初中数学北师大版九年级下学期 第一章 1.1 锐角三角函数
第一章 1.1 锐角三角函数
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题
1．（2020·大通模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·临潭模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3,AC=4，
则sinA的值为（ ）.
A． B． C． D．
3．（2020·亳州模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（ ）
A．a tanα B．a cotα C．a sinα D．a cosα
4．（2020·成都模拟） 中， ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·福清模拟）如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九下·镇平月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，∠C=90°，AB=6，BC=2，则下列三角函数表示正确的是（ ）
A．sinA= B．cosB=2 C．tanA= D．cosA=
8．（2020九上·昌平期末）点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（ ， ） B．（- ， ）
C．（- ，- ） D．（- ，- ）
二、填空题
9．（2020九下·镇江月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是 .
10．（2019·甘肃）在△ABC中∠C＝90°，tanA＝ ，则cosB＝ .
11．（2019·雅安）在 Rt△ABC中， ， ，则 ．
12．（2019九上·罗湖期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝1，则cosA的值是 ．
13．（2020九上·长春期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD= ．
14．（2020·莘县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，tan∠BCD= ，AC=12，则BC= 。
15．（2020·绵阳模拟）为解决停车难得问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位（ ）
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB= ，B符合题意
∵AD⊥BC，∴sinB= ，A符合题意
sinB=sin∠DAC= ，D符合题意
综上，只有C不符合题意
故答案为：C．
【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答．
2．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠C=90°，BC=3,AC=4
∴
∴
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理求出AB，并根据正弦公式：sinA= 求解即可.
3．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，
∵cotα ，
∴AC＝BC cotα＝a cotα，
故答案为：B．
【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.
4．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵ ， ， ，
∴BC= ，
∴ = .
故答案为：D.
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，然后根据余弦的定义求解即可.
5．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示，在Rt△ABD中，
tanB＝ ＝ ．
故答案为：A．
【分析】根据锐角三角函数的定义，直接计算得结论．
6．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=90°，AB=3，BC=5，
∴cosB= = .
故答案为：A.
【分析】根据余弦函数的定义可知cosB= 即可直接得出答案.
7．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=6，BC=2，
∴，
∴sinA=，cosB=，tanA=，cosA=，
故选项A错误，选项B错误，选项C正确，选项D错误；
故选C．
【分析】根据在△ABC中，∠C=90°，AB=6，BC=2，可以求出AC的长，从而可以求出选项中几个角的锐角三角函数值，从而可以解答本题．
8．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵sin60°= ，cos60°= ，
∴（-sin60°，cos60°）=（- ， ），
关于y轴对称点的坐标是（ ， ）．
故答案为：A．
【分析】先利用特殊三角函数值，求出sin60°、cos60°的值，再利用坐标系中，任一点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即可求．
9．【答案】2
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD，
在Rt△AOB中，∵tan∠BAO=，
∴，
即：，
∴BO=1，
∴BD=2BO=2.
故答案为：2.
【分析】根据菱形的性质，得到AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD，再在Rt△AOB中，根据正切函数的定义，求出BO，进而求出BD的长.
10．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，
设a＝ x，b＝3x，则c＝2 x，
∴cosB＝ .
故答案为： .
【分析】根据正切函数的定义，由tanA＝ ，可设a＝ x，b＝3x，根据勾股定理得出c＝2 x，进而即可根据余弦函数的定义求出 cosB 的值.
11．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在 中， ，
故答案为： ．
【分析】根据sinA=计算即可.
12．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝1，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
则cosA＝ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】先利用勾股定理求得AC的长，然后根据锐角三角函数的定义求得cosA的值即可。
13．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，如图所示．
∵点B为CF的中点，点E为DF的中点，
∴BE∥CD，
∴∠AOD＝∠ABE．
在△ABE中，AB＝ ，AE＝2 ，BE＝ ，
∵AB2＝AE2＋BE2，
∴∠AEB＝90°，
∴cos∠ABE＝ ＝
∴cos∠AOD＝
故答案为： .
【分析】设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，由点B为CF的中点、点E为DF的中点可得出BE∥CD，进而可得出∠AOD＝∠ABE，在△ABE中，由AB2＝AE2＋BE2可得出∠AEB＝90°，再利用余弦的定义即可求出cos∠ABE的值，此题得解．
14．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°
∴∠A=∠BCD
∴tan∠A=tan∠BCD=
即
∴BC=AC=9.
【分析】先利用余角关系证出∠A=∠BCD，利用等角对应三角函数值相等得tan∠A=tan∠BCD，即，则BC=AC=9，从而得解。
15．【答案】17
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
CE=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.1米，
BC=（5-CE× ）× ≈1.98米，
BE=BC+CE≈5.04，
EF=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.1米，
（56-3.1-1.98）÷3.1+1
=50.92÷3.1+1
≈17（个）．
故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．
故答案为：17．
【分析】如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56-BE）÷EF+1，列式计算即可求解．
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第一章 1.1 锐角三角函数
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题
1．（2020·大通模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，sinB= ，B符合题意
∵AD⊥BC，∴sinB= ，A符合题意
sinB=sin∠DAC= ，D符合题意
综上，只有C不符合题意
故答案为：C．
【分析】根据锐角三角函数的定义，即可解答．
2．（2020·临潭模拟）如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，BC=3,AC=4，
则sinA的值为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵∠C=90°，BC=3,AC=4
∴
∴
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理求出AB，并根据正弦公式：sinA= 求解即可.
3．（2020·亳州模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果∠A＝α，BC＝a，那么AC等于（ ）
A．a tanα B．a cotα C．a sinα D．a cosα
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，∠C＝90°，∠A＝α，BC＝a，
∵cotα ，
∴AC＝BC cotα＝a cotα，
故答案为：B．
【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可.
4．（2020·成都模拟） 中， ， ， ，则 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵ ， ， ，
∴BC= ，
∴ = .
故答案为：D.
【分析】先根据勾股定理求出BC的长，然后根据余弦的定义求解即可.
5．（2020·福清模拟）如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tanB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图所示，在Rt△ABD中，
tanB＝ ＝ ．
故答案为：A．
【分析】根据锐角三角函数的定义，直接计算得结论．
6．（2020九下·镇平月考）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，则cosB等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=90°，AB=3，BC=5，
∴cosB= = .
故答案为：A.
【分析】根据余弦函数的定义可知cosB= 即可直接得出答案.
7．在△ABC中，∠C=90°，AB=6，BC=2，则下列三角函数表示正确的是（ ）
A．sinA= B．cosB=2 C．tanA= D．cosA=
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，AB=6，BC=2，
∴，
∴sinA=，cosB=，tanA=，cosA=，
故选项A错误，选项B错误，选项C正确，选项D错误；
故选C．
【分析】根据在△ABC中，∠C=90°，AB=6，BC=2，可以求出AC的长，从而可以求出选项中几个角的锐角三角函数值，从而可以解答本题．
8．（2020九上·昌平期末）点（-sin60°，cos60°）关于y轴对称的点的坐标是（ ）
A．（ ， ） B．（- ， ）
C．（- ，- ） D．（- ，- ）
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵sin60°= ，cos60°= ，
∴（-sin60°，cos60°）=（- ， ），
关于y轴对称点的坐标是（ ， ）．
故答案为：A．
【分析】先利用特殊三角函数值，求出sin60°、cos60°的值，再利用坐标系中，任一点（x，y）关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即可求．
二、填空题
9．（2020九下·镇江月考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= ，AC=6，则BD的长是 .
【答案】2
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD，
在Rt△AOB中，∵tan∠BAO=，
∴，
即：，
∴BO=1，
∴BD=2BO=2.
故答案为：2.
【分析】根据菱形的性质，得到AC⊥BD，AO=AC=3，BO=BD，再在Rt△AOB中，根据正切函数的定义，求出BO，进而求出BD的长.
10．（2019·甘肃）在△ABC中∠C＝90°，tanA＝ ，则cosB＝ .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA＝ ，
设a＝ x，b＝3x，则c＝2 x，
∴cosB＝ .
故答案为： .
【分析】根据正切函数的定义，由tanA＝ ，可设a＝ x，b＝3x，根据勾股定理得出c＝2 x，进而即可根据余弦函数的定义求出 cosB 的值.
11．（2019·雅安）在 Rt△ABC中， ， ，则 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在 中， ，
故答案为： ．
【分析】根据sinA=计算即可.
12．（2019九上·罗湖期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝1，则cosA的值是 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝4，BC＝1，
∴AC＝ ＝ ＝ ，
则cosA＝ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】先利用勾股定理求得AC的长，然后根据锐角三角函数的定义求得cosA的值即可。
13．（2020九上·长春期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，则cos∠AOD= ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，如图所示．
∵点B为CF的中点，点E为DF的中点，
∴BE∥CD，
∴∠AOD＝∠ABE．
在△ABE中，AB＝ ，AE＝2 ，BE＝ ，
∵AB2＝AE2＋BE2，
∴∠AEB＝90°，
∴cos∠ABE＝ ＝
∴cos∠AOD＝
故答案为： .
【分析】设右下角顶点为点F，取DF的中点E，连接BE，AE，由点B为CF的中点、点E为DF的中点可得出BE∥CD，进而可得出∠AOD＝∠ABE，在△ABE中，由AB2＝AE2＋BE2可得出∠AEB＝90°，再利用余弦的定义即可求出cos∠ABE的值，此题得解．
14．（2020·莘县模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，tan∠BCD= ，AC=12，则BC= 。
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°
∴∠A=∠BCD
∴tan∠A=tan∠BCD=
即
∴BC=AC=9.
【分析】先利用余角关系证出∠A=∠BCD，利用等角对应三角函数值相等得tan∠A=tan∠BCD，即，则BC=AC=9，从而得解。
15．（2020·绵阳模拟）为解决停车难得问题，在如图一段长56米的路段开辟停车位，每个车位是长5米、宽2.2米的矩形，矩形的边与路的边缘成45°角，那么这个路段最多可以划出 个这样的停车位（ ）
【答案】17
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，
CE=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.1米，
BC=（5-CE× ）× ≈1.98米，
BE=BC+CE≈5.04，
EF=2.2÷sin45°=2.2÷ ≈3.1米，
（56-3.1-1.98）÷3.1+1
=50.92÷3.1+1
≈17（个）．
故这个路段最多可以划出17个这样的停车位．
故答案为：17．
【分析】如图，根据三角函数可求BC，CE，由BE=BC+CE可求BE，再根据三角函数可求EF，再根据停车位的个数=（56-BE）÷EF+1，列式计算即可求解．
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