人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 单元测试题
一、单选题
1．（2020九上·南山月考）下列说法正确的是（ ）
A．所有的等边三角形都相似 B．所有的菱形都相似
C．所有的等腰三角形都相似 D．所有的矩形都相似
2．（2020九上·茌平月考）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2020九上·射洪期中）在下列四组线段中，成比例线段的是（ ）
A．3、4 、5 、6 B．4 、8、3、5
C．5、15 、2 、6 D．8 、4 、1、35
4．（2020九上·成都期中）如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（ ）个．
①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ ＝ ；④AC2＝AD AB
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2020九上·亳州月考）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB =∠AED =90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（ ）
A．5︰3 B．4︰3 C． ︰2 D．2︰
6．（2020九上·合肥月考）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过D作BC的平行线交AC于M，若BC=m，AC=n，则DM=（ ）
A． B． C． D．
7．（2020九上·二连浩特期中）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为（ ）
A．6米 B．7米 C．8.5米 D．9米
8．（2020九上·北京月考）如图，身高为1.6 m的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2 m，BC＝8 m，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
9．（2020九上·深圳期中）如图2，以点O为位似中心，画一个四边形A'B'C'D'，使它与四边形ABCD位似，且相似比为 ，则下列说法错误的是（ ）
A．四边形ABCD∽四边形A'B'C'D' B．点C，O，C' 三点在同一直线上
C． D．OB= OB'
10．（2017·南山模拟）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．（2020·上海模拟）在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2平方厘米的区域表示的实际面积为 平方米。
12．（2020·常熟模拟）以小正方形的中心为位似中心，以1：3的比例放大得到一个大正方形，从而得到了一个如图所示的飞镖游戏板.若小明同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则镖落在阴影部分的概率是 .
13．（2020九上·高州期中）如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到AB′C′，AB′，AC′分别交对角线BD于点EF，若AE=8，则EF ED的值为 ．
14．（2020九上·高州期中）如图，体育兴趣小组选一名身高1.6m的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测得该同学的影长为1.2m，另一部分同学测得同一时刻旗杆影长为9m，那么旗杆的高度是 m．
15．（2020九上·亳州月考）如图，为测量小河两岸A、B两点之间的距离，在小河一侧选出一点C观测A、B两点，并使∠ACB=90 ，若CD⊥AB，垂足为D，测得AD=10m，AC=24m，根据所测得的数据可算出A、B之间的距离是 m．
16．（2020九上·成都月考）如图，在 中， ， 于点 ， 于点 ．交 于点 ，点 在直线 上运动， ， ， ，则 的最小值是 ．
17．（2017八下·黑龙江期末）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，则点B的横坐标是 ．
三、解答题
18．（2020九上·合肥月考）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，BE⊥AC，垂足为点F。求证：△AEF∽△CAB.
19．（2020九上·浦东月考）如图，已知面积为 的锐角 中， ，四边形DEFG是 的内接正方形（四边形的各顶点在三角形的边上），求：正方形DEFG的边长．
20．（2020九上·宿迁月考）某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路.上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是6m/s，假设AB PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离.
四、作图题
21．（2020九上·北京期中）已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(4，5)，C(3，2)．(正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度)
（1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的 ，并直接写出点 的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出 ，使 与 位似，且相似比为2∶1，并直接写出 的面积．
22．（2020九上·邛崃期中）在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别是 ， ， ．
（1）画出 关于 轴成轴对称的 ；
（2）画出 以点O为位似中心，位似比为 的 ．并写出 的坐标．
五、综合题
23．（2020九上·包河月考）已知在Rt△ABC中，∠ACB=90 °，AC=4、BC=3，CD⊥AB于D，点M从点D出发，沿线段DC向点C运动，点N从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，运动速度都是每秒1个单位长度。当点M运动到点C时，两点都停止，设运动时间为t秒。
（1）如图1，当MN//AB时，求t的值.
（2）如图2，①当t= 时，CM=CN；
②当MC=MN时，求t的值 ；
（3）如图3，是否存在值，使N、M、B三点在同一直线上？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由。
24．（2020九上·广饶期中）如图，抛物线 交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=-x+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）动点D在直线BC上方的二次函数图象上，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）当点D为抛物线的顶点时，在坐标轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、由于所有的等边三角形的各角是60°，而每个等边三角形的边长相等，故所有的等边三角形都相似，故本选项符合题意；
B、由于菱形的角不能确定，故所有的菱形不一定相似，故本选项不符合题意；
C、等腰三角形的底角与顶角均不能确定，边长也不确定，故本选项不符合题意；
D、由于矩形的四条边不相等，故所有的矩形不一定相似，故本选项不符合题意．
故答案为：A
【分析】A、根相似三角形的判定定理和等边三角形的性质即可判断；
B、根据菱形的角不能确定即可做出判断；
C、等腰三角形的底角与顶角均不能确定即可进行判断；
D、矩形的长与宽无法确定，故矩形不一定相似.
2．【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A．形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；
B．形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；
C．形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；
D．两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．
3．【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】A、 ，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故符合题意；
D、 ，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据成比例线段的定义逐一进行判断即可.
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】有三个①∠ABC＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不符合题意④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的判定方法，逐项进行判断，即可求解.
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE
∴△ABC∽△ADE
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE
即∠CAE=∠BAD
∵
∴△ACE∽△ABD
∴
∵AC：BC=3:4，∠ACB=∠AED=90°
∴AC：BC：AB=3:4:5
∴BD:CE=5:3
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的判定定理证明△ABC∽△ADE，继而由相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，进而证明△ACE∽△ABD，根据相似三角形的性质求出答案即可。
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB
∴过点D作BC的平行线交AC于M
∴∠MDC=∠MCD
∴DM=MC
∴AM=AC-MV=n-DM
∵DM∥BC
∴，即
∴DM=
故答案为：B.
【分析】根据题意，由角平分线的性质，求出DM=MC，继而根据平行线段分线段成比例，得到答案即可。
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴△DEF∽△ABC，
∴ = ，
即 = ，
∴AC=6×1.5=9米．
故答案为9．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设旗杆高度为h，由题意得： ，
解得：h=8米．
故答案为：C．
【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
9．【答案】D
【知识点】相似多边形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形A'B'C'D'和四边形ABCD位似，
∴四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD，A选项说法正确；
∵四边形A'B'C'D'和四边形ABCD相似
∴点C，O，C'三点在同一直线上，B正确；
∵四边形A'B'C'D'和四边形ABCD位似，位似比为
∴=，C正确；
∵四边形A'B'C'D'和四边形ABCD位似，位似比为
∴AB∥A'B'
∴
∴OB=OB'，错误。
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的概念、相似多边形的性质，判断得到答案即可。
10．【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ ，
∵AE= AD= BC，
∴ ，
∴CF=2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE= BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，故③正确；
设AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有 ．
∵tan∠CAD= = ，
故④错误，
故选B．
【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②由AE= AD= BC，又AD∥BC，所以 ，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE= BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④CD与AD的大小不知道，于是tan∠CAD的值无法判断，故④错误．
11．【答案】20000
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：设实际面积为x平方厘米，根据题意得
解得x=2×108
2×108平方厘米=20000平方米.
【分析】利用相似图形的面积比等于相似比的平方的性质求解即可。
12．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 小正方形与大正方形位似比为1：3，故其面积比为 ，
∴阴影部分面积占总面积的比值为 ，
飞镖落在阴影部分的概率是 ，
故答案为： .
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.故先用位似图形性质求出阴影区域的面积与总面积的比值即可得出答案.
13．【答案】64
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：在正方形 中， ．
∵ 绕点A 逆时针旋转到 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：64．
【分析】根据正方形的性质可得∠BAC=∠ADB=45°，根据旋转的性质可得∠EAF=∠BAC=45°，从而可证△AEF∽△DEA，利用相似三角形对应边成比例即得结论.
14．【答案】12
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得
∴1.6：1.2=旗杆的高度：9．
∴旗杆的高度为12m．
故答案为：12．
【分析】根据同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答.
15．【答案】57.6
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴∠ACB=∠ADC=90°
∴∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°
∴∠B=∠ACD
∴△ACD∽△ABC
∴，即
∴AB=57.6
【分析】根据题意，证明得到△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，求出答案即可。
16．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接 ， ，
，
，
为等边三角形，
平分
平分
，
，
即
，
点轨迹为直线 ，
当 时， 最小，
此时 ，
，
故答案为：
【分析】如图，连接CG，CE．证明 ，推出 ，推出 ，推出点E的运动轨迹是直线EC，推出当AE⊥EC时，AE的值最小，再利用勾股定理求出BE即可．
17．【答案】-2.5
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】过点B、B′分别作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
∴∠BDC=∠B′EC=90°.
∵△ABC的位似图形是△A′B′C，
∴点B. C. B′在一条直线上，
∴∠BCD=∠B′CE，
∴△BCD∽△B′CE，
，
又 ，
.
又∵点B′的横坐标是2，点C的坐标是( 1，0)，
∴CE=3，
，
，
∴点B的横坐标为： 2.5.
故答案为： 2.5.
【分析】过B和B′向x轴引垂线，构造相似比为1：2的相似三角形，那么利用相似比和所给B′的横坐标即可求得点B的横坐标.
18．【答案】∵四边形ABCD为矩形
∴AD∥BC
∴∠FAE=∠ACB
∵BE⊥AC
∴∠AFE=∠ABC=90°
∴△AEF∽△CAB
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据矩形的性质，结合直线平行的性质，即可证明三角形相似。
19．【答案】解：过点A作 ，垂足为点H，交DG于点M．
∵ ，∴ ，∴ ．
设正方形DEFG的边长为 ，
∵DEFG是正方形，
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴
即： ，解得 ．
∴正方形DEFG的边长为 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明 ，然后通过相似三角形的性质列出比例式即可求解．
20．【答案】解：如图，过点C作 于点D，交AB于点E，
根据题意， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，解得 ，
∴CE=CD+DE=30m，
答：小芳所在C处到公路南侧PQ的距离是30m .
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】过点C作 于点D，交AB于点E，根据△ABC∽△PQC 和△BDC∽△QEC 利用对应边成比例列式求出DC的长.
21．【答案】（1）如图， 即为所求， ．
（2）如图，延长BA到 使 ，延长BC到 使 ，则 即为所求，
的面积
【知识点】作图﹣平移；相似多边形的性质；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）根据点平移的坐标变换规律写出点 的坐标，然后描点即可；（2）延长BA到 使 =2BA，延长BC到 使 =2BC，从而得到 ；先计算出 的面积，然后把 的面积乘以4得到 面积．
22．【答案】（1）解：由题意知： 的三个顶点的坐标分别是 ， ， ，
则 关于 轴成轴对称的 的坐标为 ， ， ，
连接 ， ， ，得到 即为所求，如最下方图所示
（2）解：由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：
第一种， 和 在同一侧，
则 ， ， ，连接各点，得 ，
第二种， 在 的对侧，
， ， ，连接各点，得 ，
因为在网格中作图，图中网格是有范围的，所以位似放大只能画一个，
综上所述：如图所示 为所求．此时 或 ．
【知识点】坐标与图形性质；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）作出△ABC的各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）分两种情况：①△A2B2C2和△ABC在同一侧，②△A2B2C2和△ABC不在同一侧，在网格中位似放大只能画一个， 连接BO并延长使OB2=2OB，连接AO并延长使OA2=2OA，连接CO并延长使OC2=2OC，再顺次连接可得出A2B2C2，写出点C2的坐标即可求解.
23．【答案】（1）解： 根据题意可知，DM=t，CN=t，即可得到AB=5
∵AB×CD=AC×BC
∴CD=
∴CM=-t
∵MN∥AB
∴△CNM∽△CAD
∴
∴t=
（2）1.2s；
（3）解：存在，t值为.
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：（2）①∵CM=CN，CN=t，CM=
∴-t=t
∴t=
②如图1中，当CM=MN时，过点M作MH⊥CN于H.
∵MC=MN，MH⊥cn，
∴CH=NH=t，
∵cos∠MCH=，
∴,
∴t=.
（3）存在.
理由：如图3中，过点M作MT⊥BC于T.
∵CM=-t，∠MTC=90°，
∴MT=，CT=，
∴BT=BC-CT=3-，
∵B、M、N共线，
∴tan∠CBN=tan∠TBM，
∴，
解得t=或（舍去），
经检验，t=是分式方程的根，
∴满族条件的t的值为.
【分析】（1）根据直线平行的性质证明得到△CMN∽△CBA，根据对应边成比例求出t的值即可；
（2）①根据cn=cm，构建方程球求解即可.
②如图1中，当CM=MN时，过点m作m⊥CN于H，根据cos∠MCH=,构建方程求解即可.
（3）存在，如图3中，过点M作MT⊥BC于T，根据tan∠CBN=tan∠TBM，构建方程求解即可.
24．【答案】（1）解：把 代入 ，
得： ，
．
把 代入 ，
得： ，
， ，
将 ， 代入 ，
得：
解得 ， ．
抛物线的表达式为 ；
（2）解：设 ，则 ， ， ，
当 时，S有最大值，最大值为 ．
（3）解： ，
．
又 ， ，
， ， ．
，
．
如图所示：连接AC．
， ，
， ．
，
又 ，
∽ ．
当Q的坐标为 时， ∽ ．
过点C作 ，交x轴与点Q．
为直角三角形， ，
∽ ．
又 ∽ ，
∽ ．
，
即 ，
解得： ．
．
过点A作 ，交y轴与点Q．
为直角三角形， ，
∽ ．
又 ∽ ，
∽ ．
，即 ，
解得： ．
，
综上所述：当Q的坐标为 或 或 时，以A，C，Q为顶点的三角形与 相似．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）首先根据一次函数的解析式求出点B，C的坐标，然后利用待定系数法解题即可；（2）设 ，则 ， ， ， ，然后表示出S，然后利用二次函数的性质求最大值即可；（3）首先根据二次函数的解析式求出顶点坐标，然后证明 ，最后分情况利用相似三角形的判定及性质求解即可．
1 / 1人教版数学九年级下册 第二十七章 相似 单元测试题
一、单选题
1．（2020九上·南山月考）下列说法正确的是（ ）
A．所有的等边三角形都相似 B．所有的菱形都相似
C．所有的等腰三角形都相似 D．所有的矩形都相似
【答案】A
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A、由于所有的等边三角形的各角是60°，而每个等边三角形的边长相等，故所有的等边三角形都相似，故本选项符合题意；
B、由于菱形的角不能确定，故所有的菱形不一定相似，故本选项不符合题意；
C、等腰三角形的底角与顶角均不能确定，边长也不确定，故本选项不符合题意；
D、由于矩形的四条边不相等，故所有的矩形不一定相似，故本选项不符合题意．
故答案为：A
【分析】A、根相似三角形的判定定理和等边三角形的性质即可判断；
B、根据菱形的角不能确定即可做出判断；
C、等腰三角形的底角与顶角均不能确定即可进行判断；
D、矩形的长与宽无法确定，故矩形不一定相似.
2．（2020九上·茌平月考）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A．形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；
B．形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；
C．形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；
D．两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；
故答案为：D．
【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．
3．（2020九上·射洪期中）在下列四组线段中，成比例线段的是（ ）
A．3、4 、5 、6 B．4 、8、3、5
C．5、15 、2 、6 D．8 、4 、1、35
【答案】C
【知识点】比例线段
【解析】【解答】A、 ，故不符合题意；
B、 ，故不符合题意；
C、 ，故符合题意；
D、 ，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据成比例线段的定义逐一进行判断即可.
4．（2020九上·成都期中）如图所示，下列条件中能单独判断△ABC∽△ACD的个数是（ ）个．
①∠ABC＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③ ＝ ；④AC2＝AD AB
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】有三个①∠ABC＝∠ACD，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；②∠ADC＝∠ACB，再加上∠A为公共角，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；③中∠A不是已知的比例线段的夹角，不符合题意④可以根据两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定；
故答案为：C
【分析】根据相似三角形的判定方法，逐项进行判断，即可求解.
5．（2020九上·亳州月考）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB =∠AED =90°，∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（ ）
A．5︰3 B．4︰3 C． ︰2 D．2︰
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=∠AED=90°，∠ABC=∠ADE
∴△ABC∽△ADE
∴∠BAC=∠DAE，
∵∠BAC+∠BAE=∠DAE+∠BAE
即∠CAE=∠BAD
∵
∴△ACE∽△ABD
∴
∵AC：BC=3:4，∠ACB=∠AED=90°
∴AC：BC：AB=3:4:5
∴BD:CE=5:3
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形的判定定理证明△ABC∽△ADE，继而由相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE，进而证明△ACE∽△ABD，根据相似三角形的性质求出答案即可。
6．（2020九上·合肥月考）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，过D作BC的平行线交AC于M，若BC=m，AC=n，则DM=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵CD平分∠ACB
∴过点D作BC的平行线交AC于M
∴∠MDC=∠MCD
∴DM=MC
∴AM=AC-MV=n-DM
∵DM∥BC
∴，即
∴DM=
故答案为：B.
【分析】根据题意，由角平分线的性质，求出DM=MC，继而根据平行线段分线段成比例，得到答案即可。
7．（2020九上·二连浩特期中）某校数学兴趣小组为测量学校旗杆AC的高度，在点F处竖立一根长为1.5米的标杆DF，如图所示，量出DF的影子EF的长度为1米，再量出旗杆AC的影子BC的长度为6米，那么旗杆AC的高度为（ ）
A．6米 B．7米 C．8.5米 D．9米
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：∵DE∥AB，DF∥AC，
∴△DEF∽△ABC，
∴ = ，
即 = ，
∴AC=6×1.5=9米．
故答案为9．
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．根据相似三角形的对应边的比相等，即可求解．
8．（2020九上·北京月考）如图，身高为1.6 m的某学生想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，他头顶端的影子正好与旗杆顶端的影子重合，并测得AC＝2 m，BC＝8 m，则旗杆的高度是（ ）
A．6.4m B．7m C．8m D．9m
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设旗杆高度为h，由题意得： ，
解得：h=8米．
故答案为：C．
【分析】因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可．
9．（2020九上·深圳期中）如图2，以点O为位似中心，画一个四边形A'B'C'D'，使它与四边形ABCD位似，且相似比为 ，则下列说法错误的是（ ）
A．四边形ABCD∽四边形A'B'C'D' B．点C，O，C' 三点在同一直线上
C． D．OB= OB'
【答案】D
【知识点】相似多边形的性质；位似变换
【解析】【解答】解：∵四边形A'B'C'D'和四边形ABCD位似，
∴四边形A'B'C'D'∽四边形ABCD，A选项说法正确；
∵四边形A'B'C'D'和四边形ABCD相似
∴点C，O，C'三点在同一直线上，B正确；
∵四边形A'B'C'D'和四边形ABCD位似，位似比为
∴=，C正确；
∵四边形A'B'C'D'和四边形ABCD位似，位似比为
∴AB∥A'B'
∴
∴OB=OB'，错误。
故答案为：D.
【分析】根据位似图形的概念、相似多边形的性质，判断得到答案即可。
10．（2017·南山模拟）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论：
①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ．
其中正确的结论有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】相似三角形的性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过D作DM∥BE交AC于N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠ABC=90°，AD=BC，
∵BE⊥AC于点F，
∴∠EAC=∠ACB，∠ABC=∠AFE=90°，
∴△AEF∽△CAB，故①正确；
∵AD∥BC，
∴△AEF∽△CBF，
∴ ，
∵AE= AD= BC，
∴ ，
∴CF=2AF，故②正确，
∵DE∥BM，BE∥DM，
∴四边形BMDE是平行四边形，
∴BM=DE= BC，
∴BM=CM，
∴CN=NF，
∵BE⊥AC于点F，DM∥BE，
∴DN⊥CF，
∴DF=DC，故③正确；
设AD=a，AB=b由△BAE∽△ADC，有 ．
∵tan∠CAD= = ，
故④错误，
故选B．
【分析】①四边形ABCD是矩形，BE⊥AC，则∠ABC=∠AFB=90°，又∠BAF=∠CAB，于是△AEF∽△CAB，故①正确；
②由AE= AD= BC，又AD∥BC，所以 ，故②正确；
③过D作DM∥BE交AC于N，得到四边形BMDE是平行四边形，求出BM=DE= BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故③正确；
④CD与AD的大小不知道，于是tan∠CAD的值无法判断，故④错误．
二、填空题
11．（2020·上海模拟）在比例尺为1：10000的地图上，一块面积为2平方厘米的区域表示的实际面积为 平方米。
【答案】20000
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：设实际面积为x平方厘米，根据题意得
解得x=2×108
2×108平方厘米=20000平方米.
【分析】利用相似图形的面积比等于相似比的平方的性质求解即可。
12．（2020·常熟模拟）以小正方形的中心为位似中心，以1：3的比例放大得到一个大正方形，从而得到了一个如图所示的飞镖游戏板.若小明同学向该游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则镖落在阴影部分的概率是 .
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 小正方形与大正方形位似比为1：3，故其面积比为 ，
∴阴影部分面积占总面积的比值为 ，
飞镖落在阴影部分的概率是 ，
故答案为： .
【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值.故先用位似图形性质求出阴影区域的面积与总面积的比值即可得出答案.
13．（2020九上·高州期中）如图，正方形ABCD中，△ABC绕点A逆时针旋转到AB′C′，AB′，AC′分别交对角线BD于点EF，若AE=8，则EF ED的值为 ．
【答案】64
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：在正方形 中， ．
∵ 绕点A 逆时针旋转到 ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
故答案为：64．
【分析】根据正方形的性质可得∠BAC=∠ADB=45°，根据旋转的性质可得∠EAF=∠BAC=45°，从而可证△AEF∽△DEA，利用相似三角形对应边成比例即得结论.
14．（2020九上·高州期中）如图，体育兴趣小组选一名身高1.6m的同学直立于旗杆影子的顶端处，其他人分为两部分，一部分同学测得该同学的影长为1.2m，另一部分同学测得同一时刻旗杆影长为9m，那么旗杆的高度是 m．
【答案】12
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题意得
∴1.6：1.2=旗杆的高度：9．
∴旗杆的高度为12m．
故答案为：12．
【分析】根据同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答.
15．（2020九上·亳州月考）如图，为测量小河两岸A、B两点之间的距离，在小河一侧选出一点C观测A、B两点，并使∠ACB=90 ，若CD⊥AB，垂足为D，测得AD=10m，AC=24m，根据所测得的数据可算出A、B之间的距离是 m．
【答案】57.6
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB
∴∠ACB=∠ADC=90°
∴∠A+∠B=∠A+∠ACD=90°
∴∠B=∠ACD
∴△ACD∽△ABC
∴，即
∴AB=57.6
【分析】根据题意，证明得到△ACD∽△ABC，根据相似三角形的对应边成比例，求出答案即可。
16．（2020九上·成都月考）如图，在 中， ， 于点 ， 于点 ．交 于点 ，点 在直线 上运动， ， ， ，则 的最小值是 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：连接 ， ，
，
，
为等边三角形，
平分
平分
，
，
即
，
点轨迹为直线 ，
当 时， 最小，
此时 ，
，
故答案为：
【分析】如图，连接CG，CE．证明 ，推出 ，推出 ，推出点E的运动轨迹是直线EC，推出当AE⊥EC时，AE的值最小，再利用勾股定理求出BE即可．
17．（2017八下·黑龙江期末）如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0），以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是2，则点B的横坐标是 ．
【答案】-2.5
【知识点】相似三角形的性质；位似变换
【解析】【解答】过点B、B′分别作BD⊥x轴于D，B′E⊥x轴于E，
∴∠BDC=∠B′EC=90°.
∵△ABC的位似图形是△A′B′C，
∴点B. C. B′在一条直线上，
∴∠BCD=∠B′CE，
∴△BCD∽△B′CE，
，
又 ，
.
又∵点B′的横坐标是2，点C的坐标是( 1，0)，
∴CE=3，
，
，
∴点B的横坐标为： 2.5.
故答案为： 2.5.
【分析】过B和B′向x轴引垂线，构造相似比为1：2的相似三角形，那么利用相似比和所给B′的横坐标即可求得点B的横坐标.
三、解答题
18．（2020九上·合肥月考）如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，BE⊥AC，垂足为点F。求证：△AEF∽△CAB.
【答案】∵四边形ABCD为矩形
∴AD∥BC
∴∠FAE=∠ACB
∵BE⊥AC
∴∠AFE=∠ABC=90°
∴△AEF∽△CAB
【知识点】矩形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据矩形的性质，结合直线平行的性质，即可证明三角形相似。
19．（2020九上·浦东月考）如图，已知面积为 的锐角 中， ，四边形DEFG是 的内接正方形（四边形的各顶点在三角形的边上），求：正方形DEFG的边长．
【答案】解：过点A作 ，垂足为点H，交DG于点M．
∵ ，∴ ，∴ ．
设正方形DEFG的边长为 ，
∵DEFG是正方形，
∴
∴
∵ ，
∴ ，
∴
即： ，解得 ．
∴正方形DEFG的边长为 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明 ，然后通过相似三角形的性质列出比例式即可求解．
20．（2020九上·宿迁月考）某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路.上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是6m/s，假设AB PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离.
【答案】解：如图，过点C作 于点D，交AB于点E，
根据题意， ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，则 ，解得 ，
∴CE=CD+DE=30m，
答：小芳所在C处到公路南侧PQ的距离是30m .
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】过点C作 于点D，交AB于点E，根据△ABC∽△PQC 和△BDC∽△QEC 利用对应边成比例列式求出DC的长.
四、作图题
21．（2020九上·北京期中）已知△ABC在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(4，5)，C(3，2)．(正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度)
（1）画出△ABC向下平移5个单位长度得到的 ，并直接写出点 的坐标；
（2）以点B为位似中心，在网格中画出 ，使 与 位似，且相似比为2∶1，并直接写出 的面积．
【答案】（1）如图， 即为所求， ．
（2）如图，延长BA到 使 ，延长BC到 使 ，则 即为所求，
的面积
【知识点】作图﹣平移；相似多边形的性质；作图﹣相似变换
【解析】【分析】（1）根据点平移的坐标变换规律写出点 的坐标，然后描点即可；（2）延长BA到 使 =2BA，延长BC到 使 =2BC，从而得到 ；先计算出 的面积，然后把 的面积乘以4得到 面积．
22．（2020九上·邛崃期中）在平面直角坐标系中， 的三个顶点的坐标分别是 ， ， ．
（1）画出 关于 轴成轴对称的 ；
（2）画出 以点O为位似中心，位似比为 的 ．并写出 的坐标．
【答案】（1）解：由题意知： 的三个顶点的坐标分别是 ， ， ，
则 关于 轴成轴对称的 的坐标为 ， ， ，
连接 ， ， ，得到 即为所求，如最下方图所示
（2）解：由题意知：位似中心是原点，则分两种情况：
第一种， 和 在同一侧，
则 ， ， ，连接各点，得 ，
第二种， 在 的对侧，
， ， ，连接各点，得 ，
因为在网格中作图，图中网格是有范围的，所以位似放大只能画一个，
综上所述：如图所示 为所求．此时 或 ．
【知识点】坐标与图形性质；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换
【解析】【分析】（1）作出△ABC的各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）分两种情况：①△A2B2C2和△ABC在同一侧，②△A2B2C2和△ABC不在同一侧，在网格中位似放大只能画一个， 连接BO并延长使OB2=2OB，连接AO并延长使OA2=2OA，连接CO并延长使OC2=2OC，再顺次连接可得出A2B2C2，写出点C2的坐标即可求解.
五、综合题
23．（2020九上·包河月考）已知在Rt△ABC中，∠ACB=90 °，AC=4、BC=3，CD⊥AB于D，点M从点D出发，沿线段DC向点C运动，点N从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，运动速度都是每秒1个单位长度。当点M运动到点C时，两点都停止，设运动时间为t秒。
（1）如图1，当MN//AB时，求t的值.
（2）如图2，①当t= 时，CM=CN；
②当MC=MN时，求t的值 ；
（3）如图3，是否存在值，使N、M、B三点在同一直线上？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解： 根据题意可知，DM=t，CN=t，即可得到AB=5
∵AB×CD=AC×BC
∴CD=
∴CM=-t
∵MN∥AB
∴△CNM∽△CAD
∴
∴t=
（2）1.2s；
（3）解：存在，t值为.
【知识点】三角形的综合
【解析】【解答】解：（2）①∵CM=CN，CN=t，CM=
∴-t=t
∴t=
②如图1中，当CM=MN时，过点M作MH⊥CN于H.
∵MC=MN，MH⊥cn，
∴CH=NH=t，
∵cos∠MCH=，
∴,
∴t=.
（3）存在.
理由：如图3中，过点M作MT⊥BC于T.
∵CM=-t，∠MTC=90°，
∴MT=，CT=，
∴BT=BC-CT=3-，
∵B、M、N共线，
∴tan∠CBN=tan∠TBM，
∴，
解得t=或（舍去），
经检验，t=是分式方程的根，
∴满族条件的t的值为.
【分析】（1）根据直线平行的性质证明得到△CMN∽△CBA，根据对应边成比例求出t的值即可；
（2）①根据cn=cm，构建方程球求解即可.
②如图1中，当CM=MN时，过点m作m⊥CN于H，根据cos∠MCH=,构建方程求解即可.
（3）存在，如图3中，过点M作MT⊥BC于T，根据tan∠CBN=tan∠TBM，构建方程求解即可.
24．（2020九上·广饶期中）如图，抛物线 交x轴于A，B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=-x+3．
（1）求抛物线的表达式；
（2）动点D在直线BC上方的二次函数图象上，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；
（3）当点D为抛物线的顶点时，在坐标轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：把 代入 ，
得： ，
．
把 代入 ，
得： ，
， ，
将 ， 代入 ，
得：
解得 ， ．
抛物线的表达式为 ；
（2）解：设 ，则 ， ， ，
当 时，S有最大值，最大值为 ．
（3）解： ，
．
又 ， ，
， ， ．
，
．
如图所示：连接AC．
， ，
， ．
，
又 ，
∽ ．
当Q的坐标为 时， ∽ ．
过点C作 ，交x轴与点Q．
为直角三角形， ，
∽ ．
又 ∽ ，
∽ ．
，
即 ，
解得： ．
．
过点A作 ，交y轴与点Q．
为直角三角形， ，
∽ ．
又 ∽ ，
∽ ．
，即 ，
解得： ．
，
综上所述：当Q的坐标为 或 或 时，以A，C，Q为顶点的三角形与 相似．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）首先根据一次函数的解析式求出点B，C的坐标，然后利用待定系数法解题即可；（2）设 ，则 ， ， ， ，然后表示出S，然后利用二次函数的性质求最大值即可；（3）首先根据二次函数的解析式求出顶点坐标，然后证明 ，最后分情况利用相似三角形的判定及性质求解即可．
1 / 1
