初中数学湘教版九年级下册第二章 圆 章末检测（基础练）
一、单选题
1．（2020九上·无锡月考）给出下列命题：
①弦是直径；②圆上两点间的距离叫弧；③长度相等的两段弧是等弧；④圆心角的度数与它所对的弧的度数相等；⑤圆是轴对称图形，不是中心对称图形；⑥直径是弦.其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2020九上·邢台月考）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
3．（2020九上·重庆月考）下列说法，正确的是（ ）
A．等弦所对的圆周角相等
B．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
C．切线垂直于圆的半径
D．平分弦的直径垂直于弦
4．（2020九上·鞍山月考）如图，在⊙O中，点B是 的中点，点 在 上，连接 、 、 、 .若 ，则 的大小为（ ）
A．50° B．350° C．25° D．150°
5．（2021九上·韩城期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（ ）
A．4 B．6 C．2 D．8
6．（2020九上·兰溪月考）如图，在5x5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
7．（2020九上·镇海期中）圆O的半径为3，圆心O到直线的距离为4，则该直线与圆O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．以上都不对
8．（2020·武汉模拟）如图，A为⊙O外一点，AB与⊙O相切于B点，点P是⊙O上的一个动点，若OB＝5，AB＝12，则AP的最小值为（ ）
A．5 B．8 C．13 D．18
9．（2020九上·镇海期中）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝12，CD切⊙O于点E，交PA，PB于点C，D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
10．（2020九下·盐都期中）如图，点O是△ABC的内心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数是（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
11．（2020九上·江城月考）如图，一块含有30°角的直角三角形ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A'、B'、C的位置。若BC的长为7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．10πcm B．10 πcm C．15πcm D．20π
12．（2020九上·浙江期中）圆内接正六边形的边长与该边所对的劣弧的长的比是（ ）
A．1: B．1:π C．3:π D．6:π
二、填空题
13．（2020九上·海淀期中）如图，在 的正方形网格中，两条网格线的交点叫做格点，每个小正方形的边长均为1．以点 为圆心，5为半径画圆，共经过图中 个格点（包括图中网格边界上的点）．
14．（2020九上·民勤月考）如下图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于 °.
15．（2021九上·郧县期末）赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝ 米.
16．（2021九上·建湖月考）如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC=8，则点O到AC距离的最大值为 .
17．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是 ．（不添加其他字母和线条）
18．（2020九上·丹徒期中）如图，⊙O的半径为1，作两条互相垂直的直径AB、CD，弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边.若以A为圆心，以1为半径画弧，交⊙O于点E，F，连接AE、CE，弦EC是该圆内接正n边形的一边，则该正n边形的面积为 .
三、解答题
19．（2020九上·合肥期末）如图，四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线交于点E，F是BD延长线上一点，DE平分∠CDF．求证：AB=AC．
20．在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间．
21．（2019九上·西城期中）在附中中心花园的草坪上,有一些自动旋转喷泉水装置,它的喷灌区域是一个扇形,小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积,他测量岀了相关数据,并画出了示意图.如图,这种旋转喷水装置的旋转角度为240°,喷灌起终点A,B两点的距离为12米,求这种装置能够喷灌的草坪面积.
22．（2020九上·蜀山期末）如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C，交弦AB于D．
（1）求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；
（2）若AB＝24cm，CD＝8cm，求(1)中所作圆的半径.
23．如图所示，线段AB=1.8cm，作满足下面要求的图形．
（1）到点A和点B的距离都小于1.1cm的所有点组成的图形．
（2）到点A和点B距离都大于1.1cm的所有点组成的图形．
24．（2020九上·慈溪期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具。据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理. 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心 为圆心的圆，已知圆心 在水面上方，且当圆被水面截得的弦 为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）.
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦 从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
25．（2020九上·南京月考）在△ABC中，∠C= ，⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均相切，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n.
（1）当 =90°时，AC=6，BC=8时，m= ，n= .
（2）当 取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示，并直接写出答案）.①如图， =90°；②如图， =60°.
26．（2020·新疆模拟）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形.如图1， 与 的三边 分别相切于点 则 叫做 的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形.如图2， 与四边形ABCD的边 分别相切于点 则四边形 叫做 的外切四边形.
（1）如图2，试探究圆外切四边形 的两组对边 与 之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)；
（2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；
（3）用文字叙述上面证明的结论： ；
（4）若圆外切四边形的周长为 相邻的三条边的比为 ，求此四边形各边的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：①连接圆上任意两点间的线段叫做弦，故弦不一定是直径，原命题是假命题；
②圆上任意两点间的部分叫弧，原命题是假命题；
③在同圆或等圆中，长度相等的两段弧是等弧，原命题是假命题；
④圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，是真命题；
⑤圆是轴对称图形，也是中心对称图形，原命题是假命题；
⑥过圆心的弦是直径，所以直径是弦，是真命题.
故答案为：B.
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵∠ACO＝50°，
∴∠BCO＝90°-50°＝40°．
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO＝40°．
故答案为：C．
【分析】根据AB是直径，可得∠ACB=90°，再根据OA=OC，得到∠A=∠ACO=50°，最后利用三角形内角和求解即可。
3．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，故A选项错误；
弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心，故B选项正确；
切线垂直于过切点的圆的半径，故C选项错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故D选项错误；
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理，切线的判定，圆心角、弧、弦的关系分别判断即可求解.
4．【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，如图，
∵点B是 的中点，
∴
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】连接OC，如图，利用等弧所对的圆心角相等得到∠AOB=∠BOC=50°，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BDC的度数.
5．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵∠AOC＝2∠B，且∠AOD＝∠COD＝ ∠AOC，
∴∠COD＝∠B＝60°；
在Rt△COD中，OC＝4，∠COD＝60°，
∴CD＝ OC＝2 ，
∴AC＝2CD＝4 .
故答案为：A.
【分析】连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，由圆周角定理和等腰三角形的三线合一可得∠AOC＝2∠B，且∠AOD＝∠COD＝∠AOC，结合已知可得∠COD＝∠B＝60°，在Rt△COD中，解直角三角形可求得CD的值，再根据垂径定理得AC=2CD可求解.
6．【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接AB，BC，作AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点Q.
∴点Q是这条圆弧所在圆的圆心.
故答案为：B.
【分析】利用三角形外心的定义，作AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是这段圆弧的圆心。
7．【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆O的半径为3，圆心O到直线的距离为4，
∴4＞3即d＞r，
∴该直线与圆O相离.
故答案为：C.
【分析】设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离；由此可得答案。
8．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA交⊙O于点P，此时AP有最小值，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OBA＝90°，
∵OB＝5，AB＝12，
∴ ＝13，
∴OP＝5，则AP＝13﹣5＝8，
故答案为：B.
【分析】连结OA交⊙O于点P，此时AP有最小值，直接利用切线的性质得出∠OBA=90°，进而利用直角三角形的性质得出OA的长，则AP可求出.
9．【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=12，AC=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长：PC+CE+PD+DE=PC+AC+PD+DB=PA+PB=12+12=24.
故答案为：C.
【分析】利用切线长定理可证得PA=PB=12，AC=CE，DE=DB，再证明△PCD的周长就是PA+PB的长，然后代入计算。
10．【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°.
故答案为：B.
【分析】利用内心的性质得∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，再根据三角形内角和计算出∠OBC+∠OCB＝55°，然后再利用三角形内角和计算∠BOC的度数.
11．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵BC=7.5cm
∴AC=15cm
∴=10π
故答案为：A.
【分析】根据题意，由直角三角形的运动轨迹，利用弧长公式求出答案即可。
12．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：整理变形的中心角为 =60°，
设正六边形的半径为r，
则其边长为r，
边长所对的弧长为： ,
∴正六边形的边长和边长所对的弧长的比为：r： =3: .
故答案为：C.
【分析】设出正六边形的半径，然后用此半径分别表示出正六边形的边长和边长所对的弧长，作比即可.
13．【答案】4
【知识点】圆的认识；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，
⊙O共经过图中 4个格点
故答案为：4．
【分析】以点O为圆心做圆，数交点个数即可。
14．【答案】30
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题， 为等边三角形，则 ，
是弧 所对的圆心角和圆周角，
，
故答案为： 30 .
【分析】根据 AB=OA=OB可得 为等边三角形，可得，再根据同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半可得结果.
15．【答案】50
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：根据垂径定理，得AD＝ AB＝20米.
设圆的半径是R，根据勾股定理，
得R2＝202+（R﹣10）2，
解得R＝25（米），
∴⊙O的直径为50米.
故答案为：50.
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可.
16．【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC于点Q，延长QP交于⊙P与点E，连接PA、PC、CE、EA，当点O在圆周上运动到点E时，点O到AC距离最大，
∠MON＝45°，
∠CEA＝45°，
∠CPA＝90°，
PQ⊥AC，AC=8，
，
，
，
；
故答案为 ： .
【分析】作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC于点Q，延长QP交于⊙P与点E，连接PA、PC、CE、EA，当点O在圆周上运动到点E时，点O到AC距离最大，然后求解即可.
17．【答案】D是BC的中点
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：连接OD，
当DE与圆相切时，ED⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∵AO=BO，
∴D是BC的中点．
故答案为：D是BC的中点．
【分析】连接OD，根据切线的性质得∠ODE=90°，结合DE⊥AC，判断出OD∥AC，而OA=OB，所以OD是△ABC的中位线，即D是BC的中点。
18．【答案】3
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接EO，作EF⊥CO于点F
∵OA=OE=AE=1，
∴△AEO是等边三角形，
∴∠EOA=60°，
∴∠EOC=30°
∴n=360°÷30°=12，
∴EF= EO=
∴S△EOC= = =
∴该正12边形的面积=12S△EOC=3
故答案为：3.
【分析】连接EO，作EF⊥CO交CO于点F，可得弦EC为正12边形的弦，可得∠EOC=30°，可得S△EOC，可得正12边形的面积=12S△EOC.
19．【答案】证明：∵DE平分∠CDF，
∴∠CDE=∠EDF．
∵∠EDF=∠ADB，
∴∠CDE=∠ADB．
∵∠CDE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC
【知识点】角平分线的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】先根据角平分线的性质得出∠CDE=∠EDF，再由对顶角相等得出∠EDF=∠ADB，∠CDE=∠ADB．根据圆内接四边形的性质得出∠CDE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，进而可得出结论
20．【答案】解：根据题意画出图形，
根据题意可知AB=60千米，∠BAF=30°
过B作BD⊥AF于点D，作BE=BF=50千米，分别交AF于点E、F
∵ BD⊥AF，AB=60千米，∠BAF=30°
∴ 风暴离B城市的最近距离为BD=AB×sin30°=30千米，
∵ BD＜50千米
∴ 沿海城市B会受到这次风暴的影响
∵ BE=BF=50千米
∴ 沿海城市B受影响时风暴所走的路程为线段EF
∵ BE=BF=50千米，BD=30千米，BD⊥AF
∴ DF=DE=
∴ EF=2DF=80千米
∵ 风暴速度为每小时20千米
∴ 受影响时间==4小时
∴沿海城市B会受到这次风暴的影响，受影响的时间为4小时。
【知识点】直线与圆的位置关系；解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据题意画出图形，则AB=60千米，∠BAF=30°，将实际问题转化为直角三角形的问题.过B作BD⊥AF交AF于点D，作BE=BF=50千米，分别交AF于点E、F，要判断B点是否受影响，就要求出点B到风暴路线的最短距离BD，若BD≤50千米，则受影响，否则不受影响，利用解直角三角形求出BD的长，由BD＜50千米可得沿海城市B会受到这次风暴的影响，然后利用勾股定理求出DF的长，就可得出EF的长，继而可求出沿海城市B会受到这次风暴的影响，受影响的时间。
21．【答案】解：过点O作OC⊥AB于C点.
∵OC⊥AB,AB=12,
∴AC= AB=6.
∵OA=OB,∠AOB=360°-240°=120°,
∴∠AOC= ∠AOB=60°
在Rt△OAC中,OA2=OC2+AC2,
又∵OC= OA,
∴r=OA=4 ，
∴S= =32 (m2).
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】求得OA的长后用扇形的计算公式计算即可.
22．【答案】（1）解：连接BC，作线段BC的垂直平分线交直线CD与点O，
以点O为圆心，OA长为半径画圆，
圆O即为所求；
（2）解：如图，连接OA
∵OD⊥AB
∴AD= AB=12cm
设圆O半径为r，则OA=r，OD=r-8
直角三角形AOD中，AD2+OD2=OA2
∴122+(r-8)2=r2
∴r=13
∴圆O半径为13cm
【知识点】垂径定理的应用；确定圆的条件
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，即可求得圆心；（2）连接OA，根据垂径定理与勾股定理，即可求得圆的半径长．
23．【答案】（1）解：如图所示：
图中阴影部分就是到点A和点B的距离都小于1.1cm的所有点组成的图形
（2）解：图中两个圆以外的部分就是到点A和点B距离都大于1.1cm的所有点组成的图形
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）分别以A、B为圆心，1.1cm为半径画弧，两个圆相交的部分就是到点A和点B的距离都小于1.1cm的所有点组成的图形；（2）两个圆内部分都是到点A或点B的距离都小于1.1cm的部分，那么两圆以外的部分就是到点A和点B距离都大于1.1cm的所有点组成的图形．
24．【答案】（1）解：连接OC，延长CO交AB于点D，
∴CD⊥AB
∴，
设圆的半径为r，OD=r-1
在Rt△AOD中
OD2+AD2=AO2即（r-1）2+9=r2.
解之：r=5.
∴该圆的半径为5m.
（2）解：过点O作OE⊥AB'
∴A'E==4,
∴,
∴水面上涨的高度为5-3=2米.
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）连接OC，延长CO交AB于点D，利用垂径定理求出AD，再利用勾股定理求出圆的半径。
（2）过点O作OE⊥AB'，利用垂径定理求出A'E的长，再利用勾股定理求出OE的长，然后求出水面上涨的高度。
25．【答案】（1）2；12
（2）解：①如图，
由（1）可知， ， ，即 ，
由这两个式子可得 ；
②如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF、CP，
由切线长定理得 ，
∵ ， ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】三角形的面积；切线的性质；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：（1）如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF，连接OA、OB、OC，
∵ ，
∴ ，解得 ，
根据题意四边形DPEC是正方形，
∴ ，
由切线长定理得 ， ，
∴ ；
故答案为：2,12；
【分析】（1）设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF，连接OA、OB、OC，根据三角形内切圆的性质利用面积法求出内切圆半径m的值，再根据切线长定理求出n的值；
（2）①由（1）可知 ， ，从而得到 ；②由切线长定理得 ，再根据锐角三角函数求得 ，得到n和三角形ABC的周长的关系，结合 ，可以得到三角形ABC的面积与m、n的关系.
26．【答案】（1）=
（2）解：已知:四边形 的四边 分别与 相切于点
求证:
证明: 与 相切，
同理:
（3）圆外切四边形的对边之和相等
（4）解： 相邻的三条边的比为 ，
设此三边为
根据圆外切四边形的性质得:第四边的长为:
圆外切四边形的周长为 ，
解得
此四边形的四边长分别为: .
【知识点】圆内接正多边形；切线长定理
【解析】【解答】解：（1）∵⊙O与四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，
∴猜想AB+CD=AD+BC，
故答案为：=.
（ 3 ）由（2）可知：圆外切四边形的对边和相等.
故答案为：圆外切四边形的对边和相等；
【分析】（1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论；（2）根据切线长定理即可得出结论；（3）由（2）可得出答案；（4）根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论.
1 / 1初中数学湘教版九年级下册第二章 圆 章末检测（基础练）
一、单选题
1．（2020九上·无锡月考）给出下列命题：
①弦是直径；②圆上两点间的距离叫弧；③长度相等的两段弧是等弧；④圆心角的度数与它所对的弧的度数相等；⑤圆是轴对称图形，不是中心对称图形；⑥直径是弦.其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】圆的认识；圆心角、弧、弦的关系
【解析】【解答】解：①连接圆上任意两点间的线段叫做弦，故弦不一定是直径，原命题是假命题；
②圆上任意两点间的部分叫弧，原命题是假命题；
③在同圆或等圆中，长度相等的两段弧是等弧，原命题是假命题；
④圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，是真命题；
⑤圆是轴对称图形，也是中心对称图形，原命题是假命题；
⑥过圆心的弦是直径，所以直径是弦，是真命题.
故答案为：B.
【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项.
2．（2020九上·邢台月考）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠ACO＝50°，则∠B的度数为（ ）
A．60° B．50° C．40° D．30°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°．
∵∠ACO＝50°，
∴∠BCO＝90°-50°＝40°．
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO＝40°．
故答案为：C．
【分析】根据AB是直径，可得∠ACB=90°，再根据OA=OC，得到∠A=∠ACO=50°，最后利用三角形内角和求解即可。
3．（2020九上·重庆月考）下列说法，正确的是（ ）
A．等弦所对的圆周角相等
B．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心
C．切线垂直于圆的半径
D．平分弦的直径垂直于弦
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：在同圆或等圆中，等弦所对的圆周角相等，故A选项错误；
弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心，故B选项正确；
切线垂直于过切点的圆的半径，故C选项错误；
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故D选项错误；
故答案为：B.
【分析】根据垂径定理，切线的判定，圆心角、弧、弦的关系分别判断即可求解.
4．（2020九上·鞍山月考）如图，在⊙O中，点B是 的中点，点 在 上，连接 、 、 、 .若 ，则 的大小为（ ）
A．50° B．350° C．25° D．150°
【答案】C
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OC，如图，
∵点B是 的中点，
∴
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】连接OC，如图，利用等弧所对的圆心角相等得到∠AOB=∠BOC=50°，然后根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠BDC的度数.
5．（2021九上·韩城期末）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于（ ）
A．4 B．6 C．2 D．8
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，
∵∠AOC＝2∠B，且∠AOD＝∠COD＝ ∠AOC，
∴∠COD＝∠B＝60°；
在Rt△COD中，OC＝4，∠COD＝60°，
∴CD＝ OC＝2 ，
∴AC＝2CD＝4 .
故答案为：A.
【分析】连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，由圆周角定理和等腰三角形的三线合一可得∠AOC＝2∠B，且∠AOD＝∠COD＝∠AOC，结合已知可得∠COD＝∠B＝60°，在Rt△COD中，解直角三角形可求得CD的值，再根据垂径定理得AC=2CD可求解.
6．（2020九上·兰溪月考）如图，在5x5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（ ）
A．点P B．点Q C．点R D．点M
【答案】B
【知识点】三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：连接AB，BC，作AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线相交于点Q.
∴点Q是这条圆弧所在圆的圆心.
故答案为：B.
【分析】利用三角形外心的定义，作AB，BC的垂直平分线，两垂直平分线的交点就是这段圆弧的圆心。
7．（2020九上·镇海期中）圆O的半径为3，圆心O到直线的距离为4，则该直线与圆O的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．以上都不对
【答案】C
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵圆O的半径为3，圆心O到直线的距离为4，
∴4＞3即d＞r，
∴该直线与圆O相离.
故答案为：C.
【分析】设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交；当d＞r时，直线与圆相离；由此可得答案。
8．（2020·武汉模拟）如图，A为⊙O外一点，AB与⊙O相切于B点，点P是⊙O上的一个动点，若OB＝5，AB＝12，则AP的最小值为（ ）
A．5 B．8 C．13 D．18
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA交⊙O于点P，此时AP有最小值，
∵AB为⊙O的切线，
∴∠OBA＝90°，
∵OB＝5，AB＝12，
∴ ＝13，
∴OP＝5，则AP＝13﹣5＝8，
故答案为：B.
【分析】连结OA交⊙O于点P，此时AP有最小值，直接利用切线的性质得出∠OBA=90°，进而利用直角三角形的性质得出OA的长，则AP可求出.
9．（2020九上·镇海期中）如图，PA，PB分别切⊙O于点A，B，PA＝12，CD切⊙O于点E，交PA，PB于点C，D两点，则△PCD的周长是（ ）
A．12 B．18 C．24 D．30
【答案】C
【知识点】切线长定理
【解析】【解答】解：∵PA，PB分别切⊙O于点A，B，CD切⊙O于点E，
∴PA=PB=12，AC=CE，DE=DB，
∴△PCD的周长：PC+CE+PD+DE=PC+AC+PD+DB=PA+PB=12+12=24.
故答案为：C.
【分析】利用切线长定理可证得PA=PB=12，AC=CE，DE=DB，再证明△PCD的周长就是PA+PB的长，然后代入计算。
10．（2020九下·盐都期中）如图，点O是△ABC的内心，若∠A＝70°，则∠BOC的度数是（ ）
A．120° B．125° C．130° D．135°
【答案】B
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：∵O是△ABC的内心，
∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝ （180°﹣∠A）＝ （180°﹣70°）＝55°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°.
故答案为：B.
【分析】利用内心的性质得∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，再根据三角形内角和计算出∠OBC+∠OCB＝55°，然后再利用三角形内角和计算∠BOC的度数.
11．（2020九上·江城月考）如图，一块含有30°角的直角三角形ABC，在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到A'、B'、C的位置。若BC的长为7.5cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为（ ）
A．10πcm B．10 πcm C．15πcm D．20π
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵BC=7.5cm
∴AC=15cm
∴=10π
故答案为：A.
【分析】根据题意，由直角三角形的运动轨迹，利用弧长公式求出答案即可。
12．（2020九上·浙江期中）圆内接正六边形的边长与该边所对的劣弧的长的比是（ ）
A．1: B．1:π C．3:π D．6:π
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：整理变形的中心角为 =60°，
设正六边形的半径为r，
则其边长为r，
边长所对的弧长为： ,
∴正六边形的边长和边长所对的弧长的比为：r： =3: .
故答案为：C.
【分析】设出正六边形的半径，然后用此半径分别表示出正六边形的边长和边长所对的弧长，作比即可.
二、填空题
13．（2020九上·海淀期中）如图，在 的正方形网格中，两条网格线的交点叫做格点，每个小正方形的边长均为1．以点 为圆心，5为半径画圆，共经过图中 个格点（包括图中网格边界上的点）．
【答案】4
【知识点】圆的认识；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：如图，
⊙O共经过图中 4个格点
故答案为：4．
【分析】以点O为圆心做圆，数交点个数即可。
14．（2020九上·民勤月考）如下图，⊙O是△ABC的外接圆，若AB=OA=OB，则∠C等于 °.
【答案】30
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：由题， 为等边三角形，则 ，
是弧 所对的圆心角和圆周角，
，
故答案为： 30 .
【分析】根据 AB=OA=OB可得 为等边三角形，可得，再根据同弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半可得结果.
15．（2021九上·郧县期末）赵州桥是我国建筑史上的一大创举，它距今约1400年，历经无数次洪水冲击和8次地震却安然无恙.如图，若桥跨度AB约为40米，主拱高CD约10米，则桥弧AB所在圆的直径＝ 米.
【答案】50
【知识点】垂径定理的应用
【解析】【解答】解：根据垂径定理，得AD＝ AB＝20米.
设圆的半径是R，根据勾股定理，
得R2＝202+（R﹣10）2，
解得R＝25（米），
∴⊙O的直径为50米.
故答案为：50.
【分析】根据垂径定理和勾股定理求解即可.
16．（2021九上·建湖月考）如图，∠MON＝45°，一直角三角尺△ABC的两个顶点C、A分别在OM，ON上移动，若AC=8，则点O到AC距离的最大值为 .
【答案】
【知识点】垂径定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解：如图，作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC于点Q，延长QP交于⊙P与点E，连接PA、PC、CE、EA，当点O在圆周上运动到点E时，点O到AC距离最大，
∠MON＝45°，
∠CEA＝45°，
∠CPA＝90°，
PQ⊥AC，AC=8，
，
，
，
；
故答案为 ： .
【分析】作△AOC的外接圆⊙P，过点P作PQ⊥AC于点Q，延长QP交于⊙P与点E，连接PA、PC、CE、EA，当点O在圆周上运动到点E时，点O到AC距离最大，然后求解即可.
17．如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，DE⊥AC于点E，要使DE是⊙O的切线，需添加的条件是 ．（不添加其他字母和线条）
【答案】D是BC的中点
【知识点】切线的判定
【解析】【解答】解：连接OD，
当DE与圆相切时，ED⊥OD，
∵DE⊥AC，
∴OD∥AC，
∵AO=BO，
∴D是BC的中点．
故答案为：D是BC的中点．
【分析】连接OD，根据切线的性质得∠ODE=90°，结合DE⊥AC，判断出OD∥AC，而OA=OB，所以OD是△ABC的中位线，即D是BC的中点。
18．（2020九上·丹徒期中）如图，⊙O的半径为1，作两条互相垂直的直径AB、CD，弦AC是⊙O的内接正四边形的一条边.若以A为圆心，以1为半径画弧，交⊙O于点E，F，连接AE、CE，弦EC是该圆内接正n边形的一边，则该正n边形的面积为 .
【答案】3
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接EO，作EF⊥CO于点F
∵OA=OE=AE=1，
∴△AEO是等边三角形，
∴∠EOA=60°，
∴∠EOC=30°
∴n=360°÷30°=12，
∴EF= EO=
∴S△EOC= = =
∴该正12边形的面积=12S△EOC=3
故答案为：3.
【分析】连接EO，作EF⊥CO交CO于点F，可得弦EC为正12边形的弦，可得∠EOC=30°，可得S△EOC，可得正12边形的面积=12S△EOC.
三、解答题
19．（2020九上·合肥期末）如图，四边形ABCD内接于圆，AD、BC的延长线交于点E，F是BD延长线上一点，DE平分∠CDF．求证：AB=AC．
【答案】证明：∵DE平分∠CDF，
∴∠CDE=∠EDF．
∵∠EDF=∠ADB，
∴∠CDE=∠ADB．
∵∠CDE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC
【知识点】角平分线的性质；圆内接四边形的性质
【解析】【分析】先根据角平分线的性质得出∠CDE=∠EDF，再由对顶角相等得出∠EDF=∠ADB，∠CDE=∠ADB．根据圆内接四边形的性质得出∠CDE=∠ABC，∠ADB=∠ACB，进而可得出结论
20．在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间．
【答案】解：根据题意画出图形，
根据题意可知AB=60千米，∠BAF=30°
过B作BD⊥AF于点D，作BE=BF=50千米，分别交AF于点E、F
∵ BD⊥AF，AB=60千米，∠BAF=30°
∴ 风暴离B城市的最近距离为BD=AB×sin30°=30千米，
∵ BD＜50千米
∴ 沿海城市B会受到这次风暴的影响
∵ BE=BF=50千米
∴ 沿海城市B受影响时风暴所走的路程为线段EF
∵ BE=BF=50千米，BD=30千米，BD⊥AF
∴ DF=DE=
∴ EF=2DF=80千米
∵ 风暴速度为每小时20千米
∴ 受影响时间==4小时
∴沿海城市B会受到这次风暴的影响，受影响的时间为4小时。
【知识点】直线与圆的位置关系；解直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】根据题意画出图形，则AB=60千米，∠BAF=30°，将实际问题转化为直角三角形的问题.过B作BD⊥AF交AF于点D，作BE=BF=50千米，分别交AF于点E、F，要判断B点是否受影响，就要求出点B到风暴路线的最短距离BD，若BD≤50千米，则受影响，否则不受影响，利用解直角三角形求出BD的长，由BD＜50千米可得沿海城市B会受到这次风暴的影响，然后利用勾股定理求出DF的长，就可得出EF的长，继而可求出沿海城市B会受到这次风暴的影响，受影响的时间。
21．（2019九上·西城期中）在附中中心花园的草坪上,有一些自动旋转喷泉水装置,它的喷灌区域是一个扇形,小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积,他测量岀了相关数据,并画出了示意图.如图,这种旋转喷水装置的旋转角度为240°,喷灌起终点A,B两点的距离为12米,求这种装置能够喷灌的草坪面积.
【答案】解：过点O作OC⊥AB于C点.
∵OC⊥AB,AB=12,
∴AC= AB=6.
∵OA=OB,∠AOB=360°-240°=120°,
∴∠AOC= ∠AOB=60°
在Rt△OAC中,OA2=OC2+AC2,
又∵OC= OA,
∴r=OA=4 ，
∴S= =32 (m2).
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【分析】求得OA的长后用扇形的计算公式计算即可.
22．（2020九上·蜀山期末）如图，破残的圆形轮片上，弦AB的垂直平分线交AB于C，交弦AB于D．
（1）求作此残片所在的圆(不写作法，保留作图痕迹)；
（2）若AB＝24cm，CD＝8cm，求(1)中所作圆的半径.
【答案】（1）解：连接BC，作线段BC的垂直平分线交直线CD与点O，
以点O为圆心，OA长为半径画圆，
圆O即为所求；
（2）解：如图，连接OA
∵OD⊥AB
∴AD= AB=12cm
设圆O半径为r，则OA=r，OD=r-8
直角三角形AOD中，AD2+OD2=OA2
∴122+(r-8)2=r2
∴r=13
∴圆O半径为13cm
【知识点】垂径定理的应用；确定圆的条件
【解析】【分析】（1）根据垂径定理，即可求得圆心；（2）连接OA，根据垂径定理与勾股定理，即可求得圆的半径长．
23．如图所示，线段AB=1.8cm，作满足下面要求的图形．
（1）到点A和点B的距离都小于1.1cm的所有点组成的图形．
（2）到点A和点B距离都大于1.1cm的所有点组成的图形．
【答案】（1）解：如图所示：
图中阴影部分就是到点A和点B的距离都小于1.1cm的所有点组成的图形
（2）解：图中两个圆以外的部分就是到点A和点B距离都大于1.1cm的所有点组成的图形
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【分析】（1）分别以A、B为圆心，1.1cm为半径画弧，两个圆相交的部分就是到点A和点B的距离都小于1.1cm的所有点组成的图形；（2）两个圆内部分都是到点A或点B的距离都小于1.1cm的部分，那么两圆以外的部分就是到点A和点B距离都大于1.1cm的所有点组成的图形．
24．（2020九上·慈溪期中）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具。据史料记载，它发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是我国古代劳动人民的一项伟大创造. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理. 如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心 为圆心的圆，已知圆心 在水面上方，且当圆被水面截得的弦 为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）.
（1）求该圆的半径；
（2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦 从原来的6米变为8米时，则水面上涨的高度为多少米？
【答案】（1）解：连接OC，延长CO交AB于点D，
∴CD⊥AB
∴，
设圆的半径为r，OD=r-1
在Rt△AOD中
OD2+AD2=AO2即（r-1）2+9=r2.
解之：r=5.
∴该圆的半径为5m.
（2）解：过点O作OE⊥AB'
∴A'E==4,
∴,
∴水面上涨的高度为5-3=2米.
【知识点】勾股定理；垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）连接OC，延长CO交AB于点D，利用垂径定理求出AD，再利用勾股定理求出圆的半径。
（2）过点O作OE⊥AB'，利用垂径定理求出A'E的长，再利用勾股定理求出OE的长，然后求出水面上涨的高度。
25．（2020九上·南京月考）在△ABC中，∠C= ，⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均相切，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n.
（1）当 =90°时，AC=6，BC=8时，m= ，n= .
（2）当 取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示，并直接写出答案）.①如图， =90°；②如图， =60°.
【答案】（1）2；12
（2）解：①如图，
由（1）可知， ， ，即 ，
由这两个式子可得 ；
②如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF、CP，
由切线长定理得 ，
∵ ， ，
∴ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
【知识点】三角形的面积；切线的性质；三角形的内切圆与内心；锐角三角函数的定义；切线长定理
【解析】【解答】解：（1）如图，设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF，连接OA、OB、OC，
∵ ，
∴ ，解得 ，
根据题意四边形DPEC是正方形，
∴ ，
由切线长定理得 ， ，
∴ ；
故答案为：2,12；
【分析】（1）设点D、E、F分别是3个切点，连接PD、PE、PF，连接OA、OB、OC，根据三角形内切圆的性质利用面积法求出内切圆半径m的值，再根据切线长定理求出n的值；
（2）①由（1）可知 ， ，从而得到 ；②由切线长定理得 ，再根据锐角三角函数求得 ，得到n和三角形ABC的周长的关系，结合 ，可以得到三角形ABC的面积与m、n的关系.
26．（2020·新疆模拟）我们知道，与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，则三角形可以称为圆的外切三角形.如图1， 与 的三边 分别相切于点 则 叫做 的外切三角形.以此类推，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形.如图2， 与四边形ABCD的边 分别相切于点 则四边形 叫做 的外切四边形.
（1）如图2，试探究圆外切四边形 的两组对边 与 之间的数量关系，猜想： (横线上填“>”，“<”或“=”)；
（2）利用图2证明你的猜想(写出已知，求证，证明过程)；
（3）用文字叙述上面证明的结论： ；
（4）若圆外切四边形的周长为 相邻的三条边的比为 ，求此四边形各边的长.
【答案】（1）=
（2）解：已知:四边形 的四边 分别与 相切于点
求证:
证明: 与 相切，
同理:
（3）圆外切四边形的对边之和相等
（4）解： 相邻的三条边的比为 ，
设此三边为
根据圆外切四边形的性质得:第四边的长为:
圆外切四边形的周长为 ，
解得
此四边形的四边长分别为: .
【知识点】圆内接正多边形；切线长定理
【解析】【解答】解：（1）∵⊙O与四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA分别相切于点E，F，G，H，
∴猜想AB+CD=AD+BC，
故答案为：=.
（ 3 ）由（2）可知：圆外切四边形的对边和相等.
故答案为：圆外切四边形的对边和相等；
【分析】（1）根据圆外切四边形的定义猜想得出结论；（2）根据切线长定理即可得出结论；（3）由（2）可得出答案；（4）根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论.
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