初中数学北师大版九年级上学期 第一章 1 菱形的性质与判定
一、单选题
1．（2019·玉林）菱形不具备的性质是（ ）
A．是轴对称图形 B．是中心对称图形
C．对角线互相垂直 D．对角线一定相等
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故正确，但不符合题意；
B、是中心对称图形，故正确，但不符合题意；
C、对角线互相垂直，故正确，但不符合题意；
D、对角线不一定相等，故不正确，符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据菱形的性质即可一一判断得出答案。
2．（2020·静安模拟）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断 ABCD是菱形的为（ ）
A．AO＝CO B．AO＝BO
C．∠AOB＝∠BOC D．∠BAD＝∠ABC
【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A、由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，则此项不符题意
B、由 中 可推得 ，可以证明 为矩形，但不能判定 为菱形，则此项不符题意
C、当 时，因为 ，所以 ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知 是菱形，则此项符合题意
D、由平行四边形的性质可知， ，故当 时，可推出 ，从而可判定 为矩形，则此项不符题意
故答案为：C．
【分析】在平行四边形基础上，菱形的判定方法有：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此逐个选项分析即可．
3．（2020·遵义）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图.
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA＝ AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，
∴OB＝ ＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB DE＝ AC BD，
∴DE＝ ＝ ＝ .
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质以及勾股定理，在直角三角形ABO中求得OB的长，由BD=2OB求得BD的长，然后由菱形的面积=AC·BD=AB·DE可求得线段DE的长.
4．（2020·河东模拟）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是(8，2)，D点坐标是(0，2)，点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．2 B．8 C．8 D．12
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AE＝CE＝ AC，BE＝DE＝ BD，
∵点B的坐标为(8，2），点D的坐标为(0，2)，
∴OD＝2，BD＝8，
∴AE＝OD＝2，DE＝4，
∴AD＝ ＝2 ，
∴菱形的周长＝4AD＝8 ；
故答案为：C．
【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE＝CE＝ AC，BE＝DE＝ BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD＝2，求出DE＝4，AD＝2 ，即可得出答案．
5．（2020九下·东台期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.若周长为20，BD＝8，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OB，AO＝OC，
∵菱形的周长是20，
∴DC＝ ×20＝5，
∵BD＝8，
∴OD＝4，
在Rt△DOC中，OD＝ ＝3，
∴AC＝2OC＝6.
故答案为：D.
【分析】根据菱形性质得出AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OB，AO＝OC，求出OB，根据勾股定理求出OA，即可求出AC.
6．（2019九上·福田期中）如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AD、BC上，且AM=CN，连接MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（ ）
A．28° B．56° C．62° D．72°
【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°，
∴∠OBC=90°-28°=62°．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
二、填空题
7．（2020·嘉兴·舟山）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件： ，使 ABCD是菱形。
【答案】AB=BC或AC⊥BD（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，AB=BC
∴四边形ABCD是菱形；
∵平行四边形ABCD，AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形；
故答案为：AB=BC或AC⊥BD（答案不唯一）.
【分析】根据有一组领边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得答案。
8．（2020九下·吉林月考）已知菱形的边长为4，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长为 ．
【答案】4
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形的对角线把菱形分成4个大小相等的直角三角形,
且平分每个内角，由小角对小边，
短的对角线为
故本题答案应填4．
【分析】菱形的对角线相互垂直平分，且平分每个角，对角线把菱形分成4个相等的直角三角形， 所对的是短的对角线，则短的对角线为 ．
9．（2019九上·中原月考）如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°.点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则线段 AP+PD的最小值为 .
【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，作PE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，
∵四边形ABCD是菱形
∴∠DAC=∠CAB，AB=BC，且∠B=120°
∴∠CAB=30°
∴PE= AP，∠DAF=60°
∴∠FDA=30°，且DF⊥AB
∴AF= AD=2，DF= AF=2
∵ AP+PD=PE+DP
∴当点D，点P，点E三点共线且垂直AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF，
∴线段 AP+PD的最小值为2
故答案为：2
【分析】作PE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，利用菱形的性质，可得到∠DAC=∠CAB，AB=BC，∠B=120°，可推出∠CAB=30°，再利用直角三角形的性质，可得到PE= AP，AF= AD，从而可求出AF，DF的长，然后利用两点之间线段最短，可知当点D，点P，点E三点共线且垂直AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF，即可求解。
三、解答题
10．（2020·章丘模拟）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以AD、OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE．求证：四边形AOBE为菱形．
【答案】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴DO＝BO． ∵四边形ADOE是平行四边形， ∴AE DO，AE＝DO，AD OE． ∴AE BO，AE＝BO， ∴四边形AOBE是平行四边形． ∵AD⊥AB，AD OE， ∴AB⊥OE． ∴四边形AOBE是菱形.
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】先证明四边形AOBE是平行四边形，再证明AB⊥OE即可.
11．（2020·自贡）如图，在正方形 中，点E在 边的延长线上，点F在 边的延长线上，且 ,连接 和 相交于点M．
求证： ．
【答案】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，
∴ （SAS），
∴AE=BF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．
12．（2019·衢州）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF.
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵BE=DF
∴△ABE≌△ADF．
∴AE=CF
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】由菱形性质得AB=AD，∠B=∠D，根据全等三角形判定SAS可得△ABE≌△ADF，由全等三角形性质即可得证.
13．（2019·曲靖模拟）如图，菱形ABCD中，E是对角线BD上的一点，连接EA、EC，求证：∠BAE＝∠BCE.
【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，∠ABE＝∠CBE，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BAE＝∠BCE.
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】先根据四边形ABCD是菱形证出BA＝BC，∠ABE＝∠CBE，又因为BE=BE，所以△ABE≌△CBE，最后全等三角形对应角相等求出∠BAE＝∠BCE.
四、综合题
14．（2020·龙湖模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝ ．OE＝2，求线段CE的长．
【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴ ABCD是菱形
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC＝2，
∴OB＝ ＝1，
∵∠AOB＝∠AEC＝90°，
∠OAB＝∠EAC，
∴△AOB∽△AEC，
∴ ，
∴ ，
∴CE＝ ．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的判定定理，进行证明。
（2）根据相似三角形的性质和勾股定理，求出线段的长。
15．（2020·兰州模拟）如图AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC、AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F.
（1）求证：四边形AEDF是菱形.
（2）若AF＝13，AD＝24.求四边形AEDF的面积.
【答案】（1）证明：∵AB∥DF，AC∥DE，
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC.
又∵AC∥DE，
∴∠ADE＝∠DAC.
∴∠ADE＝∠BAD.
∴EA＝ED.
∴四边形AEDF是菱形.
（2）解：连接EF交AD于点O.
∵四边形AEDF是菱形，
∴EF＝2FO.
∴AO＝ .
∵AD⊥EF.
在Rt△AOF中，由勾股定理得OF＝ .
∴OE＝OF＝5.
∴四边形AEDF的面积＝ .
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形AEDF是平行四边形.再证明∠ADE＝∠BAD.可得EA＝ED.则结论得证；（2）连接EF交AD于点O.求出OE＝OF＝5，则四边形AEDF的面积可求出.
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第一章 1 菱形的性质与判定
一、单选题
1．（2019·玉林）菱形不具备的性质是（ ）
A．是轴对称图形 B．是中心对称图形
C．对角线互相垂直 D．对角线一定相等
2．（2020·静安模拟）如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，那么下列条件中，能判断 ABCD是菱形的为（ ）
A．AO＝CO B．AO＝BO
C．∠AOB＝∠BOC D．∠BAD＝∠ABC
3．（2020·遵义）如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为（ ）
A． B． C．4 D．
4．（2020·河东模拟）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中B点坐标是(8，2)，D点坐标是(0，2)，点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是（ ）
A．2 B．8 C．8 D．12
5．（2020九下·东台期中）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.若周长为20，BD＝8，则AC的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2019九上·福田期中）如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AD、BC上，且AM=CN，连接MN与AC交于点O，连接BO，若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（ ）
A．28° B．56° C．62° D．72°
二、填空题
7．（2020·嘉兴·舟山）如图， ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请添加一个条件： ，使 ABCD是菱形。
8．（2020九下·吉林月考）已知菱形的边长为4，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长为 ．
9．（2019九上·中原月考）如图，菱形ABCD的边长为4，∠B＝120°.点P是对角线AC上一点（不与端点A重合），则线段 AP+PD的最小值为 .
三、解答题
10．（2020·章丘模拟）如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以AD、OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE．求证：四边形AOBE为菱形．
11．（2020·自贡）如图，在正方形 中，点E在 边的延长线上，点F在 边的延长线上，且 ,连接 和 相交于点M．
求证： ．
12．（2019·衢州）已知：如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且BE=DF，连结AE，AF.求证：AE=AF.
13．（2019·曲靖模拟）如图，菱形ABCD中，E是对角线BD上的一点，连接EA、EC，求证：∠BAE＝∠BCE.
四、综合题
14．（2020·龙湖模拟）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC、BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E．连接OE．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）若AB＝ ．OE＝2，求线段CE的长．
15．（2020·兰州模拟）如图AD是△ABC的角平分线，过点D分别作AC、AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F.
（1）求证：四边形AEDF是菱形.
（2）若AF＝13，AD＝24.求四边形AEDF的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故正确，但不符合题意；
B、是中心对称图形，故正确，但不符合题意；
C、对角线互相垂直，故正确，但不符合题意；
D、对角线不一定相等，故不正确，符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据菱形的性质即可一一判断得出答案。
2．【答案】C
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】A、由平行四边形的性质可知，对角线互相平分，则此项不符题意
B、由 中 可推得 ，可以证明 为矩形，但不能判定 为菱形，则此项不符题意
C、当 时，因为 ，所以 ，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知 是菱形，则此项符合题意
D、由平行四边形的性质可知， ，故当 时，可推出 ，从而可判定 为矩形，则此项不符题意
故答案为：C．
【分析】在平行四边形基础上，菱形的判定方法有：①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形．据此逐个选项分析即可．
3．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图.
∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，
∴AC⊥BD，OA＝ AC＝3，BD＝2OB，
∵AB＝5，
∴OB＝ ＝4，
∴BD＝2OB＝8，
∵S菱形ABCD＝AB DE＝ AC BD，
∴DE＝ ＝ ＝ .
故答案为：D.
【分析】由菱形的性质以及勾股定理，在直角三角形ABO中求得OB的长，由BD=2OB求得BD的长，然后由菱形的面积=AC·BD=AB·DE可求得线段DE的长.
4．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】连接AC、BD交于点E，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AE＝CE＝ AC，BE＝DE＝ BD，
∵点B的坐标为(8，2），点D的坐标为(0，2)，
∴OD＝2，BD＝8，
∴AE＝OD＝2，DE＝4，
∴AD＝ ＝2 ，
∴菱形的周长＝4AD＝8 ；
故答案为：C．
【分析】连接AC、BD交于点E，由菱形的性质得出AC⊥BD，AE＝CE＝ AC，BE＝DE＝ BD，由点B的坐标和点D的坐标得出OD＝2，求出DE＝4，AD＝2 ，即可得出答案．
5．【答案】D
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OB，AO＝OC，
∵菱形的周长是20，
∴DC＝ ×20＝5，
∵BD＝8，
∴OD＝4，
在Rt△DOC中，OD＝ ＝3，
∴AC＝2OC＝6.
故答案为：D.
【分析】根据菱形性质得出AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BO＝OB，AO＝OC，求出OB，根据勾股定理求出OA，即可求出AC.
6．【答案】C
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB∥CD，AB=BC，
∴∠MAO=∠NCO，∠AMO=∠CNO，
在△AMO和△CNO中，
∴△AMO≌△CNO（ASA），
∴AO=CO，
∵AB=BC，
∴BO⊥AC，
∴∠BOC=90°，
∵∠DAC=28°，
∴∠BCA=∠DAC=28°，
∴∠OBC=90°-28°=62°．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质以及AM=CN，利用ASA可得△AMO≌△CNO，可得AO=CO，然后可得BO⊥AC，继而可求得∠OBC的度数．
7．【答案】AB=BC或AC⊥BD（答案不唯一）
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：∵平行四边形ABCD，AB=BC
∴四边形ABCD是菱形；
∵平行四边形ABCD，AC⊥BD
∴四边形ABCD是菱形；
故答案为：AB=BC或AC⊥BD（答案不唯一）.
【分析】根据有一组领边相等的平行四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得答案。
8．【答案】4
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：菱形的对角线把菱形分成4个大小相等的直角三角形,
且平分每个内角，由小角对小边，
短的对角线为
故本题答案应填4．
【分析】菱形的对角线相互垂直平分，且平分每个角，对角线把菱形分成4个相等的直角三角形， 所对的是短的对角线，则短的对角线为 ．
9．【答案】
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，作PE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，
∵四边形ABCD是菱形
∴∠DAC=∠CAB，AB=BC，且∠B=120°
∴∠CAB=30°
∴PE= AP，∠DAF=60°
∴∠FDA=30°，且DF⊥AB
∴AF= AD=2，DF= AF=2
∵ AP+PD=PE+DP
∴当点D，点P，点E三点共线且垂直AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF，
∴线段 AP+PD的最小值为2
故答案为：2
【分析】作PE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，利用菱形的性质，可得到∠DAC=∠CAB，AB=BC，∠B=120°，可推出∠CAB=30°，再利用直角三角形的性质，可得到PE= AP，AF= AD，从而可求出AF，DF的长，然后利用两点之间线段最短，可知当点D，点P，点E三点共线且垂直AB时，PE+DP的值最小，最小值为DF，即可求解。
10．【答案】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴DO＝BO． ∵四边形ADOE是平行四边形， ∴AE DO，AE＝DO，AD OE． ∴AE BO，AE＝BO， ∴四边形AOBE是平行四边形． ∵AD⊥AB，AD OE， ∴AB⊥OE． ∴四边形AOBE是菱形.
【知识点】菱形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】先证明四边形AOBE是平行四边形，再证明AB⊥OE即可.
11．【答案】证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，
又∵CE=DF，
∴CE+BC=DF+CD即BE=CF，
在△BCF和△ABE中，
∴ （SAS），
∴AE=BF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】利用正方形的性质证明：AB=BC=CD，∠ABE=∠BCF=90°，再证明BE=CF，可得三角形的全等，利用全等三角形的性质可得答案．
12．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠B=∠D，
∵BE=DF
∴△ABE≌△ADF．
∴AE=CF
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】由菱形性质得AB=AD，∠B=∠D，根据全等三角形判定SAS可得△ABE≌△ADF，由全等三角形性质即可得证.
13．【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴BA＝BC，∠ABE＝∠CBE，
∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE（SAS），
∴∠BAE＝∠BCE.
【知识点】菱形的性质
【解析】【分析】先根据四边形ABCD是菱形证出BA＝BC，∠ABE＝∠CBE，又因为BE=BE，所以△ABE≌△CBE，最后全等三角形对应角相等求出∠BAE＝∠BCE.
14．【答案】（1）解：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠DCA，
∵AC为∠DAB的平分线，
∴∠OAB＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD＝AB，
又∵AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵AD＝AB，
∴ ABCD是菱形
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，BD⊥AC，
∵CE⊥AB，
∴OE＝OA＝OC＝2，
∴OB＝ ＝1，
∵∠AOB＝∠AEC＝90°，
∠OAB＝∠EAC，
∴△AOB∽△AEC，
∴ ，
∴ ，
∴CE＝ ．
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据菱形的判定定理，进行证明。
（2）根据相似三角形的性质和勾股定理，求出线段的长。
15．【答案】（1）证明：∵AB∥DF，AC∥DE，
∴四边形AEDF是平行四边形.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC.
又∵AC∥DE，
∴∠ADE＝∠DAC.
∴∠ADE＝∠BAD.
∴EA＝ED.
∴四边形AEDF是菱形.
（2）解：连接EF交AD于点O.
∵四边形AEDF是菱形，
∴EF＝2FO.
∴AO＝ .
∵AD⊥EF.
在Rt△AOF中，由勾股定理得OF＝ .
∴OE＝OF＝5.
∴四边形AEDF的面积＝ .
【知识点】菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先证明四边形AEDF是平行四边形.再证明∠ADE＝∠BAD.可得EA＝ED.则结论得证；（2）连接EF交AD于点O.求出OE＝OF＝5，则四边形AEDF的面积可求出.
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