初中数学北师大版八年级上学期 第三章 3.3 轴对称与坐标变化
一、单选题
1．（2020·甘孜）在平面直角坐标系中，点 关于x轴对称的点是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020七下·福绵期末）已知点M （3，﹣2），N（﹣3，﹣2），则直线MN与x轴、y轴的位置关系分别为（ ）
A．平行，垂直 B．平行，平行 C．垂直，平行 D．相交，相交
3．（2020八下·玉州期末）如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线 上，则m的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
4．（2020·新都模拟）平面直角坐标中，已知点P（a，3）在第二象限，则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣a，3） B．（a，﹣3）
C．（﹣a+2，3） D．（﹣a+4，3）
二、填空题
5．（2020·达县）如图，点 与点 关于直线 对称，则 ．
6．（2020七下·丰润月考）点A（－2，1）关于x轴对称的点的坐标是 ．
三、作图题
7．（2020七下·莲湖期末）如图，在由长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的三个顶点A，B，C都在格点上，分别按下列要求在网格中作图：
（ 1 ）画出与 关于直线l成轴对称的 ；
（ 2 ）在直线l上找出一点P，使得 的值最大；（保留作图痕迹，并标上字母P）
（ 3 ）在直线l上找出一点Q，使得 的值最小.（保留作图痕迹，并标上字母Q）
8．（2020七下·焦作期末）如图，网格中的 与 为轴对称图形，且顶点都在格点上.
（1）利用网格，作出 与 的对称轴l；
（2）结合图形，在对称轴l上画出一点 ，使得 最小；
（3）如果每个小正方形的边长为1，请直接写出 的面积.
9．（2019八上·宜兴月考）如图，在平面直角坐标系 中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）
（1）在图中作出 关于 轴的对称图形 .
（2）写出点 的坐标.
（3）求出 的面积.
10．（2019八上·孝南月考）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）.
①在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
②作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点B′的坐标；
③P是x轴上的动点，在图中找出使△A′BP周长最短时的点P，直接写出点P的坐标.
四、综合题
11．（2020七下·湛江期中）在平面直角坐标系xOy中， A、B两点分别在x轴、y轴的正半轴上，且OB =OA=3．
（1）求点A、B的坐标；
（2）已知点C（－2，2），求△ 的面积；
（3）点P是第一、三象限角平分线上一点，若 ，求点P的坐标．
12．（2020七下·上饶期中）在平面直角坐标系中，有点A（a﹣1，3），B（a+2，2a﹣1）
（1）若线段AB∥x轴，求点A、B的坐标；
（2）当点B到y轴的距离与点A到x轴的距离相等时，求点B所在的象限．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点 关于x轴对称的点的坐标是 ，
故答案为：A
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数'解答即可.
2．【答案】A
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：如图所示：
直线MN与x轴平行，与y轴的位置关系是：垂直相交.
故答案为：A.
【分析】直接在坐标系中得出M，N的位置，进而得出直线MN与x轴、y轴的位置关系.
3．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵点A关于x轴对称点B的坐标为（3，-m），
∴-m=-3+1=-2，
∴m=2.
故答案为：C.
【分析】根据关于x轴对称点坐标的特点，先求出B点坐标，由于B点在直线上，再把B点坐标代入函数式求出m即可.
4．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵直线m上各点的横坐标都是2，
∴直线为：x＝2，
∵点P（a，3）在第二象限，
∴a到2的距离为：2﹣a，
∴点P关于直线m对称的点的横坐标是：2﹣a+2＝4﹣a，
故P点对称的点的坐标是：（﹣a+4，3）．
故答案为D．
【分析】根据直线m上各点的横坐标都是2，可得其解析式；然后再利用对称点的性质即可解答．
5．【答案】-5
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵点 与点 关于直线 对称
∴a=-2， ，解得b=-3
∴a+b=-2+（-3）=-5
故答案为-5．
【分析】根据点 与点 关于直线 对称求得a，b的值，最后代入求解即可．
6．【答案】（－2，－1）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点（-2，1）关于x轴对称的点的坐标是（-2，-1），
故答案为：（-2，-1）．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
7．【答案】解：（1）如图， 即为所求.
（ 2 ）如图，连接 并延长，交直线l于点P，点P即为所求.
∵点C1点C关于直线l对称，
∴ =AC1，
∴连接 并延长，交直线l于点P，点P即为所求.
（ 3 ）如图，直线 与直线l的交点Q即为所求，
∵点C1点C关于直线l对称，
∴ =QA+QC=AC，
∴直线 与直线l的交点Q.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质解答即可；
（2）连接 并延长，交直线l于点P，点P即为所求；
（3）直线 与直线l的交点Q即为所求.
8．【答案】（1）解：对称轴应为两个三角形对应点连线的中线，故连接CF、DE，找到线段CF、DE的中点，再连接起来，即为所求直线l.
（2）解：如图所示，点P即为所求；
连接CD与l的交点即为点P的位置，因为点A与点D关于l对称，根据两点之间，线段最短可得： ，即P点即为所求；
（3）解： ABC的面积可由一个矩形，减去三个直角三角形的面积所得，
，
故 ABC的面积为3.
【知识点】两点之间线段最短；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）对称轴应为两个三角形对应点连线的中线，故连接CF、DE，找到线段CF、DE的中点，再连接起来，即为所求直线 ；（2）连接CD与 的交点即为点P的位置，因为点A与点D关于 对称，根据两点之间，线段最短可得： ，即P点即为所求；（3） ABC的面积可由一个矩形，减去三个直角三角形的面积所得.
9．【答案】（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：点 ， ， 的坐标分别为（1，5），（1，0），（4，3）
（3）解：∵A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3），∴ = =7.5
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】（1）利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点 ， ， ，顺次连接 ， ， ，即可得到关于y轴对称的 ；（2）观察图形即可得出点 ， ， 的坐标；（3）利用图象上的点的坐标得出△ABC的底和高即可求出三角形的面积.
10．【答案】解：如图所示，B′（2，1）、点P即为所求点，
设直线A′B1的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A′（4，5），B1（﹣2，﹣1），
∴ 解得
∴直线A′B1的解析式为y=x+1.
∵当y=0时，x+1=0，解得x=﹣1，
∴P（﹣1，0）
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据点A，C的坐标建立平面直角坐标系即可；（2）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；（3）作点B关于x轴的对称点B1，连接A′B1交x轴于点P，利用待定系数法求出直线A′B1的解析式，进而可得出P点坐标.
11．【答案】（1）∵OB=OA=3，A、B两点分别在x轴、y轴的正半轴上， ∴A（3，0），B（0，3）．
（2） =3．
（3）∵点P是第一、三象限角平分线上，∴设P（a，a）． ∵ ，
当 在AB的上方第一象限时，
= ．
= ．
∴ ． 整理，得 ．∴ ． ∴ （7，7）．
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）根据OA=OB=3以及A、B的位置得出点的坐标；
（2）根据三角形的面积求法得出面积；
（3）首先设出点P的坐标，然后根据三角形的面积计算法则求出点P的坐标.
12．【答案】（1）∵线段AB∥x轴，
∴2a﹣1＝3，
解得：a＝2，
故a﹣1＝1，a+2＝4，
则A（1，3），B（4，3）；
（2）∵点B到y轴的距离与点A到x轴的距离相等，
∴|a+2|＝3，
解得：a＝﹣5或1，
当a＝﹣5时
故a+2＝﹣3，2a﹣1＝﹣11，
故B（﹣3，﹣11）在第三象限，
当a＝1时
故a+2＝3，2a﹣1＝1，
故B（3，1）在第一象限，
综上所述：点B在第一象限或第三象限．
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）直接利用平行于x轴点的坐标特点得出3＝2a 1，进而求出答案；（2）直接利用到y轴以及到x轴的距离求法进而得出a的值，即可得出答案．
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第三章 3.3 轴对称与坐标变化
一、单选题
1．（2020·甘孜）在平面直角坐标系中，点 关于x轴对称的点是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点 关于x轴对称的点的坐标是 ，
故答案为：A
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数'解答即可.
2．（2020七下·福绵期末）已知点M （3，﹣2），N（﹣3，﹣2），则直线MN与x轴、y轴的位置关系分别为（ ）
A．平行，垂直 B．平行，平行 C．垂直，平行 D．相交，相交
【答案】A
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【解答】解：如图所示：
直线MN与x轴平行，与y轴的位置关系是：垂直相交.
故答案为：A.
【分析】直接在坐标系中得出M，N的位置，进而得出直线MN与x轴、y轴的位置关系.
3．（2020八下·玉州期末）如图，在平面直角坐标系中，点 在第一象限，若点A关于x轴的对称点B在直线 上，则m的值为（ ）
A．-1 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： ∵点A关于x轴对称点B的坐标为（3，-m），
∴-m=-3+1=-2，
∴m=2.
故答案为：C.
【分析】根据关于x轴对称点坐标的特点，先求出B点坐标，由于B点在直线上，再把B点坐标代入函数式求出m即可.
4．（2020·新都模拟）平面直角坐标中，已知点P（a，3）在第二象限，则点P关于直线m（直线m上各点的横坐标都是2）对称的点的坐标是（ ）
A．（﹣a，3） B．（a，﹣3）
C．（﹣a+2，3） D．（﹣a+4，3）
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵直线m上各点的横坐标都是2，
∴直线为：x＝2，
∵点P（a，3）在第二象限，
∴a到2的距离为：2﹣a，
∴点P关于直线m对称的点的横坐标是：2﹣a+2＝4﹣a，
故P点对称的点的坐标是：（﹣a+4，3）．
故答案为D．
【分析】根据直线m上各点的横坐标都是2，可得其解析式；然后再利用对称点的性质即可解答．
二、填空题
5．（2020·达县）如图，点 与点 关于直线 对称，则 ．
【答案】-5
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵点 与点 关于直线 对称
∴a=-2， ，解得b=-3
∴a+b=-2+（-3）=-5
故答案为-5．
【分析】根据点 与点 关于直线 对称求得a，b的值，最后代入求解即可．
6．（2020七下·丰润月考）点A（－2，1）关于x轴对称的点的坐标是 ．
【答案】（－2，－1）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点（-2，1）关于x轴对称的点的坐标是（-2，-1），
故答案为：（-2，-1）．
【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”解答．
三、作图题
7．（2020七下·莲湖期末）如图，在由长度为1个单位长度的小正方形组成的网格中， 的三个顶点A，B，C都在格点上，分别按下列要求在网格中作图：
（ 1 ）画出与 关于直线l成轴对称的 ；
（ 2 ）在直线l上找出一点P，使得 的值最大；（保留作图痕迹，并标上字母P）
（ 3 ）在直线l上找出一点Q，使得 的值最小.（保留作图痕迹，并标上字母Q）
【答案】解：（1）如图， 即为所求.
（ 2 ）如图，连接 并延长，交直线l于点P，点P即为所求.
∵点C1点C关于直线l对称，
∴ =AC1，
∴连接 并延长，交直线l于点P，点P即为所求.
（ 3 ）如图，直线 与直线l的交点Q即为所求，
∵点C1点C关于直线l对称，
∴ =QA+QC=AC，
∴直线 与直线l的交点Q.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质解答即可；
（2）连接 并延长，交直线l于点P，点P即为所求；
（3）直线 与直线l的交点Q即为所求.
8．（2020七下·焦作期末）如图，网格中的 与 为轴对称图形，且顶点都在格点上.
（1）利用网格，作出 与 的对称轴l；
（2）结合图形，在对称轴l上画出一点 ，使得 最小；
（3）如果每个小正方形的边长为1，请直接写出 的面积.
【答案】（1）解：对称轴应为两个三角形对应点连线的中线，故连接CF、DE，找到线段CF、DE的中点，再连接起来，即为所求直线l.
（2）解：如图所示，点P即为所求；
连接CD与l的交点即为点P的位置，因为点A与点D关于l对称，根据两点之间，线段最短可得： ，即P点即为所求；
（3）解： ABC的面积可由一个矩形，减去三个直角三角形的面积所得，
，
故 ABC的面积为3.
【知识点】两点之间线段最短；坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）对称轴应为两个三角形对应点连线的中线，故连接CF、DE，找到线段CF、DE的中点，再连接起来，即为所求直线 ；（2）连接CD与 的交点即为点P的位置，因为点A与点D关于 对称，根据两点之间，线段最短可得： ，即P点即为所求；（3） ABC的面积可由一个矩形，减去三个直角三角形的面积所得.
9．（2019八上·宜兴月考）如图，在平面直角坐标系 中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）
（1）在图中作出 关于 轴的对称图形 .
（2）写出点 的坐标.
（3）求出 的面积.
【答案】（1）解：所作图形如图所示：
（2）解：点 ， ， 的坐标分别为（1，5），（1，0），（4，3）
（3）解：∵A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3），∴ = =7.5
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【分析】（1）利用轴对称性质，作出A、B、C关于y轴的对称点 ， ， ，顺次连接 ， ， ，即可得到关于y轴对称的 ；（2）观察图形即可得出点 ， ， 的坐标；（3）利用图象上的点的坐标得出△ABC的底和高即可求出三角形的面积.
10．（2019八上·孝南月考）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）.
①在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；
②作出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′，并写出点B′的坐标；
③P是x轴上的动点，在图中找出使△A′BP周长最短时的点P，直接写出点P的坐标.
【答案】解：如图所示，B′（2，1）、点P即为所求点，
设直线A′B1的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵A′（4，5），B1（﹣2，﹣1），
∴ 解得
∴直线A′B1的解析式为y=x+1.
∵当y=0时，x+1=0，解得x=﹣1，
∴P（﹣1，0）
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）根据点A，C的坐标建立平面直角坐标系即可；（2）作出各点关于y轴的对称点，再顺次连接即可；（3）作点B关于x轴的对称点B1，连接A′B1交x轴于点P，利用待定系数法求出直线A′B1的解析式，进而可得出P点坐标.
四、综合题
11．（2020七下·湛江期中）在平面直角坐标系xOy中， A、B两点分别在x轴、y轴的正半轴上，且OB =OA=3．
（1）求点A、B的坐标；
（2）已知点C（－2，2），求△ 的面积；
（3）点P是第一、三象限角平分线上一点，若 ，求点P的坐标．
【答案】（1）∵OB=OA=3，A、B两点分别在x轴、y轴的正半轴上， ∴A（3，0），B（0，3）．
（2） =3．
（3）∵点P是第一、三象限角平分线上，∴设P（a，a）． ∵ ，
当 在AB的上方第一象限时，
= ．
= ．
∴ ． 整理，得 ．∴ ． ∴ （7，7）．
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）根据OA=OB=3以及A、B的位置得出点的坐标；
（2）根据三角形的面积求法得出面积；
（3）首先设出点P的坐标，然后根据三角形的面积计算法则求出点P的坐标.
12．（2020七下·上饶期中）在平面直角坐标系中，有点A（a﹣1，3），B（a+2，2a﹣1）
（1）若线段AB∥x轴，求点A、B的坐标；
（2）当点B到y轴的距离与点A到x轴的距离相等时，求点B所在的象限．
【答案】（1）∵线段AB∥x轴，
∴2a﹣1＝3，
解得：a＝2，
故a﹣1＝1，a+2＝4，
则A（1，3），B（4，3）；
（2）∵点B到y轴的距离与点A到x轴的距离相等，
∴|a+2|＝3，
解得：a＝﹣5或1，
当a＝﹣5时
故a+2＝﹣3，2a﹣1＝﹣11，
故B（﹣3，﹣11）在第三象限，
当a＝1时
故a+2＝3，2a﹣1＝1，
故B（3，1）在第一象限，
综上所述：点B在第一象限或第三象限．
【知识点】坐标与图形性质
【解析】【分析】（1）直接利用平行于x轴点的坐标特点得出3＝2a 1，进而求出答案；（2）直接利用到y轴以及到x轴的距离求法进而得出a的值，即可得出答案．
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