初中数学青岛版九年级上学期 第1章 1.2怎样判定三角形相似
一、单选题
1．（2020·松江模拟）下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．两条直角边的比都是 的两个直角三角形
B．腰与底的比都是 的两个等腰三角形
C．有一个内角为 的两个直角三角形
D．有一个内角为 的两个等腰三角形
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A. 两条直角边的比都是 的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故符合题意，不符合题意；
B. 腰与底的比都是 的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故符合题意，不符合题意；
C. 有一个内角为 的两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相似，故符合题意，不符合题意；
D. 有一个内角为 的两个等腰三角形，内角是 的等腰三角形需要注意的是，这个角是顶角还是底角，情况不一样不一定相似.
故答案为：D.
【分析】根据图形相似的定义判定，用排除法求解．
2．下列命题中正确的有（ ）
①有一个角等于80°的两个等腰三角形相似；②两边对应成比例的两个等腰三角形相似；③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；④底边对应相等的两个等腰三角形相似．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①不正确，由于80°是锐角，可以作等腰三角形的顶角或底角，故不一定相似；
②不正确，两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，等腰三角形的角没说是哪个对应，故不一定相似；
③不正确，由于没说明是顶角还是底角对应，因此不一定相似；
④不正确，底边对应相等，但腰不一定对应相等，角不一定对应相等，故不一定相似；
所以正确的有0个．
故答案为：A
【分析】根据相似三角形的判定定理，逐一判断，即可得出答案。
3．（2020·遵化模拟）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠D，
∴△ABC∽△DEA
故答案为：C.
【分析】根据题意可知，∠BAC=∠D，∴夹角的两个对应边对应成比例，即可证明三角形相似。
4．（2020·上海模拟）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；② ；③ ．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠DAE＝∠BAC，
∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意，
当 时，
∵∠B不一定等于∠AED，
∴△ADE与△ACB不一定相似，故②不符合题意，
当 时，△ADE∽△ACB．故③符合题意，
综上所述：使△ADE与△ACB一定相似的是①③，
故答案为：C．
【分析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正确；即可得出结果．
5．（2020·和平模拟）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠PED=90°， ，
∴当 时，△ABC∽△EPD时.
∵DE=4，
∴EP=6.
∴点P落在P3处.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得比例式，于是结合已知可求得EP的值，结合图形即可判断求解.
6．（2020·淮安模拟）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上一点，∠ABD=∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E.则图中所有与△ABD相似的三角形有多少个（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，
∴∠BAC=∠BAD=∠CDE=90°，
∵∠ABD=∠C，
∴△ABD∽△ACB，△ABD∽△EDC(两角对应相等，两三角形相似)
∴∠ADB=∠ABC，
∴△ABD∽△EFB，
且△ABD∽△AFD
故答案为：B.
【分析】根据两角对应相等的三角形相似进行证明即得.
7．（2020·三明模拟）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC
C．AB2＝AD AC D． ＝
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2＝AD A C，∴ ＝ ，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、 ＝ 不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、根据两角分别相等的两个三角形相似判断即可；
B、根据两角分别相等的两个三角形相似判断即可；
C、根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断即可；
D、根据两边对应成比例不能证明两三角形相似，据此判断即可.
8．（2020·宁波模拟）已知△ABC的三边长为8，12，18，又知△A1B1C1也有一边长为12，且与△ABC相似而不全等，则这样的△A1B1C1的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长为8，12，18，又知△A1B1C1也有一边长为12，且与△ABC相似而不全等，
∴△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为8的边为对应边或△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为18的边为对应边.
∴这样的△A1B1C1有2个.
故答案为：C.
【分析】抓住已知条件中的△ABC与△A1B1C1不全等，就可得到△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为8的边为对应边或△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为18的边为对应边，即可得到满足条件的△A1B1C1的个数。
9．（2020·江夏模拟）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且 ，AE=BE，则有（ ）
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上， ，AE=BE，
易判断出：△AED为一个锐角三角形，△BED为一个钝角三角形，故A错误；
△ABD也是一个钝角三角形，故C也错误；
但△BCD为一个锐角三角形，故D也错误；
故答案为：B.
【分析】本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上， ，AE=BE，我们可以分别得到：△AED、△BCD为锐角三角形，△BED、△ABD为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案.
10．（2019九上·偃师期中）如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于端点B，C的点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角.
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线.
故答案为：C.
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到最后答案.
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似.
11．（2019九上·利辛月考）如图，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ABD=∠C=90°，则添加下列条件仍不能判断△ABD∽△DCB的是（ ）
A．AD∥BC B．AD⊥CD C．BD2=AD·BC D．BD平分∠ADC
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A: ∵AD∥BC ∴∠ADB=∠DBC，又∵∠ABD=∠C=90°，∴△ABD∽△DCB，故A正确；
B: ∵AD⊥CD ∴∠ADC=90°∴∠ADB+∠BDC=90°;∵ ∠C=90° ∴∠DBC+∠BDC=90°,∴∠ADB=∠DBC。
又∵∠ABD=∠C=90°，∴△ABD∽△DCB，故B正确；
C: ∵BD2=AD·BC ∴AD:BD=BD:BC ,又∵∠ABD=∠C=90°，∴△ABD∽△DCB，故C正确；
D: ∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠BDC ,又∵∠ABD=∠C=90°，∴△ABD∽△BCD，故D错误。
故答案为：D.
【分析】根据各个选项中所给的条件进行推理证明，即可作出判断。
12．（2020九上·常州期末）如图，△ABC和阴影三角形的顶点都在小正方形的顶点上，则与△ABC相似的阴影三角形为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵ ， ，AC=2，
∴AB：AC：BC= ：2： = ： ：1
A.三边比值= ： ：1，不符合题意，
B. 三边比值=3： ： ，不符合题意，
C. 三边比值= ： ：1，符合题意，
D. 三边比值= ： ：2，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】利用网格的特点及勾股定理分别求出每一个三角形的长，根据三边对应成比例的三角形相似进行判断即可.
二、填空题
13．（2020·西安模拟）如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、AC、BC上的点，连接DE、EF。若DE∥BC，EF∥AB，则图中共有 对相似三角形.
【答案】3
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△ABC.
∴△ADE∽△EFC.
共有3对相似三角形.
故答案为：3.
【分析】根据平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，得出△ADE∽△ABC和△EFC∽△ABC. 再根据相似的传递性，得出△ADE∽△EFC.
14．（2020九下·镇江月考）如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=6，DC=8，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有 个．
【答案】2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠D=∠C.
要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，
设DP=x，则PC=8-x，
①如图1，当△DAP∽△CBP时，
，
即：，
解得：x=2，
即：DP=2.
②如图2，当△DAP∽△CPB时，
，
即：，
解得：x=2或6.
即：DP=2或6.
综上，DP=2或6.
∴这样的点有2个.
故答案为：2.
【分析】由AD∥BC，∠D=90°，知要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，分两种情况讨论：①当△DAP∽△CBP时，；②当△DAP∽△CPB时，，列出方程求解即可.
15．（2019·湖州模拟）如图,在正方形网格上有6个斜三角形:
①△ABC,②△CDB,③△DEB,④△FBG,⑤△HGF,⑥△EKF.
在②~⑥中,与①相似的三角形的序号是 .(把你认为正确的都填上)
【答案】③④⑤
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：②△CDB中CD:BC:BD=1: :2 ;
③△DEB中DE：BD：BE=2： ： =1： ： ;
④△FBG中，FB：FG：BG= ： ：5=1： ： ;
⑤△HGF中，HG：HF：FG= ：2： =1： ： ；
⑥△EKF中，KE:EF:FK= : :3.
其它两个三角形的三边之比不符合，故与①相似的三角形的序号是③④⑤．
故答案为：③④⑤
【分析】利用勾股定理可求出△ABC的三边之比为：1： ： ;再利用勾股定理分别求出△CDB，△DEB，△FBG，△HGF，△EKF的三边之比，从而可得到与△ABC相似的三角形的序号。
16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转到AE，使得∠DAE=∠BAC，连接DE交AC于F，请写出图中一对相似的三角形： （只要写出一对即可）．
【答案】△ABD∽△AEF
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵线段AD绕点A逆时针旋转到AE，使得∠DAE=∠BAC，
∴∠ADE=∠E=∠B=∠C，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△AEF．
故答案为：△ABD∽△AEF．
【分析】先根据等腰三角形的性质，由AB=AC得∠B=∠C，再利用旋转的性质得∠ADE=∠E=∠B=∠C，且∠BAD=∠CAE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△AEF．
17．（2019九上·赣榆期末）如图，在 中， ， ，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当 时， 与 相似.
【答案】1或4
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当 ∽ 时，
则 ，
， ，点P是AB边的中点，
，
故 ，
解得： ；
当 ∽ 时，
则 ，
， ，点P是AB边的中点，
，
故 ，
解得： ，
综上所述：当 或4时， 与 相似.
故答案为：1或4.
【分析】分当 ∽ 时与当 ∽ 时两种情况，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可.
18．（2016九上·龙海期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm．点P从点A出发沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则 秒钟后△PBQ与△ABC相似？
【答案】0.8或2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似．
则AP=2x cm，BQ=4x cm，
∵AB=8cm，BC=16cm，
∴BP=（8﹣2x）cm，
① BP与BC边是对应边，则 = ，
即 = ，
解得x=0.8，
②BP与AB边是对应边，则 = ，
即 = ，
解得x=2．
综上所述，经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似．
故答案为：0.8或2．
【分析】设经过x秒两三角形相似，分别表示出BP、BQ的长度，再分①BP与BC边是对应边，②BP与AB边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
19．（2016九上·溧水期末）如图，在直角形坐标系中有两点A（6，0）、B（0，8），点C为AB的中点，点D在x轴上，当点D的坐标为 时，由点A、C、D组成的三角形与△AOB相似．
【答案】D点坐标为（3，0）或（﹣ ，0）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵在直角形坐标系中有两点A（6，0）、B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB= =10．
∵点C为AB的中点，
∴AC=5．
当△AOB∽△ADC时，
，即 ，解得AD=3，
∴OD=OA﹣AD=6﹣3=3，
∴D（3，0）；
当△AOB∽△ACD时，
，即 ，解得AD= ，
∵AD﹣OA= ﹣6= ，
∴D（﹣ ，0）．
综上所述，D点坐标为（3，0）或（﹣ ，0）．
【分析】根据勾股定理求出OA、OB、AB的值，根据相似三角形的判断方法两边对应成比例且夹角相等两三角形相似，得到D点坐标.
20．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是 ．
①BE=CD；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．
【答案】①②
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，
∵∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE
=180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC
=120°﹣（∠ODB+∠ADC）
=120°﹣60°=60°，
∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，
∴说∠BDO=∠CEO错误，
∴△BOD∽△COE错误，
∴③错误；
故答案为：①②．
【分析】根据等边三角形的性质推出AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS证△DAC≌△BAE，推出BE=DC，∠ADC=∠ABE，根据三角形的内角和定理求出∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=60°，根据等边三角形性质得出∠ADB=∠AEC=60°，但∠ADC≠∠AEB，根据以上推出的结论即可得出答案．
三、作图题
21．（2020九下·无锡月考）如图
（1）如图①，在△ABC中，AB＝m，AC＝n（n＞m），点P在边AC上.当AP＝ 时，△APB∽△ABC；
（2）如图②，已知△DEF（DE＞DF），请用直尺和圆规在直线DF上求作一点Q，使DE是线段DF和DQ的比例项.（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）
（2）解：作∠DEQ＝∠F,
如图点Q就是所求作的点
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）解：要使△APB∽△ABC成立，∠A是公共角，则 ,即 ,∴AP= .
【分析】（1）根据相似三角形的判定方法进行分析即可;（2）直接利用相似三角形的判定方法以及结合做一角等于已知角进而得出答案.
四、解答题
22．（2019九上·德惠月考）如图， ，求证： 与 相似.
【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
又∵在△AHE和△DHC中，∠2=∠3，∠AHE=∠DHC
∴∠C=∠E，
在△ABC和△ADE中
∵∠E=∠C，
∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】本道题的关键在能否找到相等的角，重点是∠E=∠C，再利用一个公共角∠DAC，证出∠BAC=∠DAE。就可以证出三角形相似。
23．已知，如图， = = ，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？
【答案】解：∵ = = ，
∴△ABC∽△DBE，
∴∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC，
即∠ABD=∠CBE，
∵ = ，
∴ = ，
∴△ABD∽△CBE
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判断△ABC∽△DBE，得到∠ABC=∠DBE，则∠ABD=∠CBE，再利用比例性质由 = 得到 = ，于是根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△CBE．
24．甲、乙两位同学同解一道题目：“如图，F、G是直线AB上的两点，D是AC上的一点，且DF∥CB，∠E=∠C，请写出与△ABC相似的三角形，并加以证明”．
甲同学的解答得到了老师的好评．
乙同学的解答是这样的：“与△ABC相似的三角形只有△AFD，证明如下：
∵DF∥CB，
∴△AFD∽△ABC．”
乙同学的解答正确吗？若不正确，请你改正．
【答案】解：乙同学的解答不正确，
与△ABC相似的三角形还有△GFE，应该补上证明如下：
∵DF∥BC，
∴∠GFE=∠ABC，
又∵∠E=∠C，
∴△GFE∽△ABC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】直接利用相似三角形判定定理得出△GFE∽△ABC即可．
25．（2017九上·文安期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．
请问：△CDP与△PAE相似吗？如果相似，请写出证明过程．
【答案】解：△CDP∽△PAE．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，
∴∠PCD+∠DPC=90°，
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，
∴∠PCD=∠EPA，
∴△CDP∽△PAE．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据矩形的性质，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性质，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE=90°，推出∠EPA+∠DPC=90°，∠PCD=∠EPA，从而证明△CDP∽△PAE．
26．（2017九下·盐都开学考）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且 ．
（1）试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？
（2）试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．
【答案】（1）解：∠BAE与∠CAD相等．
理由：∵ ，
∴△ABC∽△AED，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAE=∠CAD
（2）解：△ABE与△ACD相似．
∵ = ，
∴ = ．
在△ABE与△ACD中，
∵ = ，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先根据题意得出△ABC∽△AED，由相似三角形的性质即可得出结论；（2）先根据题意得出 = ，再由∠BAE=∠CAD即可得出结论．
27．（2018·隆化模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6。P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N设AP=x.
（1）在△ABC中，AB＝ ；
（2）当x＝ 时，矩形PMCN的周长是14；
（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明。
【答案】（1）10
（2）5
（3）解：∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠PNB=∠C=90 .
∴AC∥PN，∠A=∠NPB.
∴△AMP∽△PNB∽△ABC.
当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB
此时S△AMP=S△PNB= ×4×3=6
而S矩形PMCN=PM·MC=3×4=12.
所以不存在x的值，能使△AMP的面积、△PNB的面积与矩形PMCN面积同时相等.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，
（ 2 ）∵PM⊥AC PN⊥BC
∴MP∥BC，AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴ ，
∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x，
∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（ x+8- x）=14，解得x=5；
【分析】在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6根据勾股定理，可求出AB的长；AP=x，可以得到矩形PMCN的周长的表达式，构造方程，解方程得到x值.可以证明△AMP∽△PNB∽△ABC，只有当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB，此时S△AMP=S△PNB，分别求出当P为AB中点时△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积比较即可.
1 / 1初中数学青岛版九年级上学期 第1章 1.2怎样判定三角形相似
一、单选题
1．（2020·松江模拟）下列两个三角形不一定相似的是（ ）
A．两条直角边的比都是 的两个直角三角形
B．腰与底的比都是 的两个等腰三角形
C．有一个内角为 的两个直角三角形
D．有一个内角为 的两个等腰三角形
2．下列命题中正确的有（ ）
①有一个角等于80°的两个等腰三角形相似；②两边对应成比例的两个等腰三角形相似；③有一个角对应相等的两个等腰三角形相似；④底边对应相等的两个等腰三角形相似．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2020·遵化模拟）如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的（ ）
A． ＝ B． ＝
C． ＝ D． ＝
4．（2020·上海模拟）如图，点D、E分别在△ABC的AB、AC边上，下列条件中：①∠ADE＝∠C；② ；③ ．使△ADE与△ACB一定相似的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
5．（2020·和平模拟）如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为（ ）
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
6．（2020·淮安模拟）已知：如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是AC上一点，∠ABD=∠C，直线EF过点D，与BA的延长线相交于F，且EF⊥BC，垂足为E.则图中所有与△ABD相似的三角形有多少个（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2020·三明模拟）如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（ ）
A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABC
C．AB2＝AD AC D． ＝
8．（2020·宁波模拟）已知△ABC的三边长为8，12，18，又知△A1B1C1也有一边长为12，且与△ABC相似而不全等，则这样的△A1B1C1的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．（2020·江夏模拟）如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且 ，AE=BE，则有（ ）
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
10．（2019九上·偃师期中）如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于端点B，C的点，过P点作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
11．（2019九上·利辛月考）如图，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ABD=∠C=90°，则添加下列条件仍不能判断△ABD∽△DCB的是（ ）
A．AD∥BC B．AD⊥CD C．BD2=AD·BC D．BD平分∠ADC
12．（2020九上·常州期末）如图，△ABC和阴影三角形的顶点都在小正方形的顶点上，则与△ABC相似的阴影三角形为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
13．（2020·西安模拟）如图，在△ABC中，D、E、F分别为边AB、AC、BC上的点，连接DE、EF。若DE∥BC，EF∥AB，则图中共有 对相似三角形.
14．（2020九下·镇江月考）如图，AD∥BC，∠D=90°，AD=2，BC=6，DC=8，若在边DC上有点P，使△PAD与△PBC相似，则这样的点P有 个．
15．（2019·湖州模拟）如图,在正方形网格上有6个斜三角形:
①△ABC,②△CDB,③△DEB,④△FBG,⑤△HGF,⑥△EKF.
在②~⑥中,与①相似的三角形的序号是 .(把你认为正确的都填上)
16．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转到AE，使得∠DAE=∠BAC，连接DE交AC于F，请写出图中一对相似的三角形： （只要写出一对即可）．
17．（2019九上·赣榆期末）如图，在 中， ， ，点P是AB边的中点，点Q是BC边上一个动点，当 时， 与 相似.
18．（2016九上·龙海期中）如图所示，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm．点P从点A出发沿AB向点B以2cm/s的速度运动，点Q从点B出发沿BC向点C以4cm/s的速度运动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，则 秒钟后△PBQ与△ABC相似？
19．（2016九上·溧水期末）如图，在直角形坐标系中有两点A（6，0）、B（0，8），点C为AB的中点，点D在x轴上，当点D的坐标为 时，由点A、C、D组成的三角形与△AOB相似．
20．如图，△ABD与△AEC都是等边三角形，AB≠AC．下列结论中，正确的是 ．
①BE=CD；②∠BOD=60°；③△BOD∽△COE．
三、作图题
21．（2020九下·无锡月考）如图
（1）如图①，在△ABC中，AB＝m，AC＝n（n＞m），点P在边AC上.当AP＝ 时，△APB∽△ABC；
（2）如图②，已知△DEF（DE＞DF），请用直尺和圆规在直线DF上求作一点Q，使DE是线段DF和DQ的比例项.（保留作图痕迹，不写作法）
四、解答题
22．（2019九上·德惠月考）如图， ，求证： 与 相似.
23．已知，如图， = = ，那么△ABD与△BCE相似吗？为什么？
24．甲、乙两位同学同解一道题目：“如图，F、G是直线AB上的两点，D是AC上的一点，且DF∥CB，∠E=∠C，请写出与△ABC相似的三角形，并加以证明”．
甲同学的解答得到了老师的好评．
乙同学的解答是这样的：“与△ABC相似的三角形只有△AFD，证明如下：
∵DF∥CB，
∴△AFD∽△ABC．”
乙同学的解答正确吗？若不正确，请你改正．
25．（2017九上·文安期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=11．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边始终经过点C，另一直角边与AB交于点E．
请问：△CDP与△PAE相似吗？如果相似，请写出证明过程．
26．（2017九下·盐都开学考）如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F，点E在BD上，且 ．
（1）试问：∠BAE与∠CAD相等吗？为什么？
（2）试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由．
27．（2018·隆化模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6。P是AB边上的一个动点（异于A、B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足为M、N设AP=x.
（1）在△ABC中，AB＝ ；
（2）当x＝ 时，矩形PMCN的周长是14；
（3）是否存在x的值，使得△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积同时相等？请说出你的判断，并加以说明。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A. 两条直角边的比都是 的两个直角三角形，根据两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故符合题意，不符合题意；
B. 腰与底的比都是 的两个等腰三角形，等腰三角形，两条腰相等，根据三边对应成比例，两个三角形相似判断，两个三角形相似，故符合题意，不符合题意；
C. 有一个内角为 的两个直角三角形，两角对应相等两三角形相似判断，两个三角形相似，故符合题意，不符合题意；
D. 有一个内角为 的两个等腰三角形，内角是 的等腰三角形需要注意的是，这个角是顶角还是底角，情况不一样不一定相似.
故答案为：D.
【分析】根据图形相似的定义判定，用排除法求解．
2．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：①不正确，由于80°是锐角，可以作等腰三角形的顶角或底角，故不一定相似；
②不正确，两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似，等腰三角形的角没说是哪个对应，故不一定相似；
③不正确，由于没说明是顶角还是底角对应，因此不一定相似；
④不正确，底边对应相等，但腰不一定对应相等，角不一定对应相等，故不一定相似；
所以正确的有0个．
故答案为：A
【分析】根据相似三角形的判定定理，逐一判断，即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠D，
∴△ABC∽△DEA
故答案为：C.
【分析】根据题意可知，∠BAC=∠D，∴夹角的两个对应边对应成比例，即可证明三角形相似。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵∠DAE＝∠BAC，
∴当ADE＝∠C时，△ADE∽△ACB，故①符合题意，
当 时，
∵∠B不一定等于∠AED，
∴△ADE与△ACB不一定相似，故②不符合题意，
当 时，△ADE∽△ACB．故③符合题意，
综上所述：使△ADE与△ACB一定相似的是①③，
故答案为：C．
【分析】由两角相等的两个三角形相似得出①正确，由两边成比例且夹角相等的两个三角形相似得出③正确；即可得出结果．
5．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC=∠PED=90°， ，
∴当 时，△ABC∽△EPD时.
∵DE=4，
∴EP=6.
∴点P落在P3处.
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的对应边成比例可得比例式，于是结合已知可求得EP的值，结合图形即可判断求解.
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，
∴∠BAC=∠BAD=∠CDE=90°，
∵∠ABD=∠C，
∴△ABD∽△ACB，△ABD∽△EDC(两角对应相等，两三角形相似)
∴∠ADB=∠ABC，
∴△ABD∽△EFB，
且△ABD∽△AFD
故答案为：B.
【分析】根据两角对应相等的三角形相似进行证明即得.
7．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
B、∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
C、∵AB2＝AD A C，∴ ＝ ，∠A＝∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意；
D、 ＝ 不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】A、根据两角分别相等的两个三角形相似判断即可；
B、根据两角分别相等的两个三角形相似判断即可；
C、根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似判断即可；
D、根据两边对应成比例不能证明两三角形相似，据此判断即可.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABC的三边长为8，12，18，又知△A1B1C1也有一边长为12，且与△ABC相似而不全等，
∴△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为8的边为对应边或△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为18的边为对应边.
∴这样的△A1B1C1有2个.
故答案为：C.
【分析】抓住已知条件中的△ABC与△A1B1C1不全等，就可得到△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为8的边为对应边或△A1B1C1中边长为12的一边与△ABC中边长为18的边为对应边，即可得到满足条件的△A1B1C1的个数。
9．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上， ，AE=BE，
易判断出：△AED为一个锐角三角形，△BED为一个钝角三角形，故A错误；
△ABD也是一个钝角三角形，故C也错误；
但△BCD为一个锐角三角形，故D也错误；
故答案为：B.
【分析】本题可以采用排除法，即根据已知中正三角形ABC中，D、E分别在AC、AB上， ，AE=BE，我们可以分别得到：△AED、△BCD为锐角三角形，△BED、△ABD为钝角三角形，然后根据锐角三角形不可能与钝角三角形相似排除错误答案，得到正确答案.
10．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】由于△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角.
所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，共3条直线.
故答案为：C.
【分析】根据已知及相似三角形的判定方法进行分析，从而得到最后答案.
①有两个对应角相等的三角形相似；
②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；
③三组对应边的比相等，则两个三角形相似.
11．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：A: ∵AD∥BC ∴∠ADB=∠DBC，又∵∠ABD=∠C=90°，∴△ABD∽△DCB，故A正确；
B: ∵AD⊥CD ∴∠ADC=90°∴∠ADB+∠BDC=90°;∵ ∠C=90° ∴∠DBC+∠BDC=90°,∴∠ADB=∠DBC。
又∵∠ABD=∠C=90°，∴△ABD∽△DCB，故B正确；
C: ∵BD2=AD·BC ∴AD:BD=BD:BC ,又∵∠ABD=∠C=90°，∴△ABD∽△DCB，故C正确；
D: ∵BD平分∠ADC，∴∠ADB=∠BDC ,又∵∠ABD=∠C=90°，∴△ABD∽△BCD，故D错误。
故答案为：D.
【分析】根据各个选项中所给的条件进行推理证明，即可作出判断。
12．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】∵ ， ，AC=2，
∴AB：AC：BC= ：2： = ： ：1
A.三边比值= ： ：1，不符合题意，
B. 三边比值=3： ： ，不符合题意，
C. 三边比值= ： ：1，符合题意，
D. 三边比值= ： ：2，不符合题意，
故答案为：C.
【分析】利用网格的特点及勾股定理分别求出每一个三角形的长，根据三边对应成比例的三角形相似进行判断即可.
13．【答案】3
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∵EF∥AB，
∴△EFC∽△ABC.
∴△ADE∽△EFC.
共有3对相似三角形.
故答案为：3.
【分析】根据平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，得出△ADE∽△ABC和△EFC∽△ABC. 再根据相似的传递性，得出△ADE∽△EFC.
14．【答案】2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AD∥BC，∠D=90°，
∴∠D=∠C.
要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，
设DP=x，则PC=8-x，
①如图1，当△DAP∽△CBP时，
，
即：，
解得：x=2，
即：DP=2.
②如图2，当△DAP∽△CPB时，
，
即：，
解得：x=2或6.
即：DP=2或6.
综上，DP=2或6.
∴这样的点有2个.
故答案为：2.
【分析】由AD∥BC，∠D=90°，知要使△PAD与△PBC相似，可知，∠D和∠C是对应角，分两种情况讨论：①当△DAP∽△CBP时，；②当△DAP∽△CPB时，，列出方程求解即可.
15．【答案】③④⑤
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：②△CDB中CD:BC:BD=1: :2 ;
③△DEB中DE：BD：BE=2： ： =1： ： ;
④△FBG中，FB：FG：BG= ： ：5=1： ： ;
⑤△HGF中，HG：HF：FG= ：2： =1： ： ；
⑥△EKF中，KE:EF:FK= : :3.
其它两个三角形的三边之比不符合，故与①相似的三角形的序号是③④⑤．
故答案为：③④⑤
【分析】利用勾股定理可求出△ABC的三边之比为：1： ： ;再利用勾股定理分别求出△CDB，△DEB，△FBG，△HGF，△EKF的三边之比，从而可得到与△ABC相似的三角形的序号。
16．【答案】△ABD∽△AEF
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵线段AD绕点A逆时针旋转到AE，使得∠DAE=∠BAC，
∴∠ADE=∠E=∠B=∠C，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△AEF．
故答案为：△ABD∽△AEF．
【分析】先根据等腰三角形的性质，由AB=AC得∠B=∠C，再利用旋转的性质得∠ADE=∠E=∠B=∠C，且∠BAD=∠CAE，于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△AEF．
17．【答案】1或4
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当 ∽ 时，
则 ，
， ，点P是AB边的中点，
，
故 ，
解得： ；
当 ∽ 时，
则 ，
， ，点P是AB边的中点，
，
故 ，
解得： ，
综上所述：当 或4时， 与 相似.
故答案为：1或4.
【分析】分当 ∽ 时与当 ∽ 时两种情况，分别根据对应边成比例列出方程，求解即可.
18．【答案】0.8或2
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：设经过x秒后△PBQ和△ABC相似．
则AP=2x cm，BQ=4x cm，
∵AB=8cm，BC=16cm，
∴BP=（8﹣2x）cm，
① BP与BC边是对应边，则 = ，
即 = ，
解得x=0.8，
②BP与AB边是对应边，则 = ，
即 = ，
解得x=2．
综上所述，经过0.8秒或2秒后△PBQ和△ABC相似．
故答案为：0.8或2．
【分析】设经过x秒两三角形相似，分别表示出BP、BQ的长度，再分①BP与BC边是对应边，②BP与AB边是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列出比例式求解即可．
19．【答案】D点坐标为（3，0）或（﹣ ，0）
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵在直角形坐标系中有两点A（6，0）、B（0，8），
∴OA=6，OB=8，
∴AB= =10．
∵点C为AB的中点，
∴AC=5．
当△AOB∽△ADC时，
，即 ，解得AD=3，
∴OD=OA﹣AD=6﹣3=3，
∴D（3，0）；
当△AOB∽△ACD时，
，即 ，解得AD= ，
∵AD﹣OA= ﹣6= ，
∴D（﹣ ，0）．
综上所述，D点坐标为（3，0）或（﹣ ，0）．
【分析】根据勾股定理求出OA、OB、AB的值，根据相似三角形的判断方法两边对应成比例且夹角相等两三角形相似，得到D点坐标.
20．【答案】①②
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，
∴∠DAB+∠BAC=∠EAC+∠BAC，
∴∠DAC=∠BAE，
在△DAC和△BAE中
，
∴△DAC≌△BAE（SAS），
∴BE=DC，∠ADC=∠ABE，
∵∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE
=180°﹣∠ODB﹣60°﹣∠ADC
=120°﹣（∠ODB+∠ADC）
=120°﹣60°=60°，
∴∠BOD=60°，∴①正确；②正确；
∵△ABD与△AEC都是等边三角形，
∴∠ADB=∠AEC=60°，但根据已知不能推出∠ADC=∠AEB，
∴说∠BDO=∠CEO错误，
∴△BOD∽△COE错误，
∴③错误；
故答案为：①②．
【分析】根据等边三角形的性质推出AD=AB，AE=AC，∠ADB=∠ABD=60°，∠DAB=∠EAC=60°，求出∠DAC=∠BAE，根据SAS证△DAC≌△BAE，推出BE=DC，∠ADC=∠ABE，根据三角形的内角和定理求出∠BOD=180°﹣∠ODB﹣∠DBA﹣∠ABE=60°，根据等边三角形性质得出∠ADB=∠AEC=60°，但∠ADC≠∠AEB，根据以上推出的结论即可得出答案．
21．【答案】（1）
（2）解：作∠DEQ＝∠F,
如图点Q就是所求作的点
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）解：要使△APB∽△ABC成立，∠A是公共角，则 ,即 ,∴AP= .
【分析】（1）根据相似三角形的判定方法进行分析即可;（2）直接利用相似三角形的判定方法以及结合做一角等于已知角进而得出答案.
22．【答案】证明：∵∠1=∠2，
∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，
即∠BAC=∠DAE，
又∵在△AHE和△DHC中，∠2=∠3，∠AHE=∠DHC
∴∠C=∠E，
在△ABC和△ADE中
∵∠E=∠C，
∠BAC=∠DAE，
∴△ABC∽△ADE．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】本道题的关键在能否找到相等的角，重点是∠E=∠C，再利用一个公共角∠DAC，证出∠BAC=∠DAE。就可以证出三角形相似。
23．【答案】解：∵ = = ，
∴△ABC∽△DBE，
∴∠ABC=∠DBE，
∴∠ABC﹣∠DBC=∠DBE﹣∠DBC，
即∠ABD=∠CBE，
∵ = ，
∴ = ，
∴△ABD∽△CBE
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】先根据三组对应边的比相等的两个三角形相似判断△ABC∽△DBE，得到∠ABC=∠DBE，则∠ABD=∠CBE，再利用比例性质由 = 得到 = ，于是根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△CBE．
24．【答案】解：乙同学的解答不正确，
与△ABC相似的三角形还有△GFE，应该补上证明如下：
∵DF∥BC，
∴∠GFE=∠ABC，
又∵∠E=∠C，
∴△GFE∽△ABC
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】直接利用相似三角形判定定理得出△GFE∽△ABC即可．
25．【答案】解：△CDP∽△PAE．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠A=90°，CD=AB=6，
∴∠PCD+∠DPC=90°，
又∵∠CPE=90°，
∴∠EPA+∠DPC=90°，
∴∠PCD=∠EPA，
∴△CDP∽△PAE．
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】根据矩形的性质，推出∠D=∠A=90°，再由直角三角形的性质，得出∠PCD+∠DPC=90°，又因∠CPE=90°，推出∠EPA+∠DPC=90°，∠PCD=∠EPA，从而证明△CDP∽△PAE．
26．【答案】（1）解：∠BAE与∠CAD相等．
理由：∵ ，
∴△ABC∽△AED，
∴∠BAC=∠EAD，
∴∠BAE=∠CAD
（2）解：△ABE与△ACD相似．
∵ = ，
∴ = ．
在△ABE与△ACD中，
∵ = ，∠BAE=∠CAD，
∴△ABE∽△ACD
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）先根据题意得出△ABC∽△AED，由相似三角形的性质即可得出结论；（2）先根据题意得出 = ，再由∠BAE=∠CAD即可得出结论．
27．【答案】（1）10
（2）5
（3）解：∵PM⊥AC，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠PNB=∠C=90 .
∴AC∥PN，∠A=∠NPB.
∴△AMP∽△PNB∽△ABC.
当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB
此时S△AMP=S△PNB= ×4×3=6
而S矩形PMCN=PM·MC=3×4=12.
所以不存在x的值，能使△AMP的面积、△PNB的面积与矩形PMCN面积同时相等.
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】（1）∵△ABC为直角三角形，且AC=8，BC=6，
（ 2 ）∵PM⊥AC PN⊥BC
∴MP∥BC，AC∥PN（垂直于同一条直线的两条直线平行），
∴ ，
∵AP=x，AB=10，BC=6，AC=8，BP=10-x，
∴矩形PMCN周长=2（PM+PN）=2（ x+8- x）=14，解得x=5；
【分析】在△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6根据勾股定理，可求出AB的长；AP=x，可以得到矩形PMCN的周长的表达式，构造方程，解方程得到x值.可以证明△AMP∽△PNB∽△ABC，只有当P为AB中点时，可得△AMP≌△PNB，此时S△AMP=S△PNB，分别求出当P为AB中点时△PAM的面积、△PBN的面积与矩形PMCN的面积比较即可.
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