登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
初中数学北师大版九年级上学期 第四章 4.3 相似多边形
一、单选题
1．（2019九上·太原期中）根据中国人民政治协商会议第一届全体会议主席团1949年9月27日公布的国旗制法说明，我国五种规格的国旗旗面为相似矩形.已知一号国旗的标准尺寸是长288cm，高192cm，则下列国旗尺寸不符合标准的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·临潭模拟）如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
3．（2020九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（ ）
A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
4．（2019九上·宁波月考）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝ b B．a＝2b C．a＝2 b D．a＝4b
5．（2019九上·大田期中）如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A．60° B．75° C．87° D．120°
6．（2019九上·未央期末）如下图，四边形ABCD和A’B’C’D’是以点O为位似中心的位似图形，若OA’：OA=3：5，四边形A’B’C’D’的面积为9 cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15cm2 B．25cm2 C．18cm2 D．27cm2
7．（2019九上·莲池期中）如果两个相似多边形的面积比是4：9，那么它们的周长比是（ ）
A．4：9 B．2：3 C． D．16：81
8．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（ ）
A．44.8 cm2 B．45 cm2 C．64 cm2 D．54 cm2
二、填空题
9．如图中图形，其中的相似图形有 和 ； 和 ； 和 ； 和 ； 和 ．
10．（2020八下·高新期末）把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为 。
11．（2020·上海模拟）在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2平方厘米的区域表示的实际面积为 平方米。
12．（2019·抚顺模拟）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2；正六边形A2B2C2D2E2F2的6条对角线又围成一个正六边形A3B3C3D3E3F3…；如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 .
13．一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为 ．
14．（2019九上·定边期中）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为 ，连接CF，则CF= .
三、综合题
15．（2019九上·长春月考）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
（1）α＝
（2）求边x、y的长度．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：根据相似矩形的性质，对应边的比相等，则
A、 ，故A符合标准；
B、 ，故B不符合标准；
C、 ，故C符合标准；
D、 ，故D符合标准；
故答案为：B.
【分析】根据相似矩形的性质，对应边之比相等即可得到答案.
2．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设留下矩形的宽为xcm，
∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
∴ ，
解得
则留下矩形的面积为 .
故答案为：C.
【分析】根据相似多边形的对应边成比例可得比例式求得留下矩形的宽度，再由矩形的面积=长×宽可判断求解.
3．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴，AF=DE，
∴AF·BC=AB·AH，
∵S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，
∴S阴影部分=
=
=
=
∴能求出矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差就一定能求出△BIJ面积.
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的对应边成比例可证得AF·BC=AB·AH，再根据S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，利用矩形的面积公式和三角形的面积公式就可推出S阴影部分=，即可证得一定能求出△BIJ面积的条件的选项。
4．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵将长为a，宽为b的长方形纸片对折两次，
∴小长方形的长为b，宽为
∵原长方形和对折两次后的小长方形相似，
∴
解之：a=2b.
故答案为：B.
【分析】根据已知长为a，宽为b的长方形纸片对折两次，可得到小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例，即可得到a与b的数量关系。
5．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】α的度数是：360 -60 -75 -138 =87
故答案为：C
【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.
6．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD和四边形A’B’C’D’是以点O为位似中心的位似图形，
∴
∴
解之：S四边形ABCD=25
故答案为：B
【分析】根据已知条件：四边形ABCD和四边形A’B’C’D’是以点O为位似中心的位似图形，就可得到这两个四边形是相似形，利用相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，就可求出四边形ABCD的面积。
7．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】相似多边形的面积比等于相似比的平方，故相似多边形的相似比为2∶3，相似多边形周长比等于相似比。
故答案为：B。
【分析】由相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比可得。
8．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设大六边形的面积为xcm2，则小六边形的面积为（x﹣28）cm2，
∵两个六边形相似，
∴ =（ ）2，
解得，x=64，
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，可求解。
9．【答案】①；⑦；②；⑩；③； ；⑤；⑨；⑥；
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：相似图形有①和⑦；②和⑩；③和 ；⑤和⑨；⑥和 ．
【分析】根据相似图形的定义判断。
10．【答案】2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得x=2（负值舍去），
故原长方形的宽为2.
【分析】根据相似图形的对应边相等即可得到关于x的方程，求解即可.
11．【答案】20000
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：设实际面积为x平方厘米，根据题意得
解得x=2×108
2×108平方厘米=20000平方米.
【分析】利用相似图形的面积比等于相似比的平方的性质求解即可。
12．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，
∴B1B2＝ A1B1＝ ，
∴A2B2＝ A1B2＝B1B2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积＝ × ＝ ，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积＝（ ）3× ＝ ；
故答案为： .
【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，进而得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，结合正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，即可得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，以此类推，即可得到答案.
13．【答案】6
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设另一个六边形的最短边的长为x，
根据题意得 = ，
解得x=6，
即另一个六边形的最短边的长为6．
故答案为6
【分析】利用相似多边形的周长比等于相似比，建立关于x的方程，求解即可。
14．【答案】5或 .
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】延长GF交BC于M.∵四边形AEFG和ABCD是矩形，∴GF∥AE.∵AB⊥BC，∴GM⊥BC，分两种情况：
①当AD与AG对应时.∵相似比为 .∵AB=12，AD=BC=9，∴EF=AG=BM=6，GF=AE=8，∴FM=12﹣8=4，CM=9﹣6=3.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= =5。
②当AD与AE对应时.∵相似比为 ，∴AG=8，AE=6，∴FM=12﹣6=6，CM=9﹣8=1.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= = .
故答案为：5或 .
【分析】若矩形AEFG与矩形ABCD相似，没确定哪两条边相似，所以分两种情况：①当AD与AG对应时，先根据相似比求AG和AE的长，利用线段的差求FM和CM的长，根据勾股定理求CF的长；②当AD与AE对应时，同理可得CF的长.
15．【答案】（1）83°
（2）解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴ ＝ ＝ ，
解得：x＝12，y＝ ．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°，
∴α＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，
故答案为：83°；
【分析】（1）根据相似图形的对应角相等可求出∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°，然后在四边形A′B′C′D′中，利用四边形的内角和等于360°求出α即可；
（2）根据相似图形的对应边成比例可得，解出x、y即可。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
初中数学北师大版九年级上学期 第四章 4.3 相似多边形
一、单选题
1．（2019九上·太原期中）根据中国人民政治协商会议第一届全体会议主席团1949年9月27日公布的国旗制法说明，我国五种规格的国旗旗面为相似矩形.已知一号国旗的标准尺寸是长288cm，高192cm，则下列国旗尺寸不符合标准的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：根据相似矩形的性质，对应边的比相等，则
A、 ，故A符合标准；
B、 ，故B不符合标准；
C、 ，故C符合标准；
D、 ，故D符合标准；
故答案为：B.
【分析】根据相似矩形的性质，对应边之比相等即可得到答案.
2．（2020·临潭模拟）如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设留下矩形的宽为xcm，
∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
∴ ，
解得
则留下矩形的面积为 .
故答案为：C.
【分析】根据相似多边形的对应边成比例可得比例式求得留下矩形的宽度，再由矩形的面积=长×宽可判断求解.
3．（2020九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（ ）
A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴，AF=DE，
∴AF·BC=AB·AH，
∵S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，
∴S阴影部分=
=
=
=
∴能求出矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差就一定能求出△BIJ面积.
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的对应边成比例可证得AF·BC=AB·AH，再根据S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，利用矩形的面积公式和三角形的面积公式就可推出S阴影部分=，即可证得一定能求出△BIJ面积的条件的选项。
4．（2019九上·宁波月考）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A．a＝ b B．a＝2b C．a＝2 b D．a＝4b
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵将长为a，宽为b的长方形纸片对折两次，
∴小长方形的长为b，宽为
∵原长方形和对折两次后的小长方形相似，
∴
解之：a=2b.
故答案为：B.
【分析】根据已知长为a，宽为b的长方形纸片对折两次，可得到小长方形的长和宽，再根据相似多边形的对应边成比例，即可得到a与b的数量关系。
5．（2019九上·大田期中）如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A．60° B．75° C．87° D．120°
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】α的度数是：360 -60 -75 -138 =87
故答案为：C
【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.
6．（2019九上·未央期末）如下图，四边形ABCD和A’B’C’D’是以点O为位似中心的位似图形，若OA’：OA=3：5，四边形A’B’C’D’的面积为9 cm2，则四边形ABCD的面积为（ ）
A．15cm2 B．25cm2 C．18cm2 D．27cm2
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵ 四边形ABCD和四边形A’B’C’D’是以点O为位似中心的位似图形，
∴
∴
解之：S四边形ABCD=25
故答案为：B
【分析】根据已知条件：四边形ABCD和四边形A’B’C’D’是以点O为位似中心的位似图形，就可得到这两个四边形是相似形，利用相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，就可求出四边形ABCD的面积。
7．（2019九上·莲池期中）如果两个相似多边形的面积比是4：9，那么它们的周长比是（ ）
A．4：9 B．2：3 C． D．16：81
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】相似多边形的面积比等于相似比的平方，故相似多边形的相似比为2∶3，相似多边形周长比等于相似比。
故答案为：B。
【分析】由相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比可得。
8．两个相似的六边形，如果一组对应边的长分别为3cm，4cm，且它们面积的差为28cm2，则较大的六边形的面积为（ ）
A．44.8 cm2 B．45 cm2 C．64 cm2 D．54 cm2
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设大六边形的面积为xcm2，则小六边形的面积为（x﹣28）cm2，
∵两个六边形相似，
∴ =（ ）2，
解得，x=64，
故答案为：C．
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，可求解。
二、填空题
9．如图中图形，其中的相似图形有 和 ； 和 ； 和 ； 和 ； 和 ．
【答案】①；⑦；②；⑩；③； ；⑤；⑨；⑥；
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：相似图形有①和⑦；②和⑩；③和 ；⑤和⑨；⑥和 ．
【分析】根据相似图形的定义判断。
10．（2020八下·高新期末）把一个长方形按如图方式划分成三个全等的小长方形，每一个小长方形与原长方形相似，若小长方形的宽为2，则原长方形的宽x为 。
【答案】2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：根据题意得，
解得x=2（负值舍去），
故原长方形的宽为2.
【分析】根据相似图形的对应边相等即可得到关于x的方程，求解即可.
11．（2020·上海模拟）在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2平方厘米的区域表示的实际面积为 平方米。
【答案】20000
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：设实际面积为x平方厘米，根据题意得
解得x=2×108
2×108平方厘米=20000平方米.
【分析】利用相似图形的面积比等于相似比的平方的性质求解即可。
12．（2019·抚顺模拟）如图，正六边形A1B1C1D1E1F1的边长为1，它的6条对角线围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2；正六边形A2B2C2D2E2F2的6条对角线又围成一个正六边形A3B3C3D3E3F3…；如此继续下去，则六边形A4B4C4D4E4F4的面积是 .
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，
∴B1B2＝ A1B1＝ ，
∴A2B2＝ A1B2＝B1B2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1∽正六边形A2B2C2D2E2F2，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，
∵正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，
∴正六边形A2B2C2D2E2F2的面积＝ × ＝ ，
同理：正六边形A4B4C4D4E4F4的面积＝（ ）3× ＝ ；
故答案为： .
【分析】由正六边形的性质得：∠A1B1B2＝90°，∠B1A1B2＝30°，A1A2＝A2B2，进而得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积：正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝（ ）2＝ ，结合正六边形A1B1C1D1E1F1的面积＝6× ×1× ＝ ，即可得到正六边形A2B2C2D2E2F2的面积，以此类推，即可得到答案.
13．一个六边形的六边长分别为3，4，5，6，7，8，另一个与其相似的六边形的周长为66，则与其相似的六边形的最短边为 ．
【答案】6
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设另一个六边形的最短边的长为x，
根据题意得 = ，
解得x=6，
即另一个六边形的最短边的长为6．
故答案为6
【分析】利用相似多边形的周长比等于相似比，建立关于x的方程，求解即可。
14．（2019九上·定边期中）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为 ，连接CF，则CF= .
【答案】5或 .
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】延长GF交BC于M.∵四边形AEFG和ABCD是矩形，∴GF∥AE.∵AB⊥BC，∴GM⊥BC，分两种情况：
①当AD与AG对应时.∵相似比为 .∵AB=12，AD=BC=9，∴EF=AG=BM=6，GF=AE=8，∴FM=12﹣8=4，CM=9﹣6=3.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= =5。
②当AD与AE对应时.∵相似比为 ，∴AG=8，AE=6，∴FM=12﹣6=6，CM=9﹣8=1.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= = .
故答案为：5或 .
【分析】若矩形AEFG与矩形ABCD相似，没确定哪两条边相似，所以分两种情况：①当AD与AG对应时，先根据相似比求AG和AE的长，利用线段的差求FM和CM的长，根据勾股定理求CF的长；②当AD与AE对应时，同理可得CF的长.
三、综合题
15．（2019九上·长春月考）如图，四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′．
（1）α＝
（2）求边x、y的长度．
【答案】（1）83°
（2）解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴ ＝ ＝ ，
解得：x＝12，y＝ ．
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，
∴∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°，
∴α＝360°﹣62°﹣75°﹣140°＝83°，
故答案为：83°；
【分析】（1）根据相似图形的对应角相等可求出∠A＝∠A′＝62°，∠B＝∠B′＝75°，然后在四边形A′B′C′D′中，利用四边形的内角和等于360°求出α即可；
（2）根据相似图形的对应边成比例可得，解出x、y即可。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
