初中数学华师大版九年级上学期 第23章 23.2 相似图形
一、单选题
1．（2020九上·苏州期末）下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（ ）
A．三角形 B．平行四边形 C．抛物线 D．圆
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、所有的三角形不一定相似，故A不符合题意；
B、平行四边形不一定相似，故B不符合题意；
C、抛物线不一定相似，故C不符合题意；
D、所有的圆都是相似形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据形状相同，大小不一定相等的两个图形相似，再对各选项逐一判断，可求解。
2．（2019九上·长兴月考）如图，将图形用放大镜放大，所用的图形改变是（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．相似
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：用放大镜将图形放大，所得的图形改变是相似.
故答案为：D.
【分析】用放大镜将图形放大，前后图形的形状不变，只是图形的大小改变，即可得出答案。
3．（2020·临潭模拟）如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设留下矩形的宽为xcm，
∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
∴ ，
解得
则留下矩形的面积为 .
故答案为：C.
【分析】根据相似多边形的对应边成比例可得比例式求得留下矩形的宽度，再由矩形的面积=长×宽可判断求解.
4．（2020九上·岐山期末）如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（ ）
A．1： B． ：1 C．2：1 D．4：1
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
设AB=a， BC=b，
∵矩形ABCD∽矩形BEFA，
∴AB：BC=AF：AB，
∴a：b=b：a，
∴a2=b2，
∴b：a=：1，
故答案为：B.
【分析】设短边AB=a， 长边BC=b， 由相似多边形的性质列式即可求出矩形的长边与短边的比值.
5．（2020九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（ ）
A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴，AF=DE，
∴AF·BC=AB·AH，
∵S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，
∴S阴影部分=
=
=
=
∴能求出矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差就一定能求出△BIJ面积.
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的对应边成比例可证得AF·BC=AB·AH，再根据S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，利用矩形的面积公式和三角形的面积公式就可推出S阴影部分=，即可证得一定能求出△BIJ面积的条件的选项。
6．（2020九上·鄞州期末）如果两个相似多边形的面积之比为1：4，那么它们的周长之比是( ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比为1：4，
∴这两个多边形的周长比为1:2.
故答案为：A.
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可解答。
7．（2019九上·大田期中）如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A．60° B．75° C．87° D．120°
【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】α的度数是：360 -60 -75 -138 =87
故答案为：C
【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.
二、填空题
8．（2020·淮安模拟）一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则另一个四边形的最长边是 .
【答案】12
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】两个相似的四边形，一个最短的边是3，另一个最短边长为6，
则相似比是3：6=1：2，
根据相似四边形的对应边的比相等，设后一个四边形的最长边的长为x，
则6：x=1：2，
解得：x=12.
即后一个四边形的最长边的长为12.
故答案为：12.
【分析】根据相似四边形的对应边的比相等进行解答即可.
9．（2020·上海模拟）在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2平方厘米的区域表示的实际面积为 平方米。
【答案】20000
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：设实际面积为x平方厘米，根据题意得
解得x=2×108
2×108平方厘米=20000平方米.
【分析】利用相似图形的面积比等于相似比的平方的性质求解即可。
10．（2020·淮安模拟）若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的面积比等于 ．
【答案】4：9
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵两个相似多边形的相似比为2:3，
∴它们的面积比 ．
故答案为： ．
【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．
11．（2019九上·定边期中）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为 ，连接CF，则CF= .
【答案】5或 .
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】延长GF交BC于M.∵四边形AEFG和ABCD是矩形，∴GF∥AE.∵AB⊥BC，∴GM⊥BC，分两种情况：
①当AD与AG对应时.∵相似比为 .∵AB=12，AD=BC=9，∴EF=AG=BM=6，GF=AE=8，∴FM=12﹣8=4，CM=9﹣6=3.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= =5。
②当AD与AE对应时.∵相似比为 ，∴AG=8，AE=6，∴FM=12﹣6=6，CM=9﹣8=1.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= = .
故答案为：5或 .
【分析】若矩形AEFG与矩形ABCD相似，没确定哪两条边相似，所以分两种情况：①当AD与AG对应时，先根据相似比求AG和AE的长，利用线段的差求FM和CM的长，根据勾股定理求CF的长；②当AD与AE对应时，同理可得CF的长.
三、综合题
12．（2019九上·慈溪月考）一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；
（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期 第23章 23.2 相似图形
一、单选题
1．（2020九上·苏州期末）下列图形中，任意两个图形一定是相似图形的是（ ）
A．三角形 B．平行四边形 C．抛物线 D．圆
2．（2019九上·长兴月考）如图，将图形用放大镜放大，所用的图形改变是（ ）
A．平移 B．轴对称 C．旋转 D．相似
3．（2020·临潭模拟）如图所示，在长为8 cm，宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下矩形的面积是（ ）
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
4．（2020九上·岐山期末）如果一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（ ）
A．1： B． ：1 C．2：1 D．4：1
5．（2020九上·鄞州期末）如图，矩形ABCD∽矩形FAHG，连结BD，延长GH分别交BD、BC于点Ⅰ、J，延长CD、FG交于点E，一定能求出△BIJ面积的条件是（ ）
A．矩形ABJH和矩形HJCD的面积之差
B．矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差
C．矩形ABCD和矩形AHGF的面积之差
D．矩形FBJG和矩形GJCE的面积之差
6．（2020九上·鄞州期末）如果两个相似多边形的面积之比为1：4，那么它们的周长之比是( ）
A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16
7．（2019九上·大田期中）如图所示的两个四边形相似，则α的度数是( )
A．60° B．75° C．87° D．120°
二、填空题
8．（2020·淮安模拟）一个四边形的边长分别是3，4，5，6，另一个与它相似的四边形最小边长为6，则另一个四边形的最长边是 .
9．（2020·上海模拟）在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2平方厘米的区域表示的实际面积为 平方米。
10．（2020·淮安模拟）若两个相似多边形的相似比是2：3，则它们的面积比等于 ．
11．（2019九上·定边期中）如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=9，点E，G分别为边AB，AD上的点，若矩形AEFG与矩形ABCD相似，且相似比为 ，连接CF，则CF= .
三、综合题
12．（2019九上·慈溪月考）一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、所有的三角形不一定相似，故A不符合题意；
B、平行四边形不一定相似，故B不符合题意；
C、抛物线不一定相似，故C不符合题意；
D、所有的圆都是相似形，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据形状相同，大小不一定相等的两个图形相似，再对各选项逐一判断，可求解。
2．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：用放大镜将图形放大，所得的图形改变是相似.
故答案为：D.
【分析】用放大镜将图形放大，前后图形的形状不变，只是图形的大小改变，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设留下矩形的宽为xcm，
∵留下的矩形（图中阴影部分）与原矩形相似，
∴ ，
解得
则留下矩形的面积为 .
故答案为：C.
【分析】根据相似多边形的对应边成比例可得比例式求得留下矩形的宽度，再由矩形的面积=长×宽可判断求解.
4．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
设AB=a， BC=b，
∵矩形ABCD∽矩形BEFA，
∴AB：BC=AF：AB，
∴a：b=b：a，
∴a2=b2，
∴b：a=：1，
故答案为：B.
【分析】设短边AB=a， 长边BC=b， 由相似多边形的性质列式即可求出矩形的长边与短边的比值.
5．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵ 矩形ABCD∽矩形FAHG，
∴，AF=DE，
∴AF·BC=AB·AH，
∵S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，
∴S阴影部分=
=
=
=
∴能求出矩形ABJH和矩形HDEG的面积之差就一定能求出△BIJ面积.
故答案为：B.
【分析】利用相似多边形的对应边成比例可证得AF·BC=AB·AH，再根据S阴影部分=S矩形ABCD+S矩形AHGF-S△BFG，利用矩形的面积公式和三角形的面积公式就可推出S阴影部分=，即可证得一定能求出△BIJ面积的条件的选项。
6．【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵两个相似多边形的面积之比为1：4，
∴这两个多边形的周长比为1:2.
故答案为：A.
【分析】根据相似多边形的面积比等于相似比的平方，即可解答。
7．【答案】C
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】α的度数是：360 -60 -75 -138 =87
故答案为：C
【分析】根据相似多边形性质：对应角相等.
8．【答案】12
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】两个相似的四边形，一个最短的边是3，另一个最短边长为6，
则相似比是3：6=1：2，
根据相似四边形的对应边的比相等，设后一个四边形的最长边的长为x，
则6：x=1：2，
解得：x=12.
即后一个四边形的最长边的长为12.
故答案为：12.
【分析】根据相似四边形的对应边的比相等进行解答即可.
9．【答案】20000
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：设实际面积为x平方厘米，根据题意得
解得x=2×108
2×108平方厘米=20000平方米.
【分析】利用相似图形的面积比等于相似比的平方的性质求解即可。
10．【答案】4：9
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】∵两个相似多边形的相似比为2:3，
∴它们的面积比 ．
故答案为： ．
【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方即可得出结论．
11．【答案】5或 .
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】延长GF交BC于M.∵四边形AEFG和ABCD是矩形，∴GF∥AE.∵AB⊥BC，∴GM⊥BC，分两种情况：
①当AD与AG对应时.∵相似比为 .∵AB=12，AD=BC=9，∴EF=AG=BM=6，GF=AE=8，∴FM=12﹣8=4，CM=9﹣6=3.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= =5。
②当AD与AE对应时.∵相似比为 ，∴AG=8，AE=6，∴FM=12﹣6=6，CM=9﹣8=1.在Rt△CMF中，由勾股定理得：CF= = .
故答案为：5或 .
【分析】若矩形AEFG与矩形ABCD相似，没确定哪两条边相似，所以分两种情况：①当AD与AG对应时，先根据相似比求AG和AE的长，利用线段的差求FM和CM的长，根据勾股定理求CF的长；②当AD与AE对应时，同理可得CF的长.
12．【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，
∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）由题意可知矩形DMNC与矩形ABCD相似，根据相似多边形对应边的比相等列出比例式，就可以得到它的另一边长；
（2）根据相似矩形对应边成比例列出比例式求出DF的长，再根据矩形面积公式求解即可．
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