初中数学北师大版八年级上学期 第七章 7.3平行线的判定
一、单选题
1．（2020八上·湛江开学考）如图，直线 被直线 所截下列条件能判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、∵∠1=∠3，
∴c//d.
故A选项不符合题意；
B、∵∠2+∠4=180°，
∴c//d.
故B选项不符合题意；
C、∵∠4=∠5，
∴c//d.
故C选项不符合题意；
D、∵∠1=∠2，
∴c//d.
故D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可.
2．（2020七下·岑溪期末）如图，已知 ，则图中互相平行的线段是（ ）
A．AB//CD B．AD//BC
C．AB//CD或AD//BC D．AB//CD且AD//BC
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
故答案为：B.
【分析】根据内错角相等，两直线平行即可判断.
3．（2020七下·岑溪期末）下图给出了过直线外一点作已知直线的平行线的一种方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一直线的两条直线平行
【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：图中所示过直线外一点作已知直线的平行线，则利用了同位角相等，两直线平行的判定方法.
故答案为：A.
【分析】判定两条直线是平行线的方法有：可以由内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行等，应结合题意，具体情况，具体分析.
4．（2020七下·北海期末）如图，下列条件中不能判断直线 与直线 平行的是（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A.根据内错角相等同，两直线平行可判断直线m//n，故此选项不符合题意；
B. 不能判断直线m//n，故此选项符合题意；
C.根据同位角相等，两直线平行可判断直线m//n，故此选项不符合题意；
D.根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线m//n，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据平行相关的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可.
5．（2020七下·余杭期末）如图，已知∠1=∠2=∠3=55°，那么∠4的度数是（ ）
A．55° B．115° C．120° D．125°
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=∠2，∠5=∠1（对顶角相等），
∴∠2=∠5，
∴a∥b（同位角相等，得两直线平行）；
∴∠3=∠6=55°（两直线平行，内错角相等），
故∠4=180°-55°=125°（邻补角互补）.
故答案为：D.
【分析】本题首先应根据对顶角相等及等量代换得出∠2=∠5，然后由同位角相等判定两直线平行得出直线a∥b，再根据二直线平行线内错角相等求出∠6的度数，最后根据邻补角的性质求出∠4的度数.
6．（2020七下·张掖期末）如图，△ ≌△ ，那么下列结论错误的是（ ）
A． B． C． ∥ D． ∥
【答案】B
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△EFD，
∴DE=AC，∠F=∠B，∠EDF=∠ACB，FD=BC，
∴EF∥AB，AC∥DE，FD-CD=BC-DC，
∴FC=BD，故答案为：A、C、D正确，选项B错误；
即错误的是选项B，
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质得出DE=AC，∠F=∠B，∠EDF=∠ACB，FD=BC，推出EF∥AB，AC∥DE，FC=BD，即可得出答案.
二、填空题
7．（2020·咸宁）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵ ，∴ .
【答案】∠1=∠4（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
若∠1=∠4，则a∥b，
故答案为：∠1=∠4（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定添加条件即可.
8．（2020七下·富县期末）如图，将两个含角 的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角 边，依据是 .
【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：因为∠BAD=∠ADC=30°，
所以 ，理由是：内错角相等，两直线平行.
故答案为：内错角相等，两直线平行.
【分析】图中的两个30°的角是一对内错角，而内错角相等，两直线平行，据此可得答案.
三、综合题
9．（2020八上·重庆开学考）完成下面的证明过程：
如图，AB∥CD，AD∥BC，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC.
求证：BE∥DF.
证明：∵AB∥CD，（已知）
∴∠ABC+∠C＝180°.（ ）
又∵AD∥BC，（已知）
∴+∠C＝180°.
∴∠ABC＝∠ADC.（ ）
∵BE平分∠ABC，（已知）
∴∠1＝ ∠ABC.
同理，∠2＝ ∠ADC.
∴∠1＝∠2.
∵AD∥BC，（已知）
∴∠2＝∠3.（ ）
∴∠1＝∠3，
∴BE∥DF.（ ）
【答案】证明：∵AB∥CD，（已知）
∴∠ABC+∠C＝180°.（两直线平行，同旁内角相等）
又∵AD∥BC，（已知）
∴∠ADC+∠C＝180°.
∴∠ABC＝∠ADC.（等量代换）
∵BE平分∠ABC，（已知）
∴∠1＝ ∠ABC.
同理，∠2＝ ∠ADC.
∴∠1＝∠2.
∵AD∥BC，（已知）
∴∠2＝∠3.（两直线平行，内错角相等）
∴∠1＝∠3，
∴BE∥DF.（同位角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】根据 AB∥CD，AD∥BC， 分别利用两直线平行同旁内角互补列式，可推 ∠ABC＝∠ADC，结合BE和DF分别平分∠ABC和∠ADC，可得∠1＝∠2，最后再利用平行线的性质可证BE∥DF.
10．（2020七下·张家港期末）如图，已知∠BDC＋∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B.
（1）求证：ED∥BC；
（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6.
①求△ABC的面积；
②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积.
【答案】（1）证明：如图，
∵∠BDC＋∠EFC＝180°，∠EFD＋∠EFC＝180°，
∴∠BDC＝∠EFD，
∴AB∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF，
又∵∠B＝∠DEF，
∴∠B＝∠ADE，
∴ED∥BC
（2）解：①设△CEF的面积为a，
∵F是CD的中点，
∴S△DEF＝a，
∴S△CDE＝2a，
同理，S△ADC＝4a，S△ABC＝8a，
∴S四边形ADFE＝3a，
∵四边形ADFE的面积为6.
∴3a＝6，即a＝2，
∴S△ABC＝8a＝16；
②如图，连接DG，
∵CG＝2BG，
∴S△DCG＝2S△DBG，
∴ ，
∵F是CD的中点，
∴ .
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】（1）根据同角的补角线段得出∠BDC＝∠EFD，即可证得AB∥EF，根据平行线的性质得出∠ADE＝∠DEF，即可得出∠B＝∠ADE，从而证得结论；（2）①根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形进行计算即可.②连接DG，由CG＝2BG，得到S△DCG＝2S△DBG，即可得到 ，进一步得到 .
11．（2020七下·重庆期末）如图，∠B=42°，∠1=∠2+10°，∠ACD=64°，∠ACD的平分线与BA的延长线相交于点E.
（1）请你判断BF与CD的位置关系，并说明理由；
（2）求∠3的度数.
【答案】（1）解：BF∥CD，理由如下：
因为∠B=42°，∠1=∠2+10°，且三角形内角和为180°
所以∠2=64°
又因为∠ACD=64°，所以∠ACD=∠2，因此BF∥CD；
（2）解：因为CE平分∠ACD，所以∠DCE= ∠ACD=32°
因为BF∥CD，所以∠3=180°- 32°=148°.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）由∠B=42°，∠1=∠2+10°根据三角形的内角和定理可求得∠2=64°，再结合∠ACD=64°得出 ∠ACD=∠2， 然后根据内错角相等，二直线平行即可证得结论；
（2）根据角平分线的性质可得∠DCE= ∠ACD=32°，再根据平行线的性质求解即可.
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第七章 7.3平行线的判定
一、单选题
1．（2020八上·湛江开学考）如图，直线 被直线 所截下列条件能判定 的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020七下·岑溪期末）如图，已知 ，则图中互相平行的线段是（ ）
A．AB//CD B．AD//BC
C．AB//CD或AD//BC D．AB//CD且AD//BC
3．（2020七下·岑溪期末）下图给出了过直线外一点作已知直线的平行线的一种方法，其依据是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．内错角相等，两直线平行
C．同旁内角互补，两直线平行
D．平行于同一直线的两条直线平行
4．（2020七下·北海期末）如图，下列条件中不能判断直线 与直线 平行的是（ ）.
A． B．
C． D．
5．（2020七下·余杭期末）如图，已知∠1=∠2=∠3=55°，那么∠4的度数是（ ）
A．55° B．115° C．120° D．125°
6．（2020七下·张掖期末）如图，△ ≌△ ，那么下列结论错误的是（ ）
A． B． C． ∥ D． ∥
二、填空题
7．（2020·咸宁）如图，请填写一个条件，使结论成立：∵ ，∴ .
8．（2020七下·富县期末）如图，将两个含角 的直角三角板的最长边靠在一起滑动，可知直角 边，依据是 .
三、综合题
9．（2020八上·重庆开学考）完成下面的证明过程：
如图，AB∥CD，AD∥BC，BE平分∠ABC，DF平分∠ADC.
求证：BE∥DF.
证明：∵AB∥CD，（已知）
∴∠ABC+∠C＝180°.（ ）
又∵AD∥BC，（已知）
∴+∠C＝180°.
∴∠ABC＝∠ADC.（ ）
∵BE平分∠ABC，（已知）
∴∠1＝ ∠ABC.
同理，∠2＝ ∠ADC.
∴∠1＝∠2.
∵AD∥BC，（已知）
∴∠2＝∠3.（ ）
∴∠1＝∠3，
∴BE∥DF.（ ）
10．（2020七下·张家港期末）如图，已知∠BDC＋∠EFC＝180°，∠DEF＝∠B.
（1）求证：ED∥BC；
（2）若D，E，F分别是AB，AC，CD边上的中点，四边形ADFE的面积为6.
①求△ABC的面积；
②若G是BC边上一点，CG＝2BG，求△FCG的面积.
11．（2020七下·重庆期末）如图，∠B=42°，∠1=∠2+10°，∠ACD=64°，∠ACD的平分线与BA的延长线相交于点E.
（1）请你判断BF与CD的位置关系，并说明理由；
（2）求∠3的度数.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A、∵∠1=∠3，
∴c//d.
故A选项不符合题意；
B、∵∠2+∠4=180°，
∴c//d.
故B选项不符合题意；
C、∵∠4=∠5，
∴c//d.
故C选项不符合题意；
D、∵∠1=∠2，
∴c//d.
故D选项符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可.
2．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
故答案为：B.
【分析】根据内错角相等，两直线平行即可判断.
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：图中所示过直线外一点作已知直线的平行线，则利用了同位角相等，两直线平行的判定方法.
故答案为：A.
【分析】判定两条直线是平行线的方法有：可以由内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补两直线平行等，应结合题意，具体情况，具体分析.
4．【答案】B
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】A.根据内错角相等同，两直线平行可判断直线m//n，故此选项不符合题意；
B. 不能判断直线m//n，故此选项符合题意；
C.根据同位角相等，两直线平行可判断直线m//n，故此选项不符合题意；
D.根据同旁内角互补，两直线平行可判断直线m//n，故此选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据平行相关的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质；对顶角及其性质；邻补角
【解析】【解答】解：如图，
∵∠1=∠2，∠5=∠1（对顶角相等），
∴∠2=∠5，
∴a∥b（同位角相等，得两直线平行）；
∴∠3=∠6=55°（两直线平行，内错角相等），
故∠4=180°-55°=125°（邻补角互补）.
故答案为：D.
【分析】本题首先应根据对顶角相等及等量代换得出∠2=∠5，然后由同位角相等判定两直线平行得出直线a∥b，再根据二直线平行线内错角相等求出∠6的度数，最后根据邻补角的性质求出∠4的度数.
6．【答案】B
【知识点】平行线的判定；三角形全等及其性质
【解析】【解答】解：∵△ABC≌△EFD，
∴DE=AC，∠F=∠B，∠EDF=∠ACB，FD=BC，
∴EF∥AB，AC∥DE，FD-CD=BC-DC，
∴FC=BD，故答案为：A、C、D正确，选项B错误；
即错误的是选项B，
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的性质得出DE=AC，∠F=∠B，∠EDF=∠ACB，FD=BC，推出EF∥AB，AC∥DE，FC=BD，即可得出答案.
7．【答案】∠1=∠4（答案不唯一）
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：如图，
若∠1=∠4，则a∥b，
故答案为：∠1=∠4（答案不唯一）
【分析】根据平行线的判定添加条件即可.
8．【答案】内错角相等，两直线平行
【知识点】平行线的判定
【解析】【解答】解：因为∠BAD=∠ADC=30°，
所以 ，理由是：内错角相等，两直线平行.
故答案为：内错角相等，两直线平行.
【分析】图中的两个30°的角是一对内错角，而内错角相等，两直线平行，据此可得答案.
9．【答案】证明：∵AB∥CD，（已知）
∴∠ABC+∠C＝180°.（两直线平行，同旁内角相等）
又∵AD∥BC，（已知）
∴∠ADC+∠C＝180°.
∴∠ABC＝∠ADC.（等量代换）
∵BE平分∠ABC，（已知）
∴∠1＝ ∠ABC.
同理，∠2＝ ∠ADC.
∴∠1＝∠2.
∵AD∥BC，（已知）
∴∠2＝∠3.（两直线平行，内错角相等）
∴∠1＝∠3，
∴BE∥DF.（同位角相等，两直线平行）
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【分析】根据 AB∥CD，AD∥BC， 分别利用两直线平行同旁内角互补列式，可推 ∠ABC＝∠ADC，结合BE和DF分别平分∠ABC和∠ADC，可得∠1＝∠2，最后再利用平行线的性质可证BE∥DF.
10．【答案】（1）证明：如图，
∵∠BDC＋∠EFC＝180°，∠EFD＋∠EFC＝180°，
∴∠BDC＝∠EFD，
∴AB∥EF，
∴∠ADE＝∠DEF，
又∵∠B＝∠DEF，
∴∠B＝∠ADE，
∴ED∥BC
（2）解：①设△CEF的面积为a，
∵F是CD的中点，
∴S△DEF＝a，
∴S△CDE＝2a，
同理，S△ADC＝4a，S△ABC＝8a，
∴S四边形ADFE＝3a，
∵四边形ADFE的面积为6.
∴3a＝6，即a＝2，
∴S△ABC＝8a＝16；
②如图，连接DG，
∵CG＝2BG，
∴S△DCG＝2S△DBG，
∴ ，
∵F是CD的中点，
∴ .
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形的角平分线、中线和高
【解析】【分析】（1）根据同角的补角线段得出∠BDC＝∠EFD，即可证得AB∥EF，根据平行线的性质得出∠ADE＝∠DEF，即可得出∠B＝∠ADE，从而证得结论；（2）①根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形进行计算即可.②连接DG，由CG＝2BG，得到S△DCG＝2S△DBG，即可得到 ，进一步得到 .
11．【答案】（1）解：BF∥CD，理由如下：
因为∠B=42°，∠1=∠2+10°，且三角形内角和为180°
所以∠2=64°
又因为∠ACD=64°，所以∠ACD=∠2，因此BF∥CD；
（2）解：因为CE平分∠ACD，所以∠DCE= ∠ACD=32°
因为BF∥CD，所以∠3=180°- 32°=148°.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）由∠B=42°，∠1=∠2+10°根据三角形的内角和定理可求得∠2=64°，再结合∠ACD=64°得出 ∠ACD=∠2， 然后根据内错角相等，二直线平行即可证得结论；
（2）根据角平分线的性质可得∠DCE= ∠ACD=32°，再根据平行线的性质求解即可.
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