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初中数学华师大版九年级上学期 第22章 22.2一元二次方程的解法
一、单选题
1．（2020·嘉兴模拟）用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13
C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5
2．（2020·自贡）关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则a的值为（ ）
A． B． C．1 D．-1
3．（2020·南京）关于x的方程 （ 为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
4．（2020·泰安）将一元二次方程 化成 （a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．-4，21 B．-4，11 C．4，21 D．-8，69
5．（2020·遵义）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．5 B．10 C．11 D．13
6．（2020·黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（ ）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
7．（2020·昌吉模拟）关于 的方程 的两根互为相反数，则 的值为（ ）
A．±2 B．2 C．-2 D．不能确定
二、填空题
8．（2020·抚顺）若关于x的一元二次方程 无实数根，则k的取值范围是 .
9．（2020·扬州）方程（x+1）2=9的解是 .
10．（2020·青岛）抛物线 （ 为常数）与x轴交点的个数是 ．
11．（2020·北京）已知关于 的方程 有两个相等的实数根，则k的值是 ．
三、计算题
12．（2020九下·广陵月考）解方程
（1）﹣2x2+13x﹣15＝0
（2）2（x+5）2＝x（x+5）
13．（2020九上·来宾期末）用适当的方法解下列方程
（1）4(x-3)2-25=0
（2）2x2+7x-4=0。
四、综合题
14．（2020·鄂州）已知关于x的方程 有两实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为 、 ，且 ，求实数k的值.
答案解析部分
1．【答案】A
【考点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4，
配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13.
故答案为：A.
【分析】将常数项移到等号右边，得x2﹣6x＝4，接着两边同时加上一次项系数一半的平方，然后方程左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
2．【答案】A
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由一元二次方程有两个相等实根可得，判别式等于0可得， ，得 ，
故应选A．
【分析】一元二次方程 有两个相等的实数根， 根据根的判别式列出方程，求出方程的解，即可求出a的值.
3．【答案】C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ，
整理得： ，
∴ ，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为 、 ，
∵ ，
∴两个异号，而且负根的绝对值大.
故答案为：C.
【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可.
4．【答案】A
【考点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得 ，
配方得 ，
即 ，
∴a=-4，b=21．
故答案为：A
【分析】根据配方法步骤解题即可．
5．【答案】D
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13.
故答案为：D.
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，由完全平方公式可得x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后整体代入计算即可求解.
6．【答案】A
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系“两根之和等于”可得关于另一个根的方程，解这个方程即可求解.
7．【答案】C
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设原方程的两根为x1、x2，则x1+x2=4-k2；
由题意，得4-k2=0；
∴k1=2，k2=-2；
又∵△=（k2-4）2-4（k-1）=-4（k-1），
∴当k1=2时，△=-4＜0，原方程无实根；
当k2=-2时，△=12＞0，原方程有实根.
∴k=-2.
故答案为：C.
【分析】若方程的两根互为相反数，则两根的和为0；可用含k的代数式表示出两根的和，即可列出关于k的方程，解方程求出k的值，再把所求的k的值代入判别式△进行检验，使△＜0的值应舍去.
8．【答案】k＜-1
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 无实数根 ，
∴△=22-4×1×（-k）＜0，解得k＜-1.
【分析】由于关于x的一元二次方程 无实数根 ，可得根的判别式△=b2-4ac＜0，据此解答即可.
9．【答案】2或-4
【考点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】根据直接开方法即可解出方程.
（x+1）2=9
x+1=±3
x=2或-4.
【分析】利用直接开方法解出方程即可.
10．【答案】2
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ =4(k-1)2+8k=4k2+4>0，
∴抛物线与 轴有2个交点．
故答案为：2．
【分析】求出 的值，根据 的值判断即可．
11．【答案】1
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
可得判别式 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：1
【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．
12．【答案】（1）解：﹣2x2+13x﹣15＝0，
2x2﹣13x+15＝0，
（2x﹣3）（x﹣5）＝0，
2x﹣3＝0或，x﹣5＝0，
解得，x1＝ ，x2＝5；
（2）解：2（x+5）2＝x（x+5），
2（x+5）2﹣x（x+5）＝0，
（x+5）[2（x+5）﹣x]＝0，
x+5＝0或2（x+5）﹣x＝0，
解得，x1＝﹣5，x2＝﹣10.
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边分解因式，然后根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）将方程的右边整体移到方程的左边，利用提公因式法将方程的左边分解因式，然后根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
13．【答案】（1）解：4(x-3)2-25=0
原方程可化为(x-3)2= ∴
所以x-3=±
所以x1= ，x2=
（2）解：4x2+7x-4=0
因为a=2，b=7，c=-4
所以x=
所以x1= ，x2=-4
【考点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：将x-3看着整体，此方程缺一次项，因此利用直接开平方法解方程。
（2）观察方程的特点：方程的左边不能分解因式，因此利用直接开平方法求解。
14．【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴△≥0，即 ≥0，
解得：k≤3，
故k的取值范围为：k≤3.
（2）解：由根与系数的关系可得 ，
由 可得 ，
代入x1＋x2和x1x2的值，可得：
解得： ， （舍去），
经检验， 是原方程的根，
故 .
【考点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝ ≥0，解之可得.（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍.
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初中数学华师大版九年级上学期 第22章 22.2一元二次方程的解法
一、单选题
1．（2020·嘉兴模拟）用配方法解方程x2﹣6x﹣4＝0，下列配方正确的是（ ）
A．（x﹣3）2＝13 B．（x+3）2＝13
C．（x﹣6）2＝4 D．（x﹣3）2＝5
【答案】A
【考点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程x2﹣6x﹣4＝0变形得：x2﹣6x＝4，
配方得：x2﹣6x+9＝13，即（x﹣3）2＝13.
故答案为：A.
【分析】将常数项移到等号右边，得x2﹣6x＝4，接着两边同时加上一次项系数一半的平方，然后方程左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项即可.
2．（2020·自贡）关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则a的值为（ ）
A． B． C．1 D．-1
【答案】A
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由一元二次方程有两个相等实根可得，判别式等于0可得， ，得 ，
故应选A．
【分析】一元二次方程 有两个相等的实数根， 根据根的判别式列出方程，求出方程的解，即可求出a的值.
3．（2020·南京）关于x的方程 （ 为常数）根的情况下，下列结论中正确的是（ ）
A．两个正根 B．两个负根
C．一个正根，一个负根 D．无实数根
【答案】C
【考点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解： ，
整理得： ，
∴ ，
∴方程有两个不等的实数根，
设方程两个根为 、 ，
∵ ，
∴两个异号，而且负根的绝对值大.
故答案为：C.
【分析】先将方程整理为一般形式，再根据根的判别式得出方程由两个不等的实数根，然后又根与系数的关系判断根的正负即可.
4．（2020·泰安）将一元二次方程 化成 （a，b为常数）的形式，则a，b的值分别是（ ）
A．-4，21 B．-4，11 C．4，21 D．-8，69
【答案】A
【考点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得 ，
配方得 ，
即 ，
∴a=-4，b=21．
故答案为：A
【分析】根据配方法步骤解题即可．
5．（2020·遵义）已知x1，x2是方程x2﹣3x﹣2＝0的两根，则x12+x22的值为（ ）
A．5 B．10 C．11 D．13
【答案】D
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，
所以x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝32﹣2×（﹣2）＝13.
故答案为：D.
【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2＝3，x1x2＝﹣2，由完全平方公式可得x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2，然后整体代入计算即可求解.
6．（2020·黔东南州）已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m＝0的一个根是2，则另一个根是（ ）
A．﹣7 B．7 C．3 D．﹣3
【答案】A
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设另一个根为x，则
x+2＝﹣5，
解得x＝﹣7.
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系“两根之和等于”可得关于另一个根的方程，解这个方程即可求解.
7．（2020·昌吉模拟）关于 的方程 的两根互为相反数，则 的值为（ ）
A．±2 B．2 C．-2 D．不能确定
【答案】C
【考点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设原方程的两根为x1、x2，则x1+x2=4-k2；
由题意，得4-k2=0；
∴k1=2，k2=-2；
又∵△=（k2-4）2-4（k-1）=-4（k-1），
∴当k1=2时，△=-4＜0，原方程无实根；
当k2=-2时，△=12＞0，原方程有实根.
∴k=-2.
故答案为：C.
【分析】若方程的两根互为相反数，则两根的和为0；可用含k的代数式表示出两根的和，即可列出关于k的方程，解方程求出k的值，再把所求的k的值代入判别式△进行检验，使△＜0的值应舍去.
二、填空题
8．（2020·抚顺）若关于x的一元二次方程 无实数根，则k的取值范围是 .
【答案】k＜-1
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 无实数根 ，
∴△=22-4×1×（-k）＜0，解得k＜-1.
【分析】由于关于x的一元二次方程 无实数根 ，可得根的判别式△=b2-4ac＜0，据此解答即可.
9．（2020·扬州）方程（x+1）2=9的解是 .
【答案】2或-4
【考点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】根据直接开方法即可解出方程.
（x+1）2=9
x+1=±3
x=2或-4.
【分析】利用直接开方法解出方程即可.
10．（2020·青岛）抛物线 （ 为常数）与x轴交点的个数是 ．
【答案】2
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵ =4(k-1)2+8k=4k2+4>0，
∴抛物线与 轴有2个交点．
故答案为：2．
【分析】求出 的值，根据 的值判断即可．
11．（2020·北京）已知关于 的方程 有两个相等的实数根，则k的值是 ．
【答案】1
【考点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：一元二次方程有两个相等的实数根，
可得判别式 ，
∴ ，
解得： ．
故答案为：1
【分析】由一元二次方程根的判别式列方程可得答案．
三、计算题
12．（2020九下·广陵月考）解方程
（1）﹣2x2+13x﹣15＝0
（2）2（x+5）2＝x（x+5）
【答案】（1）解：﹣2x2+13x﹣15＝0，
2x2﹣13x+15＝0，
（2x﹣3）（x﹣5）＝0，
2x﹣3＝0或，x﹣5＝0，
解得，x1＝ ，x2＝5；
（2）解：2（x+5）2＝x（x+5），
2（x+5）2﹣x（x+5）＝0，
（x+5）[2（x+5）﹣x]＝0，
x+5＝0或2（x+5）﹣x＝0，
解得，x1＝﹣5，x2＝﹣10.
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用十字相乘法将方程的左边分解因式，然后根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解；
（2）将方程的右边整体移到方程的左边，利用提公因式法将方程的左边分解因式，然后根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解.
13．（2020九上·来宾期末）用适当的方法解下列方程
（1）4(x-3)2-25=0
（2）2x2+7x-4=0。
【答案】（1）解：4(x-3)2-25=0
原方程可化为(x-3)2= ∴
所以x-3=±
所以x1= ，x2=
（2）解：4x2+7x-4=0
因为a=2，b=7，c=-4
所以x=
所以x1= ，x2=-4
【考点】直接开平方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：将x-3看着整体，此方程缺一次项，因此利用直接开平方法解方程。
（2）观察方程的特点：方程的左边不能分解因式，因此利用直接开平方法求解。
四、综合题
14．（2020·鄂州）已知关于x的方程 有两实数根.
（1）求k的取值范围；
（2）设方程两实数根分别为 、 ，且 ，求实数k的值.
【答案】（1）解：∵关于x的一元二次方程 有两个实数根，
∴△≥0，即 ≥0，
解得：k≤3，
故k的取值范围为：k≤3.
（2）解：由根与系数的关系可得 ，
由 可得 ，
代入x1＋x2和x1x2的值，可得：
解得： ， （舍去），
经检验， 是原方程的根，
故 .
【考点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）根据方程有两个实数根得出△＝ ≥0，解之可得.（2）利用根与系数的关系可用k表示出x1＋x2和x1x2的值，根据条件可得到关于k的方程，可求得k的值，注意利用根的判别式进行取舍.
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