0，)上单调递增，
所以tan＜tan，所以f(π) ＞f()．
11．是否存在实数k，使得当x∈[，]时，k＋tan(－2x)的值总不大于零，若存在，求出k的范围；若不存在，请说明理由．
解：假设存在实数k，符合题意，则k≤tan(2x－)，
∴k≤tan(2x－)min，
而当x∈[，]时，
0≤tan(2x－)≤，∴k≤0，
即存在实数k，其取值范围为(－∞，0]．
