人教版数学八年级下册 第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·青山期中）如右图：三个正方形和一个直角三角形，图形A的面积是（ ）
A．225 B．144 C．81 D．无法确定
2．（2020八上·包头期中）如图，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD＝8cm，BE＝3cm，那么AC长为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．cm
3．（2020八上·高新期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则AC=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2020八上·青神期中）如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 到点 的距离为 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是（ ）
A．4 B．5 C． D．
5．（2020八上·雅安期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，边AC落在数轴上，点A表示的数是1，点C表示的数是3．以点A为圆心、AB长为半径画弧交数轴负半轴于点B1，则点B1所表示的数是（ ）
A．－2 B．－2 C．1－2 D．2 －1
6．（2020七上·广饶期中）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水是（ ）cm．
A．35 B．40 C．50 D．45
7．（2020七上·龙口期中）将一根 的筷子，置于底面直径为 ，高 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2020八下·南岸期末）等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
9．（2020八上·牡丹期中）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9 B．3 C． D．
10．（2020·自贡）如图，在平行四边形 中， ， 是锐角， 于点E，F是 的中点，连接 ；若 ，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
二、填空题
11．（2020九上·合肥月考）如图，在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，AC= ，则BC=
12．（2020七上·龙口期中）已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，则△ABC的周长为 ．
13．（2020七上·龙口期中）如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形 中， ， ，则阴影部分的面积是 ．
14．（2020八上·即墨期中）一辆装满货物，宽为 2.4m的卡车，欲安全通过如图所示的隧道，则卡车装满货物后的高度必须低于
15．（2020八上·内蒙古期中）如图，等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD平分 ，且AD=8，P，Q分别是AB、AD上的动点，连接BP，PQ，则BP +PQ的最小值为 ．
16．（2020八上·四川月考）如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要 m．
17．（2020八上·鄞州期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 .
三、解答题
18．（2020八上·顺德月考）如图：在△ABC中∠C=90°，AB＝3，BC＝2，求△ABC的面积．
19．（2020七上·沂源期中）如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．
20．（2020八上·长清月考）有一个小朋友拿着一根竹竿通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜入就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺，请求竹竿的长度．
四、综合题
21．（2020八上·湛江月考）如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与点C重合，点D与点G重合，若BC＝8，AB＝4，求：
（1）求CF的长．
（2）求EF的长．
（3）求阴影部分△GED的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意得：∠BCD=90°，BD2=225，CD2=144，
∴BC2=BD2-CD2=81，
∴图中字母A所代表的正方形面积=BC2=81；
故答案为：C．
【分析】根据题意得出∠BCD=90°，BD2=225，CD2=144，由勾股定理求出BC2，即可得出结果．
2．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABD，△BCE都是等腰三角形，CD=8cm，BE=3cm，
∴BC=BE=3cm，AB=BD=CD-BC=8-3=5cm，
∴AC= ( cm)
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，
∴
故答案为：C．
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理计算得到AC的值即可。
4．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解： 将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，BD＝1＋2＝3，AD＝4，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5．
故答案为：B．
【分析】将长方体展开，连接A和B，根据两点之间线段最短，由勾股定理计算得到AB的值即可。
5．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，AC=3-1=2，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴AB= ，
∴点B1表示的数是1-2
故答案为：C．
【分析】根据题意，计算得到AC=2，继而由勾股定理计算得到AB的长度，求出答案即可。
6．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，由题意可知AB=BC，AD=30cm，CD=60cm，
设BD=xcm，
在Rt△BCD.BC2=BD2+CD2，
∴（x+30）2=x2+602，
解得x=45，
则水深45cm.
故答案为：D.
【分析】如图设BD=xcm，则AB=BC=30+x，利用勾股定理得到关于x的方程，然后求解方程即可.
7．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是8cm，则在杯外的最大长度是24-8=16cm；
再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是AC= = =17，则在杯外的最小长度是24-17=7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm，
故答案为：D．
【分析】观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：分两种情况：
（ 1 ）顶角是钝角时，如图1所示：
在Rt△ACO中，由勾股定理，得AO2=AC2-OC2=52-32=16，
∴AO=4，
OB=AB+AO=5+4=9，
在Rt△BCO中，由勾股定理，得BC2=OB2+OC2=92+32=90，
∴BC= =3 ；
（ 2 ）顶角是锐角时，如图2所示：
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-DC2=52-32=16，
∴AD=4，DB=AB-AD=5-4=1.
在Rt△BCD中，由勾股定理，得 ，
∴BC= ；
综上可知，这个等腰三角形的底的长度为3 或 .
故答案为：C.
【分析】此题要分两种情况进行讨论：（1）当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在三角形的外部，先在Rt△ACO中由勾股定理求出AO=4，于是OB=AB+AO=9，然后在Rt△BCO中利用勾股定理即可求出BC即可；（2）当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在三角形的内部，在Rt△ACO中由勾股定理求出AD=4，于是DB=AB-AD=1，然后在Rt△BCD中利用勾股定理求出BC即可.
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形的底边上的高分别为h1、h2、h3
∴h1=AC，h2=BC，h3=AB
∴阴影部分的面积为××AC×AC+××BC×BC+××AB×AB
=（AC2+BC2+AB2）
在直角三角形ABC中，根据勾股定理可得
AC2+BC2=AB2，AB=3
∴阴影部分的面积=×2AB2=
故答案为：D.
【分析】根据题意，由勾股定理以及三角形的面积公式表示出等腰三角形的面积，阴影部分的面积等于三个等腰三角形的面积之和。
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：延长EF，DA交于G，连接DE，如下图所示：
∵F是AB的中点，∴AF=BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥BC，∴∠GAB=∠EBF
且∠GFA=∠EFB，∴△AFG≌△BFE(ASA)，
设 ，
由GF=EF，且∠DFE=90°知，
DF是线段GE的垂直平分线，
∴ ，
在Rt△GAE中， ．
在Rt△AED中， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】延长EF，DA交于G，连接DE，先证明△AFG≌△BFE，进而得到BE=AG，F是GE的中点，结合条件BF⊥GE进而得到BF是线段GE的垂直平分线，得到GD=DE，最后在Rt△AED中使用勾股定理即可求解.
11．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：
过点C作CE⊥AB，垂足为点E
在直角三角形ACE中，∵∠A=30°，AC=
∴CE=AC=
在等腰直角三角形CBE中，BC=CE
∴BC=
【分析】根据题意，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，在直角三角形ACE中，根据30°角所对的直角边为斜边的一半，求出CE的长度，继而在等腰直角三角形BCE中，根据勾股定理求出BC的值即可。
12．【答案】60或42
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】作AD⊥BC于D，则AD为BC边上的高，AD=12．分两种情况：
①高AD在三角形内，如图所示：在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC2=AD2+DC2，
∴DC= = =9，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
AB2=AD2+BD2，
∴BD= =16，
∴BC=BD+DC=16+9=25，
所以，△ABC的周长为AB+AC+BC=20+15+25=60．
②高AD在三角形外，如图所示：
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC2=AD2+DC2
∴DC= = =9，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
AB2=AD2+BD2，
∴BD= =16，
∴BC=BD-DC=16-9=7，
所以，△ABC的周长为AB+AC+BC=20+15+7=42．
故△ABC的周长为60或42．
故答案为60或42
【分析】此题分两种情况：∠B为锐角或∠C为钝角．△ABC的周长为AB+AC+BC，已知AB、AC的值，所以要求三角形的周长，只需求出BC的值即可．如下图所示：作AD⊥BC于D，则AD为BC边上的高，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2=AD2+DC2，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB2=AD2+BD2，代入AB=20，AC=15，AD=12，可求出BD、DC的值，BC=BD+DC，将AB、BC、AC的值代入周长公式，可求出该三角形的周长．
13．【答案】256
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：两个阴影正方形的面积和为342-302=256．
故答案为：256．
【分析】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出．
14．【答案】4.1m
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵车宽2.4米，
∴欲通过隧道，只要比较距中线1.2米处的高度与车高，
在 中，根据勾股定理， ，
，
∴卡车装满货物后的高度必须低于4.1m．
故答案是： ．
【分析】利用勾股定理求出当OD=1.2m时，CD的长度，从而求出货车的最大高度．
15．【答案】9.6
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理
【解析】【解答】解： ∵AB=AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴B点，C点关于AD对称，
如图，过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P，
则CQ=BP+PQ的最小值，
根据勾股定理得，AD=8，
利用等面积法得：AB CQ=BC AD，
∴CQ= =9.6
故答案为：9.6．
【分析】过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P，得到CQ=BP+PQ的最小值，由勾股定理不求得AD=8，再利用等面积法即可求得其值．
16．【答案】7.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图：
将圆柱表面切开展开呈长方形，
则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长
∵圆柱高4.5米，底面周长2米
x2=（2×3）2+4.52=56.25m2
x=7.5m
所以，花圈长至少是56.25m．
故答案为7.5．
【分析】要求花圈的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
17．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接BF，过B作BH⊥AC于H，
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC的中垂线，
∴BF=CF，
∴CF+EF=BF+EF≤BH，
∵AD=，
∵BH×AC=BC×AD，
∴BH=.
故答案为： .
【分析】连接BF，过B作BH⊥AC于H，根据垂直平分线的性质把CF转化为BF，由两点之间线段最短可得当B、F、E在同一条直线上时， CF+EF有最小值，最后利用面积法求出BF的长即可.
18．【答案】解：在Rt△ABC中∠C=90°
∴
∴
∴ S△ABC= AC BC
=
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】在直角三角形中，根据勾股定理计算得到AC的长度，继而由三角形的面积公式求出答案即可。
19．【答案】解：设CE＝x km，则DE＝(20﹣x)km．
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2＝AC2+CE2＝82+x2，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：AE＝BE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3，
所以CE＝13.3km．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】设CE＝xkm，则DE＝(20﹣x)km，由AE＝BE根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即得结果．
20．【答案】解：设竹竿的长度为x尺，由题意知
(x-1)2+42=x2
整理得2x-17=0
解得x=8.5
答：竹竿的长度为8.5尺
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设竹竿的长度为x尺，根据勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
21．【答案】（1）解：设CF=x，则BF=8-x，
由折叠的性质得出：AF=CF=x，∠EFC=∠EFA，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
∴16+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
∴CF=5；
（2）解：过F点作FH⊥AD于H，
则FH=4，AH=BF=3，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC
∵∠EFC=∠EFA，
∴∠AEF=∠EFA，
∴AE=AF=5，
∴EH=AE-AH=2，
∴EF2=42+22=20，
∴EF= ；
（3）解：过G点作GM⊥AD于M，
则AG×GE=AE×GM，
∵AG=AB=4，AE=CF=5，GE=DE=3，
∴GM= ，
∴S△GED= ×GM×DE=
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）设CF=x，则BF=8-x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，解方程可求出CF的长；
（2）过F点作FH⊥AD于H，在Rt△EHF中根据勾股定理可求出EF的长；
（3）过G点作GM⊥AD于M，根据三角形面积不变性，AG×GE=AE×GM，求出GM的长，根据三角形面积公式计算即可．
1 / 1人教版数学八年级下册 第十七章 勾股定理 17.1 勾股定理 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·青山期中）如右图：三个正方形和一个直角三角形，图形A的面积是（ ）
A．225 B．144 C．81 D．无法确定
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意得：∠BCD=90°，BD2=225，CD2=144，
∴BC2=BD2-CD2=81，
∴图中字母A所代表的正方形面积=BC2=81；
故答案为：C．
【分析】根据题意得出∠BCD=90°，BD2=225，CD2=144，由勾股定理求出BC2，即可得出结果．
2．（2020八上·包头期中）如图，AB⊥CD，△ABD、△BCE都是等腰三角形，如果CD＝8cm，BE＝3cm，那么AC长为（ ）
A．4cm B．5cm C．8cm D．cm
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵△ABD，△BCE都是等腰三角形，CD=8cm，BE=3cm，
∴BC=BE=3cm，AB=BD=CD-BC=8-3=5cm，
∴AC= ( cm)
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解．
3．（2020八上·高新期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则AC=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，
∴
故答案为：C．
【分析】在直角三角形ABC中，根据勾股定理计算得到AC的值即可。
4．（2020八上·青神期中）如图，长方体的长为 ，宽为 ，高为 ，点 到点 的距离为 ，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 ，需要爬行的最短距离是（ ）
A．4 B．5 C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解： 将长方体展开，连接A、B，
根据两点之间线段最短，BD＝1＋2＝3，AD＝4，
由勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5．
故答案为：B．
【分析】将长方体展开，连接A和B，根据两点之间线段最短，由勾股定理计算得到AB的值即可。
5．（2020八上·雅安期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，边AC落在数轴上，点A表示的数是1，点C表示的数是3．以点A为圆心、AB长为半径画弧交数轴负半轴于点B1，则点B1所表示的数是（ ）
A．－2 B．－2 C．1－2 D．2 －1
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，AC=3-1=2，
∵∠ACB=90°，AC=BC，
∴AB= ，
∴点B1表示的数是1-2
故答案为：C．
【分析】根据题意，计算得到AC=2，继而由勾股定理计算得到AB的长度，求出答案即可。
6．（2020七上·广饶期中）如图，在波平如镜的湖面上，有一朵盛开的美丽的红莲，它高出水面30cm．突然一阵大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为60cm，则水是（ ）cm．
A．35 B．40 C．50 D．45
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，由题意可知AB=BC，AD=30cm，CD=60cm，
设BD=xcm，
在Rt△BCD.BC2=BD2+CD2，
∴（x+30）2=x2+602，
解得x=45，
则水深45cm.
故答案为：D.
【分析】如图设BD=xcm，则AB=BC=30+x，利用勾股定理得到关于x的方程，然后求解方程即可.
7．（2020七上·龙口期中）将一根 的筷子，置于底面直径为 ，高 的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】首先根据圆柱的高，知筷子在杯内的最小长度是8cm，则在杯外的最大长度是24-8=16cm；
再根据勾股定理求得筷子在杯内的最大长度是AC= = =17，则在杯外的最小长度是24-17=7cm，
所以h的取值范围是7cm≤h≤16cm，
故答案为：D．
【分析】观察图形，找出图中的直角三角形，利用勾股定理解答即可．
8．（2020八下·南岸期末）等腰三角形一腰长为5，这一腰上的高为3，则这个等腰三角形底边长为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：分两种情况：
（ 1 ）顶角是钝角时，如图1所示：
在Rt△ACO中，由勾股定理，得AO2=AC2-OC2=52-32=16，
∴AO=4，
OB=AB+AO=5+4=9，
在Rt△BCO中，由勾股定理，得BC2=OB2+OC2=92+32=90，
∴BC= =3 ；
（ 2 ）顶角是锐角时，如图2所示：
在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD2=AC2-DC2=52-32=16，
∴AD=4，DB=AB-AD=5-4=1.
在Rt△BCD中，由勾股定理，得 ，
∴BC= ；
综上可知，这个等腰三角形的底的长度为3 或 .
故答案为：C.
【分析】此题要分两种情况进行讨论：（1）当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在三角形的外部，先在Rt△ACO中由勾股定理求出AO=4，于是OB=AB+AO=9，然后在Rt△BCO中利用勾股定理即可求出BC即可；（2）当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在三角形的内部，在Rt△ACO中由勾股定理求出AD=4，于是DB=AB-AD=1，然后在Rt△BCD中利用勾股定理求出BC即可.
9．（2020八上·牡丹期中）已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边AB=3，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．9 B．3 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：设以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形的底边上的高分别为h1、h2、h3
∴h1=AC，h2=BC，h3=AB
∴阴影部分的面积为××AC×AC+××BC×BC+××AB×AB
=（AC2+BC2+AB2）
在直角三角形ABC中，根据勾股定理可得
AC2+BC2=AB2，AB=3
∴阴影部分的面积=×2AB2=
故答案为：D.
【分析】根据题意，由勾股定理以及三角形的面积公式表示出等腰三角形的面积，阴影部分的面积等于三个等腰三角形的面积之和。
10．（2020·自贡）如图，在平行四边形 中， ， 是锐角， 于点E，F是 的中点，连接 ；若 ，则 的长为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：延长EF，DA交于G，连接DE，如下图所示：
∵F是AB的中点，∴AF=BF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥BC，∴∠GAB=∠EBF
且∠GFA=∠EFB，∴△AFG≌△BFE(ASA)，
设 ，
由GF=EF，且∠DFE=90°知，
DF是线段GE的垂直平分线，
∴ ，
在Rt△GAE中， ．
在Rt△AED中， ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
故答案为：B．
【分析】延长EF，DA交于G，连接DE，先证明△AFG≌△BFE，进而得到BE=AG，F是GE的中点，结合条件BF⊥GE进而得到BF是线段GE的垂直平分线，得到GD=DE，最后在Rt△AED中使用勾股定理即可求解.
二、填空题
11．（2020九上·合肥月考）如图，在△ABC中，若∠A=30°，∠B=45°，AC= ，则BC=
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：
过点C作CE⊥AB，垂足为点E
在直角三角形ACE中，∵∠A=30°，AC=
∴CE=AC=
在等腰直角三角形CBE中，BC=CE
∴BC=
【分析】根据题意，过点C作CE⊥AB，垂足为点E，在直角三角形ACE中，根据30°角所对的直角边为斜边的一半，求出CE的长度，继而在等腰直角三角形BCE中，根据勾股定理求出BC的值即可。
12．（2020七上·龙口期中）已知△ABC中，AB=20，AC=15，BC边上的高为12，则△ABC的周长为 ．
【答案】60或42
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】作AD⊥BC于D，则AD为BC边上的高，AD=12．分两种情况：
①高AD在三角形内，如图所示：在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC2=AD2+DC2，
∴DC= = =9，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
AB2=AD2+BD2，
∴BD= =16，
∴BC=BD+DC=16+9=25，
所以，△ABC的周长为AB+AC+BC=20+15+25=60．
②高AD在三角形外，如图所示：
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
AC2=AD2+DC2
∴DC= = =9，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
AB2=AD2+BD2，
∴BD= =16，
∴BC=BD-DC=16-9=7，
所以，△ABC的周长为AB+AC+BC=20+15+7=42．
故△ABC的周长为60或42．
故答案为60或42
【分析】此题分两种情况：∠B为锐角或∠C为钝角．△ABC的周长为AB+AC+BC，已知AB、AC的值，所以要求三角形的周长，只需求出BC的值即可．如下图所示：作AD⊥BC于D，则AD为BC边上的高，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC2=AD2+DC2，在Rt△ADB中，由勾股定理得：AB2=AD2+BD2，代入AB=20，AC=15，AD=12，可求出BD、DC的值，BC=BD+DC，将AB、BC、AC的值代入周长公式，可求出该三角形的周长．
13．（2020七上·龙口期中）如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形．若右边的直角三角形 中， ， ，则阴影部分的面积是 ．
【答案】256
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：两个阴影正方形的面积和为342-302=256．
故答案为：256．
【分析】两个阴影正方形的面积和等于直角三角形另一未知边的平方．利用勾股定理即可求出．
14．（2020八上·即墨期中）一辆装满货物，宽为 2.4m的卡车，欲安全通过如图所示的隧道，则卡车装满货物后的高度必须低于
【答案】4.1m
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵车宽2.4米，
∴欲通过隧道，只要比较距中线1.2米处的高度与车高，
在 中，根据勾股定理， ，
，
∴卡车装满货物后的高度必须低于4.1m．
故答案是： ．
【分析】利用勾股定理求出当OD=1.2m时，CD的长度，从而求出货车的最大高度．
15．（2020八上·内蒙古期中）如图，等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD平分 ，且AD=8，P，Q分别是AB、AD上的动点，连接BP，PQ，则BP +PQ的最小值为 ．
【答案】9.6
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理
【解析】【解答】解： ∵AB=AC，AD是角平分线，
∴AD⊥BC，BD=CD，
∴B点，C点关于AD对称，
如图，过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P，
则CQ=BP+PQ的最小值，
根据勾股定理得，AD=8，
利用等面积法得：AB CQ=BC AD，
∴CQ= =9.6
故答案为：9.6．
【分析】过C作CQ⊥AB于Q，交AD于P，得到CQ=BP+PQ的最小值，由勾股定理不求得AD=8，再利用等面积法即可求得其值．
16．（2020八上·四川月考）如图是学校艺术馆中的柱子，高4.5m．为迎接艺术节的到来，工作人员用一条花带从柱底向柱顶均匀地缠绕3圈，一直缠到起点的正上方为止．若柱子的底面周长是2m，则这条花带至少需要 m．
【答案】7.5
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图：
将圆柱表面切开展开呈长方形，
则有螺旋线长为三个长方形并排后的长方形的对角线长
∵圆柱高4.5米，底面周长2米
x2=（2×3）2+4.52=56.25m2
x=7.5m
所以，花圈长至少是56.25m．
故答案为7.5．
【分析】要求花圈的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．
17．（2020八上·鄞州期中）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD是BC边上的中线，F是AD上的动点，E是AC边上的动点，则CF+EF的最小值为 .
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：如图，连接BF，过B作BH⊥AC于H，
∵AB=AC，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC的中垂线，
∴BF=CF，
∴CF+EF=BF+EF≤BH，
∵AD=，
∵BH×AC=BC×AD，
∴BH=.
故答案为： .
【分析】连接BF，过B作BH⊥AC于H，根据垂直平分线的性质把CF转化为BF，由两点之间线段最短可得当B、F、E在同一条直线上时， CF+EF有最小值，最后利用面积法求出BF的长即可.
三、解答题
18．（2020八上·顺德月考）如图：在△ABC中∠C=90°，AB＝3，BC＝2，求△ABC的面积．
【答案】解：在Rt△ABC中∠C=90°
∴
∴
∴ S△ABC= AC BC
=
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】在直角三角形中，根据勾股定理计算得到AC的长度，继而由三角形的面积公式求出答案即可。
19．（2020七上·沂源期中）如图，在笔直的高速路旁边有A、B两个村庄，A村庄到公路的距离AC＝8km，B村庄到公路的距离BD＝14km，测得C、D两点的距离为20km，现要在CD之间建一个服务区E，使得A、B两村庄到E服务区的距离相等，求CE的长．
【答案】解：设CE＝x km，则DE＝(20﹣x)km．
在Rt△ACE中，由勾股定理得：AE2＝AC2+CE2＝82+x2，
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2＝BD2+DE2＝142+（20﹣x）2，
由题意可知：AE＝BE，
所以：82+x2＝142+（20﹣x）2，解得：x＝13.3，
所以CE＝13.3km．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】设CE＝xkm，则DE＝(20﹣x)km，由AE＝BE根据勾股定理可得关于x的方程，解方程即得结果．
20．（2020八上·长清月考）有一个小朋友拿着一根竹竿通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜入就恰好等于门的对角线长，已知门宽4尺，请求竹竿的长度．
【答案】解：设竹竿的长度为x尺，由题意知
(x-1)2+42=x2
整理得2x-17=0
解得x=8.5
答：竹竿的长度为8.5尺
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】设竹竿的长度为x尺，根据勾股定理即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论．
四、综合题
21．（2020八上·湛江月考）如图，把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A与点C重合，点D与点G重合，若BC＝8，AB＝4，求：
（1）求CF的长．
（2）求EF的长．
（3）求阴影部分△GED的面积．
【答案】（1）解：设CF=x，则BF=8-x，
由折叠的性质得出：AF=CF=x，∠EFC=∠EFA，
在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
∴16+（8-x）2=x2，
解得：x=5，
∴CF=5；
（2）解：过F点作FH⊥AD于H，
则FH=4，AH=BF=3，
∵AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC
∵∠EFC=∠EFA，
∴∠AEF=∠EFA，
∴AE=AF=5，
∴EH=AE-AH=2，
∴EF2=42+22=20，
∴EF= ；
（3）解：过G点作GM⊥AD于M，
则AG×GE=AE×GM，
∵AG=AB=4，AE=CF=5，GE=DE=3，
∴GM= ，
∴S△GED= ×GM×DE=
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【分析】（1）设CF=x，则BF=8-x，在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，解方程可求出CF的长；
（2）过F点作FH⊥AD于H，在Rt△EHF中根据勾股定理可求出EF的长；
（3）过G点作GM⊥AD于M，根据三角形面积不变性，AG×GE=AE×GM，求出GM的长，根据三角形面积公式计算即可．
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