初中数学青岛版九年级上学期 第1章 1.3相似三角形的性质
一、单选题
1．（2020九上·昭平期末）两个相似三角形对应高之比为 ，那么它们的对应中线之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形对应高之比为1:2，
∴它们的相似比是1:2，
∴它们对应中线之比为1:2.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，对应中线的比等于相似比解答．
2．（2020·武汉模拟）如图，三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC上的一点，且DE平行于BC，S△ADE＝S四边形DECB，则△ABC与△ADE相似比的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵S△ADE＝S四边形DECB，
∴S△ABC＝2S△ADE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
即 ，
即△ABC与△ADE相似比的值是 ，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得出比例式，即可求出答案.
3．（2020·临潭模拟）在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比.如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（ ）
A．18米 B．16米 C．20米 D．15米
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】根据题意解：标杆的高：标杆的影长=旗杆的高：旗杆的影长，
即1.5：2.5=旗杆的高：30，
∴旗杆的高= =18米.
故答案为：A.
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.
4．（2020·银川模拟）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴ ，
∴S△DOE：S△AOC＝ ，
故答案为：D.
【分析】证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到 ，借助相似三角形的性质即可解决问题.
5．（2020·上海模拟）如右图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF：EH=2：3，那么EH的长为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH//BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x，
∴
解得：x= ，
则EH=3x= ．
故答案为B．
【分析】设EH=3x，则EF=2x，△AEH的边EH上的高为AM=AD-EF，再由三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，进而求得EH的长．
6．（2020·扶沟模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动.当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）
A． s B． s
C． s或 s D．以上均不对
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设运动时间为ts，则
BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，
当△BAC∽△BPQ， ＝ ，
即 ＝ ，解得t＝ ；
当△BCA∽△BPQ， ＝ ，
即 ＝ ，解得t＝ ，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为 s或 s，
故答案为：C.
【分析】首先设ts时△ABC与以B、P、Q为顶点的三角形相似，则BP=t，CQ=2t，BQ=BC-CQ=6-2t，然后分两种情况当△BAC∽△BPQ和当△BCA∽△BPQ讨论.
7．（2020·宜兴模拟）如图，在△ABC中，E,G分别是AB，AC上的点，∠AEG=∠C，∠BAC的平分线AD交EG于点F，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠AEG=∠C，∠EAG=∠BAC，
∴△AEG∽△ACB.
∴ .
∵∠EAF=∠CAD，∠AEF=∠C，
∴△AEF∽△ACD.
∴
又 ，∴ .
∴
故答案为：C.
【分析】根据两组对应角相等可判断△AEG∽△ACB，△AEF∽△ACD,再得出线段间的比例关系进行计算即可得出结果.
8．（2020·龙湖模拟）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长于点Q，下列结论正确的有（ ）个．
①AE⊥BF； ②QB＝QF； ③ ； ④SECPG＝3S△BGE
A．1 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】①利用SAS定理，可判定△ABE≌△BCF，所以通过角度换算，可得出∠BGE=90°，
所以AE⊥BF，所以①正确，
②根据折叠的性质，CD∥AB，可得出∠CFB=∠ABF，∠ABF=∠PFB，所以QB=QF,所以②正确，
③AE⊥BF,∠ABE=90°，△BEG∽△ABG∽△AEB，对应边成比例=，
设CE=x，BG=2x，AG=4x，BF=AE=AG+GE=5x,FG=BF-BG=3x，
FG=AG，即，故③正确，
④△BGE∽△BMC，E是BC的中点,BE-CE,所以△BGE的面积：△BMC=1∶4，所以△BGE的面积：四边形ECMG的面积=1∶3，连接CG，则△PGM的面积=△CGM的面积=2△CGM的面积，所以四边形ECPG的面积：△BGE的面积=5∶1，所以④错误
故答案为：C
【分析】根据全等三角形、相似三角形的判定和性质，可进行判断。
9．（2019九上·越城月考）在 中，点 在 上，点 在 上，且 与 相似， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B．12
C． D． 或
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，AD=EC，BD=10，AE=4，
∴若 时，△ADE∽△ABC，即 ,
解得：
则
当 时，△ADE∽△ACB，即
则AB=AD+DB=2+10=12，
∴AB的长为12或
故答案为：D.
【分析】由∠A是公共角，可知：当 时，△ADE∽△ABC，当 时，△ADE∽△ACB，又由AD=EC，BD=10，AE=4，即可求得AB的长.
10．（2019九上·朝阳期中）如图，P是 ABCD内一点，连结P与 ABCD各顶点， EFGH各顶点分别在边AP、BP、CP、DP上，且AE=2EP，EF∥AB．若△PEF与△PGH的面积和为1，则 ABCD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．18
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AE=2EP
∴AP=3EP
∵EF∥AB
∴△PEF∽△PAB
∴S△PEF：S△PAB=（PE：AP）2=9
即S△PAB=9S△PEF
同理S△PCD=9S△PGH
∴S△PAB+S△PCD=9
又∵S△PAB+S△PCD=S 口ABCD
∴S 口ABCD=18.
故答案为：D.
【分析】先根据相似三角形的判定和性质求出S△PAB+S△PCD=9，然后再利用S 口ABCD=2（S△PAB+S△PCD）即可求解。
二、填空题
11．（2020·亳州模拟）两个相似三角形的相似比为1：3，则它们周长的比为 ．
【答案】1：3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形的相似比为1：3，
∴它们的周长比为：1：3．
故答案为：1：3．
【分析】由两个相似三角形的相似比为1：3，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得答案．
12．（2020·河池模拟）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，D是AB边上的一点.若△ABC∽△ACD，则AD的长为 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACD，
∴
∵AB＝4，AC＝3，
∴ ，
∴AD＝ ，
故答案为： .
【分析】利用相似三角形的对应边成比例，就可求出AD的长。
13．（2020九下·镇江月考）如图，△ABC 两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么 = .
【答案】1:2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD和BE是△ABC的中线，
∴AC=2AE，BD=CD
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ACD
∴
∵EF∥BC
∴△EFG∽△BDG
∴.
故答案为：1:2
【分析】利用三角形的中线可得到AC=2AE，BD=CD，再由已知证明△AEF∽△ACD，△EFG∽△BDG，然后根据相似三角形的对应边成比例，就可求出FG与DG的比值。
14．（2020·苏州）如图，在 中，已知 ， ，垂足为D， .若 是 的中点，则 .
【答案】1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】
为 的中点，
，
∴ ，
，
故答案为：1.
【分析】根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明△ADB∽△EDC，得 ，由AB=2则可求出结论.
15．（2020·湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是 .
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： 在 中， ， ，
， ，
与 相似的格点三角形的两直角边的比值为 ，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在 网格图形中，最长线段为 ，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出 ， ， 的三角形，
，
，
，
此时 的面积为： ， 为面积最大的三角形，其斜边长为： .
故答案为： .
【分析】利用勾股定理可求出AB的长，就可得到△ABC的两直角边之比，分情况进行讨论，利用相似三角形的判定和性质，可以画出符合题意的三角形。
16．（2020·武汉模拟）如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，若EF＝2，CD＝3，则AB的长为 .
【答案】6
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴△DEF∽△DAB，
∴ ＝ ，
∵ ，
∴△BEF∽△BCD，
∴ ＝ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得，AB＝6，
故答案为：6.
【分析】证明△DEF∽△DAB、△BEF∽△BCD，利用相似三角形的性质以及比例的性质求出 ，把 代入计算得到答案.
17．（2020·河池模拟）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点F，交BC边于点E，已知AB＝6，AD＝8，则CE的长为 .
【答案】4.5
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∠B＝∠ADC＝∠DCE＝90°，
∴AC 10，
∵DE⊥AC，
∴∠CFE＝90°，
∵∠DCF＝∠ACD，
∴△CDF∽△CAD，
∴ ，
∴CF 3.6，
∵∠ECF＝∠ACB，
∴△CEF∽△CAB，
∴ ，
∴CE 4.5；
故答案为：4.5.
【分析】由勾股定理得出AC的值，证明△CDF∽△CAD，求出CF=3.6，再证明△CEF∽△CAB，得出 ，即可得出结果.
18．（2020九上·双台子期末）如图，在□ 中， 是一条对角线， ，且 与 相交于点 ，与 相交于点 ， ，连接 ．若 ，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵3AE＝2EB，
∴可设AE＝2a、BE＝3a，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，
∵S△AEF＝1，
∴S△ABC＝ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ADC＝S△ABC＝ ，
∵EF∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴S△ADF＝ S△ADC＝ × ＝ ，
故答案为： ．
【分析】由3AE＝2EB可设AE＝2a、BE＝3a，根据EF∥BC得 ，结合S△AEF＝1知S△ADC＝S△ABC＝ ，再由 知 ，继而根据S△ADF＝ S△ADC可得答案．
三、作图题
19．（2020九上·岐山期末）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上。
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子。(用线段表示)
（2）如果小明的身高AB=1.6m，他的影子长AC=1.4m，且他到路灯的距离AD=2.1m，求灯泡的高。
【答案】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子。
（2）解：由已知可得，
∴
∴DE=4m
∴灯泡的高为4m。
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）因为点O是路灯的位置，连接OG交地面于一点H，则FH为小亮在灯光下形成的影子.
（2）由于AB∥ED，利用平行线分线段成比例的性质列比例式，代入AB、AC和AD的值即可求出DE的长，即灯泡的高.
四、解答题
20．（2020·乐平模拟）在古代的《九章算术》中有一道题：今有勾五步，股 步，问勾中容方几何？意思是：如图，在 中，短直角边 步，长直角边 步，正方形有两边在两直角边上，一个顶点在斜边上．这个正方形 的边长为多少？
【答案】解：设正方形 边长为 步，
∵ ∽ ，
∴ ．
∴ ，
解得 ．
答：正方形 的边长为 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设正方形 边长为 步，利用 ∽ ，列比例式求出x值即可得到答案.
21．（2020·泰州模拟）如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度.
【答案】解：∵CD∥EF∥AB，
∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴ ， ，
又∵CD=EF，
∴ ，
∵DF=3，FG=4，BF=BD+DF=BD+3，BG=BD+DF+FG=BD+7，
∴
∴BD=9，BF=9+3=12
∴
解得，AB=6.4m
因此，路灯杆AB的高度6.4m.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由CD∥EF∥AB得可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，故 ， ，证 ，进一步得 ，求出BD，再得 ；
22．（2020九下·汉中月考）如图，某中学两座教学楼中间有个路灯，甲、乙两个人分别在楼上观察路灯顶端，视线所及如图①所示。根据实际情况画出平面图形如图②，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，甲从点C可以看到点G处，乙从点E恰巧可以看到点D处，点B是DF的中点，路灯AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离的差。
【答案】解：∵AB⊥DF，EF⊥DF，
∴∠ABD=∠F=90°，
又∵∠EDF=∠ADB，
∴△DAB~△DEF，
同理得△GAB~△GCD，
∵点B是DF的中点，
∴DB=BF= DF= ×120=60，
∵
∴EF=2AB=2x5.5=11，
∵BG=10.5，
∴DG=10.5+60=70.5
∴CD= AB= ×55≈36.9
∴甲、乙两人的观察点到地面的距离的差为：36.9-11=25.9（米）
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用垂直的定义可证∠ABD=∠F，再利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△DAB~△DEF，同理得△GAB~△GCD，再利用相似三角形的对应边成比例，就可求出EF，DG的长，然后求出CD的长即甲、乙两人的观测点到地面的距离的差。
23．（2020九下·镇江月考）如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF∶GF=1∶2，求矩形DEFG的周长．
【答案】解：如图，设EF=x，则GF=2x．∵GF∥BC，AH⊥BC，∴AK⊥GF．
∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，
∴ = ．
∵AH=6，BC=12，
∴ = ．解得x=3．
∴矩形DEFG的周长为18．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由已知EF∶GF=1∶2，可设EF=x，GF=2x，由题意易证△AGF∽△ABC，再利用相似三角形的对应边成比例建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出GF的长，由此可得到矩形DEFG的周长。
24．（2020九上·宽城期末）问题探究：三角形的角平分线是初中几何中一条非常重要的线段，它除了具有平分角、角平分线上的点到角两边的距离相等这些性质外，还具有以下的性质：
如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，则 。
提示：过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E。
请根据上面的提示，写出得到“ “这一结论完整的证明过程。
结论应用：如图②2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=15，AD平分∠BAC交BC于点D。请直接利用“问题探究”的结论，求线段CD的长。
【答案】解：问题探究：过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E， ∴ ，∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE． ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD． ∴∠E=∠ACE．∴AC= AE． ∴ ． 结论应用：在Rt△ABC中，∠C=90°， ． 设CD的长为x，则BD的长为15-x． ∵AD平分∠BAC， ∴ ，即 ． 解得 ． ∴CD的长为 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，则 ，根据“双平等腰”模型，易证 AC=AE，进而即可得到结论；根据勾股定理，求出AB的长， 设CD的长为x，则BD的长为15-x． 根据角平分线的性质，列出方程，即可求解.
25．（2019九上·昌图期末）已知：如图，在正方形ABCD中，Q是CD的中点， 求证： .
【答案】解：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ ∽ .
∵ 是CD的中点，
∴ .
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明 ∽ ，得到比例式，再根据正方形的边长关系即可判断 .
26．（2019九上·玉田期中）净觉寺享有“家东第一寺”的美誉，是一座规模较大，布局严颜，结构合理，独具一格的古建筑群体，被国务院批准列入第六批全国重点文物保护单位名单，某校社会实践小组为了测量寺内一古塔的高度，在地面上 处垂直于地面竖立了高度为 米的标杆 ，这时地面上的点 ，标杆的顶端点 ，古塔的塔尖点 正好在同一直线上，测得 米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点 ，标杆的顶端点 ，古塔的塔尖点 正好在同一直线上（点 ，点 ，点 ，点 与古塔底处的点 在同一直线上）这时测得 米， 米，请你根据以上数据，计算古塔的高度 .
【答案】解：
，
，
又∵DC=HG
∴ ，
解得： ，
， ，
解得： ，
答：塔的高度 为 米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得 , ，因为DC=HG，推出 ，列出方程求出CA=40（米），由 ，可得 ，由此即可解决问题．
1 / 1初中数学青岛版九年级上学期 第1章 1.3相似三角形的性质
一、单选题
1．（2020九上·昭平期末）两个相似三角形对应高之比为 ，那么它们的对应中线之比为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·武汉模拟）如图，三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC上的一点，且DE平行于BC，S△ADE＝S四边形DECB，则△ABC与△ADE相似比的值为（ ）
A．2 B．4 C． D．
3．（2020·临潭模拟）在相同的时刻，太阳光下物高与影长成正比.如果高为1.5米的人的影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高是（ ）
A．18米 B．16米 C．20米 D．15米
4．（2020·银川模拟）如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，DE∥AC，若S△BDE：S△CDE＝1：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·上海模拟）如右图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，如果AD⊥BC，BC=3，AD=2，EF：EH=2：3，那么EH的长为（ ）
A． B． C． D．2
6．（2020·扶沟模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动.当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为（ ）
A． s B． s
C． s或 s D．以上均不对
7．（2020·宜兴模拟）如图，在△ABC中，E,G分别是AB，AC上的点，∠AEG=∠C，∠BAC的平分线AD交EG于点F，若 ，则（ ）
A． B． C． D．
8．（2020·龙湖模拟）如图，在正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长于点Q，下列结论正确的有（ ）个．
①AE⊥BF； ②QB＝QF； ③ ； ④SECPG＝3S△BGE
A．1 B．4 C．3 D．2
9．（2019九上·越城月考）在 中，点 在 上，点 在 上，且 与 相似， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B．12
C． D． 或
10．（2019九上·朝阳期中）如图，P是 ABCD内一点，连结P与 ABCD各顶点， EFGH各顶点分别在边AP、BP、CP、DP上，且AE=2EP，EF∥AB．若△PEF与△PGH的面积和为1，则 ABCD的面积为（ ）
A．4 B．6 C．12 D．18
二、填空题
11．（2020·亳州模拟）两个相似三角形的相似比为1：3，则它们周长的比为 ．
12．（2020·河池模拟）如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，D是AB边上的一点.若△ABC∽△ACD，则AD的长为 .
13．（2020九下·镇江月考）如图，△ABC 两条中线AD和BE相交于点G，过点E作EF∥BC交AD于点F，那么 = .
14．（2020·苏州）如图，在 中，已知 ， ，垂足为D， .若 是 的中点，则 .
15．（2020·湖州）在每个小正方形的边长为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形，如图，已知Rt△ABC是6×6网格图形中的格点三角形，则该图中所有与Rt△ABC相似的格点三角形中，面积最大的三角形的斜边长是 .
16．（2020·武汉模拟）如图，AD与BC相交于E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，若EF＝2，CD＝3，则AB的长为 .
17．（2020·河池模拟）如图，矩形ABCD中，DE⊥AC于点F，交BC边于点E，已知AB＝6，AD＝8，则CE的长为 .
18．（2020九上·双台子期末）如图，在□ 中， 是一条对角线， ，且 与 相交于点 ，与 相交于点 ， ，连接 ．若 ，则 的值为 ．
三、作图题
19．（2020九上·岐山期末）如图，在路灯下，小明的身高如图中线段AB所示，他在地面上的影子如图中线段AC所示，小亮的身高如图中线段FG所示，路灯灯泡在线段DE上。
（1）请你确定灯泡所在的位置，并画出小亮在灯光下形成的影子。(用线段表示)
（2）如果小明的身高AB=1.6m，他的影子长AC=1.4m，且他到路灯的距离AD=2.1m，求灯泡的高。
四、解答题
20．（2020·乐平模拟）在古代的《九章算术》中有一道题：今有勾五步，股 步，问勾中容方几何？意思是：如图，在 中，短直角边 步，长直角边 步，正方形有两边在两直角边上，一个顶点在斜边上．这个正方形 的边长为多少？
21．（2020·泰州模拟）如图，有一路灯杆AB（底部B不能直接到达），在灯光下，小明在点D处测得自己的影长DF=3m，沿BD方向到达点F处再测得自己得影长FG=4m，如果小明的身高为1.6m，求路灯杆AB的高度.
22．（2020九下·汉中月考）如图，某中学两座教学楼中间有个路灯，甲、乙两个人分别在楼上观察路灯顶端，视线所及如图①所示。根据实际情况画出平面图形如图②，CD⊥DF，AB⊥DF，EF⊥DF，甲从点C可以看到点G处，乙从点E恰巧可以看到点D处，点B是DF的中点，路灯AB高5.5米，DF=120米，BG=10.5米，求甲、乙两人的观测点到地面的距离的差。
23．（2020九下·镇江月考）如图，矩形DEFG的一边DE在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上，AH是边BC上的高，AH与GF相交于点K，已知BC=12，AH=6，EF∶GF=1∶2，求矩形DEFG的周长．
24．（2020九上·宽城期末）问题探究：三角形的角平分线是初中几何中一条非常重要的线段，它除了具有平分角、角平分线上的点到角两边的距离相等这些性质外，还具有以下的性质：
如图①，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，则 。
提示：过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E。
请根据上面的提示，写出得到“ “这一结论完整的证明过程。
结论应用：如图②2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=15，AD平分∠BAC交BC于点D。请直接利用“问题探究”的结论，求线段CD的长。
25．（2019九上·昌图期末）已知：如图，在正方形ABCD中，Q是CD的中点， 求证： .
26．（2019九上·玉田期中）净觉寺享有“家东第一寺”的美誉，是一座规模较大，布局严颜，结构合理，独具一格的古建筑群体，被国务院批准列入第六批全国重点文物保护单位名单，某校社会实践小组为了测量寺内一古塔的高度，在地面上 处垂直于地面竖立了高度为 米的标杆 ，这时地面上的点 ，标杆的顶端点 ，古塔的塔尖点 正好在同一直线上，测得 米，将标杆向后平移到点处，这时地面上的点 ，标杆的顶端点 ，古塔的塔尖点 正好在同一直线上（点 ，点 ，点 ，点 与古塔底处的点 在同一直线上）这时测得 米， 米，请你根据以上数据，计算古塔的高度 .
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形对应高之比为1:2，
∴它们的相似比是1:2，
∴它们对应中线之比为1:2.
故答案为：A.
【分析】根据相似三角形对应高的比等于相似比，对应中线的比等于相似比解答．
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵S△ADE＝S四边形DECB，
∴S△ABC＝2S△ADE，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
即 ，
即△ABC与△ADE相似比的值是 ，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的判定得出△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质得出比例式，即可求出答案.
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】根据题意解：标杆的高：标杆的影长=旗杆的高：旗杆的影长，
即1.5：2.5=旗杆的高：30，
∴旗杆的高= =18米.
故答案为：A.
【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似.
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵S△BDE：S△CDE＝1：3，
∴BE：EC＝1：3；
∴BE：BC＝1：4；
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△AOC，
∴ ，
∴S△DOE：S△AOC＝ ，
故答案为：D.
【分析】证明BE：EC＝1：3，进而证明BE：BC＝1：4；证明△DOE∽△AOC，得到 ，借助相似三角形的性质即可解决问题.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形EFGH是矩形，
∴EH//BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AM⊥EH，AD⊥BC，
∴
设EH=3x，则有EF=2x，AM=AD-EF=2-2x，
∴
解得：x= ，
则EH=3x= ．
故答案为B．
【分析】设EH=3x，则EF=2x，△AEH的边EH上的高为AM=AD-EF，再由三角形AEH与三角形ABC相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出x的值，进而求得EH的长．
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：设运动时间为ts，则
BP＝t，CQ＝2t，BQ＝BC﹣CQ＝6﹣2t，
当△BAC∽△BPQ， ＝ ，
即 ＝ ，解得t＝ ；
当△BCA∽△BPQ， ＝ ，
即 ＝ ，解得t＝ ，
综上所述，当以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，运动时间为 s或 s，
故答案为：C.
【分析】首先设ts时△ABC与以B、P、Q为顶点的三角形相似，则BP=t，CQ=2t，BQ=BC-CQ=6-2t，然后分两种情况当△BAC∽△BPQ和当△BCA∽△BPQ讨论.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：（1）∵∠AEG=∠C，∠EAG=∠BAC，
∴△AEG∽△ACB.
∴ .
∵∠EAF=∠CAD，∠AEF=∠C，
∴△AEF∽△ACD.
∴
又 ，∴ .
∴
故答案为：C.
【分析】根据两组对应角相等可判断△AEG∽△ACB，△AEF∽△ACD,再得出线段间的比例关系进行计算即可得出结果.
8．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】①利用SAS定理，可判定△ABE≌△BCF，所以通过角度换算，可得出∠BGE=90°，
所以AE⊥BF，所以①正确，
②根据折叠的性质，CD∥AB，可得出∠CFB=∠ABF，∠ABF=∠PFB，所以QB=QF,所以②正确，
③AE⊥BF,∠ABE=90°，△BEG∽△ABG∽△AEB，对应边成比例=，
设CE=x，BG=2x，AG=4x，BF=AE=AG+GE=5x,FG=BF-BG=3x，
FG=AG，即，故③正确，
④△BGE∽△BMC，E是BC的中点,BE-CE,所以△BGE的面积：△BMC=1∶4，所以△BGE的面积：四边形ECMG的面积=1∶3，连接CG，则△PGM的面积=△CGM的面积=2△CGM的面积，所以四边形ECPG的面积：△BGE的面积=5∶1，所以④错误
故答案为：C
【分析】根据全等三角形、相似三角形的判定和性质，可进行判断。
9．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵∠A=∠A，AD=EC，BD=10，AE=4，
∴若 时，△ADE∽△ABC，即 ,
解得：
则
当 时，△ADE∽△ACB，即
则AB=AD+DB=2+10=12，
∴AB的长为12或
故答案为：D.
【分析】由∠A是公共角，可知：当 时，△ADE∽△ABC，当 时，△ADE∽△ACB，又由AD=EC，BD=10，AE=4，即可求得AB的长.
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AE=2EP
∴AP=3EP
∵EF∥AB
∴△PEF∽△PAB
∴S△PEF：S△PAB=（PE：AP）2=9
即S△PAB=9S△PEF
同理S△PCD=9S△PGH
∴S△PAB+S△PCD=9
又∵S△PAB+S△PCD=S 口ABCD
∴S 口ABCD=18.
故答案为：D.
【分析】先根据相似三角形的判定和性质求出S△PAB+S△PCD=9，然后再利用S 口ABCD=2（S△PAB+S△PCD）即可求解。
11．【答案】1：3
【知识点】相似三角形的性质
【解析】【解答】∵两个相似三角形的相似比为1：3，
∴它们的周长比为：1：3．
故答案为：1：3．
【分析】由两个相似三角形的相似比为1：3，根据相似三角形周长的比等于相似比，即可求得答案．
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵△ABC∽△ACD，
∴
∵AB＝4，AC＝3，
∴ ，
∴AD＝ ，
故答案为： .
【分析】利用相似三角形的对应边成比例，就可求出AD的长。
13．【答案】1:2
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵AD和BE是△ABC的中线，
∴AC=2AE，BD=CD
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ACD
∴
∵EF∥BC
∴△EFG∽△BDG
∴.
故答案为：1:2
【分析】利用三角形的中线可得到AC=2AE，BD=CD，再由已知证明△AEF∽△ACD，△EFG∽△BDG，然后根据相似三角形的对应边成比例，就可求出FG与DG的比值。
14．【答案】1
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】
为 的中点，
，
∴ ，
，
故答案为：1.
【分析】根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明△ADB∽△EDC，得 ，由AB=2则可求出结论.
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： 在 中， ， ，
， ，
与 相似的格点三角形的两直角边的比值为 ，
若该三角形最短边长为4，则另一直角边长为8，但在 网格图形中，最长线段为 ，但此时画出的直角三角形为等腰直角三角形，从而画不出端点都在格点且长为8的线段，故最短直角边长应小于4，在图中尝试，可画出 ， ， 的三角形，
，
，
，
此时 的面积为： ， 为面积最大的三角形，其斜边长为： .
故答案为： .
【分析】利用勾股定理可求出AB的长，就可得到△ABC的两直角边之比，分情况进行讨论，利用相似三角形的判定和性质，可以画出符合题意的三角形。
16．【答案】6
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵ ，
∴△DEF∽△DAB，
∴ ＝ ，
∵ ，
∴△BEF∽△BCD，
∴ ＝ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
解得，AB＝6，
故答案为：6.
【分析】证明△DEF∽△DAB、△BEF∽△BCD，利用相似三角形的性质以及比例的性质求出 ，把 代入计算得到答案.
17．【答案】4.5
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∠B＝∠ADC＝∠DCE＝90°，
∴AC 10，
∵DE⊥AC，
∴∠CFE＝90°，
∵∠DCF＝∠ACD，
∴△CDF∽△CAD，
∴ ，
∴CF 3.6，
∵∠ECF＝∠ACB，
∴△CEF∽△CAB，
∴ ，
∴CE 4.5；
故答案为：4.5.
【分析】由勾股定理得出AC的值，证明△CDF∽△CAD，求出CF=3.6，再证明△CEF∽△CAB，得出 ，即可得出结果.
18．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵3AE＝2EB，
∴可设AE＝2a、BE＝3a，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，
∵S△AEF＝1，
∴S△ABC＝ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S△ADC＝S△ABC＝ ，
∵EF∥BC，
∴ ，
∴ ，
∴S△ADF＝ S△ADC＝ × ＝ ，
故答案为： ．
【分析】由3AE＝2EB可设AE＝2a、BE＝3a，根据EF∥BC得 ，结合S△AEF＝1知S△ADC＝S△ABC＝ ，再由 知 ，继而根据S△ADF＝ S△ADC可得答案．
19．【答案】（1）解：如图，点O为灯泡所在的位置，线段FH为小亮在灯光下形成的影子。
（2）解：由已知可得，
∴
∴DE=4m
∴灯泡的高为4m。
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】（1）因为点O是路灯的位置，连接OG交地面于一点H，则FH为小亮在灯光下形成的影子.
（2）由于AB∥ED，利用平行线分线段成比例的性质列比例式，代入AB、AC和AD的值即可求出DE的长，即灯泡的高.
20．【答案】解：设正方形 边长为 步，
∵ ∽ ，
∴ ．
∴ ，
解得 ．
答：正方形 的边长为 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】设正方形 边长为 步，利用 ∽ ，列比例式求出x值即可得到答案.
21．【答案】解：∵CD∥EF∥AB，
∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，
∴ ， ，
又∵CD=EF，
∴ ，
∵DF=3，FG=4，BF=BD+DF=BD+3，BG=BD+DF+FG=BD+7，
∴
∴BD=9，BF=9+3=12
∴
解得，AB=6.4m
因此，路灯杆AB的高度6.4m.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由CD∥EF∥AB得可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，故 ， ，证 ，进一步得 ，求出BD，再得 ；
22．【答案】解：∵AB⊥DF，EF⊥DF，
∴∠ABD=∠F=90°，
又∵∠EDF=∠ADB，
∴△DAB~△DEF，
同理得△GAB~△GCD，
∵点B是DF的中点，
∴DB=BF= DF= ×120=60，
∵
∴EF=2AB=2x5.5=11，
∵BG=10.5，
∴DG=10.5+60=70.5
∴CD= AB= ×55≈36.9
∴甲、乙两人的观察点到地面的距离的差为：36.9-11=25.9（米）
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】利用垂直的定义可证∠ABD=∠F，再利用有两组对应角相等的两三角形相似，可证得△DAB~△DEF，同理得△GAB~△GCD，再利用相似三角形的对应边成比例，就可求出EF，DG的长，然后求出CD的长即甲、乙两人的观测点到地面的距离的差。
23．【答案】解：如图，设EF=x，则GF=2x．∵GF∥BC，AH⊥BC，∴AK⊥GF．
∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，
∴ = ．
∵AH=6，BC=12，
∴ = ．解得x=3．
∴矩形DEFG的周长为18．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】由已知EF∶GF=1∶2，可设EF=x，GF=2x，由题意易证△AGF∽△ABC，再利用相似三角形的对应边成比例建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后求出GF的长，由此可得到矩形DEFG的周长。
24．【答案】解：问题探究：过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E， ∴ ，∠BAD=∠E，∠CAD=∠ACE． ∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD． ∴∠E=∠ACE．∴AC= AE． ∴ ． 结论应用：在Rt△ABC中，∠C=90°， ． 设CD的长为x，则BD的长为15-x． ∵AD平分∠BAC， ∴ ，即 ． 解得 ． ∴CD的长为 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，则 ，根据“双平等腰”模型，易证 AC=AE，进而即可得到结论；根据勾股定理，求出AB的长， 设CD的长为x，则BD的长为15-x． 根据角平分线的性质，列出方程，即可求解.
25．【答案】解：∵ ，
∴ .
∵ ，
∴ .
∴ .
∴ ∽ .
∵ 是CD的中点，
∴ .
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ .
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】先证明 ∽ ，得到比例式，再根据正方形的边长关系即可判断 .
26．【答案】解：
，
，
又∵DC=HG
∴ ，
解得： ，
， ，
解得： ，
答：塔的高度 为 米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】易知△EDC∽△EBA，△FHG∽△FBA，可得 , ，因为DC=HG，推出 ，列出方程求出CA=40（米），由 ，可得 ，由此即可解决问题．
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