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初中数学北师大版九年级上学期 第四章 4.4 探索三角形相似的条件
一、单选题
1．（2020·涡阳模拟）如图，点 、 分别在 的边 、 上，且 与 不平行．下列条件中，能判定 与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解:在 与 中，
∵ ，且 ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．
2．（2020·上海模拟）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；② ；③ ．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠DAE＝∠BAC，
∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意，
当 时，
∵∠B不一定等于∠AED，
∴△ADE与△ACB不一定相似，故②不符合题意，
当 时，△ADE∽△ACB．故③符合题意，
综上所述：使△ADE与△ACB一定相似的是①③，
故答案为：C．
【分析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正确；即可得出结果．
3．（2020·宁波模拟）已知△ABC的三边长为8，12，18，又知△A1B1C1也有一边长为12，且与△ABC相似而不全等，则这样的△A1B1C1的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长为8，12，18，又知△A1B1C1也有一边长为12，且与△ABC相似而不全等，
∴△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为8的边为对应边或△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为18的边为对应边.
∴这样的△A1B1C1有2个.
故答案为：C.
【分析】抓住已知条件中的△ABC与△A1B1C1不全等，就可得到△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为8的边为对应边或△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为18的边为对应边，即可得到满足条件的△A1B1C1的个数。
4．（2020九上·来宾期末）如图，AB∥CD，AC，BD，EF相交于点O，则图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】C
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOE∽△COF，△BOE∽△DOF，△ABO∽△CDO，
相似三角形有3对.
故答案为：C.
【分析】利用已知AB∥CD，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得出一共有相似三角形的对数。
5．（2019九上·阜宁月考）下列说法中正确的是（ ）
A．两个等腰三角形相似
B．有一个内角是30°的两个直角三角形相似
C．有一个锐角是30°的两个等腰三角形相似
D．两个直角三角形相似
【答案】B
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、不正确，因为没有说明角或边相等的条件，故不一定相似；
B、正确，因为其三对角均对应相等，符合相似三角形的判定条件，故一定相似．
C、不正确，因为30°的角可以为底角也可以为顶角，故两三角形不一定相似；
D、不正确，只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故不一定相似；
故选：B．
【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
6．（2019九上·邓州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.CD是斜边AB上的高，若得到CD2=BD AD这个结论可证明（ ）
A．△ADC∽△ACB B．△BDC∽△BCA
C．△ADC∽△CBD D．无法判断
【答案】C
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意可得： ，结合∠ADC=∠CDB可得：△ADC∽△CBD.
故答案为：△ADC∽△CBD.
【分析】由乘积式 CD2=BD AD 可得，然后根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断出△ADC∽△CBD.
7．（2019九上·清江浦月考）如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,BC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】A、根据两角对应相等的两个三角形相似进行判断；
B、根据两角对应相等的两个三角形相似进行判断；
C、根据三边对应成比例的两个三角形相似进行判断；
D、根据两边对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断.
8．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：因为 中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故答案为：B．
【分析】利用网格的特点知∠A1B1C1=135°，B选项中有一个角为135°，利用勾股定理分别求出135°角的两邻边的长，可得两邻边之比相等，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断即可.
9．（2020·松江模拟）下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．两条直角边的比都是 的两个直角三角形
B．腰与底的比都是 的两个等腰三角形
C．有一个内角为 的两个直角三角形
D．有一个内角为 的两个等腰三角形
【答案】D
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A. 两条直角边的比都是 的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故符合题意，不符合题意；
B. 腰与底的比都是 的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故符合题意，不符合题意；
C. 有一个内角为 的两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相似，故符合题意，不符合题意；
D. 有一个内角为 的两个等腰三角形，内角是 的等腰三角形需要注意的是，这个角是顶角还是底角，情况不一样不一定相似.
故答案为：D.
【分析】根据图形相似的定义判定，用排除法求解．
二、填空题
10．（2020八下·高新期末）如图，在△ABC与△AED中， ,添加一个条件，使△ABC与△AED相似，这个条件可以是 。
【答案】∠BAD=∠CAE（答案不唯一）
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：可添加条件∠BAD=∠CAE（答案不唯一）.
【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答.
11．（2020九下·齐齐哈尔期中）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E， ，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有 对．
【答案】3
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠CPD=∠B，∠C=∠C，
∴△PCF∽△BCP
∵∠CPD=∠A，∠D=∠D，
∴△APD∽△PGD
∵∠CPD=∠A=∠B，∠APG=∠B+∠C，∠BFP=∠CPD+∠C
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP
则图中相似三角形有3对
【分析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角．
12．（2019·湖州模拟）如图,在正方形网格上有6个斜三角形:
①△ABC,②△CDB,③△DEB,④△FBG,⑤△HGF,⑥△EKF.
在②~⑥中,与①相似的三角形的序号是 .(把你认为正确的都填上)
【答案】③④⑤
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：②△CDB中CD:BC:BD=1: :2 ;
③△DEB中DE：BD：BE=2： ： =1： ： ;
④△FBG中，FB：FG：BG= ： ：5=1： ： ;
⑤△HGF中，HG：HF：FG= ：2： =1： ： ；
⑥△EKF中，KE:EF:FK= : :3.
其它两个三角形的三边之比不符合，故与①相似的三角形的序号是③④⑤．
故答案为：③④⑤
【分析】利用勾股定理可求出△ABC的三边之比为：1： ： ;再利用勾股定理分别求出△CDB，△DEB，△FBG，△HGF，△EKF的三边之比，从而可得到与△ABC相似的三角形的序号。
三、解答题
13．（2020·大通模拟）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6.求证：△ADE∽△ACB．
【答案】证明：∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，
∴ ＝ ＝ ，
又∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB.
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据已知的线段长度知 ＝ ，又∠DAE＝∠CAB可得△ADE∽△ACB.
14．（2020·临潭模拟）如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.
【答案】解:∵AD=DB,
∴∠B=∠BAD,
∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE,
∴∠C=∠ADE,
∴△ABC∽△EAD.
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先根据等边对等角可得: ∠B=∠BAD,继而可得:∠C=∠ADE,利用两角相等可判定两三角形相似.
15．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC=4，AD=6，CD=2．求证：△BCD∽△ACB．
【答案】证明：∵BC=4，AD=6，CD=2，∴AC=8∴∴，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
16．（2019九上·未央期末）如图，在等腰△ABC巾，AD是顶角∠BAC的角平分线，BE是腰AC边上的高，垂足为点E，求证：△ACD∽△BCE．
【答案】证明：∵在等腰 中， 是顶角 的平分线，
∴ ⊥ ，
∴ ，
∵ 是腰 边上的高，垂足为 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ∽
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用等腰三角形三线合一的性质，可证得∠ADC=90°，再利用三角形高的定义证明∠ADC=∠BEC，再利用有两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
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初中数学北师大版九年级上学期 第四章 4.4 探索三角形相似的条件
一、单选题
1．（2020·涡阳模拟）如图，点 、 分别在 的边 、 上，且 与 不平行．下列条件中，能判定 与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·上海模拟）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；② ；③ ．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
3．（2020·宁波模拟）已知△ABC的三边长为8，12，18，又知△A1B1C1也有一边长为12，且与△ABC相似而不全等，则这样的△A1B1C1的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
4．（2020九上·来宾期末）如图，AB∥CD，AC，BD，EF相交于点O，则图中相似三角形共有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．（2019九上·阜宁月考）下列说法中正确的是（ ）
A．两个等腰三角形相似
B．有一个内角是30°的两个直角三角形相似
C．有一个锐角是30°的两个等腰三角形相似
D．两个直角三角形相似
6．（2019九上·邓州期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.CD是斜边AB上的高，若得到CD2=BD AD这个结论可证明（ ）
A．△ADC∽△ACB B．△BDC∽△BCA
C．△ADC∽△CBD D．无法判断
7．（2019九上·清江浦月考）如图,△ABC中,∠A=78°,AB=4,BC=6.将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
A． B．
C． D．
8．如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）与 相似的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2020·松江模拟）下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．两条直角边的比都是 的两个直角三角形
B．腰与底的比都是 的两个等腰三角形
C．有一个内角为 的两个直角三角形
D．有一个内角为 的两个等腰三角形
二、填空题
10．（2020八下·高新期末）如图，在△ABC与△AED中， ,添加一个条件，使△ABC与△AED相似，这个条件可以是 。
11．（2020九下·齐齐哈尔期中）如图，P为线段AB上一点，AD与BC交于E， ，BC交PD于F，AD交PC于G，则图中相似三角形有 对．
12．（2019·湖州模拟）如图,在正方形网格上有6个斜三角形:
①△ABC,②△CDB,③△DEB,④△FBG,⑤△HGF,⑥△EKF.
在②~⑥中,与①相似的三角形的序号是 .(把你认为正确的都填上)
三、解答题
13．（2020·大通模拟）已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6.求证：△ADE∽△ACB．
14．（2020·临潭模拟）如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.
15．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，BC=4，AD=6，CD=2．求证：△BCD∽△ACB．
16．（2019九上·未央期末）如图，在等腰△ABC巾，AD是顶角∠BAC的角平分线，BE是腰AC边上的高，垂足为点E，求证：△ACD∽△BCE．
答案解析部分
1．【答案】A
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解:在 与 中，
∵ ，且 ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可求解．
2．【答案】C
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠DAE＝∠BAC，
∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意，
当 时，
∵∠B不一定等于∠AED，
∴△ADE与△ACB不一定相似，故②不符合题意，
当 时，△ADE∽△ACB．故③符合题意，
综上所述：使△ADE与△ACB一定相似的是①③，
故答案为：C．
【分析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正确；即可得出结果．
3．【答案】C
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长为8，12，18，又知△A1B1C1也有一边长为12，且与△ABC相似而不全等，
∴△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为8的边为对应边或△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为18的边为对应边.
∴这样的△A1B1C1有2个.
故答案为：C.
【分析】抓住已知条件中的△ABC与△A1B1C1不全等，就可得到△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为8的边为对应边或△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为18的边为对应边，即可得到满足条件的△A1B1C1的个数。
4．【答案】C
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴△AOE∽△COF，△BOE∽△DOF，△ABO∽△CDO，
相似三角形有3对.
故答案为：C.
【分析】利用已知AB∥CD，利用平行线分线段成比例定理的推论，可得出一共有相似三角形的对数。
5．【答案】B
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、不正确，因为没有说明角或边相等的条件，故不一定相似；
B、正确，因为其三对角均对应相等，符合相似三角形的判定条件，故一定相似．
C、不正确，因为30°的角可以为底角也可以为顶角，故两三角形不一定相似；
D、不正确，只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故不一定相似；
故选：B．
【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
6．【答案】C
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据题意可得： ，结合∠ADC=∠CDB可得：△ADC∽△CBD.
故答案为：△ADC∽△CBD.
【分析】由乘积式 CD2=BD AD 可得，然后根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断出△ADC∽△CBD.
7．【答案】D
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意；
C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意．
D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】A、根据两角对应相等的两个三角形相似进行判断；
B、根据两角对应相等的两个三角形相似进行判断；
C、根据三边对应成比例的两个三角形相似进行判断；
D、根据两边对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断.
8．【答案】B
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：因为 中有一个角是135°，选项中，有135°角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故答案为：B．
【分析】利用网格的特点知∠A1B1C1=135°，B选项中有一个角为135°，利用勾股定理分别求出135°角的两邻边的长，可得两邻边之比相等，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断即可.
9．【答案】D
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A. 两条直角边的比都是 的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故符合题意，不符合题意；
B. 腰与底的比都是 的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故符合题意，不符合题意；
C. 有一个内角为 的两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相似，故符合题意，不符合题意；
D. 有一个内角为 的两个等腰三角形，内角是 的等腰三角形需要注意的是，这个角是顶角还是底角，情况不一样不一定相似.
故答案为：D.
【分析】根据图形相似的定义判定，用排除法求解．
10．【答案】∠BAD=∠CAE（答案不唯一）
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：可添加条件∠BAD=∠CAE（答案不唯一）.
【分析】根据相似三角形的判定定理进行解答.
11．【答案】3
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠CPD=∠B，∠C=∠C，
∴△PCF∽△BCP
∵∠CPD=∠A，∠D=∠D，
∴△APD∽△PGD
∵∠CPD=∠A=∠B，∠APG=∠B+∠C，∠BFP=∠CPD+∠C
∴∠APG=∠BFP，
∴△APG∽△BFP
则图中相似三角形有3对
【分析】先根据条件证明△PCF∽△BCP，利用相似三角形的性质：对应角相等，再证明△APD∽△PGD，进而证明△APG∽△BFP再证明时注意图形中隐含的相等的角．
12．【答案】③④⑤
【考点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：②△CDB中CD:BC:BD=1: :2 ;
③△DEB中DE：BD：BE=2： ： =1： ： ;
④△FBG中，FB：FG：BG= ： ：5=1： ： ;
⑤△HGF中，HG：HF：FG= ：2： =1： ： ；
⑥△EKF中，KE:EF:FK= : :3.
其它两个三角形的三边之比不符合，故与①相似的三角形的序号是③④⑤．
故答案为：③④⑤
【分析】利用勾股定理可求出△ABC的三边之比为：1： ： ;再利用勾股定理分别求出△CDB，△DEB，△FBG，△HGF，△EKF的三边之比，从而可得到与△ABC相似的三角形的序号。
13．【答案】证明：∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，
∴ ＝ ＝ ，
又∵∠DAE＝∠CAB，
∴△ADE∽△ACB.
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据已知的线段长度知 ＝ ，又∠DAE＝∠CAB可得△ADE∽△ACB.
14．【答案】解:∵AD=DB,
∴∠B=∠BAD,
∵∠BDA=∠1+∠C=∠2+∠ADE,
∴∠C=∠ADE,
∴△ABC∽△EAD.
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先根据等边对等角可得: ∠B=∠BAD,继而可得:∠C=∠ADE,利用两角相等可判定两三角形相似.
15．【答案】证明：∵BC=4，AD=6，CD=2，∴AC=8∴∴，又∵∠C=∠C，∴△BCD∽△ACB
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断．
16．【答案】证明：∵在等腰 中， 是顶角 的平分线，
∴ ⊥ ，
∴ ，
∵ 是腰 边上的高，垂足为 ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ∽
【考点】相似三角形的判定
【解析】【分析】利用等腰三角形三线合一的性质，可证得∠ADC=90°，再利用三角形高的定义证明∠ADC=∠BEC，再利用有两组角对应相等的两三角形相似，可证得结论。
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