初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.2 三角形全等的判定
一、单选题
1．（2020八上·思茅期中）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等腰三角形都全等
2．（2020八下·南康月考）如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2020·常山模拟）如图，已知∠ACB=∠DBC，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠ABC=∠DCB B．∠A=∠D C．AC=DB D．AB=DC
4．（2020八下·无锡期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC.若AC=8，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．32 B．24 C．40 D．36
5．（2020八下·凤县月考）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是（ ）
A．AC＝AD B．AC＝BC
C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
6．（2020八下·曹县月考）如图，AB，CD相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，下列结论：(1) △AOD ≌△COB；(2) AD=CB；(3)AB=CD.其中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
7．（2020八上·张掖期末）如图所示，E在AB上，F在AC上，且AE＝AF，AB＝AC，BF＝5，OE＝1，则OC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
8．（2020八下·高新期末）如图，AB=DE，AB∥DE，补充一个条件，能使△ABC≌△DEF的条件是 。
9．（2020八上·来宾期末）如图，△ABC≌△ADE，∠EAC=25°，则∠BAD= 。
10．（2020八上·淮滨期末）如图，在△ABC中，BF⊥AC 于点F，AD⊥BC 于点D
，BF 与AD 相交于点E．若AD=BD，BC=8cm，DC=3cm．则 AE=
cm ．
三、解答题
11．（2020·泸县）如图，AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：BC＝BD．
12．（2020八下·深圳期中）如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：AB=DC；
13．（2020八上·丹江口期末）如图，有一个池塘，要测池塘两端 ， 的距离，可先在平地上取一个点 ，从点 不经过池塘可以直接达到点 和 ，连接 并延长到点 ，使 ，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ，那么量出 的长度就是 ， 的距离，为什么？
14．（2020八上·乌海期末）如图，∠A=∠D=90°，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，求证：BC=AB+CD。
15．（2020八上·昆明期末）已知：如图，点 A、B、C、D 在一条直线上，AC＝DB，AE＝DF，BE＝CF．求证：△ABE≌△DCF.
四、综合题
16．（2020八上·思茅期中）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，且PA=PB，PD=PC,请添加一个条件，使图中△PAD≌△PBC，并给予证明.
（1）你所添加的条件为： ；
（2）写出证明过程.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，本选项不符合题意；
B、面积相等的两个三角形全等，说法错误，本选项不符合题意；
C、完全重合的两个三角形全等，说法正确，本选项符合题意；
D、所有的等腰三角形都全等，说法错误，本选项不符合题意.
故答案为： C.
【分析】A、形状、大小相同的两个三角形全等，据此判断即可；
B、全等的两个三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，据此判断即可；
C、完全重合的两个三角形全等，据此即可判断；
D、所有的等腰三角形不一定全等，据此判断即可.
2．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，即AB∥CE，
∴∠ABF=∠E，
∵DE=CD，
∴AB=DE，
在△ABF和△DEF中，
∵ ，
∴△ABF≌△DEF（AAS），
∴AF=DF，BF=EF；
可得③⑤符合题意，
故答案为：B．
【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定符合题意．
3．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、在△ABC和△DCB中，∠ACB=∠DBC、∠ABC=∠DCB，BC=CB，△ABC≌△DCB（ASA），A正确，不符合题意
B、在△ABC和△DCB中，∠ACB=∠DBC、∠A=∠D，BC=CB，△ABC≌△DCB（AAS），B正确，不符合题意
C、在△ABC和△DCB中，∠ACB=∠DBC、AC=DB ，BC=CB，△ABC≌△DCB（SAS），C正确，不符合题意
D、在△ABC和△DCB中，∠ACB=∠DBC、AC=DB ，BC=CB，不能通过边边角来判定三角形全等，D错误，符合题意
故答案为：D
【分析】本题考查三角形全等的判定，判定三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（只适用于直角三角形）.
4．【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；
∵∠BAD＝∠BCD＝90°
∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°；
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN；
在△ABM与△ADN中，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM＝AN（设为a）；△ABM与△ADN的面积相等；
∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积；
由勾股定理得：AC2＝AM2＋MC2，而AC＝8；
∴2a2＝64，a2＝32，
故答案为：A.
【分析】作辅助线；证明△ABM≌△ADN，得到AM＝AN，△ABM与△ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题.
5．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：A、∵∠C＝∠D＝90°， AC=AD，AB=AB，∴Rt△ABC≌Rt△ABD （HL），符合题意；
B、∵AC和BC在一个三角形中，不是对应边，不能证明全等，不符合题意；
C、 ∵∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD， AB=AB，∴△ABC≌△ABD （AAS），不符合题意；
D、 ∵∠C＝∠D＝90°，∠BAC＝∠BAD， AB=AB，∴△ABC≌△ABD （AAS），不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据斜边直角边定理可知，两个直角三角形，有斜边和一组直角边对应相等则这两三角形全等，据此分别判断即可；角角边定理不是利用斜边直角边定理（HL）证明三角形全等.
6．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠AOD=∠CDB，OA=OC，∠A=∠C
∴△AOD≌△COB，即（1）正确；
∴AD=CB，OB=OD，即（2）正确；
AO+OB=CO+OD
∴AB=CD，即（3）正确。
故答案为：D.
【分析】根据题意，证明△AOD≌△COB，由全等三角形的性质，即可判断得到答案。
7．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AE＝AF，AB＝AC，∠A=∠A，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴BF=CE，
∵BF＝5，OE＝1，
∴OC=CE－OE=BF－OE=5－1=4，
故答案为：D.
【分析】利用SAS证明△ABF≌△ACE，从而得到CE=BF，最后利用线段的和差关系进行计算即可.
8．【答案】AC∥DF
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据“SAS”可添加BE=CF或BC=EF；
根据“ASA”可添加∠A=∠D；
根据“AAS”可添加∠C=∠F或AC∥DF.
以上条件任意添加一个即可，答案不唯一.
【分析】根据全等三角形的判定定理可直接添加条件，注意答案不唯一.
9．【答案】25°
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
∴∠BAD=∠EAC=25°.
故答案为：25°.
【分析】由三角形全等的性质可得∠BAC和∠DAE相等，再由等式的性质，推出∠BAD和∠EAC相等，则∠BAD的度数可求。
10．【答案】2.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BF⊥AC于F，AD⊥BC于D，
∴∠CAD+∠C=90°，∠CBF+∠C=90°，
∴∠CAD=∠CBF，
∵在△ACD和△BED中，
∴△ACD≌△BED，（ASA）
∴DE=CD，
∴AE=AD-DE=BD-CD=BC-CD-CD=2；
故答案为2．
【分析】易证∠CAD=∠CBF，即可求证△ACD≌△BED，可得DE=CD，即可求得AE的长，即可解题．
11．【答案】证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠BAC＝∠BAD．
∵AC＝AD， AB＝AB，
∴△ABC≌△ABD（SAS）．
∴BC＝BD．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由AB平分∠CAD可知∠BAC＝∠BAD，再根据AC＝AD， AB＝AB可判断出△ABC≌△ABD，从而得到BC＝BD．
12．【答案】证明：∵∠A=∠D=90°
∴△ABC和△DCB均是直角三角形
在Rt△ABC和在Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB （HL）
∴AB=DC
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用“HL”判定出Rt△ABC≌在Rt△DCB，然后利用全等三角形的对应边相等的性质即可得解。
13．【答案】证明：在 和 中，
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
14．【答案】证明：过点E作EF⊥BC于点F，则∠EB=∠A=90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，∵BE=BE，
∴△ABE≌△FBE(AAS)，
∴AE=EF，AB=BF
又点E是AD的中点，
∴AE=ED=EF
Rt△CDE≌Rt△CFE(HL)，
∴CD=CF，
∴BC=CF+BF=AB+CD．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】过点E作EF⊥BC于点F，根据已知条件易证△ABE≌△FBE(AAS)，利用全等三角形的性质得AE=EF，AB=BF；然后利用中点的定义可得AE=ED=EF，故可证得Rt△CDE≌Rt△CFE(HL)，利用全等三角形的性质得CD=CF，从而可得BC=CF+BF=AB+CD．
15．【答案】证明：∵AC＝DB，
∴AC BC＝DB BC，即AB＝DC，
在△ABE和△DCF中， ，
∴△ABE≌△DCF（SSS）．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】首先求出AB＝DC，然后利用全等三角形的判定定理SSS证明即可．
16．【答案】（1） （答案不唯一）
（2）解：在△PAD和△PBC中
∴ .
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理填写即可.（2）根据全等三角形的判定定理求证即可.
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.2 三角形全等的判定
一、单选题
1．（2020八上·思茅期中）下列说法正确的是（ ）
A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等
C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等腰三角形都全等
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，本选项不符合题意；
B、面积相等的两个三角形全等，说法错误，本选项不符合题意；
C、完全重合的两个三角形全等，说法正确，本选项符合题意；
D、所有的等腰三角形都全等，说法错误，本选项不符合题意.
故答案为： C.
【分析】A、形状、大小相同的两个三角形全等，据此判断即可；
B、全等的两个三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，据此判断即可；
C、完全重合的两个三角形全等，据此即可判断；
D、所有的等腰三角形不一定全等，据此判断即可.
2．（2020八下·南康月考）如图，在□ABCD中，延长CD到E，使DE＝CD，连接BE交AD于点F，交AC于点G．下列结论中：①DE＝DF；②AG＝GF；③AF＝DF；④BG＝GC；⑤BF＝EF，其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，即AB∥CE，
∴∠ABF=∠E，
∵DE=CD，
∴AB=DE，
在△ABF和△DEF中，
∵ ，
∴△ABF≌△DEF（AAS），
∴AF=DF，BF=EF；
可得③⑤符合题意，
故答案为：B．
【分析】由AAS证明△ABF≌△DEF，得出对应边相等AF=DF，BF=EF，即可得出结论，对于①②④不一定符合题意．
3．（2020·常山模拟）如图，已知∠ACB=∠DBC，添加以下条件，不能判定△ABC≌△DCB的是（ ）
A．∠ABC=∠DCB B．∠A=∠D C．AC=DB D．AB=DC
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、在△ABC和△DCB中，∠ACB=∠DBC、∠ABC=∠DCB，BC=CB，△ABC≌△DCB（ASA），A正确，不符合题意
B、在△ABC和△DCB中，∠ACB=∠DBC、∠A=∠D，BC=CB，△ABC≌△DCB（AAS），B正确，不符合题意
C、在△ABC和△DCB中，∠ACB=∠DBC、AC=DB ，BC=CB，△ABC≌△DCB（SAS），C正确，不符合题意
D、在△ABC和△DCB中，∠ACB=∠DBC、AC=DB ，BC=CB，不能通过边边角来判定三角形全等，D错误，符合题意
故答案为：D
【分析】本题考查三角形全等的判定，判定三角形全等的方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（只适用于直角三角形）.
4．（2020八下·无锡期中）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=∠BCD=90°，连接AC.若AC=8，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．32 B．24 C．40 D．36
【答案】A
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图，作AM⊥BC、AN⊥CD，交CD的延长线于点N；
∵∠BAD＝∠BCD＝90°
∴四边形AMCN为矩形，∠MAN＝90°；
∵∠BAD＝90°，
∴∠BAM＝∠DAN；
在△ABM与△ADN中，
∴△ABM≌△ADN（AAS），
∴AM＝AN（设为a）；△ABM与△ADN的面积相等；
∴四边形ABCD的面积＝正方形AMCN的面积；
由勾股定理得：AC2＝AM2＋MC2，而AC＝8；
∴2a2＝64，a2＝32，
故答案为：A.
【分析】作辅助线；证明△ABM≌△ADN，得到AM＝AN，△ABM与△ADN的面积相等；求出正方形AMCN的面积即可解决问题.
5．（2020八下·凤县月考）如图，∠C＝∠D＝90°，添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC与Rt△ABD全等.以下给出的条件适合的是（ ）
A．AC＝AD B．AC＝BC
C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）
【解析】【解答】解：A、∵∠C＝∠D＝90°， AC=AD，AB=AB，∴Rt△ABC≌Rt△ABD （HL），符合题意；
B、∵AC和BC在一个三角形中，不是对应边，不能证明全等，不符合题意；
C、 ∵∠C＝∠D＝90°，∠ABC＝∠ABD， AB=AB，∴△ABC≌△ABD （AAS），不符合题意；
D、 ∵∠C＝∠D＝90°，∠BAC＝∠BAD， AB=AB，∴△ABC≌△ABD （AAS），不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据斜边直角边定理可知，两个直角三角形，有斜边和一组直角边对应相等则这两三角形全等，据此分别判断即可；角角边定理不是利用斜边直角边定理（HL）证明三角形全等.
6．（2020八下·曹县月考）如图，AB，CD相交于点O，OA=OC，∠A=∠C，下列结论：(1) △AOD ≌△COB；(2) AD=CB；(3)AB=CD.其中正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠AOD=∠CDB，OA=OC，∠A=∠C
∴△AOD≌△COB，即（1）正确；
∴AD=CB，OB=OD，即（2）正确；
AO+OB=CO+OD
∴AB=CD，即（3）正确。
故答案为：D.
【分析】根据题意，证明△AOD≌△COB，由全等三角形的性质，即可判断得到答案。
7．（2020八上·张掖期末）如图所示，E在AB上，F在AC上，且AE＝AF，AB＝AC，BF＝5，OE＝1，则OC的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AE＝AF，AB＝AC，∠A=∠A，
∴△ABF≌△ACE（SAS），
∴BF=CE，
∵BF＝5，OE＝1，
∴OC=CE－OE=BF－OE=5－1=4，
故答案为：D.
【分析】利用SAS证明△ABF≌△ACE，从而得到CE=BF，最后利用线段的和差关系进行计算即可.
二、填空题
8．（2020八下·高新期末）如图，AB=DE，AB∥DE，补充一个条件，能使△ABC≌△DEF的条件是 。
【答案】AC∥DF
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：根据“SAS”可添加BE=CF或BC=EF；
根据“ASA”可添加∠A=∠D；
根据“AAS”可添加∠C=∠F或AC∥DF.
以上条件任意添加一个即可，答案不唯一.
【分析】根据全等三角形的判定定理可直接添加条件，注意答案不唯一.
9．（2020八上·来宾期末）如图，△ABC≌△ADE，∠EAC=25°，则∠BAD= 。
【答案】25°
【知识点】三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△ADE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE-∠BAE=∠BAC-∠BAE，
∴∠BAD=∠EAC=25°.
故答案为：25°.
【分析】由三角形全等的性质可得∠BAC和∠DAE相等，再由等式的性质，推出∠BAD和∠EAC相等，则∠BAD的度数可求。
10．（2020八上·淮滨期末）如图，在△ABC中，BF⊥AC 于点F，AD⊥BC 于点D
，BF 与AD 相交于点E．若AD=BD，BC=8cm，DC=3cm．则 AE=
cm ．
【答案】2.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵BF⊥AC于F，AD⊥BC于D，
∴∠CAD+∠C=90°，∠CBF+∠C=90°，
∴∠CAD=∠CBF，
∵在△ACD和△BED中，
∴△ACD≌△BED，（ASA）
∴DE=CD，
∴AE=AD-DE=BD-CD=BC-CD-CD=2；
故答案为2．
【分析】易证∠CAD=∠CBF，即可求证△ACD≌△BED，可得DE=CD，即可求得AE的长，即可解题．
三、解答题
11．（2020·泸县）如图，AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：BC＝BD．
【答案】证明：∵AB平分∠CAD，
∴∠BAC＝∠BAD．
∵AC＝AD， AB＝AB，
∴△ABC≌△ABD（SAS）．
∴BC＝BD．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】由AB平分∠CAD可知∠BAC＝∠BAD，再根据AC＝AD， AB＝AB可判断出△ABC≌△ABD，从而得到BC＝BD．
12．（2020八下·深圳期中）如图，∠A=∠D=90°，AC=BD.求证：AB=DC；
【答案】证明：∵∠A=∠D=90°
∴△ABC和△DCB均是直角三角形
在Rt△ABC和在Rt△DCB中
∴Rt△ABC≌Rt△DCB （HL）
∴AB=DC
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用“HL”判定出Rt△ABC≌在Rt△DCB，然后利用全等三角形的对应边相等的性质即可得解。
13．（2020八上·丹江口期末）如图，有一个池塘，要测池塘两端 ， 的距离，可先在平地上取一个点 ，从点 不经过池塘可以直接达到点 和 ，连接 并延长到点 ，使 ，连接 并延长到点 ，使 ，连接 ，那么量出 的长度就是 ， 的距离，为什么？
【答案】证明：在 和 中，
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】利用“边角边”证明△ABC和△DEC全等，再根据全等三角形对应边相等解答．
14．（2020八上·乌海期末）如图，∠A=∠D=90°，BE平分∠ABC，且点E是AD的中点，求证：BC=AB+CD。
【答案】证明：过点E作EF⊥BC于点F，则∠EB=∠A=90°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠FBE，∵BE=BE，
∴△ABE≌△FBE(AAS)，
∴AE=EF，AB=BF
又点E是AD的中点，
∴AE=ED=EF
Rt△CDE≌Rt△CFE(HL)，
∴CD=CF，
∴BC=CF+BF=AB+CD．
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】过点E作EF⊥BC于点F，根据已知条件易证△ABE≌△FBE(AAS)，利用全等三角形的性质得AE=EF，AB=BF；然后利用中点的定义可得AE=ED=EF，故可证得Rt△CDE≌Rt△CFE(HL)，利用全等三角形的性质得CD=CF，从而可得BC=CF+BF=AB+CD．
15．（2020八上·昆明期末）已知：如图，点 A、B、C、D 在一条直线上，AC＝DB，AE＝DF，BE＝CF．求证：△ABE≌△DCF.
【答案】证明：∵AC＝DB，
∴AC BC＝DB BC，即AB＝DC，
在△ABE和△DCF中， ，
∴△ABE≌△DCF（SSS）．
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】首先求出AB＝DC，然后利用全等三角形的判定定理SSS证明即可．
四、综合题
16．（2020八上·思茅期中）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，且PA=PB，PD=PC,请添加一个条件，使图中△PAD≌△PBC，并给予证明.
（1）你所添加的条件为： ；
（2）写出证明过程.
【答案】（1） （答案不唯一）
（2）解：在△PAD和△PBC中
∴ .
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理填写即可.（2）根据全等三角形的判定定理求证即可.
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