初中数学苏科版九年级上册2.5直线和圆的位置关系 同步测试
一、单选题
1．（2019·嘉定模拟）下列四个选项中的表述，一定正确是（ ）
A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
D．经过一条弦的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2．（2019九上·东台期中）已知⊙O的直径为4，圆心O到直线l的距离是4，则⊙O与直线l的关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
3．（2020·重庆B）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB.若∠B＝35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
4．（2020·武汉模拟）如图，A为⊙O外一点，AB与⊙O相切于B点，点P是⊙O上的一个动点，若OB＝5，AB＝12，则AP的最小值为（ ）
A．5 B．8 C．13 D．18
5．（2020·遵化模拟）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（ ）秒时相切．
A．3 B．3.5 C．3或4 D．3或3.5
6．（2017·广州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
7．（2018九上·东台期中）已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，它的内切圆半径是（ ）
A．2.4 B．2 C．5 D．6
8．（2020九下·盐都期中）如图，点O是△ABC的内心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数是（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
9．（2019九上·无锡月考）如图，已知 是 的内接三角形， 是 的切线，点 为切点， ，则 的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
10．（2017九上·台州月考）如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（ ）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）
A． B． C． D．πr2
二、填空题
11．已知⊙O的半径为5cm，点O到直线 的距离为d，
当d=4cm时，直线 与⊙O ；
当d= 时，直线 与⊙O相切；
当d=6 cm时，直线 与⊙O ．
12．（2020·上海模拟）已知在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为 .
13．（2017·连云港）如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O的半径长为 ．
14．（2018九上·南京月考）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=24°，则∠D= °．
15．（2018九上·北京期末）如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为 ．
16．在△ABC中，点I是内心，若∠A=80°，则∠DEF= 度．
17．（2017九上·宝坻月考）如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动．
（1）当圆心O移动的距离为1cm时，则⊙O与直线PA的位置关系是 ．
（2）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，则d的取值范围是 ．
18．（2020九上·洛宁期末）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（ ）
A．（-3，0） B．（-2，0）
C．（-4，0）或（-2，0） D．（-4，0）
三、解答题
19．（2019九上·宜兴期末）如图，AB是 的直径，AC是 的弦过点C的切线交AB的延长线于点D，若 ，试求 的度数.
20．（2018九上·青海期中）已知：如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 于点 ．求证： 是 的切线．
21．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．
22．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上（异于A、B两点），AD⊥CD．
①若BC=3，AB=5，求AC的长？
②若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD与⊙O相切．
24．如图，AB是圆O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于点C，且CD=BD．
（1）判断BD与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）当OA=3，OC=1时，求线段BD的长．
25．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，半径OD⊥AC于点E，过点D的切线与BA延长线交于点F．
（1）求证：∠CDB=∠BFD；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】A选项中圆的切线不是经过半径上任一点，而是经过半径的非圆心一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.故该选项不符合题意；
B选项中，必须经过半径的非圆心的一端并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线.故该选项不符合题意；
C选项中经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该选项符合题意；
D选项中，不是经过任一条弦的外端且垂直于这条半径的直线就是圆的切线.故该选项不符合题意.
故答案为：C
【分析】逐一对选项进行分析即可.
2．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径为2，
又∵圆心O到直线l的距离是4，大于⊙O的半径2，
∴直线l与⊙O相离.
故答案为：C.
【分析】根据圆心O到直线l的距离大于半径即可判定直线l与⊙O的位置关系为相离.
3．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠B＝55°，
故答案为：B.
【分析】根据切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径可得∠A＝90°，根据直角三角形两锐角互余即可计算∠AOB.
4．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA交⊙O于点P，此时AP有最小值，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OBA＝90°，
∵OB＝5，AB＝12，
∴ ＝13，
∴OP＝5，则AP＝13﹣5＝8，
故答案为：B.
【分析】连结OA交⊙O于点P，此时AP有最小值，直接利用切线的性质得出∠OBA=90°，进而利用直角三角形的性质得出OA的长，则AP可求出.
5．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】如下图，⊙O与 交于点M和点N
情况一：直线AB与圆上点M相切
则点M与点A重合
∵AO=7cm，⊙O的半径为1cm
∴MA=6cm
∵⊙O以2cm/s的速度向右移动
∴t= s
情况二：直线AB与圆上点N相切
则点N与点A重合
同理，NA=8cm
∴t= s
故答案为：C
【分析】存在2种情况，如下图，一种是AB与圆上的点M相切，另一种是AB与圆上的点N相切．
6．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故选：B．
【分析】根据三角形的内切圆得出点O到三边的距离相等，即可得出结论．
7．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，
⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F．
其中AC=8，BC=6，连接OD、OF、OE，则OD⊥BC，OF⊥AC，OD=OF．
∵∠C=90°，∴四边形ODCF为正方形，∴CD=CF=R（R为⊙O的半径）．
由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=36+64=100，∴AB=10．
由切线的性质定理的：AF=AE，BD=BE，∴CD+CF=AC+BC﹣AB=6+8﹣10=4，∴R=2，它的内切圆半径为2．
故答案为：B．
【分析】用勾股定理可求得直角三角形的斜边的长；再根据直角三角形的内切圆的半径=（a、b是直角边）即可求得半径的值。
8．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°.
故答案为：B.
【分析】利用内心的性质得∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，再根据三角形内角和计算出∠OBC+∠OCB＝55°，然后再利用三角形内角和计算∠BOC的度数.
9．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是⊙O的切线，∴∠DAB=∠ACB=60°.
故答案为：C.
【分析】根据圆的弦切角等于其所夹弧所对的圆周角即可直接得出答案.
10．【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】如图，当圆形纸片运动到与A的两边相切的位置时，
过圆形纸片的圆心O1作两边的垂线，垂足分别为D，E，
连接AO1，则RtADO1中，O1AD=30，O1D=r，AD=r，
∴SADO1=O1DAD=r2，由此S四边形ADO1E=2SADO1=r2，
∵由题意，DO1E=120，得S扇形O1DE=r2，
∴圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是3（r2-r2）=（）r2 .
故答案为：C.
【分析】本题考查了面积的计算，等边三角形的性质和切线的性质. 注意所求面积等于四边形ADO1E面积减去扇形O1DE面积的三倍.
11．【答案】相交；5；相离
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据圆心到直线的距离4小于圆的半径5，则直线和圆相交；
根据圆心到直线的距离等于圆的半径，即d=5时，则直线和圆相切；
根据圆心到直线的距离大于圆的半径，则直线和圆相离.
故答案为：相交；5；相离.
【分析】设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当d＜r时，直线l与⊙O相交；当d=r时，直线l与⊙O相切；当d＞r时，直线l与⊙O相离。
12．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设切点为D，连接CD，如图所示
∵∠C=90 ，AC=3，BC=4，
∴
又∵⊙C与斜边AB相切，
∴CD⊥AB，CD即为⊙C的半径
∴
∴
故答案为 .
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据圆相切的性质得出CD⊥AB，CD即为⊙C的半径，然后根据三角形面积列出等式，即可解得CD
13．【答案】5
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，
∵AB切⊙O于B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
设⊙O的半径长为r，
由勾股定理得：
r2+122=（8+r）2，
解得r=5．
故答案为：5．
【分析】连接OB，根据切线的性质求出∠ABO=90°，在△ABO中，由勾股定理即可求出⊙O的半径长．
14．【答案】42°
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接OC，DC为切线，
∴OC⊥DC，
即∠OCD=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠A=24°，
∴∠DOC=∠OCA+∠A=24°+24°=48°，
在 Rt△ODC中，∠D+∠DOC=90°，
∴∠D=42°，
故答案为：42°
【分析】连接OC，根据切线的性质得出OC⊥DC，即∠OCD=90°，根据等边对等角得出∠OCA=∠A=24°，根据三角形的外角定理，由∠DOC=∠OCA+∠A算出∠DOC，最后根据直角三角形的两锐角互余算出答案。
15．【答案】52
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】根据切线的性质可得：AD+BC=AB+CD=26，则四边形的周长为26+26=52．
【分析】由题意可知圆外切四边形的两组对边之和相等，因此四边形ABCD的周长=2（AB+CD），计算即可得出答案。
16．【答案】50
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IF，ID，
∵点I是内心，
∴∠ADI=∠AFI=90°，
∵∠A=80°，
∴∠DIF=100°，
∴∠DEF=50°，
故答案为：50．
【分析】连接IF，ID，由点I是内心，得到∠ADI=∠AFI=90°，根据四边形的内角和得到∠DIF=100°，由圆周角定理即可得到结论．
17．【答案】（1）相切
（2）1cm＜d＜5cm
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm，
作O′C⊥PA于C，
∵∠P=30 ，
∴O′C= PO′=1cm，
∵圆的半径为1cm，
∴⊙O与直线PA的位置关系是相切；（2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交，
当移动到C″时，相切，
此时C″P=PO′=2，
∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交
【分析】（1）求此时点O到PA的距离，该距离等于⊙O半径长，所以⊙O与直线PA相切；（2）当点O在OP上时圆O与PA相切为临界值，点O在BP的延长线上时，相切为临界值，从而可求得点d的取值范围.
18．【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接AQ，AP.
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；
此时P点的坐标是（-3，0）.
故答案为：A.
【分析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解.
19．【答案】解：连结OC，
为 的切线
又
又 ，
，
而 ，
.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】连接OC，由过点C的切线交AB的延长线于点D，推出 ，推出 ，即 ，由AO=CO，推出 ，推出 ，可得 =90°，推出 ，即可解决问题
20．【答案】解：连接OD．∵OD=OB，∴∠B=∠ODB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠DEC；∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】连接OD．根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，故∠C=∠ODB，根据同位角相等，二直线平行得出OD∥AC，根据平行线的性质即可得出∠ODE=90°，即DE⊥OD，故DE是⊙O的切线．
21．【答案】解：∵，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F
∴AD=AE=20，DB=BF，FC=EC
∵△ABC的周长为：AB+BF+CF+AC
∴△ABC的周长为：AB+DB+CE+AC=AD+AE=20+20=40.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】利用切线长定理可得出AD=AE=20，DB=BF，FC=EC，将△ABC的周长转化为AD+AE，代入计算可得出答案。
22．【答案】解：设△ABC与O相切与点D，E，F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF。
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴OD=OE=OF=r
∵S△AOB=AB OD=c r
同理，S△OBC=a r，S△OAC=b r.
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，
即S=c r+a r+b r，
∴则S=r(a+b+c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】设△ABC与 O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即可求解。
23．【答案】解：①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=3，AB=5，
∴AC= = =4；
②证明：连接OC
∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠DCA=∠CBA，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OAC+∠OBC=90°，
∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】①首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；②连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．
24．【答案】（1）证明：连接OB，
∵OA=OB，DC=DB，
∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，
∵AO⊥OD，
∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，
∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，
∴∠ABO+∠DBC=90°，即OB⊥BD，
则BD为圆O的切线；
（2）解：设BD=x，则OD=x+1，而OB=OA=3，
在Rt△OBD中，OB2+BD2=OD2，
即32+x2=（x+1）2，
解得x=4，
∴线段BD的长是4．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OB，由BD=CD，利用等边对等角得到∠DCB=∠DBC，再由AO垂直于OD，得到三角形AOC为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到OB垂直于BD，即可得证；
（2）设BD=x，则OD=x+1，在Rt△OBD中，根据勾股定理得出32+x2=（x+1）2，通过解方程即可求得．
25．【答案】解：（1）∵DF与⊙O相切，
∴DF⊥OD，
∵OD⊥AC，
∴DF∥AC，
∴∠CAB=∠BFD，
∴∠CAB=∠BFD，
∴∠CDB=∠BFD；
（2）∵半径OD垂直于弦AC于点E，AC=8，
∴AE=AC=．
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OD=AB=，
在Rt△AEO中，OE===3，
∵AC∥DF，
∴△OAE∽△OFD．
∴，
∴=，
∴DF=．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到DF⊥OD，由于OD⊥AC，推出DF∥AC，根据平行线的性质得到∠CAB=∠BFD，于是得到结论；
（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．
1 / 1初中数学苏科版九年级上册2.5直线和圆的位置关系 同步测试
一、单选题
1．（2019·嘉定模拟）下列四个选项中的表述，一定正确是（ ）
A．经过半径上一点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
B．经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
C．经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
D．经过一条弦的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
【答案】C
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】A选项中圆的切线不是经过半径上任一点，而是经过半径的非圆心一端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.故该选项不符合题意；
B选项中，必须经过半径的非圆心的一端并且垂直于这条半径的直线，就是这个圆的一条切线.故该选项不符合题意；
C选项中经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故该选项符合题意；
D选项中，不是经过任一条弦的外端且垂直于这条半径的直线就是圆的切线.故该选项不符合题意.
故答案为：C
【分析】逐一对选项进行分析即可.
2．（2019九上·东台期中）已知⊙O的直径为4，圆心O到直线l的距离是4，则⊙O与直线l的关系是（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径为4，
∴⊙O的半径为2，
又∵圆心O到直线l的距离是4，大于⊙O的半径2，
∴直线l与⊙O相离.
故答案为：C.
【分析】根据圆心O到直线l的距离大于半径即可判定直线l与⊙O的位置关系为相离.
3．（2020·重庆B）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB.若∠B＝35°，则∠AOB的度数为（ ）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠B＝55°，
故答案为：B.
【分析】根据切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径可得∠A＝90°，根据直角三角形两锐角互余即可计算∠AOB.
4．（2020·武汉模拟）如图，A为⊙O外一点，AB与⊙O相切于B点，点P是⊙O上的一个动点，若OB＝5，AB＝12，则AP的最小值为（ ）
A．5 B．8 C．13 D．18
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA交⊙O于点P，此时AP有最小值，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OBA＝90°，
∵OB＝5，AB＝12，
∴ ＝13，
∴OP＝5，则AP＝13﹣5＝8，
故答案为：B.
【分析】连结OA交⊙O于点P，此时AP有最小值，直接利用切线的性质得出∠OBA=90°，进而利用直角三角形的性质得出OA的长，则AP可求出.
5．（2020·遵化模拟）如图，在直线l上有相距7cm的两点A和O（点A在点O的右侧），以O为圆心作半径为1cm的圆，过点A作直线AB⊥l．将⊙O以2cm/s的速度向右移动（点O始终在直线l上），则⊙O与直线AB在（ ）秒时相切．
A．3 B．3.5 C．3或4 D．3或3.5
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】如下图，⊙O与 交于点M和点N
情况一：直线AB与圆上点M相切
则点M与点A重合
∵AO=7cm，⊙O的半径为1cm
∴MA=6cm
∵⊙O以2cm/s的速度向右移动
∴t= s
情况二：直线AB与圆上点N相切
则点N与点A重合
同理，NA=8cm
∴t= s
故答案为：C
【分析】存在2种情况，如下图，一种是AB与圆上的点M相切，另一种是AB与圆上的点N相切．
6．（2017·广州）如图，⊙O是△ABC的内切圆，则点O是△ABC的（ ）
A．三条边的垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三条中线的交点 D．三条高的交点
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵⊙O是△ABC的内切圆，
则点O到三边的距离相等，
∴点O是△ABC的三条角平分线的交点；
故选：B．
【分析】根据三角形的内切圆得出点O到三边的距离相等，即可得出结论．
7．（2018九上·东台期中）已知直角三角形的两条直角边长分别为6和8，它的内切圆半径是（ ）
A．2.4 B．2 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】如图，
⊙O内切于直角△ABC中，切点分别为D、E、F．
其中AC=8，BC=6，连接OD、OF、OE，则OD⊥BC，OF⊥AC，OD=OF．
∵∠C=90°，∴四边形ODCF为正方形，∴CD=CF=R（R为⊙O的半径）．
由勾股定理得：AB2=AC2+BC2=36+64=100，∴AB=10．
由切线的性质定理的：AF=AE，BD=BE，∴CD+CF=AC+BC﹣AB=6+8﹣10=4，∴R=2，它的内切圆半径为2．
故答案为：B．
【分析】用勾股定理可求得直角三角形的斜边的长；再根据直角三角形的内切圆的半径=（a、b是直角边）即可求得半径的值。
8．（2020九下·盐都期中）如图，点O是△ABC的内心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数是（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°.
故答案为：B.
【分析】利用内心的性质得∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，再根据三角形内角和计算出∠OBC+∠OCB＝55°，然后再利用三角形内角和计算∠BOC的度数.
9．（2019九上·无锡月考）如图，已知 是 的内接三角形， 是 的切线，点 为切点， ，则 的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是⊙O的切线，∴∠DAB=∠ACB=60°.
故答案为：C.
【分析】根据圆的弦切角等于其所夹弧所对的圆周角即可直接得出答案.
10．（2017九上·台州月考）如图，一个半径为r的圆形纸片在边长为a（ ）的等边三角形内任意运动，则在该等边三角形内，这个圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是（ ）
A． B． C． D．πr2
【答案】C
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】如图，当圆形纸片运动到与A的两边相切的位置时，
过圆形纸片的圆心O1作两边的垂线，垂足分别为D，E，
连接AO1，则RtADO1中，O1AD=30，O1D=r，AD=r，
∴SADO1=O1DAD=r2，由此S四边形ADO1E=2SADO1=r2，
∵由题意，DO1E=120，得S扇形O1DE=r2，
∴圆形纸片“不能接触到的部分”的面积是3（r2-r2）=（）r2 .
故答案为：C.
【分析】本题考查了面积的计算，等边三角形的性质和切线的性质. 注意所求面积等于四边形ADO1E面积减去扇形O1DE面积的三倍.
二、填空题
11．已知⊙O的半径为5cm，点O到直线 的距离为d，
当d=4cm时，直线 与⊙O ；
当d= 时，直线 与⊙O相切；
当d=6 cm时，直线 与⊙O ．
【答案】相交；5；相离
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据圆心到直线的距离4小于圆的半径5，则直线和圆相交；
根据圆心到直线的距离等于圆的半径，即d=5时，则直线和圆相切；
根据圆心到直线的距离大于圆的半径，则直线和圆相离.
故答案为：相交；5；相离.
【分析】设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则当d＜r时，直线l与⊙O相交；当d=r时，直线l与⊙O相切；当d＞r时，直线l与⊙O相离。
12．（2020·上海模拟）已知在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为 .
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设切点为D，连接CD，如图所示
∵∠C=90 ，AC=3，BC=4，
∴
又∵⊙C与斜边AB相切，
∴CD⊥AB，CD即为⊙C的半径
∴
∴
故答案为 .
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据圆相切的性质得出CD⊥AB，CD即为⊙C的半径，然后根据三角形面积列出等式，即可解得CD
13．（2017·连云港）如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O相交于点C，AB=12，AC=8，则⊙O的半径长为 ．
【答案】5
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OB，
∵AB切⊙O于B，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO=90°，
设⊙O的半径长为r，
由勾股定理得：
r2+122=（8+r）2，
解得r=5．
故答案为：5．
【分析】连接OB，根据切线的性质求出∠ABO=90°，在△ABO中，由勾股定理即可求出⊙O的半径长．
14．（2018九上·南京月考）如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，若∠A=24°，则∠D= °．
【答案】42°
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接OC，DC为切线，
∴OC⊥DC，
即∠OCD=90°，
∵OC=OA，
∴∠OCA=∠A=24°，
∴∠DOC=∠OCA+∠A=24°+24°=48°，
在 Rt△ODC中，∠D+∠DOC=90°，
∴∠D=42°，
故答案为：42°
【分析】连接OC，根据切线的性质得出OC⊥DC，即∠OCD=90°，根据等边对等角得出∠OCA=∠A=24°，根据三角形的外角定理，由∠DOC=∠OCA+∠A算出∠DOC，最后根据直角三角形的两锐角互余算出答案。
15．（2018九上·北京期末）如图，一圆内切于四边形ABCD，且AB=16，CD=10，则四边形ABCD的周长为 ．
【答案】52
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】根据切线的性质可得：AD+BC=AB+CD=26，则四边形的周长为26+26=52．
【分析】由题意可知圆外切四边形的两组对边之和相等，因此四边形ABCD的周长=2（AB+CD），计算即可得出答案。
16．在△ABC中，点I是内心，若∠A=80°，则∠DEF= 度．
【答案】50
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：连接IF，ID，
∵点I是内心，
∴∠ADI=∠AFI=90°，
∵∠A=80°，
∴∠DIF=100°，
∴∠DEF=50°，
故答案为：50．
【分析】连接IF，ID，由点I是内心，得到∠ADI=∠AFI=90°，根据四边形的内角和得到∠DIF=100°，由圆周角定理即可得到结论．
17．（2017九上·宝坻月考）如图，已知∠APB=30°，OP=3cm，⊙O的半径为1cm，若圆心O沿着BP的方向在直线BP上移动．
（1）当圆心O移动的距离为1cm时，则⊙O与直线PA的位置关系是 ．
（2）若圆心O的移动距离是d，当⊙O与直线PA相交时，则d的取值范围是 ．
【答案】（1）相切
（2）1cm＜d＜5cm
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】（1）如图，当点O向左移动1cm时，PO′=PO﹣O′O=3﹣1=2cm，
作O′C⊥PA于C，
∵∠P=30 ，
∴O′C= PO′=1cm，
∵圆的半径为1cm，
∴⊙O与直线PA的位置关系是相切；（2）如图：当点O由O′向右继续移动时，PA与圆相交，
当移动到C″时，相切，
此时C″P=PO′=2，
∴点O移动的距离d的范围满足1cm＜d＜5cm时相交
【分析】（1）求此时点O到PA的距离，该距离等于⊙O半径长，所以⊙O与直线PA相切；（2）当点O在OP上时圆O与PA相切为临界值，点O在BP的延长线上时，相切为临界值，从而可求得点d的取值范围.
18．（2020九上·洛宁期末）如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为（-3，-2），⊙A的半径为1，P为x轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，则当PQ最小时，P点的坐标为（ ）
A．（-3，0） B．（-2，0）
C．（-4，0）或（-2，0） D．（-4，0）
【答案】A
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】连接AQ，AP.
根据切线的性质定理，得AQ⊥PQ；
要使PQ最小，只需AP最小，
则根据垂线段最短，则作AP⊥x轴于P，即为所求作的点P；
此时P点的坐标是（-3，0）.
故答案为：A.
【分析】此题根据切线的性质以及勾股定理，把要求PQ的最小值转化为求AP的最小值，再根据垂线段最短的性质进行分析求解.
三、解答题
19．（2019九上·宜兴期末）如图，AB是 的直径，AC是 的弦过点C的切线交AB的延长线于点D，若 ，试求 的度数.
【答案】解：连结OC，
为 的切线
又
又 ，
，
而 ，
.
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】连接OC，由过点C的切线交AB的延长线于点D，推出 ，推出 ，即 ，由AO=CO，推出 ，推出 ，可得 =90°，推出 ，即可解决问题
20．（2018九上·青海期中）已知：如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，过点 作 于点 ．求证： 是 的切线．
【答案】解：连接OD．∵OD=OB，∴∠B=∠ODB．∵AB=AC，∴∠B=∠C，∴∠C=∠ODB，∴OD∥AC，∴∠ODE=∠DEC；∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°，∴∠ODE=90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】连接OD．根据等边对等角得出∠B=∠ODB，∠B=∠C，故∠C=∠ODB，根据同位角相等，二直线平行得出OD∥AC，根据平行线的性质即可得出∠ODE=90°，即DE⊥OD，故DE是⊙O的切线．
21．如图，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F，若AD=20，求△ABC的周长．
【答案】解：∵，AE、AD、BC分别切⊙O于点E、D、F
∴AD=AE=20，DB=BF，FC=EC
∵△ABC的周长为：AB+BF+CF+AC
∴△ABC的周长为：AB+DB+CE+AC=AD+AE=20+20=40.
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】利用切线长定理可得出AD=AE=20，DB=BF，FC=EC，将△ABC的周长转化为AD+AE，代入计算可得出答案。
22．已知：如图，△ABC三边BC=a，CA=b，AB=c，它的内切圆O的半径长为r．求△ABC的面积S．
【答案】解：设△ABC与O相切与点D，E，F，连接OA、OB、OC、OD、OE、OF。
∴OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.
∴OD=OE=OF=r
∵S△AOB=AB OD=c r
同理，S△OBC=a r，S△OAC=b r.
∵S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，
即S=c r+a r+b r，
∴则S=r(a+b+c)
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【分析】设△ABC与 O相切与点D、E、F．连接OA、OB、OC、OD、OE、OF，根据S△ABC=S△AOB+S△OBC+S△OAC，即可求解。
23．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上（异于A、B两点），AD⊥CD．
①若BC=3，AB=5，求AC的长？
②若AC是∠DAB的平分线，求证：直线CD与⊙O相切．
【答案】解：①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵BC=3，AB=5，
∴AC= = =4；
②证明：连接OC
∵AC是∠DAB的角平分线，
∴∠DAC=∠BAC，
又∵AD⊥DC，
∴∠ADC=∠ACB=90°，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠DCA=∠CBA，
又∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∵∠OAC+∠OBC=90°，
∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°，
∴DC是⊙O的切线．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】①首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC的长即可；②连接OC，证OC⊥CD即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD，即可得到OC∥AD，由于AD⊥CD，那么OC⊥CD，由此得证．
24．如图，AB是圆O的弦，OA⊥OD，AB，OD相交于点C，且CD=BD．
（1）判断BD与圆O的位置关系，并证明你的结论；
（2）当OA=3，OC=1时，求线段BD的长．
【答案】（1）证明：连接OB，
∵OA=OB，DC=DB，
∴∠A=∠ABO，∠DCB=∠DBC，
∵AO⊥OD，
∴∠AOC=90°，即∠A+∠ACO=90°，
∵∠ACO=∠DCB=∠DBC，
∴∠ABO+∠DBC=90°，即OB⊥BD，
则BD为圆O的切线；
（2）解：设BD=x，则OD=x+1，而OB=OA=3，
在Rt△OBD中，OB2+BD2=OD2，
即32+x2=（x+1）2，
解得x=4，
∴线段BD的长是4．
【知识点】切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OB，由BD=CD，利用等边对等角得到∠DCB=∠DBC，再由AO垂直于OD，得到三角形AOC为直角三角形，得到两锐角互余，等量代换得到OB垂直于BD，即可得证；
（2）设BD=x，则OD=x+1，在Rt△OBD中，根据勾股定理得出32+x2=（x+1）2，通过解方程即可求得．
25．如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，半径OD⊥AC于点E，过点D的切线与BA延长线交于点F．
（1）求证：∠CDB=∠BFD；
（2）若AB=10，AC=8，求DF的长．
【答案】解：（1）∵DF与⊙O相切，
∴DF⊥OD，
∵OD⊥AC，
∴DF∥AC，
∴∠CAB=∠BFD，
∴∠CAB=∠BFD，
∴∠CDB=∠BFD；
（2）∵半径OD垂直于弦AC于点E，AC=8，
∴AE=AC=．
∵AB是⊙O的直径，
∴OA=OD=AB=，
在Rt△AEO中，OE===3，
∵AC∥DF，
∴△OAE∽△OFD．
∴，
∴=，
∴DF=．
【知识点】切线的性质
【解析】【分析】（1）根据切线的性质得到DF⊥OD，由于OD⊥AC，推出DF∥AC，根据平行线的性质得到∠CAB=∠BFD，于是得到结论；
（2）利用垂径定理得出AE的长，再利用相似三角形的判定与性质得出FD的长．
1 / 1
