初中数学北师大版九年级下学期 第二章 2.4 二次函数的应用
一、单选题
1．（2020九上·巩义月考）2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛.在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=－ x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020七下·深圳期中）长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中 x>0），面积为 ，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019九上·温州期中）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=- (x-4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（ ）
A．3m B．4m C．8m D．10m
4．（2019九上·武威期末）如图，一边靠学校院墙，其它三边用 40 米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形 ABCD 的边 AB=x 米，面积为 S 平方米，则下面关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2018九上·杭州月考）一辆新汽车原价 万元，如果每年折旧率为 ，两年后这辆汽车的价钱为 元，则 关于 的函数关系式为（ ）
A．y=20(1+x)2 B．y=20(1-x)2 C．y=20(1+x) D．y=20+x2
6．（2020九上·沧州开学考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位： m ）与小球运动时间 （单位： s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是 40m ；②小球运动的时间为 6s ；③小球抛出3秒时，速度为0；
④当 时，小球的高度 ．其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
7．（2020九上·淮北月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度y米与小球运动的时间x秒之间的关系式为 若小球在第7秒与第14秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
8．（2020九上·鄞州期中）某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况.因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭.经跟踪测算，该景点一年中的利润W（万元）与月份x之间满足二次函数W=﹣x2+16x﹣48，则该景点一年中处于关闭状态有（ ）月.
A．5 B．6 C．7 D．8
二、填空题
9．（2020九上·瑶海月考）如图，若被击打的小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系为h=20t-5t2，则小球从飞出到落地所用时间为 s
10．（2018九上·丹江口期末）在一幢高125m的大楼上掉下一个苹果，苹果离地面的高度h(m)与时间t(s)大致有如下关系：h＝125﹣5t2. 秒钟后苹果落到地面.
11．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m．试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式 ．
12．（2020九上·合肥月考）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是 ，则经过 s后，飞机停止滑行．
13．（2020九上·长兴期末）如图，在平面直角坐标系中抛物线y=x2-3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D是对称轴右侧抛物线上一点，且tan∠DCB=3，则点D的坐标为 。
三、解答题
14．（2020九上·淮北月考）如图所示的是一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线的形状，当水面宽AB为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，求此时水面的宽．
15．（2020·广西模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过原点O，与x轴交于点A(5，0)，第一象限的点C(m，4)在抛物线上，y轴上有一点B(0，10).
(I)求抛物线的解析式及它的对称轴；
(Ⅱ)点 在线段OB上，点Q在线段BC上，若 ，且 ,求n的值；
(Ⅲ)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
16．（2018九上·杜尔伯特期末）某百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．
（1）当每件童装降价多少元时，一天的盈利最多？
（2）若商场要求一天的盈利为1200元，同时又使顾客得到实惠，每件童装降价多少元？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，
∴B点的坐标为：（0，1），A点坐标为（4，0），
将两点代入解析式得： ，
解得： ,
∴这条抛物线的解析式是：y=
故答案为：A.
【分析】根据题意可得点B（0,1）点A（4,0），代入用待定系数法求解即可。
2．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中 x>0），
∴长方形的另一边长为：24÷2-x=(12-x)cm，
∴长方形的面积为：y=(12-x)x
故答案为：C
【分析】先根据长方形的周长公式求出另一边长，再利用长方形的面积公式写出关系式即可．
3．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】由题意得，当y=0时，
，
解得： ， （舍去）
故选D.
【分析】求出铅球落地时的水平距离，将y=0代入函数关系式，求出x的值即可得到成绩.
4．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】AB=x米，面积为S平方米，
S=x（40﹣2x）.
故答案为：B.
【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽即可建立出S与x的函数关系。
5．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：一年后这辆汽车的价钱是 ，
两年后这辆汽车的价钱是 ；
则y=20(1-x)2
故答案为：B.
【分析】折旧率指的是，原价降低x（分率），则一年后为原价×（1-x），两年后为原价×（1-x）2.
6．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m，故①不符合题意；
②当t=6时，高度为0，则运动时间是6s，故②符合题意；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③符合题意；
④设函数解析式为：h=a（t-3）2+40，
把O点（0，0）代入得 ，
解得： ，
∴ ，
当t=1.5时， ，
解得：h=30米，故④符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据函数图象依次判断各选项即可.
7．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意可得：当x 10.5时，y取得最大值．
∵二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y值越大，∴ t=10时，y取得最大值．
故答案为：B．
【分析】根据题意可以求得该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y值越大，即可解答本题．
8．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】由W=﹣x2+16x﹣48，令W=0，则x2﹣16x+48=0，解得x=12或4，
∴不等式﹣x2+16x﹣48＞0的解为，4＜x＜12，
∴该景点一年中处于关闭状态有5个月.
故答案为：A.
【分析】关闭状态时的利润即为w=0，可得关于x的一元二次方程，解方程可求得x的值；再结合不关闭状态即为w＞0可得关于x的范围，则题意可求解.
9．【答案】4
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】依题意，令h=0得0=20t-5t2得t（20-5t）=0解得t=0（舍去）或t=4即小球从飞出到落地所用的时间为4s故答案为4．
【分析】利用h与t的函数关系，令h=0，即可求解。
10．【答案】5.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：把h=0代入函数解析式h= 得， =0，解得 =5， =-5（不合题意，舍去）.
故答案为：5.
【分析】求苹果落到地面的时间，也就是求高度为0的时候，对应的自变量的值，故将h=0代入函数解析式，求解即可得出答案.
11．【答案】y=﹣ x2+11
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图所示．
由题知抛物线的顶点坐标为（0，11），B（8，8），
设抛物线的表达式为y=ax2+11，
将点B的坐标（8，8）代入抛物线的表达式得： ，
所以抛物线的表达式为：y=﹣ x2+11．
【分析】由题知抛物线的顶点坐标为（0，11），B（8，8），代入抛物线的解析式求出解析式
12．【答案】25
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：
所以当t=25时，该函数有最大值625
即第25秒时，飞机滑行最大距离625m停下来，
故答案为：25．
【分析】要求飞机从滑行到停止的路程，即求出函数取最大值时，t的值即可，因此将函数化为顶点式即可．
13．【答案】（ ， ）
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，过D作DE⊥BD，
当x=0,y=x2-3x+2=2，∴B（0,2），
当y=0, x2-3x+2=0，
解得x=1或x=2,
∴B（2,0），
∴BC=，
设CF=k, 则BF=3k，
∵CF2+BF2=BC2，
∴k=,
则CF=，BF=，
设F（x,y）,
∴,
解得,
设线段CD的函数解析式为y=kx+2,
则 ,
解得k=,
∴CD的解析式为y=x+2,
则x2-3x+2=x+2,
化简得2x2-7x=0,
∴x(2x-7)=0,
∴x=0（舍）,或x=,
∴y=x+2=×+2=，
∴D().
故答案为：D().
【分析】过D作DE⊥BD，分别设x=0,y=0求出B、C点坐标，则BC长可求，设CF=k, BF=3K, 利用勾股定理列式求出k, 则BF和CF的长可求，再设F(x,y)，利用两点间公式列方程组，求出F点坐标，于是利用待定系数法即可求出线段CD的解析式，再和抛物线的解析式联立即可求出D点坐标.
14．【答案】解：如图，以抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．
由题意可知抛物线过点（6，-4）
设抛物线的函数表达式为：
把（6，-4）代入 ，可得
则抛物线的函数表达式为：
当水面上涨1米，水面所在的位置为直线
令 ，则 ，解得：
∴此时水面的宽为：6 米．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】由题意建立适当的平面直角坐标系，用待定系数法可求抛物线的函数解析式，然后把 代入解析式即可求解．
15．【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线经过原点O，
∴抛物线解析式为 .
∵抛物线与x轴交于点(5，0)，
∴ ，解得 .
∴抛物线解析式为 .
，
∴抛物线的对称轴为直线 .
（Ⅱ）∵点C在抛物线 上，
∴ ，解得 (舍)， .
∴点C坐标为(8，4).
过C作 轴，垂足为E，连接AB.
在 中， .
同理，可求得 ， .
∴ .
∴ .
在 和 中， ， ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ ， .
∴ ，
解得 .
（Ⅲ）∵抛物线的对称轴为 ，
∴设点M的坐标为 .
①当 ， 为顶角时，
，解得 .
②当 ， 为顶角时，
，解得 .
③当 ， 为顶角时，
，解得 .
此时点 为AB的中点，与点A，B不构成三角形.
综上可得，点M的坐标为 ， ， ， .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可，根据x=- 得出对称轴即可；
（2）把C（m，4）代入解析式求出m的值,可得C点坐标,过C作 轴,垂足为E,连接AB.根据勾股定理求出AC2、BC2、AB2，根据勾股定理逆定理可得∠BCA=90°，利用HL可证明Rt△AOP≌Rt△ACQ， 即可得出OP=CQ，根据OP=2BQ列方程求出n的值即可；
（3）分别讨论AB=AM、BM=BA、MA=MB三种情况，设点M的坐标为 ，利用勾股定理列方程求出t的值即可.
16．【答案】（1）解：设每件童装降价x元，则每天盈利为S，
则S=（40﹣x）（2x+20）=﹣2x2+60x+800，
当x= =15时，S有最大值为1250元。
（2）解：一天盈利为1200元，则
S=﹣2x2+60x+800=1200，
整理得：﹣2x2+60x﹣400=0，
a=﹣2，b=60，c=﹣400，
△=b2﹣4ac=3600﹣（4×2×400）=400＞0，
解得：x1=20，x2=10，（舍去）
∴每件童装降价20元。
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据盈利=单件的盈利乘以销售数量可得函数关系，从而可得降价的钱数和最大值；
（2）根据盈利可得关于x的一元二次方程，根据顾客得到实惠选择降价的钱数.
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第二章 2.4 二次函数的应用
一、单选题
1．（2020九上·巩义月考）2011年5月22日—29日在美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛.在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=－ x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：∵出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，
∴B点的坐标为：（0，1），A点坐标为（4，0），
将两点代入解析式得： ，
解得： ,
∴这条抛物线的解析式是：y=
故答案为：A.
【分析】根据题意可得点B（0,1）点A（4,0），代入用待定系数法求解即可。
2．（2020七下·深圳期中）长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中 x>0），面积为 ，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】解：∵长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中 x>0），
∴长方形的另一边长为：24÷2-x=(12-x)cm，
∴长方形的面积为：y=(12-x)x
故答案为：C
【分析】先根据长方形的周长公式求出另一边长，再利用长方形的面积公式写出关系式即可．
3．（2019九上·温州期中）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现某次铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y=- (x-4)2+3，由此可知小明这次的推铅球成绩是（ ）
A．3m B．4m C．8m D．10m
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】由题意得，当y=0时，
，
解得： ， （舍去）
故选D.
【分析】求出铅球落地时的水平距离，将y=0代入函数关系式，求出x的值即可得到成绩.
4．（2019九上·武威期末）如图，一边靠学校院墙，其它三边用 40 米长的篱笆围成一个矩形花圃，设矩形 ABCD 的边 AB=x 米，面积为 S 平方米，则下面关系式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】AB=x米，面积为S平方米，
S=x（40﹣2x）.
故答案为：B.
【分析】根据长方形的面积等于长乘以宽即可建立出S与x的函数关系。
5．（2018九上·杭州月考）一辆新汽车原价 万元，如果每年折旧率为 ，两年后这辆汽车的价钱为 元，则 关于 的函数关系式为（ ）
A．y=20(1+x)2 B．y=20(1-x)2 C．y=20(1+x) D．y=20+x2
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：一年后这辆汽车的价钱是 ，
两年后这辆汽车的价钱是 ；
则y=20(1-x)2
故答案为：B.
【分析】折旧率指的是，原价降低x（分率），则一年后为原价×（1-x），两年后为原价×（1-x）2.
6．（2020九上·沧州开学考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位： m ）与小球运动时间 （单位： s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是 40m ；②小球运动的时间为 6s ；③小球抛出3秒时，速度为0；
④当 时，小球的高度 ．其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m，故①不符合题意；
②当t=6时，高度为0，则运动时间是6s，故②符合题意；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③符合题意；
④设函数解析式为：h=a（t-3）2+40，
把O点（0，0）代入得 ，
解得： ，
∴ ，
当t=1.5时， ，
解得：h=30米，故④符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据函数图象依次判断各选项即可.
7．（2020九上·淮北月考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度y米与小球运动的时间x秒之间的关系式为 若小球在第7秒与第14秒时的高度相同，则在下列时间中小球所在高度最高的是
A．第8秒 B．第10秒 C．第12秒 D．第15秒
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由题意可得：当x 10.5时，y取得最大值．
∵二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y值越大，∴ t=10时，y取得最大值．
故答案为：B．
【分析】根据题意可以求得该函数的对称轴，然后根据二次函数具有对称性，离对称轴越近，对应的y值越大，即可解答本题．
8．（2020九上·鄞州期中）某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况.因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭.经跟踪测算，该景点一年中的利润W（万元）与月份x之间满足二次函数W=﹣x2+16x﹣48，则该景点一年中处于关闭状态有（ ）月.
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】由W=﹣x2+16x﹣48，令W=0，则x2﹣16x+48=0，解得x=12或4，
∴不等式﹣x2+16x﹣48＞0的解为，4＜x＜12，
∴该景点一年中处于关闭状态有5个月.
故答案为：A.
【分析】关闭状态时的利润即为w=0，可得关于x的一元二次方程，解方程可求得x的值；再结合不关闭状态即为w＞0可得关于x的范围，则题意可求解.
二、填空题
9．（2020九上·瑶海月考）如图，若被击打的小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间的关系为h=20t-5t2，则小球从飞出到落地所用时间为 s
【答案】4
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】依题意，令h=0得0=20t-5t2得t（20-5t）=0解得t=0（舍去）或t=4即小球从飞出到落地所用的时间为4s故答案为4．
【分析】利用h与t的函数关系，令h=0，即可求解。
10．（2018九上·丹江口期末）在一幢高125m的大楼上掉下一个苹果，苹果离地面的高度h(m)与时间t(s)大致有如下关系：h＝125﹣5t2. 秒钟后苹果落到地面.
【答案】5.
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：把h=0代入函数解析式h= 得， =0，解得 =5， =-5（不合题意，舍去）.
故答案为：5.
【分析】求苹果落到地面的时间，也就是求高度为0的时候，对应的自变量的值，故将h=0代入函数解析式，求解即可得出答案.
11．如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16m，AE=8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m．试以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系，求题中抛物线的函数表达式 ．
【答案】y=﹣ x2+11
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图所示．
由题知抛物线的顶点坐标为（0，11），B（8，8），
设抛物线的表达式为y=ax2+11，
将点B的坐标（8，8）代入抛物线的表达式得： ，
所以抛物线的表达式为：y=﹣ x2+11．
【分析】由题知抛物线的顶点坐标为（0，11），B（8，8），代入抛物线的解析式求出解析式
12．（2020九上·合肥月考）飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是 ，则经过 s后，飞机停止滑行．
【答案】25
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【解答】解：
所以当t=25时，该函数有最大值625
即第25秒时，飞机滑行最大距离625m停下来，
故答案为：25．
【分析】要求飞机从滑行到停止的路程，即求出函数取最大值时，t的值即可，因此将函数化为顶点式即可．
13．（2020九上·长兴期末）如图，在平面直角坐标系中抛物线y=x2-3x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D是对称轴右侧抛物线上一点，且tan∠DCB=3，则点D的坐标为 。
【答案】（ ， ）
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图，过D作DE⊥BD，
当x=0,y=x2-3x+2=2，∴B（0,2），
当y=0, x2-3x+2=0，
解得x=1或x=2,
∴B（2,0），
∴BC=，
设CF=k, 则BF=3k，
∵CF2+BF2=BC2，
∴k=,
则CF=，BF=，
设F（x,y）,
∴,
解得,
设线段CD的函数解析式为y=kx+2,
则 ,
解得k=,
∴CD的解析式为y=x+2,
则x2-3x+2=x+2,
化简得2x2-7x=0,
∴x(2x-7)=0,
∴x=0（舍）,或x=,
∴y=x+2=×+2=，
∴D().
故答案为：D().
【分析】过D作DE⊥BD，分别设x=0,y=0求出B、C点坐标，则BC长可求，设CF=k, BF=3K, 利用勾股定理列式求出k, 则BF和CF的长可求，再设F(x,y)，利用两点间公式列方程组，求出F点坐标，于是利用待定系数法即可求出线段CD的解析式，再和抛物线的解析式联立即可求出D点坐标.
三、解答题
14．（2020九上·淮北月考）如图所示的是一座拱桥，桥洞的拱形是抛物线的形状，当水面宽AB为12米时，桥洞顶部离水面4米，若水面上涨1米，求此时水面的宽．
【答案】解：如图，以抛物线的顶点为原点，建立平面直角坐标系．
由题意可知抛物线过点（6，-4）
设抛物线的函数表达式为：
把（6，-4）代入 ，可得
则抛物线的函数表达式为：
当水面上涨1米，水面所在的位置为直线
令 ，则 ，解得：
∴此时水面的宽为：6 米．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】由题意建立适当的平面直角坐标系，用待定系数法可求抛物线的函数解析式，然后把 代入解析式即可求解．
15．（2020·广西模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 经过原点O，与x轴交于点A(5，0)，第一象限的点C(m，4)在抛物线上，y轴上有一点B(0，10).
(I)求抛物线的解析式及它的对称轴；
(Ⅱ)点 在线段OB上，点Q在线段BC上，若 ，且 ,求n的值；
(Ⅲ)在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】解：（Ⅰ）∵抛物线经过原点O，
∴抛物线解析式为 .
∵抛物线与x轴交于点(5，0)，
∴ ，解得 .
∴抛物线解析式为 .
，
∴抛物线的对称轴为直线 .
（Ⅱ）∵点C在抛物线 上，
∴ ，解得 (舍)， .
∴点C坐标为(8，4).
过C作 轴，垂足为E，连接AB.
在 中， .
同理，可求得 ， .
∴ .
∴ .
在 和 中， ， ，
∴ .
∴ .
∵ ，
∴ ， .
∴ ，
解得 .
（Ⅲ）∵抛物线的对称轴为 ，
∴设点M的坐标为 .
①当 ， 为顶角时，
，解得 .
②当 ， 为顶角时，
，解得 .
③当 ， 为顶角时，
，解得 .
此时点 为AB的中点，与点A，B不构成三角形.
综上可得，点M的坐标为 ， ， ， .
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可，根据x=- 得出对称轴即可；
（2）把C（m，4）代入解析式求出m的值,可得C点坐标,过C作 轴,垂足为E,连接AB.根据勾股定理求出AC2、BC2、AB2，根据勾股定理逆定理可得∠BCA=90°，利用HL可证明Rt△AOP≌Rt△ACQ， 即可得出OP=CQ，根据OP=2BQ列方程求出n的值即可；
（3）分别讨论AB=AM、BM=BA、MA=MB三种情况，设点M的坐标为 ，利用勾股定理列方程求出t的值即可.
16．（2018九上·杜尔伯特期末）某百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装每天可售出20件，每件盈利40元，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件童装每降价1元，日销售量将增加2件．
（1）当每件童装降价多少元时，一天的盈利最多？
（2）若商场要求一天的盈利为1200元，同时又使顾客得到实惠，每件童装降价多少元？
【答案】（1）解：设每件童装降价x元，则每天盈利为S，
则S=（40﹣x）（2x+20）=﹣2x2+60x+800，
当x= =15时，S有最大值为1250元。
（2）解：一天盈利为1200元，则
S=﹣2x2+60x+800=1200，
整理得：﹣2x2+60x﹣400=0，
a=﹣2，b=60，c=﹣400，
△=b2﹣4ac=3600﹣（4×2×400）=400＞0，
解得：x1=20，x2=10，（舍去）
∴每件童装降价20元。
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据盈利=单件的盈利乘以销售数量可得函数关系，从而可得降价的钱数和最大值；
（2）根据盈利可得关于x的一元二次方程，根据顾客得到实惠选择降价的钱数.
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