青岛版九年级上册数学第二章《解直角三角形》测试题
一、单选题
1．（2020九下·镇江月考）如图，在坡度为 的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（ ）
A．3m B．3 m C．12m D．6m
2．（2020九下·射阳月考）如图，一架无人机航拍过程中在 处测得地面上 ， 两个目标点的俯角分别为 和 .若 ， 两个目标点之间的距离是100米，则此时无人机与目标点 之间的距离（即 的长）为（ ）
A．100米 B． 米 C．50米 D． 米
3．（2020·岱岳模拟）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)（ ）
A．22.48海里 B．41.68海里 C．43.16海里 D．55.63海里
4．（2020·苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆 的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 ；（2）量得测角仪的高度 ；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离 .利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·福田模拟）如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点C，测得∠BCA=37°，AC=28米，∠BAC=45°，则这棵树的高AB约为（参考数据：sin37°≈ ，tan37°≈ ， ≈1.4）（ ）
A．14米 B．15米 C．17米 D．18米
6．（2020·新泰模拟）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时40海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是（ ）
A．20 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．10 海里
7．（2020·苏家屯模拟）如图，A，B两景点相距20km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距（ ）
A．10km B．10 km C．10 km D． km
8．（2020·重庆A）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（ ）
A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m
9．（2020·温州模拟）如图，从点 看一山坡上的电线杆 ，观测点 的仰角是45°，向前走 到达 点，测得顶端点 和杆底端点 的仰角分别是60°和30°，则该电线杆 的高度（ ）
A． B． C． D．
10．（2020·重庆模拟）某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目.项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12 米，CD＝8米，∠D＝36°，（其中点A，B，C，D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（ ）米.（精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）
A．5.6 B．6.9 C．11.4 D．13.9
11．（2020·中模拟）某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带AB，调整为坡度i＝1： 的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4 米，那么新传送带AC的长是（ ）
A．8米 B．4米 C．6米 D．3米
12．（2020·昆山模拟）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（ ）m.
A．10 B．15 C．15 D．15 ﹣5
二、填空题
13．（2020·杭州模拟）如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为 m.（结果保留根号）
14．（2020·常州）如图，点C在线段 上，且 ，分别以 、 为边在线段 的同侧作正方形 、 ，连接 、 ，则 .
15．（2020·遵义）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平.E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上.若CD＝5，则BE的长是 .
16．（2020·济宁）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1： ，则斜坡AB的长是 米．
17．（2020·东城模拟）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 的值为 ．
18．（2020九上·莘县期末）计算sin60°tan60°- cos45°cos60°的结果为 。
19．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，一辆小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？ ；(填“是”或“否”)请简述你的理由 .(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)
20．（2019九上·偃师期中）如图，已知sinO＝ ，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，则AP＝ .
三、解答题
21．（2011·玉林）假日，小强在广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为10米，小强的身高AB为1.55米，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度．（结果精确到1米，参考数据 ≈1.41， ≈1.73 ）
22．（2020·铜川模拟）汉江是长江最长的支流，在历史上占居重要地位，陕西省境内的汉江为汉江上游段.李琳利用热气球探测器测量汉江某段河宽，如图，探测器在A处观测到正前方汉江两岸岸边的B、C两点，并测得B、C两点的俯角分别为45°，30°已知A处离地面的高度为80m，河平面BC与地面在同一水平面上，请你求出汉江该段河宽BC.(结果保留根号)
23．（2020·谷城模拟）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行35m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°.根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果精确到0.1）.参考数据：sin31° 0.52， ， .
24．（2020·临潭模拟）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5 ，∠A＝30°.
（1）求BD和AD的长；
（2）求tanC的值.
25．（2020·青海）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示.小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°.请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度.（结果精确到0.1 米， ）
26．（2020·娄底模拟）如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走3 米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．求大树BC的高度约为多少米？（ ≈1.732，结果精确到0.1）
27．（2019·赤峰模拟）如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时10 千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域．
（1）问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？
28．（2019·莘县模拟）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1： ，高为DE，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为64°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度；（参考数据：sin64°≈0.9，tan64°≈2)．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点B作BC⊥AC于点C，
∵AB的坡比为1：2，
∴BC：AC=1：2，
∵相邻两棵树的水平距离是6m，
∴AC=6
∴BC=6÷2=3，
AB=.
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图形，过点B作BC⊥AC于点C，利用坡比的定义求出AC，BC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可。
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得：∠DCB＝60°，∠DCA＝30°，
∴∠CBE＝60°，∠CAE＝30°，
∴∠BCA＝60°－30°＝30°，即∠CAE＝∠BCA，
∴BC＝AB＝100米，
在Rt△BCE中，CE＝BC·sin∠CBE＝100× 米，
∴AC＝2CE＝ 米，
故答案为：B.
【分析】根据三角形外角的性质求出∠CAE＝∠BCA＝30°，得到BC＝100米，然后在Rt△BCE中，解直角三角形求出CE，再根据含30度角的直角三角形的性质得出答案.
3．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，
过点P作PA⊥MN于点A，MN=30×2=60（海里），
∵∠MNC=90°，∠CPN=46°，
∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136°，
∵∠BMP=68°，∴∠PMN=90°﹣∠BMP=22°，
∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=22°，
∴∠PMN=∠MPN，∴MN=PN=60（海里），
∵∠CNP=46°，∴∠PNA=44°，
∴PA=PN·sin∠PNA=60×0.6947≈41.68（海里）
【分析】过点P作PA⊥MN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可
4．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】延长CE交AB于F，如图，
根据题意得，四边形CDBF为矩形，
∴CF=DB=b，FB=CD=a，
在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，
tan∠ACF=
∴AF= ，
AB=AF+BF= ，
故答案为：A.
【分析】延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长.
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，设AD=x米，则CD=（28-x）米。
在Rt△ABD中，∠BAC=45°，∴BD=AD=x米
在Rt△CBD中，，即
解得x=12
∴AB=x≈1.4×12=16.8≈17（米）
∴这棵树的高AB约为17米。
故答案为：C.
【分析】作BD⊥AC于点D，设AD=x米，则CD=（28-x）米。先在Rt△ABD中，由∠BAC=45°，得BD=AD=x米
在Rt△CBD中，利用三角函数的定义列出方程并求出的值，然后利用勾股定理即可求出AB。
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】由题意得∠CAB=180°-70°-50°=60°，∠ABC=50°+25°=75°，AB=1×40=40海里，
过点B作BH⊥AC，∴∠ABH=30°，
∴BH=sin30°AB=20海里，∠CBH=75°-30°=45°，
∴BC=BH=20海里，
∴灯塔C与码头B的距离是20海里.
故答案为：C.
【分析】根据题意可求出∠CAB=60°，∠ABC=75°，AB=40海里，过点B作BH⊥AC，从而可得∠ABH=30°，继而求出∠CBH=45°，利用解直角三角形先求出BH的长，然后求出BC的长即可.
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意可知：
∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝90°，AB＝20km，
∴AC＝AB×cos30°＝20× ＝ （km）.
∴A，C两景点相距 km.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，∠CAB=30°，∠CBA=60°，所以∠ACB=90°，根据AB=20km，和特殊角三角函数即可求出A，C两景点距离.
8．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，
在Rt△DEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴ ＝ ＝ ，
设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，
又CD＝45，即5x＝45，
∴x＝9，
∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，
在Rt△ADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，
∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，
故答案为：B.
【分析】由山坡CD的坡度i＝1：0.75可得DE：EC=4：3，设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x且CD＝45即可分别计算DE、EC，可得BE；由“在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°”可由AF＝tan28°×DF，即可计算AB.
9．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x.
在直角△APE中，∠PAE=45°，
则AE=PE=x；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中， ，
∵AB=AE-BE=6，
则 解得：
∴
在直角△BEQ中，
故答案为：A
【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解.
10．【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，延长DC、AB交于点E，
，
由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得
BE：CE＝1：2.
设BE＝xm，CE＝2xm.
在Rt△BCE中，由勾股定理，得
BE2+CE2＝BC2，
即x2+（2x）2＝（12 ）2，
解得x＝12，
BE＝12m，CE＝24m，
DE＝DC+CE＝8+24＝32m，
由tan36°≈0.73，得
＝0.73，
解得AB＝0.73×32＝23.36m.
由线段的和差，得
AB＝AE﹣BE＝23.36﹣12＝11.36≈11.4m，
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案.
11．【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】过点A作AD⊥CB延长线于点D，
∵∠ABD=45°，
∴AD=BD，
∵AB=4 ，
∴AD=BD=ABsin45°=4 × =4，
∵坡度i=1： ，
∴ = =
则DC=4 ，
∴AC= =8（m）．
故答案为：A.
【分析】根据题意首先得出AD，BD的长，再利用坡角的定义得出DC的长，再结合勾股定理得出答案．
12．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△CDE中，
∵CD＝10m，DE＝5m，
∴sin∠DCE＝ ，
∴∠DCE＝30°.
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，
∴∠BGF＝60°
∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°.
∵∠BDF＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC＝ （m），
∴AB＝BC sin60°＝10 ＝15（m）.
故答案为：B.
【分析】先根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBF＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由锐角三角函数的定义结合特殊锐角三角函数值，由 及AB＝BC sin60°即可算出答案.
13．【答案】（30 +30）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝30（m），
∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，
∴CD＝AD tan60°＝30× ＝30 （m），
∴BC＝BD+CD＝30 +30（m）
答：该建筑物的高度BC约为（30 +30）米.
故答案为：（30 +30）.
【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可.
14．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
设BC=a，则AC=2a
∵正方形
∴EC= ，∠ECD=
同理：CG= ，∠GCD=
∴ .
故答案为： .
【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答.
15．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，
∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC.
∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上.
∴A′B＝AB＝2BM.
在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，
∴sin∠MA′B＝ ，
∴∠MA′B＝30°，
∵MN∥BC，
∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠ABE＝∠EBA′＝30°，
∴BE＝ =.
故答案为： .
【分析】由折叠的性质可得：A′B=AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC，解直角三角形A'BM求出∠BA′M＝30°，再证明∠ABE＝30°即可解决问题.
16．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，
∵斜面坡度为1： ，
∴tan∠ABF= ，
∴∠ABF=30°，
∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，
∴∠HPB=30°，∠APB=45°，
∴∠HBP=60°，
∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，
∴PB=AB，
∵PH=30m，sin60°= ，
解得：PB= ，
故AB= m，
故答案为： .
【分析】首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角三角函数关系求出即可．
17．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】在网格上取个点D，得
∵CD=4，AD=3
∴
∴
故答案为：
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
18．【答案】1
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式=×-××
=-
=1
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可得到答案。
19．【答案】否；点A到OB的距离小于OB与墙MN平行且距离
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥OB，垂足为点C，
在Rt△ACO中，
∵∠AOC=40°，AO=1.2米，
∴AC=sin∠AOC AO≈0.64×1.2=0.768，
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，
∴车门不会碰到墙（点A到OB的距离小于OB与墙MN平行且距离），
故答案为否，点A到OB的距离小于OB与墙MN平行且距离.
【分析】过点A作AC⊥OB，垂足为点C，解三角形求出AC的长度，进而作出比较即可.
20．【答案】 或
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】当AP⊥OA，
∵sinO＝
∴
则设
在 中根据勾股定理
即
解得 ， （舍去）
∴ = ；
当AP⊥OP，
∵sinO＝
∴
∴
故填 或 .
【分析】分AP⊥OA，AP⊥OP两种情况讨论，当AP⊥OA，可根据sinO＝ ，设 ，利用勾股定理求出x即可求出AP；当AP⊥OP，直接利用sinO＝ 和AO=6，求得AP.
21．【答案】解：在Rt△CEB中，
sin60°= ，
∴CE=BC sin60°=10× ≈8.65m，
∴CD=CE+ED=8.65+1.55=10.2≈10m，
答：风筝离地面的高度为10m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意画出图形，根据sin60°= 可求出CE的长，再根据CD=CE+ED即可得出答案．
22．【答案】解：过A作AD⊥BD于点D，
在Rt△ADB中，∠ABD＝45°
∴BD＝AD＝80，
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°
∴tan∠ACD＝ ，
∴CD＝ ＝80 ，
∴BC＝CD﹣BD＝80 ﹣80
∴汉江该段河宽BC为（80 ﹣80）米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过A作AD⊥BD于点D，在Rt△ACD中，根据正切函数的概念求出CD的值，进而可求出BC的值.
23．【答案】解：如图，
根据题意，得 ， ， ，AB=35.
∵在Rt△ACD中， ，
∴ ，
∵在Rt△BCD中， ，
∴ .
又 ，
∴ .
∴ .
答：这座灯塔的高度CD约为52.5m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据正切的定义用CD表示出AD和BD，根据题意列出方程，解方程得到答案.
24．【答案】（1）解：∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°.
在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，
∴BD＝AB·sin30°＝3，
∴ .
（2）解： ，
在Rt△BDC中， .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1） 在Rt△ADB中，由sin30°=可求出BD的值，再根据cos30°=即可求得AD的值；
（2）结合图形由线段的构成可由CD=AC-AD算出CD的长，在Rt△BDC中，再根据tan∠C=可求解.
25．【答案】解：∵∠PAC=45°，∠PCA=90°，
∴AC=PC，
∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，∠PCA=90°，
∴∠BPQ=∠PBQ=30°，
∴BQ=PQ，CQ= BQ，
设BQ=PQ=x，则CQ= BQ= x，
根据勾股定理可得BC= = x，
∴AB+BC=PQ+QC
即60+ x=x+ x
解得：x=60+ =60+20×1.732=94.64≈94.6，
∴PQ的高度为94.6米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先根据题意得出AC=PC，BQ=PQ，CQ= BQ，设BQ=PQ=x，则CQ= BQ= x，根据勾股定理可得BC= x，根据AB+BC=PQ+QC即可得出关于x的方程求解即可.
26．【答案】解：作DH⊥AE于点H，作DG⊥BC于点G，如图，
则四边形DGCH为矩形，
在Rt△ADH中，
∵ ，
∴AH＝2DH，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴ ．
∴DH＝CG＝3m，
∴AH＝2DH＝6m，
设BC＝xm，则BG＝（x﹣3）m，
在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝xm，
∴CH＝DG＝（x+6）m，
在Rt△BDG中，∠BDG＝30°，
∵tan30°＝ ，
∴ ，
解得，x＝ ≈15.3．
答：大树BC的高度约为15.3米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】作DH⊥AE于点H，作DG⊥BC于点G，如图，由勾股定理得出 ．求出DH＝CG＝3m，则AH＝2DH＝6m，设BC＝xm，则BG＝（x﹣3）m，得出 ，解方程即可得出答案．
27．【答案】（1）解：A城市受影响．
如图，过点A作AC⊥BF，则距离点C最近的距离为AC，
∵AB＝300，∠ABC＝30°，
∴AC＝ AB＝150＜200，
所以A城会受到这次台风的影响
（2）解：如图， ∵距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域， 则AD＝AE＝200，即DE为A城遭受这次台风的距离， CD＝ ＝50 ，
∴DE＝100 ，
则t＝ ＝ ＝10小时．
故A城遭受这次台风影响的时间10小时．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）作AC⊥BF，则距点A最近的点即为C点，计算AC的长，若AC＞200千米，则不受影响，反之，则受影响．（2）求出A城所受影响的距离DE，又有台风移动的速度，即可求解出其影响的时间．
28．【答案】（1）解：解：在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1： ，
设DE=5x米，则EC=12x米，（5x)2+（12x）2=132，
解得，x=1
5x=5，12x=12，
即DE=5米，EC=12米，
故斜坡CD的高度DE是5米；
（2）解：tan64°= ，tan45°= ，DE=5米，CE=12米，
2= ，1=
解得，AB=34米，AC=17米，
即大楼AB的高度是34米．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用勾股定理，可求出斜坡的长度。
（2）解直角三角形可得出大楼AB的高度。
1 / 1青岛版九年级上册数学第二章《解直角三角形》测试题
一、单选题
1．（2020九下·镇江月考）如图，在坡度为 的山坡上种树，要求相邻两棵树的水平距离是6m，则斜坡上相邻两棵树的坡面距离是（ ）
A．3m B．3 m C．12m D．6m
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：过点B作BC⊥AC于点C，
∵AB的坡比为1：2，
∴BC：AC=1：2，
∵相邻两棵树的水平距离是6m，
∴AC=6
∴BC=6÷2=3，
AB=.
故答案为：B.
【分析】根据题意画出图形，过点B作BC⊥AC于点C，利用坡比的定义求出AC，BC的长，再利用勾股定理求出AB的长即可。
2．（2020九下·射阳月考）如图，一架无人机航拍过程中在 处测得地面上 ， 两个目标点的俯角分别为 和 .若 ， 两个目标点之间的距离是100米，则此时无人机与目标点 之间的距离（即 的长）为（ ）
A．100米 B． 米 C．50米 D． 米
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：由题意得：∠DCB＝60°，∠DCA＝30°，
∴∠CBE＝60°，∠CAE＝30°，
∴∠BCA＝60°－30°＝30°，即∠CAE＝∠BCA，
∴BC＝AB＝100米，
在Rt△BCE中，CE＝BC·sin∠CBE＝100× 米，
∴AC＝2CE＝ 米，
故答案为：B.
【分析】根据三角形外角的性质求出∠CAE＝∠BCA＝30°，得到BC＝100米，然后在Rt△BCE中，解直角三角形求出CE，再根据含30度角的直角三角形的性质得出答案.
3．（2020·岱岳模拟）如图，轮船沿正南方向以30海里/时的速度匀速航行，在M处观测到灯塔P在西偏南68°方向上，航行2小时后到达N处，观测灯塔P在西偏南46°方向上，若该船继续向南航行至离灯塔最近位置，则此时轮船离灯塔的距离约为(由科学计算器得到sin68°≈0.9272，sin46°≈0.7193，sin22°≈0.3746，sin44°≈0.6947)（ ）
A．22.48海里 B．41.68海里 C．43.16海里 D．55.63海里
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，
过点P作PA⊥MN于点A，MN=30×2=60（海里），
∵∠MNC=90°，∠CPN=46°，
∴∠MNP=∠MNC+∠CPN=136°，
∵∠BMP=68°，∴∠PMN=90°﹣∠BMP=22°，
∴∠MPN=180°﹣∠PMN﹣∠PNM=22°，
∴∠PMN=∠MPN，∴MN=PN=60（海里），
∵∠CNP=46°，∴∠PNA=44°，
∴PA=PN·sin∠PNA=60×0.6947≈41.68（海里）
【分析】过点P作PA⊥MN于点A，则若该船继续向南航行至离灯塔距离最近的位置为PA的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可
4．（2020·苏州）如图，小明想要测量学校操场上旗杆 的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 ；（2）量得测角仪的高度 ；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离 .利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】延长CE交AB于F，如图，
根据题意得，四边形CDBF为矩形，
∴CF=DB=b，FB=CD=a，
在Rt△ACF中，∠ACF=α，CF=b，
tan∠ACF=
∴AF= ，
AB=AF+BF= ，
故答案为：A.
【分析】延长CE交AB于F，得四边形CDBF为矩形，故CF=DB=b，FB=CD=a，在直角三角形ACF中，利用CF的长和已知的角的度数，利用正切函数可求得AF的长，从而可求出旗杆AB的长.
5．（2020·福田模拟）如图，一棵珍贵的树倾斜程度越来越厉害了．出于对它的保护，需要测量它的高度，现采取以下措施：在地面上选取一点C，测得∠BCA=37°，AC=28米，∠BAC=45°，则这棵树的高AB约为（参考数据：sin37°≈ ，tan37°≈ ， ≈1.4）（ ）
A．14米 B．15米 C．17米 D．18米
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点B作BD⊥AC于点D，设AD=x米，则CD=（28-x）米。
在Rt△ABD中，∠BAC=45°，∴BD=AD=x米
在Rt△CBD中，，即
解得x=12
∴AB=x≈1.4×12=16.8≈17（米）
∴这棵树的高AB约为17米。
故答案为：C.
【分析】作BD⊥AC于点D，设AD=x米，则CD=（28-x）米。先在Rt△ABD中，由∠BAC=45°，得BD=AD=x米
在Rt△CBD中，利用三角函数的定义列出方程并求出的值，然后利用勾股定理即可求出AB。
6．（2020·新泰模拟）如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时40海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是（ ）
A．20 海里 B．10 海里 C．20 海里 D．10 海里
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】由题意得∠CAB=180°-70°-50°=60°，∠ABC=50°+25°=75°，AB=1×40=40海里，
过点B作BH⊥AC，∴∠ABH=30°，
∴BH=sin30°AB=20海里，∠CBH=75°-30°=45°，
∴BC=BH=20海里，
∴灯塔C与码头B的距离是20海里.
故答案为：C.
【分析】根据题意可求出∠CAB=60°，∠ABC=75°，AB=40海里，过点B作BH⊥AC，从而可得∠ABH=30°，继而求出∠CBH=45°，利用解直角三角形先求出BH的长，然后求出BC的长即可.
7．（2020·苏家屯模拟）如图，A，B两景点相距20km，C景点位于A景点北偏东60°方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则A，C两景点相距（ ）
A．10km B．10 km C．10 km D． km
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：根据题意可知：
∠CAB＝30°，∠CBA＝60°，
∴∠ACB＝90°，AB＝20km，
∴AC＝AB×cos30°＝20× ＝ （km）.
∴A，C两景点相距 km.
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，∠CAB=30°，∠CBA=60°，所以∠ACB=90°，根据AB=20km，和特殊角三角函数即可求出A，C两景点距离.
8．（2020·重庆A）如图，在距某居民楼AB楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，山坡CD的坡度（或坡比）i＝1：0.75，山坡坡底C点到坡顶D点的距离CD＝45m，在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°，居民楼AB与山坡CD的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）（ ）
A．76.9m B．82.1m C．94.8m D．112.6m
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图，由题意得，∠ADF＝28°，CD＝45，BC＝60，
在Rt△DEC中，
∵山坡CD的坡度i＝1：0.75，
∴ ＝ ＝ ，
设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x，
又CD＝45，即5x＝45，
∴x＝9，
∴EC＝3x＝27，DE＝4x＝36＝FB，
∴BE＝BC+EC＝60+27＝87＝DF，
在Rt△ADF中，
AF＝tan28°×DF≈0.53×87≈46.11，
∴AB＝AF+FB＝46.11+36≈82.1，
故答案为：B.
【分析】由山坡CD的坡度i＝1：0.75可得DE：EC=4：3，设DE＝4x，则EC＝3x，由勾股定理可得CD＝5x且CD＝45即可分别计算DE、EC，可得BE；由“在坡顶D点处测得居民楼楼顶A点的仰角为28°”可由AF＝tan28°×DF，即可计算AB.
9．（2020·温州模拟）如图，从点 看一山坡上的电线杆 ，观测点 的仰角是45°，向前走 到达 点，测得顶端点 和杆底端点 的仰角分别是60°和30°，则该电线杆 的高度（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x.
在直角△APE中，∠PAE=45°，
则AE=PE=x；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中， ，
∵AB=AE-BE=6，
则 解得：
∴
在直角△BEQ中，
故答案为：A
【分析】延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解.
10．（2020·重庆模拟）某游乐场新推出了一个“极速飞车”的项目.项目有两条斜坡轨道以满足不同的难度需求，游客可以乘坐垂直升降电梯AB自由上下选择项目难度.其中斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，BC＝12 米，CD＝8米，∠D＝36°，（其中点A，B，C，D均在同一平面内）则垂直升降电梯AB的高度约为（ ）米.（精确到0.1米，参考数据：tan36°≈0.73，cos36°≈0.81，sin36°≈0.59）
A．5.6 B．6.9 C．11.4 D．13.9
【答案】C
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，延长DC、AB交于点E，
，
由斜坡轨道BC的坡度（或坡比）为i＝1：2，得
BE：CE＝1：2.
设BE＝xm，CE＝2xm.
在Rt△BCE中，由勾股定理，得
BE2+CE2＝BC2，
即x2+（2x）2＝（12 ）2，
解得x＝12，
BE＝12m，CE＝24m，
DE＝DC+CE＝8+24＝32m，
由tan36°≈0.73，得
＝0.73，
解得AB＝0.73×32＝23.36m.
由线段的和差，得
AB＝AE﹣BE＝23.36﹣12＝11.36≈11.4m，
故答案为：C.
【分析】根据勾股定理，可得CE，BE的长，根据正切函数，可得AE的长，再根据线段的和差，可得答案.
11．（2020·中模拟）某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带AB，调整为坡度i＝1： 的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4 米，那么新传送带AC的长是（ ）
A．8米 B．4米 C．6米 D．3米
【答案】A
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】过点A作AD⊥CB延长线于点D，
∵∠ABD=45°，
∴AD=BD，
∵AB=4 ，
∴AD=BD=ABsin45°=4 × =4，
∵坡度i=1： ，
∴ = =
则DC=4 ，
∴AC= =8（m）．
故答案为：A.
【分析】根据题意首先得出AD，BD的长，再利用坡角的定义得出DC的长，再结合勾股定理得出答案．
12．（2020·昆山模拟）如图，学校环保社成员想测量斜坡CD旁一棵树AB的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为60°，然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30°，已知斜坡CD的长度为10m，DE的长为5m，则树AB的高度是（ ）m.
A．10 B．15 C．15 D．15 ﹣5
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：在Rt△CDE中，
∵CD＝10m，DE＝5m，
∴sin∠DCE＝ ，
∴∠DCE＝30°.
∵∠ACB＝60°，DF∥AE，
∴∠BGF＝60°
∴∠ABC＝30°，∠DCB＝90°.
∵∠BDF＝30°，
∴∠DBF＝60°，
∴∠DBC＝30°，
∴BC＝ （m），
∴AB＝BC sin60°＝10 ＝15（m）.
故答案为：B.
【分析】先根据正弦函数的定义及特殊锐角三角函数值得出∠DCE＝30°，故可得出∠DCB＝90°，再由∠BDF＝30°可知∠DBF＝60°，由DF∥AE可得出∠BGF＝∠BCA＝60°，故∠GBF＝30°，所以∠DBC＝30°，再由锐角三角函数的定义结合特殊锐角三角函数值，由 及AB＝BC sin60°即可算出答案.
二、填空题
13．（2020·杭州模拟）如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为 m.（结果保留根号）
【答案】（30 +30）
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45°，
∴BD＝AD＝30（m），
∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，
∴CD＝AD tan60°＝30× ＝30 （m），
∴BC＝BD+CD＝30 +30（m）
答：该建筑物的高度BC约为（30 +30）米.
故答案为：（30 +30）.
【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD tan∠BAD，在Rt△ACD中，求得CD=AD tan∠CAD，再根据BC=BD+CD，代入数据计算即可.
14．（2020·常州）如图，点C在线段 上，且 ，分别以 、 为边在线段 的同侧作正方形 、 ，连接 、 ，则 .
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，
设BC=a，则AC=2a
∵正方形
∴EC= ，∠ECD=
同理：CG= ，∠GCD=
∴ .
故答案为： .
【分析】设BC=a，则AC=2a，然后利用正方形的性质求得CE、CG的长、∠GCD=ECD=45°，进而说明△ECG为直角三角形，最后运用正切的定义即可解答.
15．（2020·遵义）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平.E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上.若CD＝5，则BE的长是 .
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，
∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC.
∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上.
∴A′B＝AB＝2BM.
在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，
∴sin∠MA′B＝ ，
∴∠MA′B＝30°，
∵MN∥BC，
∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABA′＝60°，
∴∠ABE＝∠EBA′＝30°，
∴BE＝ =.
故答案为： .
【分析】由折叠的性质可得：A′B=AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC，解直角三角形A'BM求出∠BA′M＝30°，再证明∠ABE＝30°即可解决问题.
16．（2020·济宁）如图，小明在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°．若斜面坡度为1： ，则斜坡AB的长是 米．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：如图所示：过点A作AF⊥BC于点F，
∵斜面坡度为1： ，
∴tan∠ABF= ，
∴∠ABF=30°，
∵在距离地面30米的P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，
∴∠HPB=30°，∠APB=45°，
∴∠HBP=60°，
∴∠PBA=90°，∠BAP=45°，
∴PB=AB，
∵PH=30m，sin60°= ，
解得：PB= ，
故AB= m，
故答案为： .
【分析】首先根据题意得出∠ABF=30°，进而得出∠PBA=90°，∠BAP=45°，再利用锐角三角函数关系求出即可．
17．（2020·东城模拟）如图，在 的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1， 的顶点都在这些小正方形的顶点上，则 的值为 ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】在网格上取个点D，得
∵CD=4，AD=3
∴
∴
故答案为：
【分析】结合图形，根据锐角三角函数的定义即可求解．
18．（2020九上·莘县期末）计算sin60°tan60°- cos45°cos60°的结果为 。
【答案】1
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式=×-××
=-
=1
【分析】根据特殊角的三角函数值进行计算即可得到答案。
19．如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，一辆小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？ ；(填“是”或“否”)请简述你的理由 .(参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84)
【答案】否；点A到OB的距离小于OB与墙MN平行且距离
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥OB，垂足为点C，
在Rt△ACO中，
∵∠AOC=40°，AO=1.2米，
∴AC=sin∠AOC AO≈0.64×1.2=0.768，
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，
∴车门不会碰到墙（点A到OB的距离小于OB与墙MN平行且距离），
故答案为否，点A到OB的距离小于OB与墙MN平行且距离.
【分析】过点A作AC⊥OB，垂足为点C，解三角形求出AC的长度，进而作出比较即可.
20．（2019九上·偃师期中）如图，已知sinO＝ ，OA＝6，点P是射线ON上一动点，当△AOP为直角三角形时，则AP＝ .
【答案】 或
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】当AP⊥OA，
∵sinO＝
∴
则设
在 中根据勾股定理
即
解得 ， （舍去）
∴ = ；
当AP⊥OP，
∵sinO＝
∴
∴
故填 或 .
【分析】分AP⊥OA，AP⊥OP两种情况讨论，当AP⊥OA，可根据sinO＝ ，设 ，利用勾股定理求出x即可求出AP；当AP⊥OP，直接利用sinO＝ 和AO=6，求得AP.
三、解答题
21．（2011·玉林）假日，小强在广场放风筝．如图，小强为了计算风筝离地面的高度，他测得风筝的仰角为60°，已知风筝线BC的长为10米，小强的身高AB为1.55米，请你帮小强画出测量示意图，并计算出风筝离地面的高度．（结果精确到1米，参考数据 ≈1.41， ≈1.73 ）
【答案】解：在Rt△CEB中，
sin60°= ，
∴CE=BC sin60°=10× ≈8.65m，
∴CD=CE+ED=8.65+1.55=10.2≈10m，
答：风筝离地面的高度为10m．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意画出图形，根据sin60°= 可求出CE的长，再根据CD=CE+ED即可得出答案．
22．（2020·铜川模拟）汉江是长江最长的支流，在历史上占居重要地位，陕西省境内的汉江为汉江上游段.李琳利用热气球探测器测量汉江某段河宽，如图，探测器在A处观测到正前方汉江两岸岸边的B、C两点，并测得B、C两点的俯角分别为45°，30°已知A处离地面的高度为80m，河平面BC与地面在同一水平面上，请你求出汉江该段河宽BC.(结果保留根号)
【答案】解：过A作AD⊥BD于点D，
在Rt△ADB中，∠ABD＝45°
∴BD＝AD＝80，
在Rt△ACD中，∠ACD＝30°
∴tan∠ACD＝ ，
∴CD＝ ＝80 ，
∴BC＝CD﹣BD＝80 ﹣80
∴汉江该段河宽BC为（80 ﹣80）米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】过A作AD⊥BD于点D，在Rt△ACD中，根据正切函数的概念求出CD的值，进而可求出BC的值.
23．（2020·谷城模拟）如图，海面上一艘船由西向东航行，在A处测得正东方向上一座灯塔的最高点C的仰角为31°，再向东继续航行35m到达B处，测得该灯塔的最高点C的仰角为45°.根据测得的数据，计算这座灯塔的高度CD（结果精确到0.1）.参考数据：sin31° 0.52， ， .
【答案】解：如图，
根据题意，得 ， ， ，AB=35.
∵在Rt△ACD中， ，
∴ ，
∵在Rt△BCD中， ，
∴ .
又 ，
∴ .
∴ .
答：这座灯塔的高度CD约为52.5m.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据正切的定义用CD表示出AD和BD，根据题意列出方程，解方程得到答案.
24．（2020·临潭模拟）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝5 ，∠A＝30°.
（1）求BD和AD的长；
（2）求tanC的值.
【答案】（1）解：∵BD⊥AC，
∴∠ADB＝∠BDC＝90°.
在Rt△ADB中，AB＝6，∠A＝30°，
∴BD＝AB·sin30°＝3，
∴ .
（2）解： ，
在Rt△BDC中， .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1） 在Rt△ADB中，由sin30°=可求出BD的值，再根据cos30°=即可求得AD的值；
（2）结合图形由线段的构成可由CD=AC-AD算出CD的长，在Rt△BDC中，再根据tan∠C=可求解.
25．（2020·青海）某市为了加快5G网络信号覆盖，在市区附近小山顶架设信号发射塔，如图所示.小军为了知道发射塔的高度，从地面上的一点A测得发射塔顶端P点的仰角是45°，向前走60米到达B点测得P点的仰角是60°，测得发射塔底部Q点的仰角是30°.请你帮小军计算出信号发射塔PQ的高度.（结果精确到0.1 米， ）
【答案】解：∵∠PAC=45°，∠PCA=90°，
∴AC=PC，
∵∠PBC=60°，∠QBC=30°，∠PCA=90°，
∴∠BPQ=∠PBQ=30°，
∴BQ=PQ，CQ= BQ，
设BQ=PQ=x，则CQ= BQ= x，
根据勾股定理可得BC= = x，
∴AB+BC=PQ+QC
即60+ x=x+ x
解得：x=60+ =60+20×1.732=94.64≈94.6，
∴PQ的高度为94.6米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先根据题意得出AC=PC，BQ=PQ，CQ= BQ，设BQ=PQ=x，则CQ= BQ= x，根据勾股定理可得BC= x，根据AB+BC=PQ+QC即可得出关于x的方程求解即可.
26．（2020·娄底模拟）如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A测得大树顶端B的仰角为45°，沿斜坡走3 米到达斜坡上点D，在此处测得树顶端点B的仰角为30°，且斜坡AF的坡比为1：2．求大树BC的高度约为多少米？（ ≈1.732，结果精确到0.1）
【答案】解：作DH⊥AE于点H，作DG⊥BC于点G，如图，
则四边形DGCH为矩形，
在Rt△ADH中，
∵ ，
∴AH＝2DH，
∵AH2+DH2＝AD2，
∴ ．
∴DH＝CG＝3m，
∴AH＝2DH＝6m，
设BC＝xm，则BG＝（x﹣3）m，
在Rt△BAC中，∠BAC＝45°，
∴AC＝BC＝xm，
∴CH＝DG＝（x+6）m，
在Rt△BDG中，∠BDG＝30°，
∵tan30°＝ ，
∴ ，
解得，x＝ ≈15.3．
答：大树BC的高度约为15.3米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】作DH⊥AE于点H，作DG⊥BC于点G，如图，由勾股定理得出 ．求出DH＝CG＝3m，则AH＝2DH＝6m，设BC＝xm，则BG＝（x﹣3）m，得出 ，解方程即可得出答案．
27．（2019·赤峰模拟）如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时10 千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域．
（1）问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？
（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？
【答案】（1）解：A城市受影响．
如图，过点A作AC⊥BF，则距离点C最近的距离为AC，
∵AB＝300，∠ABC＝30°，
∴AC＝ AB＝150＜200，
所以A城会受到这次台风的影响
（2）解：如图， ∵距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域， 则AD＝AE＝200，即DE为A城遭受这次台风的距离， CD＝ ＝50 ，
∴DE＝100 ，
则t＝ ＝ ＝10小时．
故A城遭受这次台风影响的时间10小时．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）作AC⊥BF，则距点A最近的点即为C点，计算AC的长，若AC＞200千米，则不受影响，反之，则受影响．（2）求出A城所受影响的距离DE，又有台风移动的速度，即可求解出其影响的时间．
28．（2019·莘县模拟）如图，在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1： ，高为DE，在斜坡下的点C处测得楼顶B的仰角为64°，在斜坡上的点D处测得楼顶B的仰角为45°，其中A、C、E在同一直线上．
（1）求斜坡CD的高度DE；
（2）求大楼AB的高度；（参考数据：sin64°≈0.9，tan64°≈2)．
【答案】（1）解：解：在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1： ，
设DE=5x米，则EC=12x米，（5x)2+（12x）2=132，
解得，x=1
5x=5，12x=12，
即DE=5米，EC=12米，
故斜坡CD的高度DE是5米；
（2）解：tan64°= ，tan45°= ，DE=5米，CE=12米，
2= ，1=
解得，AB=34米，AC=17米，
即大楼AB的高度是34米．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）利用勾股定理，可求出斜坡的长度。
（2）解直角三角形可得出大楼AB的高度。
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