初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.8 圆内接正多边形
一、单选题
1．（2020九上·鄞州期末）圆内接正六边形的边长为3，则该圆的直径长为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．6
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵圆内接正六边形的边长为3，
∴该圆的半径为3，
∴直径为2×3=6.
故答案为：D.
【分析】利用圆内接正六边形的边长和半径相等，就可求出该圆的直径。
2．（2019九上·慈溪月考）⊙O的半径为2，则它的内接正六边形的边长为（ ）
A．2 B．2 C． D．2
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：连接OA、OB
∵六边形ABCDEF是 ⊙O 的内接正六边形，∴∠AOB=60°，又∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，AB=OB=2,即 ⊙O 的内接正六边形的边长为2.
故答案为：A.
【分析】连接OA、OB，根据正六边形的中心角的计算方法算出∠AOB=60°，进而判断出△AOB是等边三角形即可解决问题.
3．（2019·定兴模拟）若一个正六边形的边心距为2 ，则该正六边形的周长为（ ）
A．24 B．24 C．12 D．4
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△AOG中，OG＝2 ，∠AOG＝30°，
∴OA＝OG÷cos 30°＝ ．
这个正六边形的周长＝24．
故答案为：B．
【分析】首先设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得边长AB，从而求出周长
4．（2019九上·襄阳期末）下列命题：①等弧所对的圆周角相等；②平分弦的直径垂直于弦；③等边三角形的外心也是它的内心；④正五边形既是轴对称图形，也是中心对称图形.其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】①正确；②平分弦的直径不一定垂直于弦，所以②错误；③正确；④正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，所以④错误；综上，选A.
【分析】根据轴对称图形的定义“在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形”和中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”可判断求解.
5．一个半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于（ ）
A．24cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，因而面积是.
因而正六边形的面积．
故选B．
6．（2020九上·永城期中）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H.若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（ ）
A． cm B．5 cm C．3 cm D．10 cm
【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB角AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝ OA＝ （cm），
∴AC＝2AN＝15 （cm），
∴GH＝ AC＝5 （cm），
故答案为：B.
【分析】根据正六边形的性质和等腰三角形的性质以及解直角三角形即可得到结论.
7．（2020九上·霍林郭勒月考）半径为 的圆内接正三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示，过O作OD⊥BC于D；
∵此三角形是正三角形，
∴∠BOC= =120°．
∵OB=OC，
∴∠BOD= ×120°=60°，
∴∠OBD=30°；
∵OB=R，
∴OD= ，BD=OB cos30°= ，
∴BC=2BD=2× = ，
∴S△BOC= ×BC×OD= × = ，
∴S△ABC=3× ．
故答案为：D．
【分析】本题的关键是用R表示出正三角形的边长，再利用正三角形的面积计算公式（a为边长）求解即可。
8．（2020·和平模拟）在圆内接正方形ABCD中，正方形的边长AB是8，则这个正方形的中心角和边心距是（ ）
A．90°，4 B．90°，1 C．45°，4 D．45°，1
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
正方形的边长为8，
由中心角只有四个可得出 ，
中心角是 ，
正方形的外接圆半径是： ，
， ，
，
边心距为：4.
故答案为： .
【分析】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可分别求出中心角，边心距.
二、填空题
9．（2020·辽宁模拟）正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 .
【答案】2：
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设正六边形的半径是r，
则外接圆的半径r，
内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是 r，
因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2： .
故答案为2： .
【分析】从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的边长引垂线，构建直角三角形，解三角形即可.
10．（2020·历下模拟）正方形的边长为6，则该正方形的边心距是 ．
【答案】3
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】边心距=
【分析】正方形的外接圆圆心（同时也是内切圆圆心）到正方形某一边的距离为边心距，根据正方形对称性，易得边心距应为边长的一半.
11．（2019·渝中模拟）已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为 ．
【答案】 πa2
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：边长是a,则利用特殊三角形知内切圆半径是 , .
故答案为： πa2 .
【分析】根据正多边形与圆的关系可知：边长为a的正六边形的面积是边长为a的等边三角形的面积的6倍，进而根据等边三角形的性质及勾股定理得出等边三角形的高，即正六边形内切圆的半径，从而根据圆的面积计算方法即可算出答案.
12．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin45°= ；
如图所示，
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°＝ ，
则该三角形的三边分别为：, , ，
∵12+( )2=( )2，
∴该三角形是直角边，
∴该三角形的面积是： ×1× = .
故答案为 .
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，再由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
13．（2020·潜江模拟）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在 上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n= .
【答案】24
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接OC，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴
∴
∴
故答案为24；
【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则∠AOC=15°，则边数n=360°÷中心角.
三、解答题
14．（2018九上·丰城期中）如图，已知正三角形ABC内接于 ，AD是 的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若 ，求 的半径．
【答案】解：如图所示，连接OA、O
D、OC，
等边 内接于 ，AD为内接正十二边形的一边，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即 的半径为6cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】 如图所示，连接OA，OD，OC，根据圆内接正多边形的性质求出∠AOC、∠AOD的度数，从而求出∠COD的度数，继而求出△OCD为等腰直角三角形，由OC=OD=CD，即可求出半径.
15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
【答案】解：∵正方形的面积等于4，
∴正方形的边长AB=2，
则半径是2× = ，
∴⊙O的面积=π（ ）2=2π．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】由已知正方形的面积可求得正方形的边长，再正多边形和圆的性质可得弦心距为正方形边长的一半，根据解直角三角形可以求得OA的长，即圆的半径为，代入圆的面积公式即可求得。
16．如图五边形ABCDE内接于⊙O，∠A =∠B=∠C=∠D=∠E．
求证：五边形ABCDE是正五边形
【答案】证明：证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∠A对着弧BDE，∠B对着弧CDA
∴弧BDE=弧CDA，
∴弧BDE 弧CDE=弧CDA 弧CDE，即弧BC=AE，
∴BC=AE.
同理可证AB=CD=DE=AE
∴AB=CD=DE=AE=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
∴五边形ABCDE是正五边形
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】根据圆周角定理去证明AB=CD=DE=AE=BC，由∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，可证得结论。
17．（2017九上·上杭期末）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB= cm，求⊙O的半径．
【答案】解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD= BC= AB= ，∴cos30°= = = ，解得：BO=2，即⊙O的半径为2cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
18．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．
【答案】解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°，
∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=45°，
∴OC=CD cos45°=5×=5（cm）．
即⊙O的半径R=5cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】首先连接OB，OC，OD，由等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，可求得∠BOC，∠BOD的度数，继而证得△COD是等腰直角三角形，继而求得答案．
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第三章 3.8 圆内接正多边形
一、单选题
1．（2020九上·鄞州期末）圆内接正六边形的边长为3，则该圆的直径长为（ ）
A．3 B．3 C．3 D．6
2．（2019九上·慈溪月考）⊙O的半径为2，则它的内接正六边形的边长为（ ）
A．2 B．2 C． D．2
3．（2019·定兴模拟）若一个正六边形的边心距为2 ，则该正六边形的周长为（ ）
A．24 B．24 C．12 D．4
4．（2019九上·襄阳期末）下列命题：①等弧所对的圆周角相等；②平分弦的直径垂直于弦；③等边三角形的外心也是它的内心；④正五边形既是轴对称图形，也是中心对称图形.其中正确的命题是（ ）
A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④
5．一个半径为2cm的圆内接正六边形的面积等于（ ）
A．24cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2
6．（2020九上·永城期中）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，BF，BD分别交AC于点G，H.若该圆的半径为15cm，则线段GH的长为（ ）
A． cm B．5 cm C．3 cm D．10 cm
7．（2020九上·霍林郭勒月考）半径为 的圆内接正三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·和平模拟）在圆内接正方形ABCD中，正方形的边长AB是8，则这个正方形的中心角和边心距是（ ）
A．90°，4 B．90°，1 C．45°，4 D．45°，1
二、填空题
9．（2020·辽宁模拟）正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为 .
10．（2020·历下模拟）正方形的边长为6，则该正方形的边心距是 ．
11．（2019·渝中模拟）已知正六边形边长为a，则它的内切圆面积为 ．
12．以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是 ．
13．（2020·潜江模拟）如图，边AB是⊙O内接正六边形的一边，点C在 上，且BC是⊙O内接正八边形的一边，若AC是⊙O内接正n边形的一边，则n= .
三、解答题
14．（2018九上·丰城期中）如图，已知正三角形ABC内接于 ，AD是 的内接正十二边形的一条边长，连接CD，若 ，求 的半径．
15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接正方形，若正方形的面积等于4，求⊙O的面积．
16．如图五边形ABCDE内接于⊙O，∠A =∠B=∠C=∠D=∠E．
求证：五边形ABCDE是正五边形
17．（2017九上·上杭期末）如图，正三角形ABC内接于⊙O，若AB= cm，求⊙O的半径．
18．如图，已知等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，CD=5cm，求⊙O的半径R．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵圆内接正六边形的边长为3，
∴该圆的半径为3，
∴直径为2×3=6.
故答案为：D.
【分析】利用圆内接正六边形的边长和半径相等，就可求出该圆的直径。
2．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示：连接OA、OB
∵六边形ABCDEF是 ⊙O 的内接正六边形，∴∠AOB=60°，又∵OA=OB，∴△AOB是等边三角形，AB=OB=2,即 ⊙O 的内接正六边形的边长为2.
故答案为：A.
【分析】连接OA、OB，根据正六边形的中心角的计算方法算出∠AOB=60°，进而判断出△AOB是等边三角形即可解决问题.
3．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
在Rt△AOG中，OG＝2 ，∠AOG＝30°，
∴OA＝OG÷cos 30°＝ ．
这个正六边形的周长＝24．
故答案为：B．
【分析】首先设正六边形的中心是O，一边是AB，过O作OG⊥AB与G，在直角△OAG中，根据三角函数即可求得边长AB，从而求出周长
4．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接正多边形
【解析】【解答】①正确；②平分弦的直径不一定垂直于弦，所以②错误；③正确；④正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，所以④错误；综上，选A.
【分析】根据轴对称图形的定义“在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形”和中心对称图形的定义“在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形”可判断求解.
5．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接正六边形的中心与各个顶点，得到六个等边三角形，等边三角形的边长是2，因而面积是.
因而正六边形的面积．
故选B．
6．【答案】B
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵在圆内接正六边形ABCDEF中，AB＝AF＝BC＝CD，∠BAF＝∠ABC＝∠BCD＝120°，
∴∠AFB＝∠ABF＝∠BAC＝∠ACB＝∠CBD＝∠BDC＝30°，
∴AG＝BG，BH＝CH，
∵∠GBH＝∠BGH＝∠BHG＝60°，
∴AG＝GH＝BG＝BH＝CH，
连接OA，OB角AC于N，
则OB⊥AC，∠AOB＝60°，
∵OA＝15cm，
∴AN＝ OA＝ （cm），
∴AC＝2AN＝15 （cm），
∴GH＝ AC＝5 （cm），
故答案为：B.
【分析】根据正六边形的性质和等腰三角形的性质以及解直角三角形即可得到结论.
7．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示，过O作OD⊥BC于D；
∵此三角形是正三角形，
∴∠BOC= =120°．
∵OB=OC，
∴∠BOD= ×120°=60°，
∴∠OBD=30°；
∵OB=R，
∴OD= ，BD=OB cos30°= ，
∴BC=2BD=2× = ，
∴S△BOC= ×BC×OD= × = ，
∴S△ABC=3× ．
故答案为：D．
【分析】本题的关键是用R表示出正三角形的边长，再利用正三角形的面积计算公式（a为边长）求解即可。
8．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图，
正方形的边长为8，
由中心角只有四个可得出 ，
中心角是 ，
正方形的外接圆半径是： ，
， ，
，
边心距为：4.
故答案为： .
【分析】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可分别求出中心角，边心距.
9．【答案】2：
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：设正六边形的半径是r，
则外接圆的半径r，
内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是 r，
因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2： .
故答案为2： .
【分析】从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的边长引垂线，构建直角三角形，解三角形即可.
10．【答案】3
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】边心距=
【分析】正方形的外接圆圆心（同时也是内切圆圆心）到正方形某一边的距离为边心距，根据正方形对称性，易得边心距应为边长的一半.
11．【答案】 πa2
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：边长是a,则利用特殊三角形知内切圆半径是 , .
故答案为： πa2 .
【分析】根据正多边形与圆的关系可知：边长为a的正六边形的面积是边长为a的等边三角形的面积的6倍，进而根据等边三角形的性质及勾股定理得出等边三角形的高，即正六边形内切圆的半径，从而根据圆的面积计算方法即可算出答案.
12．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin45°= ；
如图所示，
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°＝ ，
则该三角形的三边分别为：, , ，
∵12+( )2=( )2，
∴该三角形是直角边，
∴该三角形的面积是： ×1× = .
故答案为 .
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，再由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
13．【答案】24
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】连接OC，
∵AB是⊙O内接正六边形的一边，
∴
∵BC是⊙O内接正八边形的一边，
∴
∴
∴
故答案为24；
【分析】根据中心角的度数=360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则∠AOC=15°，则边数n=360°÷中心角.
14．【答案】解：如图所示，连接OA、O
D、OC，
等边 内接于 ，AD为内接正十二边形的一边，
， ，
，
，
是等腰直角三角形，
，
即 的半径为6cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】 如图所示，连接OA，OD，OC，根据圆内接正多边形的性质求出∠AOC、∠AOD的度数，从而求出∠COD的度数，继而求出△OCD为等腰直角三角形，由OC=OD=CD，即可求出半径.
15．【答案】解：∵正方形的面积等于4，
∴正方形的边长AB=2，
则半径是2× = ，
∴⊙O的面积=π（ ）2=2π．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】由已知正方形的面积可求得正方形的边长，再正多边形和圆的性质可得弦心距为正方形边长的一半，根据解直角三角形可以求得OA的长，即圆的半径为，代入圆的面积公式即可求得。
16．【答案】证明：证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，∠A对着弧BDE，∠B对着弧CDA
∴弧BDE=弧CDA，
∴弧BDE 弧CDE=弧CDA 弧CDE，即弧BC=AE，
∴BC=AE.
同理可证AB=CD=DE=AE
∴AB=CD=DE=AE=BC，∠A=∠B=∠C=∠D=∠E
∴五边形ABCDE是正五边形
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】根据圆周角定理去证明AB=CD=DE=AE=BC，由∠A=∠B=∠C=∠D=∠E，可证得结论。
17．【答案】解：过点O作OD⊥BC于点D，连接BO，∵正三角形ABC内接于⊙O，∴点O即是三角形内心也是外心，∴∠OBD=30°，BD=CD= BC= AB= ，∴cos30°= = = ，解得：BO=2，即⊙O的半径为2cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】利用等边三角形的性质得出点O既是三角形内心也是外心，进而求出∠OBD=30°，BD=CD，再利用锐角函数关系得出BO即可．
18．【答案】解：连接OB，OC，OD，
∵等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，
∴∠BOC=×360°=120°，∠BOD=×360°=30°，
∴∠COD=∠BOC﹣∠BOD=90°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=45°，
∴OC=CD cos45°=5×=5（cm）．
即⊙O的半径R=5cm．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】首先连接OB，OC，OD，由等边△ABC内接于⊙O，BD为内接正十二边形的一边，可求得∠BOC，∠BOD的度数，继而证得△COD是等腰直角三角形，继而求得答案．
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