初中数学苏科版九年级下册6.2 黄金分割 同步训练
一、单选题
1．（2020九上·杭州月考）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则有（ ）
A．AB2=AP PB B．AP2=BP AB
C．BP2=AP AB D．AP AB=PB AP
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴AP2=BP AB.
故答案为：B.
【分析】黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618；根据黄金分割的意义可求解.
2．（2020九上·西安期中）已知如图，点 是线段 的黄金分割点（ ），则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点 是线段 的黄金分割点（ ），
∴ ，
∴选项C是正确的.
故答案为：C.
【分析】根据黄金分割点的定义：一个线段分为两部分，较长部分与整体的比和较短线段与较长线段的比都为1：0.618即可得出答案.
3．（2020九上·宝安期中）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，如果AB长为20，则AC为（ ）
A．10 ﹣10 B．10﹣10 C．30﹣10 D．20﹣10
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC＝ ，
∵AB＝20，
∴AC＝ ×20＝10 ﹣10．
故答案为：A．
【分析】根据黄金分割的定义，知AC为较长线段，则AC＝ ，代入数据即可得出AC的值．
4．生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C将线段AB分成AC、CB两部分，且AC＞BC，如果 ，那么称点C为线段AB的黄金分割点．若C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则分割后较短线段长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据黄金分割点的概念得：AC=
∴BC=AB-AC= ；
故答案为：B．
【分析】根据黄金分割点的概念进行计算，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值 叫做黄金比．
5．（2020九上·邛崃期中）如图， 是线段 的黄金分割点，且 ，若 表示以 为一边的正方形的面积， 表示长为 ，宽为 的矩形的面积，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，
∴PA2=PB AB，
又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，
∴S1=PA2，S2=PB AB，
又∵PA2=PB AB，
∴S2= PA2．
∴S1=S2．
故答案为：B．
【分析】根据黄金分割的定义得出PA2=PB AB，根据题意得出S1=PA2，S2=PB AB，即可得出S1=S2．
6．（2020九上·株洲期中）如图，已知点 是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 若 表示 为边长的正方形面积， 表示以 为长， 为宽的矩形面积， 表示正方形 除去 和 剩余的面积，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，
∵点E是AB上的黄金分割点，
∴ ，则 ，
∴ ，则 ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】根据黄金分割的定义作答即可。
7．（2020九上·涡阳月考）有以下命题：
①如果线段 是线段 ， ， 的第四比例项，则有 ；②如果点 是线段 的中点，那么 是 、 的比例中项；③如果点 是线段 的黄金分割点，且 ，那么 是 与 的比例中项；④如果点 是线段 的黄金分割点， ，且 ，则 ．
其中正确的判断有（ ）
A．②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】比例的性质；黄金分割；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】①如果线段 是线段 ， ， 的第四比例项，则有 ，符合题意②如果点 是线段 的中点，则 ，
所以 ，
所以 不是 、 的比例中项，不符合题意；③如果点 是线段 的黄金分割点，且 ，
则 ，
所以 ，即 ，
所以 是 与 的比例中项，符合题意；④如果点 是线段 的黄金分割点， ，且 ，
则 ，即 ，
所以 ，符合题意；
综上，正确的判断有①③④，
故答案为：C．
【分析】根据比例线段、黄金分割的定义逐项判定即可。
8．（2020·甘肃）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中 为2米，则a约为（ ）
A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意可知，a：b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24.
故答案为：A
【分析】根据a：b≈0.618，且b=2即可求解.
9．（2020·柳州模拟）宽与长的比是 （约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 ，分别取 的中点 ，连接 ，以点F为圆心，以 为半径画弧，交 的延长线于点G；作 ，交 的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABEF B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形ABGH
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1
在直角三角形DCF中，DF＝
∴FG＝
∴CG＝ 1
∴
∴矩形DCGH为黄金矩形
故答案为：D.
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF＝GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形.
10．（2020·泸县）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 分为两线段 ， ，使得其中较长的一段 是全长 与较短的段 的比例中项，即满足 ，后人把 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段 的“黄金分割”点．如图，在 中，已知 ， ，若D，E是边 的两个“黄金分割”点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF= BC=2，
在Rt ，AF= ，
∵D是边 的两个“黄金分割”点，
∴ 即 ，
解得CD= ，
同理BE= ，
∵CE=BC-BE=4-( -2)=6- ，
∴DE=CD-CE=4 -8，
∴S△ABC= = = ，
故答案为：A.
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到 中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
二、填空题
11．（2020九上·丹东月考）已知线段AB=6cm，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC= .
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】已知AC＞BC且AB=6cm，根据黄金分割点的概念可得AC= = cm.
【分析】由黄金分割点，可得AC= ，据此计算即可.
12．（2020九上·张掖月考）已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为2厘米，则最短线段BD的长是 厘米.
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：因为点D是线段AB的黄金分割点，且BD＜AD
所以
因为AD的长为2厘米
所以代入解得
故答案为：.
【分析】根据黄金分割定义，将一条线段分割成长短两条线段，其中较长线段与整条线段的比=较短线段与较长线段的比= ，即可建立方程，求解即可.
13．（2018九上·娄底期中）如图，已知点C、D是线段AB的两个黄金分割点，若线段AB的长10厘米，则线段CD长 厘米．
【答案】10 -20
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵C、D为线段AB的黄金分割点，AB=10，
∴AC= AB=5 -5，BD= AB=5 -5，
所以CD=2（5 -5）-10=10 -20.
【分析】根据黄金比值是，进行计算即可
14．（2021九上·和平期末）如图，若 是已知线段，经过点 作 ，使 ；连接 ，在 上截取 ；在 上截取 ，则 .
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
，
，
，
故答案为： .
【分析】由已知条件BD=AB可设BD=a，AB=2a，在直角三角形ABD中，用勾股定理可将AD用含a的代数式表示，则AE=AD-DE也可用含a的代数式表示，由作图可知AE=AC，则可求解.
15．（2019九上·秀洲期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 cm．
【答案】5 -5
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝ AB＝ ×10＝5 ﹣5（cm），
故答案为：5 ﹣5
【分析】根据黄金分割的定义，PA就是AB与PB的比例中项，从而列出方程，进而得出AP＝ AB，将AB的长度代入即可算出答案。
16．（2019九上·大田期中）古希腊时期，人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高长度之比是 （ 0.618，称之为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此，若某位女性身高为165cm，肚脐到头顶高度为65cm，则其应穿鞋跟为 cm的高跟鞋才能使人体近似满足黄金分割比例．（精确到1cm）
【答案】5
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】设 她应选择高跟鞋的高度是 cm，
则 ≈0.618，
解得：x≈5，且正确．
故答案为：5．
【分析】根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可．
17．（2019九上·靖远期末）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图：若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少 m处．（结果精确到0.1m）
【答案】7.6
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】根据黄金比得：20×（1-0.618）≈7.6米或20× ≈12.4米（舍去），
则主持人应走到离A点至少7.6米处．
故答案为：7.6
【分析】把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，这个比值即为黄金分割，这个点为黄金分割点.其比值是≈0.618.此题要求主持人至少走离A点多少米，根据黄金比，只需要走到AB的1-0.618倍处即得.
18．（2020九上·江西期中）如图，在矩形 中， ， ， 是 的黄金分割点（ ）， 是 上一点，将 沿直线 折叠，点 落在 边上的点 处，再将 沿直线 折叠，点 落在 上的点 处，则 的长为 ．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；黄金分割
【解析】【解答】解：∵ ， 是 的黄金分割点（ ），
∴
∴
由折叠的性质可得：四边形ABFE和四边形EHGD是正方形，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【分析】先根据黄金分割得出AE和DE的长，再根据折叠的性质得出正方形ABFE和正方形EHGD，从而得出EF=AE，EH=DE即可得出结论
三、解答题
19．已知线段AB=a，用直尺和圆规求作这条线段的黄金分割点C．
【答案】解：作法：
（1）延长线段AB至F，使AB=BF，分别以A、F为圆心，以大于等于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD=；
（2）连接AD，在AD上截取DE=DB．
（3）在AB上截取AC=AE．
如图，点C就是线段a的黄金分割点．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比．
20．（图形的相似(417)+—+黄金分割（容易））如图，已知线段AB，P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），点O是AB的中点，P2是P1关于点O的对称点．求证：P1B是P2B和P1P2的比例中项．
【答案】证明：设AB=2，
∵P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），
∴AP1= ×2= ﹣1，
∴P1B=2﹣（ ﹣1）=3﹣ ，
∵点O是AB的中点，
∴OB=1，
∴OP1=1﹣（3﹣ ）= ﹣2，
∵P2是P1关于点O的对称点，
∴P1P2=2（ ﹣2）=2 ﹣4，
∴P2B=2 ﹣4+3﹣ = ﹣1，
∵P1B2=（3﹣ ）2=14﹣6 ，P2B P1P2=（ ﹣1）（2 ﹣4）=14﹣6 ，
∴P1B2=P2B P1P2，
∴P1B是P2B和P1P2的比例中项
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】设AB=2，根据黄金分割的定义得AP1= AB= ﹣1，则P1B=3﹣ ，由点O是AB的中点得OB=1，所以OP1= ﹣2，由于P2是P1关于点O的对称点，则P1P2=2 ﹣4，可计算出P2B= ﹣1，然后同过计算得到P1B2=14﹣6 ，P2B P1P2=14﹣6 ，即P1B2=P2B P1P2，所以P1B是P2B和P1P2的比例中项．
21．如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C、D之间的距离．
【答案】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC=BD=80× =40﹣40，
∴CD=BD﹣（AB﹣BD）=2BD﹣AB=80﹣160．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可．
22．（图形的相似(417)+—+黄金分割（容易））人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？
【答案】解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，
根据题意得x：1.70=0.618，
即x=1.70×0.618≈1.1（m）．
答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段，则x：1.70=0.618，然后解方程即可．
23．（图形的相似(417)+—+黄金分割（普通））如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中， ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．
【答案】解：矩形ABFE是黄金矩形．
∵AD=BC，DE=AB，
∴ = = ﹣1= = ．
∴矩形ABFE是黄金矩形
【知识点】正方形的性质；黄金分割
【解析】【分析】只需求得其宽与长的比是否符合黄金比即可．
24．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
【答案】（1）证明：∵AB=AC=1，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴DA=DB，BD=BC，
∴AD=BD=BC，
易得△BDC∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD AC，
∴AD2=CD AC，
∴点D是线段AC的黄金分割点；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，
∵AD2=CD AC，
∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，
即AD的长为．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=∠C=72°，∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，则可得 到AD=BD=BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC2=CD AC，于是有AD2=CD AC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，由（1）的结论得到x2=1﹣x，然后解方程即可得到AD的长．
25．（2019九上·乡宁期中）若矩形的一个短边与长边的比值为 ，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形
（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD．
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）
【答案】（1）解：以AD为边可作出两个正方形AEFD与AE′F′D′（AB＞AD），如图所示
（2）解：矩形EBCF不是黄金矩形，理由如下：
设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，
由ABCD为黄金矩形，得 =
∴ = = ÷（1+ ）= ÷（1+ ）= ≠
∴矩形EBCF不是黄金矩形；
矩形E′BCF′是黄金矩形.
证明：如图，∵ = =（1- ）÷ =（1- ）÷ =
∴E′BCF′是黄金矩形
（3）解：由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.
【知识点】黄金分割；相似多边形
【解析】【分析】（1）如图，分两种情况：正方形中，AD的对边在矩形的内部或外部；
（2）矩形EBCF不是黄金矩形， 设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，由已知得 = ，所以 = = ÷（1+ ）= ÷（1+ ）= ≠ ，对应边不成比例，故矩形EBCF不是黄金矩形；矩形E′BCF′是黄金矩形，
理由： = =（1- ）÷ =（1- ）÷ = ，即对应边成比例，故两个矩形相似.（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.
26．（2020九上·合肥月考）如图①，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分（AC>BC），如果 ，那么称点C为线段AB的黄金分割点，某班在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2（S1>S2），如果 ，那么称直线l为该图形的黄金分割线，如图②，在△ABC中，∠A=36 ，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于点D
（1）求证：点D是AB边上的黄金分割点；
（2）求证：直线CD是△ABC的黄金分割点
【答案】（1）证明：解：（1）点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：
∵∠A=36°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=72°.
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=36°，
∴∠BDC=∠B=72°，∠ACD=∠A=36°，
∴BC=DC=AD.
∵∠A=∠BCD，∠B=∠B，
∴ ，
∴
∴
∵.D是AB边上的黄金分割点，
（2）证明：直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h，则
∵D是AB的黄金分割点，
∴
∴
∴CD是△ABC的黄金分割线.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；黄金分割；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义得出BC=DC=AD，证出 BCD∽ BAC，得出，从而得出，即可得出 D是AB边上的黄金分割点；
（2）利用三角形的面积公式得出，，由，得出，即可得出直线CD是△ABC的黄金分割点.
27．（2020九上·湖北月考）定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， 叫做黄金分割数.
（1）理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 ；
（2）应用：如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA【答案】（1）证明：设 ， ，则 ，
由 得： ，
即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
；
（2）解：①设 ， ，则 ， ， ，
由二次函数与一元二次方程的联系得： ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
∵原点 是线段 的黄金分割点，且 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴ ，
即 ；② ， .
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；黄金分割
【解析】【解答】（2）②由（2）①得： ，
由黄金分割点的定义得： ，
解得 ，
则 ，
故 ， .
【分析】（1）设 ， ，从而可得 ，再根据黄金分割点的定义建立方程，然后利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）①设 ， ，从而可得 ， ， ，再根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，然后根据黄金分割点的定义可得 ，从而可得 ，由此化简即可得；②根据①的结论，利用黄金分割点的定义分别求出OA、OB的长，由此即可得.
1 / 1初中数学苏科版九年级下册6.2 黄金分割 同步训练
一、单选题
1．（2020九上·杭州月考）已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞PB，则有（ ）
A．AB2=AP PB B．AP2=BP AB
C．BP2=AP AB D．AP AB=PB AP
2．（2020九上·西安期中）已知如图，点 是线段 的黄金分割点（ ），则下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020九上·宝安期中）已知点C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，如果AB长为20，则AC为（ ）
A．10 ﹣10 B．10﹣10 C．30﹣10 D．20﹣10
4．生活中到处可见黄金分割的美．如图，点C将线段AB分成AC、CB两部分，且AC＞BC，如果 ，那么称点C为线段AB的黄金分割点．若C是线段AB的黄金分割点，AB＝2，则分割后较短线段长为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九上·邛崃期中）如图， 是线段 的黄金分割点，且 ，若 表示以 为一边的正方形的面积， 表示长为 ，宽为 的矩形的面积，则 与 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．（2020九上·株洲期中）如图，已知点 是正方形 的边 边上的黄金分割点，且 若 表示 为边长的正方形面积， 表示以 为长， 为宽的矩形面积， 表示正方形 除去 和 剩余的面积，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020九上·涡阳月考）有以下命题：
①如果线段 是线段 ， ， 的第四比例项，则有 ；②如果点 是线段 的中点，那么 是 、 的比例中项；③如果点 是线段 的黄金分割点，且 ，那么 是 与 的比例中项；④如果点 是线段 的黄金分割点， ，且 ，则 ．
其中正确的判断有（ ）
A．②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③④
8．（2020·甘肃）生活中到处可见黄金分割的美，如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感，若图中 为2米，则a约为（ ）
A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
9．（2020·柳州模拟）宽与长的比是 （约0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称美感.我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形 ，分别取 的中点 ，连接 ，以点F为圆心，以 为半径画弧，交 的延长线于点G；作 ，交 的延长线于点H，则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）
A．矩形ABEF B．矩形EFCD C．矩形EFGH D．矩形ABGH
10．（2020·泸县）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段 分为两线段 ， ，使得其中较长的一段 是全长 与较短的段 的比例中项，即满足 ，后人把 这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段 的“黄金分割”点．如图，在 中，已知 ， ，若D，E是边 的两个“黄金分割”点，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2020九上·丹东月考）已知线段AB=6cm，点C为AB的黄金分割点，且AC＞BC，则AC= .
12．（2020九上·张掖月考）已知点D是线段AB的黄金分割点，且线段AD的长为2厘米，则最短线段BD的长是 厘米.
13．（2018九上·娄底期中）如图，已知点C、D是线段AB的两个黄金分割点，若线段AB的长10厘米，则线段CD长 厘米．
14．（2021九上·和平期末）如图，若 是已知线段，经过点 作 ，使 ；连接 ，在 上截取 ；在 上截取 ，则 .
15．（2019九上·秀洲期末）大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为AB的黄金分割点（AP＞PB），如果AB的长度为10cm，那么AP的长度为 cm．
16．（2019九上·大田期中）古希腊时期，人们认为最美人体的肚脐至脚底的长度与身高长度之比是 （ 0.618，称之为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此，若某位女性身高为165cm，肚脐到头顶高度为65cm，则其应穿鞋跟为 cm的高跟鞋才能使人体近似满足黄金分割比例．（精确到1cm）
17．（2019九上·靖远期末）电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图：若舞台AB长为20m，试计算主持人应走到离A点至少 m处．（结果精确到0.1m）
18．（2020九上·江西期中）如图，在矩形 中， ， ， 是 的黄金分割点（ ）， 是 上一点，将 沿直线 折叠，点 落在 边上的点 处，再将 沿直线 折叠，点 落在 上的点 处，则 的长为 ．
三、解答题
19．已知线段AB=a，用直尺和圆规求作这条线段的黄金分割点C．
20．（图形的相似(417)+—+黄金分割（容易））如图，已知线段AB，P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），点O是AB的中点，P2是P1关于点O的对称点．求证：P1B是P2B和P1P2的比例中项．
21．如图，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点A、B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，求C、D之间的距离．
22．（图形的相似(417)+—+黄金分割（容易））人的肚脐是人的身高的黄金分割点，一般来讲，当肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段．一个身高1.70m的人，他的肚脐到脚底的长度为多少时才是黄金身段（保留两位小数）？
23．（图形的相似(417)+—+黄金分割（普通））如果一个矩形ABCD（AB＜BC）中， ≈0.618，那么这个矩形称为黄金矩形，黄金矩形给人以美感．在黄金矩形ABCD内作正方形CDEF，得到一个小矩形ABFE（如图），请问矩形ABFE是否是黄金矩形？请说明你的结论的正确性．
24．定义：如图1，点C在线段AB上，若满足AC2=BC AB，则称点C为线段AB的黄金分割点．如图2，△ABC中，AB=AC=1，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D．
（1）求证：点D是线段AC的黄金分割点；
（2）求出线段AD的长．
25．（2019九上·乡宁期中）若矩形的一个短边与长边的比值为 ，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形
（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD．
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由．
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）
26．（2020九上·合肥月考）如图①，我们已经学过：点C将线段AB分成两部分（AC>BC），如果 ，那么称点C为线段AB的黄金分割点，某班在进行知识拓展时，张老师由黄金分割点拓展到“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成两部分，这两部分的面积分别为S1，S2（S1>S2），如果 ，那么称直线l为该图形的黄金分割线，如图②，在△ABC中，∠A=36 ，AB=AC，∠ACB的平分线交AB于点D
（1）求证：点D是AB边上的黄金分割点；
（2）求证：直线CD是△ABC的黄金分割点
27．（2020九上·湖北月考）定义：如图1，点P为线段AB上一点，如果 =k，那么我们称点P是线段AB的黄金分割点， 叫做黄金分割数.
（1）理解：利用图1，运用一元二次方程的知识，求证：黄金分割数 ；
（2）应用：如图2，抛物线y＝x2+nx＋2n（n<0）的图象与x轴交于A、B两点（OA答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，
∴AP2=BP AB.
故答案为：B.
【分析】黄金分割是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是（√5-1）：2，取其小数点后三位的近似值是0.618；根据黄金分割的意义可求解.
2．【答案】C
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵点 是线段 的黄金分割点（ ），
∴ ，
∴选项C是正确的.
故答案为：C.
【分析】根据黄金分割点的定义：一个线段分为两部分，较长部分与整体的比和较短线段与较长线段的比都为1：0.618即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且AC＞BC，
∴AC＝ ，
∵AB＝20，
∴AC＝ ×20＝10 ﹣10．
故答案为：A．
【分析】根据黄金分割的定义，知AC为较长线段，则AC＝ ，代入数据即可得出AC的值．
4．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：根据黄金分割点的概念得：AC=
∴BC=AB-AC= ；
故答案为：B．
【分析】根据黄金分割点的概念进行计算，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值 叫做黄金比．
5．【答案】B
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，
∴PA2=PB AB，
又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，
∴S1=PA2，S2=PB AB，
又∵PA2=PB AB，
∴S2= PA2．
∴S1=S2．
故答案为：B．
【分析】根据黄金分割的定义得出PA2=PB AB，根据题意得出S1=PA2，S2=PB AB，即可得出S1=S2．
6．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，
∵点E是AB上的黄金分割点，
∴ ，则 ，
∴ ，则 ，
∵ ，
，
∴ ，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】根据黄金分割的定义作答即可。
7．【答案】C
【知识点】比例的性质；黄金分割；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】①如果线段 是线段 ， ， 的第四比例项，则有 ，符合题意②如果点 是线段 的中点，则 ，
所以 ，
所以 不是 、 的比例中项，不符合题意；③如果点 是线段 的黄金分割点，且 ，
则 ，
所以 ，即 ，
所以 是 与 的比例中项，符合题意；④如果点 是线段 的黄金分割点， ，且 ，
则 ，即 ，
所以 ，符合题意；
综上，正确的判断有①③④，
故答案为：C．
【分析】根据比例线段、黄金分割的定义逐项判定即可。
8．【答案】A
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意可知，a：b≈0.618，代入b=2，
∴a≈2×0.618=1.236≈1.24.
故答案为：A
【分析】根据a：b≈0.618，且b=2即可求解.
9．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：设正方形的边长为2，则CD＝2，CF＝1
在直角三角形DCF中，DF＝
∴FG＝
∴CG＝ 1
∴
∴矩形DCGH为黄金矩形
故答案为：D.
【分析】先根据正方形的性质以及勾股定理，求得DF的长，再根据DF＝GF求得CG的长，最后根据CG与CD的比值为黄金比，判断矩形DCGH为黄金矩形.
10．【答案】A
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；黄金分割
【解析】【解答】解：过点A作AF⊥BC，
∵AB=AC，
∴BF= BC=2，
在Rt ，AF= ，
∵D是边 的两个“黄金分割”点，
∴ 即 ，
解得CD= ，
同理BE= ，
∵CE=BC-BE=4-( -2)=6- ，
∴DE=CD-CE=4 -8，
∴S△ABC= = = ，
故答案为：A.
【分析】作AF⊥BC，根据等腰三角形ABC的性质求出AF的长，再根据黄金分割点的定义求出BE、CD的长度，得到 中DE的长，利用三角形面积公式即可解题.
11．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】已知AC＞BC且AB=6cm，根据黄金分割点的概念可得AC= = cm.
【分析】由黄金分割点，可得AC= ，据此计算即可.
12．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：因为点D是线段AB的黄金分割点，且BD＜AD
所以
因为AD的长为2厘米
所以代入解得
故答案为：.
【分析】根据黄金分割定义，将一条线段分割成长短两条线段，其中较长线段与整条线段的比=较短线段与较长线段的比= ，即可建立方程，求解即可.
13．【答案】10 -20
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵C、D为线段AB的黄金分割点，AB=10，
∴AC= AB=5 -5，BD= AB=5 -5，
所以CD=2（5 -5）-10=10 -20.
【分析】根据黄金比值是，进行计算即可
14．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】设 ，则 ，
在 中， ，
，
，
，
，
，
故答案为： .
【分析】由已知条件BD=AB可设BD=a，AB=2a，在直角三角形ABD中，用勾股定理可将AD用含a的代数式表示，则AE=AD-DE也可用含a的代数式表示，由作图可知AE=AC，则可求解.
15．【答案】5 -5
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），
∴AP＝ AB＝ ×10＝5 ﹣5（cm），
故答案为：5 ﹣5
【分析】根据黄金分割的定义，PA就是AB与PB的比例中项，从而列出方程，进而得出AP＝ AB，将AB的长度代入即可算出答案。
16．【答案】5
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】设 她应选择高跟鞋的高度是 cm，
则 ≈0.618，
解得：x≈5，且正确．
故答案为：5．
【分析】根据黄金分割的概念，列出方程直接求解即可．
17．【答案】7.6
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】根据黄金比得：20×（1-0.618）≈7.6米或20× ≈12.4米（舍去），
则主持人应走到离A点至少7.6米处．
故答案为：7.6
【分析】把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，这个比值即为黄金分割，这个点为黄金分割点.其比值是≈0.618.此题要求主持人至少走离A点多少米，根据黄金比，只需要走到AB的1-0.618倍处即得.
18．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；黄金分割
【解析】【解答】解：∵ ， 是 的黄金分割点（ ），
∴
∴
由折叠的性质可得：四边形ABFE和四边形EHGD是正方形，
∴ ，
∴ ；
故答案为：
【分析】先根据黄金分割得出AE和DE的长，再根据折叠的性质得出正方形ABFE和正方形EHGD，从而得出EF=AE，EH=DE即可得出结论
19．【答案】解：作法：
（1）延长线段AB至F，使AB=BF，分别以A、F为圆心，以大于等于线段AB的长为半径作弧，两弧相交于点G，连接BG，则BG⊥AB，在BG上取点D，使BD=；
（2）连接AD，在AD上截取DE=DB．
（3）在AB上截取AC=AE．
如图，点C就是线段a的黄金分割点．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比．
20．【答案】证明：设AB=2，
∵P1是AB的黄金分割点（AP1＞BP1），
∴AP1= ×2= ﹣1，
∴P1B=2﹣（ ﹣1）=3﹣ ，
∵点O是AB的中点，
∴OB=1，
∴OP1=1﹣（3﹣ ）= ﹣2，
∵P2是P1关于点O的对称点，
∴P1P2=2（ ﹣2）=2 ﹣4，
∴P2B=2 ﹣4+3﹣ = ﹣1，
∵P1B2=（3﹣ ）2=14﹣6 ，P2B P1P2=（ ﹣1）（2 ﹣4）=14﹣6 ，
∴P1B2=P2B P1P2，
∴P1B是P2B和P1P2的比例中项
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】设AB=2，根据黄金分割的定义得AP1= AB= ﹣1，则P1B=3﹣ ，由点O是AB的中点得OB=1，所以OP1= ﹣2，由于P2是P1关于点O的对称点，则P1P2=2 ﹣4，可计算出P2B= ﹣1，然后同过计算得到P1B2=14﹣6 ，P2B P1P2=14﹣6 ，即P1B2=P2B P1P2，所以P1B是P2B和P1P2的比例中项．
21．【答案】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，
∴AC=BD=80× =40﹣40，
∴CD=BD﹣（AB﹣BD）=2BD﹣AB=80﹣160．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】根据黄金分割的概念和黄金比值计算即可．
22．【答案】解：设他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，
根据题意得x：1.70=0.618，
即x=1.70×0.618≈1.1（m）．
答：他的肚脐到脚底的长度为1.1m时才是黄金身段
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】他的肚脐到脚底的长度为xm时才是黄金身段，根据肚脐到脚底的长度与身高的比为0.618时，是比较好看的黄金身段，则x：1.70=0.618，然后解方程即可．
23．【答案】解：矩形ABFE是黄金矩形．
∵AD=BC，DE=AB，
∴ = = ﹣1= = ．
∴矩形ABFE是黄金矩形
【知识点】正方形的性质；黄金分割
【解析】【分析】只需求得其宽与长的比是否符合黄金比即可．
24．【答案】（1）证明：∵AB=AC=1，
∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=（180°﹣36°）=72°，
∵BD平分∠ABC交AC于点D，
∴∠ABD=∠CBD=∠ABC=36°，
∴∠BDC=180°﹣36°﹣72°=72°，
∴DA=DB，BD=BC，
∴AD=BD=BC，
易得△BDC∽△ABC，
∴BC：AC=CD：BC，即BC2=CD AC，
∴AD2=CD AC，
∴点D是线段AC的黄金分割点；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，
∵AD2=CD AC，
∴x2=1﹣x，解得x1=，x2=，
即AD的长为．
【知识点】黄金分割
【解析】【分析】（1）利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可计算出∠ABC=∠C=72°，∠ABD=∠CBD=36°，∠BDC=72°，则可得 到AD=BD=BC，然后根据相似三角形的判定方法易得△BDC∽△ABC，利用相似比得到BC2=CD AC，于是有AD2=CD AC，则可根据线段黄金分割点的定义得到结论；
（2）设AD=x，则CD=AC﹣AD=1﹣x，由（1）的结论得到x2=1﹣x，然后解方程即可得到AD的长．
25．【答案】（1）解：以AD为边可作出两个正方形AEFD与AE′F′D′（AB＞AD），如图所示
（2）解：矩形EBCF不是黄金矩形，理由如下：
设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，
由ABCD为黄金矩形，得 =
∴ = = ÷（1+ ）= ÷（1+ ）= ≠
∴矩形EBCF不是黄金矩形；
矩形E′BCF′是黄金矩形.
证明：如图，∵ = =（1- ）÷ =（1- ）÷ =
∴E′BCF′是黄金矩形
（3）解：由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.
【知识点】黄金分割；相似多边形
【解析】【分析】（1）如图，分两种情况：正方形中，AD的对边在矩形的内部或外部；
（2）矩形EBCF不是黄金矩形， 设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，由已知得 = ，所以 = = ÷（1+ ）= ÷（1+ ）= ≠ ，对应边不成比例，故矩形EBCF不是黄金矩形；矩形E′BCF′是黄金矩形，
理由： = =（1- ）÷ =（1- ）÷ = ，即对应边成比例，故两个矩形相似.（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.
26．【答案】（1）证明：解：（1）点D是边AB上的黄金分割点，理由如下：
∵∠A=36°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=72°.
∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠DCB=36°，
∴∠BDC=∠B=72°，∠ACD=∠A=36°，
∴BC=DC=AD.
∵∠A=∠BCD，∠B=∠B，
∴ ，
∴
∴
∵.D是AB边上的黄金分割点，
（2）证明：直线CD是△ABC的黄金分割线，理由如下：
设△ABC的边AB上的高为h，则
∵D是AB的黄金分割点，
∴
∴
∴CD是△ABC的黄金分割线.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；黄金分割；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质及角平分线的定义得出BC=DC=AD，证出 BCD∽ BAC，得出，从而得出，即可得出 D是AB边上的黄金分割点；
（2）利用三角形的面积公式得出，，由，得出，即可得出直线CD是△ABC的黄金分割点.
27．【答案】（1）证明：设 ， ，则 ，
由 得： ，
即 ，
解得 ，
∵ ，
∴ ，
；
（2）解：①设 ， ，则 ， ， ，
由二次函数与一元二次方程的联系得： ， 是方程 的两根，
∴ ， ，
∵原点 是线段 的黄金分割点，且 ，
∴ ，即 ，
∴ ，
整理得： ，
∴ ，
∴ ，
即 ；② ， .
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；黄金分割
【解析】【解答】（2）②由（2）①得： ，
由黄金分割点的定义得： ，
解得 ，
则 ，
故 ， .
【分析】（1）设 ， ，从而可得 ，再根据黄金分割点的定义建立方程，然后利用公式法解一元二次方程即可得；
（2）①设 ， ，从而可得 ， ， ，再根据一元二次方程根与系数的关系可得 ， ，然后根据黄金分割点的定义可得 ，从而可得 ，由此化简即可得；②根据①的结论，利用黄金分割点的定义分别求出OA、OB的长，由此即可得.
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