第十七课时 函数y＝Asin(ωx＋)的图象(二)
教学目标：
理解相位变换中的有关概念，会用相位变换画出函数的图象，会用“五点法”画出y＝sin(x＋)的简图；数形结合思想的渗透，辩证观点的培养，数学修养的培养.
教学重点：
1.相位变换中的有关概念；
2.会用相位变换画函数图象；
3.“五点法”画y＝sin(x＋)的简图.
教学难点：
理解并利用相位变换画图象.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
我们随着学习三角函数的深入，还会遇到形如y＝sin(x＋)的三角函数，这种函数的图象又该如何得到呢?今天，我们一起来探讨一下.
Ⅱ.讲授新课
［例］画出函数y＝sin(x＋)，x∈R y＝sin(x－)，x∈R的简图.
解：列表
x
－
X＝x＋
0
π
2π
sin(x＋)
0
1
0
－1
0
描点画图：
x
X＝x－
0
π
2π
sin(x－)
0
1
0
－1
0
通过比较，发现：
函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有的点向左平行移动个单位长度而得到.
函数y＝sin(x－)，x∈R的图象可看作把正弦曲线上所有点向右平行移动个单位长度而得到.
一般地，函数y＝sin(x＋)，x∈R(其中≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动｜｜个单位长度而得到.
y＝sin(x＋)与y＝sinx的图象只是在平面直角坐标系中的相对位置不一样，这一变换称为相位变换.
Ⅲ.课时小结
通过本节学习要理解并掌握相位变换画图象.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(二)
1．(1)y＝sin(x＋)是由y＝sinx向 平移 个单位得到的.
(2)y＝sin(x－)是由y＝sinx向 平移 个单位得到的.
(3)y＝sin(x－)是由y＝sin(x＋)向 平移 个单位得到的.
2．若将某函数的图象向右平移以后所得到的图象的函数式是y＝sin(x＋)，则原来的函数表达式为 ( )
A.y＝sin(x＋) B.y＝sin(x＋)
C.y＝sin(x－) D.y＝sin(x＋)－
3．把函数y＝cos(3x＋)的图象适当变动就可以得到y＝sin(－3x)的图象，这种变动可以是( )
A.向右平移 B.向左平移
C.向右平移 D.向左平移
4．将函数y＝f(x)的图象沿x轴向右平移，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)是 ( )
A.y＝sin(2x＋) B.y＝sin(2x－)
C.y＝sin(2x＋) D.y＝sin(2x－)
5．若对任意实数a，函数y＝5sin(πx－)(k∈N)在区间［a，a＋3］上的值 出现不少于4次且不多于8次，则k的值是 ( )
A.2 B.4 C.3或4 D.2或3
6．若函数f(x)＝sin2x＋acos2x的图象关于直线x＝－对称，则a＝－1.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(二)答案
1．(1)左 (2)右 (3)右 2．A 3．D 4．C
5．分析：这也是求函数解析式中参数值的逆向型题，解题的思路是：
先求出与k相关的周期T的取值范围，再求k.
解：∵T＝＝，(a＋3)－a＝3
又因每一周期内出现值时有2次，出现4次取2个周期，出现值8次应有4个周期.
∴有4T≥3且2T≤3
即得≤T≤，∴≤≤
解得≤k≤，
∵k∈N，∴k＝2或3.
答案：D
6．a＝－1
分析：这是已知函数图象的对称轴方程，求函数解析式中参数值的一类逆向型题，解题的关键是如何巧用对称性.
解：∵x1＝0，x2＝－是定义域中关于x＝－对称的两点
∴f(0)＝f(－)
即0＋a＝sin(－)＋acos(－)
∴a＝－1
第十八课时 函数y＝Asin(ωx＋)的图象(三)
教学目标：
会用“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象，会用图象变换的方法画y＝Asin(ωx＋)的图象，会求一些函数的振幅、周期、最值等；数形结合思想的渗透，化归思想的渗透，提高数学素质.
教学重点：
1.“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象；
2.图象变换过程的理解；
3.一些相关概念.
教学难点：
多种变换的顺序
教学过程：
Ⅰ.课题导入
y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0，ω＞0，≠0)的图象又该如何得到?
［例］画出函数y＝3sin(2x＋)，x∈R的简图.
解：(五点法)
由T＝，得T＝π
令X＝2x＋
列表：
x
－
2x＋
0
π
2π
3sin(2x＋)
0
3
0
－3
0
描点画图：
这种曲线也可由图象变换得到：
一般地，函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R(其中A＞0，ω＞0)的图象，可以看作用下面的方法得到：
先把正弦曲线上所有的点向左(当＞0时)或向右(当＜0时)平行移动｜｜个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)，再把所得各点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变).
注意一些物理量的概念：
A 称为振幅
T＝ 称为周期
f＝ 称为频率
ωx＋ 称为相位
x＝0时的相位 称为初相
Ⅲ.课堂练习
课本P42 1～6
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要熟练掌握“五点法”画y＝Asin(ωx＋)的图象，理解图象变换法作图象的过程，体会它们之间的关系.进一步掌握三角函数的基本性质，解决一些实际问题.
Ⅴ.课后作业
课本P46 8
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(三)
1．若函数y＝f(x)的图象上每一点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移 个单位，沿y轴向下平移1个单位，得到函数y＝sinx的图象，则有y＝f(x)是 ( )
A.y＝sin(2x＋)＋1 B.y＝sin(2x－)＋1
C.y＝sin(2x－)＋1 D.y＝sin(x＋)＋1
2．函数y＝3sin(2x＋)的图象，可由y＝sinx的图象经过下述哪种变换而得到( )
A.向右平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍
B.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标扩大到原来的3倍
C.向右平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标缩小到原来的倍
D.向左平移个单位，横坐标缩小到原来的倍，纵坐标缩小到原来的倍
3．已知如图是函数y＝2sin(ωx＋)(｜｜＜)的图象，那么 ( )
A.ω＝，＝ B.ω＝，＝－
C.ω＝2，＝ D.ω＝2，＝－
4．已知函数y＝Asin(ωx＋)，在同一周期内，当x＝时函数取得最大值2，当x＝时函数取得最小值－2，则该函数的解析式为 ( )
A.y＝2sin(3x－) B.y＝2sin(3x＋)
C.y＝2sin(＋) D.y＝2sin(－)
5．已知函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，0＜＜2π)图象的一个最高点(2，)，由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6，0)，试求函数的解析式.
6．已知函数y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0，｜｜＜)在同一周期内，当x＝时，y有最小值－2，当x＝时，y有最大值2，求函数的解析式.
7．已知函数f(x)＝ cos(2x＋) x∈［0，］.求f(x)的最大值，最小值.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(三)答案
1．B 2．B 3．C 4．B
5．已知函数y＝Asin(ωx＋)(A＞0，ω＞0，0＜＜2π)图象的一个最高点(2，)，由这个最高点到相邻最低点的图象与x轴交于点(6，0)，试求函数的解析式.
解：由已知可得函数的周期T＝4×(6－2)＝16
∴ω＝＝ 又A＝
∴y＝sin(x＋)?
把(2，)代入上式得：＝sin(×2＋)·
∴sin( ＋)＝1，而0＜＜2π ∴＝
∴所求解析式为：y＝sin(x＋)
6．已知函数y＝Asin(ωx＋)(其中A＞0，｜｜＜)在同一周期内，当x＝时，y有最小值－2，当x＝时，y有最大值2，求函数的解析式.
分析：由y＝Asin(ωx＋)的图象易知A的值，在同一周期内，最高点与最低点横坐标之间的距离即 ，由此可求ω的值，再将最高(或低)点坐标代入可求.
解：由题意A＝2，＝－
∴T＝π＝，∴ω＝2 ∴y＝2sin(2x＋)又x＝时y＝2
∴2＝2sin(2×＋) ∴＋＝ (＜)
∴＝
∴函数解析式为：y＝2sin(2x＋)
7．已知函数f(x)＝ cos(2x＋) x∈［0，］.求f(x)的最大值，最小值.
解：∵0≤x≤.∴≤2x＋≤
当2x＋＝时,cos(2x＋)取得最大值；
当2x＋＝π时，cos(2x＋)取得最小值－1.
∴f(x)在［0，］上的最大值为1，最小值为－.
第十六课时 函数y＝Asin(ωx＋)的图象(一)
教学目标
理解振幅的定义，理解振幅变换和周期变换的规律，会对函数y＝sinx进行振幅和周期变换；渗透数形结合思想，培养动与静的辩证关系，提高数学修养.
教学重点
1.理解振幅变换和周期变换的规律；
2.熟练地对y＝sinx进行振幅和周期变换.
教学难点
理解振幅变换和周期变换的规律
教学过程
Ⅰ.课题导入
在现实生活中，我们常常会遇到形如y＝Asin(ωx＋)的函数解析式(其中A，ω，都是常数).下面我们讨论函数y＝Asin(ωx＋)，x∈R的简图的画法.
Ⅱ.讲授新课
首先我们来看形如y＝Asinx，x∈R的简图如何来画?
［例1］画出函数y＝2sinx，x∈R，y＝sinx，x∈R的简图.
解：画简图，我们用“五点法”
∵这两个函数都是周期函数，且周期为2π
∴我们先画它们在［0，2π］上的简图.
列表：
x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
2sinx
0
2
0
－2
0
sinx
0
0
－
0
描点画图：
然后利用周期性，把它们在［0，2π］上的简图向左、右分别扩展，便可得到它们的简图.
请同学们观察它们之间的关系
(1)y＝2sinx，x∈R的值域是［－2，2］
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍而得(横坐标不变).
(2)y＝sinx，x∈R的值域是［－，］
图象可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的纵坐标缩短到原来的倍而得(横坐标不变).
一般地，函数y＝Asinx，x∈R(其中A＞0且A≠1)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.
函数y＝Asinx，x∈R的值域是［－A，A］
ymax＝A，ymin＝－A
A称为振幅，这一变换称为振幅变换.
［例2］画出函数y＝sin2x，x∈R y＝sinx，x∈R的简图.
解：函数y＝sin2x，x∈R的周期 T＝＝π
我们先画在［0，π］上的简图
令X＝2x，那么sinX＝sin2x
列表：
x
0
π
X＝2x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
描点画图：
函数y＝sinx，x∈R的周期T＝＝4π
我们画［0，4π］上的简图，令x＝x
列表：
x
0
π
2π
3π
4π
X＝x
0
π
2π
sinx
0
1
0
－1
0
描点画图：
利用它们各自的周期，把它们分别向左、右扩展得到它们的简图.
函数y＝sin2x，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到.
函数y＝sinx，x∈R的图象，可看作把y＝sinx，x∈R上所有点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)而得到的.
一般地，函数y＝sinωx，x∈R(其中ω＞0，且ω≠1)的图象，可以看作把y＝sinx，x∈R图象上所有点的横坐标缩短(当ω＞1时)或伸长(当0＜ω＜1时)到原来的倍(纵坐标不变)而得到.
ω决定了函数的周期，这一变换称为周期变换.
Ⅲ.课时小结
通过本节学习，要理解并学会对函数y＝sinx进行振幅和周期变换，即会画y＝Asinx，
y＝sinωx的图象，并理解它们与y＝sinx之间的关系.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(一)
1．判断正误
①y＝Asinωx的最大值是A，最小值是－A. ( )
②y＝Asinωx的周期是. ( )
③y＝－3sin4x的振幅是3，最大值为3，最小值是－3. ( )
2．用图象变换的方法在同一坐标系内由y＝sinx的图象画出函数y＝－sin(－2x)的图象.
3．下列变换中，正确的是 ( )
A.将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象
B.将y＝sin2x图象上的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)即可得到y＝sinx的图象
C.将y＝－sin2x图象上的横坐标变为原来的倍，纵坐标变为原来的相反数，即得到
y＝sinx的图象
D.将y＝－3sin2x图象上的横坐标缩小一倍，纵坐标扩大到原来的倍，且变为相反数，即得到y＝sinx的图象
4．试判断函数f(x)＝在下列区间上的奇偶性.
(1)x∈(－，) (2)x∈［－，］
5．求函数y＝logcos(x＋)的单调递增区间.
6．求函数y＝sin(－2x)的单调递增区间.
函数y＝Asin(ωx＋)的图象(一)答案
1．①(×) ②(×) ③(√)
2．解：∵y＝－sin(－2x)＝sin2x
评述：先化简后画图.
3．A
4．解：f(x)＝
＝＝＝
∵f(－x)＝＝－＝－f(x)
∴在(－，)上f(x)为奇函数.
(2)由于x＝时，f(x)＝1，而f(－x)无意义.
∴在［－，］上函数不具有奇偶性.
5．分析：先考虑对数函数y＝logx是减函数，因此函数的增区间在u＝cos(x＋)的减区间之中，然后再考虑对数函数的定义域.
即函数的递增区间应是cos(x＋)的递减区间与cos(x＋)＞0的解集的交集.
解：依题意得
解得x∈［2kπ－，2kπ＋)(k∈Z)
评述：求例如sin(ωx＋)、cos(ωx＋)的单调区间时，要注意换元，即令u＝ωx＋，
由u所在区间得到x的范围.
6．求函数y＝sin(－2x)的单调递增区间.
错解：∵y＝sinx的单调递增区间是
［2kπ－，2kπ＋］(k∈Z)
∴2kπ－≤－2x≤2kπ＋ (k∈Z)
解得－kπ－≤x≤－kπ＋ (k∈Z)
∴函数y＝sin(－2x)的递增区间是［kπ－，kπ＋］(k∈Z)
评述：y＝sin(－2x)是y＝sint及t＝－2x的复合函数.由于t＝－2x是减函数，所以当y＝sint递增时，函数y＝sin(－2x)是减函数，上面求得的结果是函数的递减区间，可见，讨论复合函数的单调性必须分析每个函数的单调性，以免犯类似的错误.复合函数的单调性有如下规律：双增双减均为增，一增一减为减.
1.3.3 函数的图象（1）
一、课题：函数的图象（1）
二、教学目标：1．会画函数的简图；
2．弄清与函数的图象之间的关系；
3．理解由简单到复杂，由特殊到一般的化归思想。
三、教学重、难点：五点法画函数的图象。
四、教学过程：
新课讲解：
1．型函数的图象
例1 画出函数，，，，的简图。
解：先画出它们在上的图象，再向左右扩展，
由图可知，对于同一个，，的图象上的点的纵坐标等于，的图象上的点的纵坐标的倍，因此，，的图象可以看作正弦曲线上所有点的纵坐标伸长到原来的倍（横坐标不变的情况下）而得到的。，的图象的情况也类似：纵坐标变为原来的（横坐标不变情况下）。
一般地，函数，的图象可看作把正弦曲线上所有点的纵坐标伸长（时）或缩短（时）到原来的倍（横坐标不变的情况下）而得到，因此，，的值域是，最大值为，最小值为．
2．型函数的图象
例2 画出函数，，，的函数简图。
解：先画出它们在一个周期内的图象，再向左、右扩展，
一般地，函数，（）的图象可以看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短（时）或伸长（时）到原来的倍（纵坐标不变的情况下）而得到的。
3．型的函数图象
例3 画出函数，，，的简图。
解：由函数图象的平移知：
，的图象可看作，的图象向左平移个单位得到；
，的图象可看作，的图象向右平移个单位得到。
可得图象如下：
一般地，函数（），的图象，可看作把正弦曲线上所有点向左（时）或向右（时）平行移动个单位而得到。
五、课堂练习：画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图（五点法）。
（1），； （2），．
六、小结：1．型函数的图象；
2．型函数的图象；
3．型函数的图象。
七、作业：
1.3.3 函数的图象（2）
一、课题：函数的图象（2）
二、教学目标：1．明确函数中的物理意义及它们对函数的图象各有什么影响；
2．逐步掌握由，的图象，通过图象的伸缩平移变换得到函数，的图象的方法。
三、教学重、难点：函数图象的伸缩、平移变换。
四、教学过程：
（一）复习：
1．型函数的图象；
2．型函数的图象；
3．型函数的图象。
（二）新课讲解：
1．的物理意义
当，（其中，）表示一个振动量时，表示这个量振动时离开平衡位置的最大距离，通常称为这个振动的振幅，往复振动一次需要的时间称为这个振动的周期，单位时间内往复振动的次数，称为振动的频率。称为相位，时的相位称为初相。
2．图象的变换
例 画出函数的简图。
解：函数的周期为，先画出它在长度为一个周期内的闭区间上的简图，再左右拓展即可，先用五点法画图：
函数的图象可看作由下面的方法得到的：
①图象上所有点向左平移个单位，得到的图象上；②再把图象上所点的横坐标缩短到原来的，得到的图象；③再把图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象。
一般地，函数，的图象（其中，）的图象，可看作由下面的方法得到：
①把正弦曲线上所有点向左（当时）或向右（当时）平行移动个单位长度；
②再把所得各点横坐标缩短（当时）或伸长（当时）到原来的倍（纵坐标不变）；
③再把所得各点的纵坐标伸长（当时）或缩短（当时）到原来的倍（横坐标不变）。
即先作相位变换，再作周期变换，再作振幅变换。
问题：以上步骤能否变换次序？
∵，所以，函数的图象还可看作由下面的方法得到的：
①图象上所点的横坐标缩短到原来的，得到函数的图象；
②再把函数图象上所有点向左平移个单位，得到函数的图象；
③再把函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的倍，得到的图象。
五、课堂练习：
（1）函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？
（2）函数的图象可由函数的图象经过怎样的变换得到？
（3）将函数的图象上所有的点 得到的图象，再将
的图象上的所有点 可得到函数的图象。
（4）由函数的图象怎样得到的图象？
六、小结：1．函数与的图象间的关系。
七、作业：
1.3.4 函数的解析式
一、课题：函数的解析式
二、教学目标：1．会根据函数图象写出解析式；
2．能根据已知条件写出中的待定系数．
三、教学重、难点：1．根据函数图象写解析式；
2．根据已知条件写出中的待定系数．
四、教学过程：
（一）复习：由函数的图象到的图象的变换方法：
（方法一）：先移相位，再作周期变换，再作振幅变换；
（方法二）：先作周期变换，再作相位变换，再作振幅变换。
（二）新课讲解：
1．根据函数图象求解析式
例1：已知函数（，）一个周期内的函数图象，如下图
所示，求函数的一个解析式。
解：由图知：函数最大值为，最小值为，
又∵，∴，
由图知
∴，∴，
又∵，
∴图象上最高点为，
∴，即，可取，
所以，函数的一个解析式为．
2．由已知条件求解析式
例2： 已知函数（，，）的最小值是，
图象上相邻两个最高点与最低点的横坐标相差，且图象经过点，求这
个函数的解析式。
解：由题意：，
， ∴，
∴， ∴，
又∵图象经过点， ∴， 即，
又∵， ∴，
所以，函数的解析式为．
例3：已知函数（，，）的最大值为，
最小值为，周期为，且图象过点，求这个函数的解析式。
解：，
又∵， ∴，
∴，
又∵图象过点，
∴， ∴，
又∵，∴或，
所以，函数解析式为或．
五、小结：1．由已知函数图象求解析式；
2．由已知条件求解析式。
六、作业：补充：
1．已知函数（，，）的周期是，最小值是，且图象过点，求这个函数的解析式；
2．函数（，，）的最小值是，其图象相邻的最高点和最低点的横坐标的差是，又图象经过点，求这个函数的解析式。
3．如图为函数（，）的图象中的一段，根据图象求它的解析式。
1．函数y＝sin的周期是________，振幅是________，当x＝________时，ymax＝________；当x＝________时，ymin＝________.
答案 4π 4kπ＋π (k∈Z) 4kπ－(k∈Z) －
2．把函数y＝sin 的图象________，可以得到函数y＝sin 的图象．
解析 由y＝sin ，
而y＝sin＝sinx－＋，
即将y＝sin向右平移个单位，
得y＝sin.
答案 向右平移个单位
3．将正弦曲线y＝sin x上各点向左平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，则所得图象解析式为______________．
解析 由y＝sin x向左平移得y＝sin，再把横坐标伸长到原来的2倍，得y＝sin.
答案 y＝sin
4．已知函数y＝cos(ωx＋φ)在一个周期内的图象如下．设其周期为T，则T＝________，φ＝________.
解析 ∵＝－＝，即T＝，
∴ω＝，ω·＋φ＝，∴φ＝.
答案 π
5．已知函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的最大值为3，最小正周期是，初相是，则这个函数的解析式是______________________________________．
答案 y＝3sin
6．已知函数f(x)＝asin＋1(a>0)的定义域为R，若当－≤x≤－时，f(x)的最大值为2.
(1)求a的值；
(2)试用五点法作出函数在一个周期闭区间上的图象，并求出函数f(x)的图象对称中心的坐标和对称轴方程．
解 (1)－≤x≤－?－≤2x≤－?－≤2x＋≤?－1≤sin≤?f(x)max＝a＋1，
∴a＋1＝2，即a＝2.
(2)
2x＋
0
π
π
2π
x
－
π
y
1
3
1
－1
1
由2x＋＝kπ，得x＝－(k∈Z)，
∴对称中心为(k∈Z)．
由2x＋＝kπ＋，得对称轴方程为x＝＋(k∈Z)．
7．将函数y＝sin(2x＋θ)的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则θ的值为________．
解析 设f(x)＝sin (2x＋θ)，则
f＝sin＝sin.
由已知，f＝sin.
∴＋θ＝，∴θ＝－.
答案 －
8．关于f(x)＝4sin(x∈R)，有下列命题
(1)由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；
(2)y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos；
(3)y＝f(x)图象关于对称；
(4)y＝f(x)图象关于x＝－，对称．
其中正确命题的序号为________．(将你认为正确的都填上)
解析 对于①，由f(x)＝0，可得2x＋＝kπ(k∈Z)．
∴x＝π－(k∈Z)，∴x1－x2是的整数倍，∴①错；对于②，f(x)＝4sin利用公式得：
f(x)＝4cos＝4cos.
∴②对；
对于③，f(x)＝4sin的对称中心满足2x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝π－(k∈Z)，∴是函数y＝f(x)的一个对称中心．∴③对；
对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋＝＋kπ(k∈Z)，
∴x＝＋(k∈Z)．∴④错．
答案 ②③
9．函数y＝sin 2x的图象向右平移φ个单位(φ>0)得到的图象恰好关于x＝对称，则φ的最小值为________．
解析 y＝sin 2x向右平移φ个单位得y＝sin(2x－2φ)
x＝是一条对称轴，则2×－2φ＝kπ＋(k∈Z)
∴φ＝－(k∈Z)，∴φ的最小值为.
答案
10．若函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)是偶函数，则φ满足的条件是________．
解析 y＝Asin(ωx＋φ)是偶函数，即关于y轴对称
∴sin φ＝±1，∴φ＝kπ＋(k∈Z)．
答案 φ＝kπ＋(k∈Z)
11．已知f(x)＝Asin
(A>0，ω>0)的图象如图所示．
(1)求y＝f(x)的解析式；
(2)说明y＝f(x)的图象是由y＝sin x的图象经过怎样的变换得到？
解 (1)由题图知A＝4，
由＝π－＝，得T＝，所以ω＝.
所以，f(x)＝4sin.
(2)①由y＝sin x得图象向左平移个单位得
y＝sinx＋的图象；
②再由y＝sin图象的横坐标缩短为原来(纵坐标不变)得y＝sin的图象；
③由y＝sin的图象纵坐标伸长为原来的4倍(横坐标不变)得f(x)＝4sin的图象．
12．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)上的一个最高点的坐标为，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点，若φ∈.
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
解 (1)由题意知A＝，T＝4×＝π，ω＝＝2，∴y＝sin(2x＋φ)．
又∵sin＝1，∴＋φ＝2kπ＋，k∈Z，
∴φ＝2kπ＋，k∈Z，
又∵φ∈，∴φ＝.∴y＝sin.
(2)列出x、y的对应值表：
x
－
π
π
π
2x＋
0
π
π
2π
y
0
0
－
0
描点，连线，如图所示：
13．(创新拓展)已知函数f(x)＝2cos ωx(ω>0)，且函数y＝f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为.
(1)求f的值；
(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求函数g(x)的单调递减区间．
解 (1)函数y＝f(x)图象的两条相邻对称轴间的距离为
∴T＝2×＝π，∴ω＝＝＝2，
∴f(x)＝2cos 2x，
则f＝2cos＝.
(2)由(1)知f(x)＝2cos 2x，向右平移个单位得
y＝2cos再将图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，得g(x)＝2cos
由2kπ≤x－≤2kπ＋π，k∈Z
得4kπ＋≤x≤4kπ＋，k∈Z
即函数g(x)＝2cos的递减区间为
，k∈Z.
课件37张PPT。1.3.3 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象振幅 最大距离 次数 相位 初相 向左 向右 横坐标缩短 伸长 纵坐标伸长 缩短 单击此处进入 活页规范训练总 课 题
三角函数的图象与性质
总课时
第13课时
分 课 题
函数的图象（1）
分课时
第 1 课时
教学目标
了解的实际意义，会作函数的图象，观察并研究参数对函数图象变化的影响，会用“五点法”画出函数的简图。
重点难点
掌握对函数图象变化的影响，会作的简图。
?引入新课
1、当函数表示一个简谐振动时，其振幅是__________，周期是__________，频率是__________，相位是__________，初相是__________。
2、当函数或表示一个振动量时，则称为_________；称为这个振动的________；单位时间内往复振动的次数_____________称为频率；称为___________，时相位称为__________。
?例题剖析
例1、画出下列函数的简图：
（1） （2）
例2、 （1） （2）
?巩固练习
1、函数的振幅、周期、初相各是多少？
2、作出下列函数的简图：（1） （2）
?课堂小结
掌握对函数图象变化的影响，会作的简图。
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、当函数表示一个简谐振动时，其振幅是_________，
周期是_________，频率是_________，相位是_________，初相是_________。
二、提高题
1、画出函数的简图。
2、画出函数的简图。
3、画出函数的简图。
三、能力题
4、画出函数的简图。
5、画出函数的简图。
总 课 题
三角函数的图象与性质
总课时
第14课时
分 课 题
函数的图象（2）
分课时
第 2 课时
教学目标
了解图象的特征，理解函数的图象与正弦曲线之间的关系，并根据条件求三角函数解析式。
重点难点
理解函数的图象与正弦曲线之间的关系。
?引入新课
1、当函数表示一个简谐振动时，其振幅是__________，
周期是__________，频率是__________，相位是__________，初相是__________。
?例题剖析
例1、（1）函数的图象是由的图象如何变换而来？
（2）函数的图象是由的图象如何变换而来？
（3）函数的图象是由的图象如何变换而来？
思考：函数的图象是由正弦曲线经过哪些图象变换得？
（1）相位变换
图象 __________________________图象。
（2）周期变换
图象 __________________________图象。
（3）振幅变换
图象 __________________________图象。
（4）图象可以这样得到： _____________
__________________ 。 例2、若函数表示一个振动量：
（1）求这个振动的振幅、周期、频率、初相；
（2）不用计算机和图象计算器，画出该函数的简图；
（3）根据函数的简图，写出函数的单调减区间。
例3、已知函数的最小值为，周期是，且它的图象过点，求此函数的解析式。
?巩固练习
1、已知函数的图象为。
（1）为了得到函数的图象，只需把上的所有点___________________；
（2）为了得到函数的图象，只需把上的所有点___________________；
（3）为了得到函数的图象，只需把上的所有点___________________；
2、把函数的图象向右平移个单位，所得到的图象的函数解析式为_____________________，再将图象上的所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），则所得到的图象的函数解析式是_____________________。
?课堂小结
理解函数的图象与正弦曲线之间的关系。
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A、向左平移个单位 B、向右平移个单位
C、向左平移个单位 D、向右平移个单位
2、余弦曲线上每一点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到图象的解析式是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、一弹簧振子的位移与时间的函数关系为，若已知此振动的振幅为，周期为，初相为，则这个函数的表达式为_______________。
4、将函数的图象向_____平移____个单位长度，得到函数的图象，再将函数的图象上每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数____________________________的图象。
5、将正弦曲线向右平移个单位长度，再将每一个点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将整个图象向下平移个单位长度，则所得图象的解析式为_______________。
二、提高题
6、指出经过怎样的图形变换，可将正弦曲线变换成的图象。
7、一个单摆如图所示，以为始边，为终边的角与时间的函数满足：。
（1）时，角是多少？ （2）单摆频率是多少？
（3）单摆完成次完整摆动共需多少时间？
8、已知函数。
（1）画出函数的简图；
（2）指出它可由函数的图象经过哪些变换而得到，并画出图象变换流程图；
（3）写出函数的单调减区间。
三、能力题
9、若将的图象向右平移个单位得图象，再把图象上的每一点的横坐标变为原来的倍得图象，再把图象上的每一点的纵坐标变为原来的倍得图象，若是函数的图象，试求的表达式。
1．为了得到函数y＝2sin(＋)，x∈R的图象，只需把函数y＝2sinx，x∈R的图象上所有的点：
①向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
②向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)；
③向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；
④向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)．
其中正确的是________．
解析：y＝2sinxy＝2sin(x＋)y＝2sin(x＋)．
答案：③
2．函数y＝2sin(＋)的周期、振幅依次是________．
答案：4π，2
3．已知函数y＝f(x)，f(x)图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2倍，然后再将整个图象沿x轴向左平移个单位，得到的曲线与y＝sinx的图象相同，则y＝f(x)的函数表达式为________．
解析：y＝sinxy＝sin(x－)y＝sin(2x－)．
答案：y＝sin(2x－)
4．函数y＝－2sin(4x＋)的图象与x轴的交点中，与原点最近的一点坐标是________．
解析：由4x＋＝kπ(k∈Z)得x＝－(k∈Z)，易得k＝1时，x＝满足题意．
答案：(，0)
一、填空题
1．一正弦曲线的一个最高点为(，3)，从相邻的最低点到这个最高点的图象交x轴于点(－，0)，最低点的纵坐标为－3，则这一正弦曲线的解析式为________．
解析：由T＝4×[－(－)]＝2，求得ω＝π，再利用当x＝时，πx＋φ＝，求出φ.
答案：y＝3sin(πx＋)
2. 已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ≤)，且此函数的图象如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________．
解析：由图可知＝π－π＝，∴T＝π.又＝T，∴ω＝2.又图象过(，0)，此点可看作“五点法”中函数的第三个点，故有2×＋φ＝π.∴φ＝.
∴点(ω，φ)的坐标是(2，)．
答案：(2，)
3．要得到y＝sin(＋)的图象，需将函数y＝sin至少向左平移________个单位长度．
解析：将y＝sin的图象向左平移φ(φ＞0)个单位长度得y＝sin(＋)的图象．令＝2kπ＋，
∴φ＝4kπ＋，k∈Z.
∴当k＝0时，φ＝π是φ的最小正值．
答案：π
4．对于函数f(x)＝2sin(2x＋)，给出下列结论：
①图象关于原点中心对称；
②图象关于直线x＝对称；
③图象可由函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位长度得到；
④图象向左平移个单位长度，即得到函数f(x)＝2cos2x的图象．
其中正确结论的序号为________．
答案：②④
5．若函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R(其中ω＞0，|φ|＜)的最小正周期是π，且f(0)＝，则ω＝________，φ＝________.
解析：∵ω＝＝＝2，又f(0)＝，得sinφ＝，∴φ＝.
答案：2
6．先将y＝sinx的图象向右平移个单位，再变化各个点的横坐标(纵坐标不变)，得到最小正周期为的函数y＝sin(ωx＋φ)(其中ω＞0)的图象，则ω＝________，φ＝________.
解析：利用函数周期与表达式中x的系数的关系及函数图象平移规律求解．因为函数y＝sin(ωx＋φ)的最小正周期为，所以ω＝3.又因为将函数y＝sinx的图象向右平移个单位，可得函数y＝sin(x－)的图象，故可判断函数y＝sin(ωx＋φ)中φ＝－.
答案：3 －
7．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2011)的值等于________．
解析：由图可知该函数的周期为8，得ω＝，A＝2，代入点(2,2)，得sin(×2＋φ)＝1，＋φ＝，得φ＝0，∴y＝2sinx.根据对称性有f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(8)＝0，从而f(1)＋f(2)＋…＋f(2011)＝251×[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝251×0＋2sin＋2sin＋2sinπ＝2(＋1)．
答案：2(＋1)
8．函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)－1(ω＞0，|φ|＜π)对于任意x∈R满足f(x)＝f(－x)和f(x)＝f(2－x)，在区间[0,1]上，函数f(x)单调递增，则有ω＝________，φ＝________.
解析：因为f(x)为偶函数且在[0,1]上是增函数，所以当x＝0时，f(x)min＝－3，所以sinφ＝－1，所以φ＝－.又因为f(x)＝f(2－x)，所以f(x)的周期为2，所以ω＝＝π.
答案：π －
二、解答题
9．已知曲线y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)上的一个最高点的坐标为(，)，此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(π，0)，若φ∈(－，)，
(1)试求这条曲线的函数表达式；
(2)用“五点法”画出(1)中函数在[0，π]上的图象．
解：(1)∵曲线上的一个最高点的坐标为(，)，
∴A＝.
又此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点(，0)．
∴＝－，即T＝π，∴ω＝＝2.
取点(，)作为“五点法”中函数的第二个点．
∴2×＋φ＝，∴φ＝.
且∈(－，)．
故这条曲线的函数表达式为：
y＝sin(2x＋)．
(2)列出x、y的对应值表：
x
－
π
π
π
2x＋
0
π
π
2π
y
0
0
－
0
作图如下：
10．已知函数y＝sin(2x＋)＋，x∈R.
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
(3)该函数的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？
解：(1)振幅A＝，周期T＝＝π，初相φ＝；
(2)当sin(2x＋)＝1，即2x＋＝＋2kπ，k∈Z时，取最大值＋＝.此时x＝kπ＋，k∈Z.
(3)把y＝sinx的图象向左平移个单位长度得到函数y＝sin(x＋)的图象，然后再把y＝sin(x＋)的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变)得到y＝sin(2x＋)的图象，然后再把y＝sin(2x＋)的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的倍(横坐标不变)得到y＝sin(2x＋)的图象，最后把y＝sin(2x＋)的图象向上平移个单位长度，就得到y＝sin(2x＋)＋的图象．
11．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象在y轴上的截距为1，它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x0,2)和(x0＋3π，－2)．
(1)求f(x)的解析式；
(2)将y＝f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，然后再将所得到的图象向x轴正方向平移个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，写出g(x)的解析式，并作出在长度为一个周期上的图象．
解：(1)由已知，易得A＝2，＝(x0＋3π)－x0＝3π，解得T＝6π，∴ω＝.把(0,1)代入解析式f(x)＝2sin(＋φ)，得2sinφ＝1.
又|φ|＜，解得φ＝.
∴f(x)＝2sin(＋)为所求．
(2)压缩后的函数解析式为y＝2sin(x＋)，再平移得g(x)＝2sin[(x－)＋]＝2sin(x－)．
列表：
x
x－
0
π
2π
2sin(x－)
0
2
0
－2
0
图象如图：
