初中数学青岛版九年级上学期 第2章 2.4 解直角三角形
一、单选题
1．（2020·常山模拟）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则tanA的值（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=3
∴BC=
∴
故答案为：B
【分析】本题考查正切三角函数，首先根据勾股定理求出BC，在根据正切三角函数的定义即可得到答案.
2．（2020·温州模拟）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝ ，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示.
在Rt△ACD中，CD＝CA cosC＝1，
∴AD＝ ＝ ；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝ ，
∴AB＝ ＝2 ，
∴sinB＝ ＝ .
故答案为：D.
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示.在Rt△ACD中，可得CD＝CA cosC＝1，利用勾股定理求出AD=，在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，利用勾股定理求出AB=2，由sinB＝ 即可求出结论.
3．（2020·平阳模拟）如图，梯子AC的长为2.8米，则梯子顶端离地面的高度AD是（ ）
A． 米 B． 米 C． sinα米 D． cosα米
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，∠ACD=α，AC=2.8，
∴AD=ACsin∠ACD=2.8sinα=.
故答案为：C.
【分析】在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义可求出AD的值。
4．（2020·遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图.在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝ ＝ ＝ ＝2﹣ .类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A． +1 B． ﹣1 C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝ ，
∴tan22.5°＝ ＝ ＝ ﹣1，
故答案为：B.
【分析】连接AD，由三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，由勾股定理可得AB＝BD＝ ，根据tan22.5°＝计算即可求解.
5．（2020·下城模拟）如图，△ACB中，∠ACB＝90°，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（ ）
A．a （cosα﹣cosβ） B．
C．acosα﹣ D．a cosα﹣asinα a tanβ
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，
∴cosB＝cosα＝ ＝ ，
则BC＝a cosα，
sinB＝sinα＝ ＝ ，
故AC＝a sinα，
则tanβ＝ ，
故DC＝ ＝ ，
则BD＝BC﹣DC＝a cosα﹣ .
故答案为：C.
【分析】由cosα＝ ，可得BC＝a cosα，由sinα＝ ，可得AC＝a sinα，由tanβ＝ ，可得DC＝ ，利用BD＝BC﹣DC即可求出结论.
6．（2020·章丘模拟）如图所示，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知大桥主架顶端离水面的高CD＝a，则此时测量点与大桥主架的水平距离AB为（ ）
A．asinα+asinβ B．atanα+atanβ
C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，tan ，
∴BC＝AB tanα，
在Rt△ABD中，tanβ＝ ，
∴BD＝AB tanβ，
∴CD＝a＝BC+BD＝AB tanα+AB tanβ．
∴AB＝ ．
故答案为：C．
【分析】根据锐角三角函数即可求解．
7．（2020·辽宁模拟）如图， 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】过C作CD⊥AB于D，
则∠ADC=∠BDC=90 ，
∵∠A=30 ，AC= ，
∴CD= AC= ，由勾股定理得：AD= CD=3，
∵tanB= = ，
∴BD=2，
∴AB=2+3=5，
故答案为：C.
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据含30度角的直角三角形求出CD，解直角三角形求出AD，在△BDC中解直角三角形求出BD，相加即可求出答案.
8．（2020·瑞安模拟）如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒。若∠BAC=α，则此车的速度为（ ）
A．5tanα米/秒 B．80tanα米/秒
C． 米/秒 D． 米/秒
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
BC=ACtan∠BAC=20tanα
∵小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒，
∴此车的速度为.
故答案为：A.
【分析】利用解直角三角形求出BC的长，再利用速度=路程÷时间，即可求解。
9．（2019九上·偃师期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则tan∠BAC的值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接BC.
根据勾股定理可得AC2=22+22=8，
BC2=12+12=2，
AB2=12+32=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴tan∠BAC= = = .
故答案为：B.
【分析】连接BC，先根据勾股定理求出AC2、BC2、AB2，由勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
10．（2019九下·杭州期中）如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB于点E，且点E是AB的中点，则tan∠BFE的值是( ）
A． B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=BA，∠ABD=∠CBD，
∵CE⊥AB， E是AB的中点 ，
∴BC=2BE，
∴∠BCE=30°，∠BCA=60°，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠ABC=60°，∠ABD=30°，
∴∠BFE=60°，
在Rt△BEF中，
∴tan∠BFE=tan60°=.
故答案为：D.
【分析】由菱形性质得BC=BA，∠ABD=∠CBD，根据直角三角形性质得BC=2BE，∠BCE=30°，∠BCA=60°，从而可得△ACB是等边三角形，根据等边三角形性质和三角形内角和定理得∠BFE=60°，在Rt△BEF中，根据正切锐角三角函数定义即可求得答案.
11．（2018九上·娄星期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，
∴∠EFC+∠AFB=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠EFC=∠BAF，
cos∠BAF= = ，
∴cos∠EFC= ，
故答案为：A.
【分析】根据翻折变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可．
12．（2020九下·西安月考）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB， ，AE=3，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AD=AB.
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
在Rt△ADE中，
解之：AD=5；
∴AB=5
∴BE=AB-AE=5-3=2.
在Rt△AED中，.
在Rt△BED中，.
故答案为：B.
【分析】利用菱形的四边相等，可证得AD=AB，再在Rt△ADE中，利用解直角三角形求出AD的长，从而可求出BE的长，利用勾股定理求出DE的长，然后利用锐角三角函数的定义求出tan∠DBE的值。
二、填空题
13．（2020·哈尔滨）在 中， ， 为BC边上的高， ，则BC的长为 ．
【答案】7或5
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∵在Rt△ABD中， ， ，
∴ ，即： ，
∴ ，
当D在BC之间时，BC=BD+CD=6+1=7；
当D在BC延长线上时，BC=BD-CD=6-1=5；
故答案为：7或5．
【分析】如图所示，分D在BC之间和BC延长线上两种情况考虑，先由 求出BD，再求出BC的长．
14．（2020·辽宁模拟）如图，将一副三角板按图中方式叠放，BC=4，那么BD=
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠C=45°，BC=4，
∴AB=BC sin∠C=4× =2 .
在Rt△ABC中，∵∠DBA=90°，∠D=30°，AB=2 ，
∴BD= .
【分析】先解等腰直角三角形ABC，求出AB的长，再解直角三角形ABD，即可求出BD.
15．（2020·溧阳模拟）在△ABC中，AC＝5，AB＝6，则△ABC面积的最大值为 .
【答案】15
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，△ABC中，AB=6，AC=5，BD是AC边上的高，
∴sin∠A= ，
∴BD=6sin∠A，
∴△ABC的面积= ，
当sin∠A最大时，即∠A=90°，
△ABC的面积最大，且为 ，
故答案为：15.
【分析】画出图形，设BD为AC边上的高，利用三角函数表示出BD的长为6sin∠A，再用面积公式表示出△ABC的面积为 ，得到当∠A=90°时面积最大，从而求值.
16．（2020·西湖模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，现将△ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE＝ .
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵△BDE由△ADE翻折而成，
∴BE＝AE.
设CE＝x，则BE＝AE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，即62+x2＝（8﹣x）2，解得x＝ ，
∴tan∠CBE＝＝ ＝ .
故答案为 ： .
【分析】由折叠的性质可得BE＝AE，设CE＝x，则BE＝AE＝8﹣x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2+CE2＝BE2，把BC、CE、BE的值代入等式可得关于x的方程，解方程可求得x的值，则CE的值可求解，然后根据tan∠CBE＝可求解.
17．（2020·上海模拟）一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE= m，斜面坡脚为30°，则木箱顶端E距离地面AC的高度EF为 m。
【答案】3
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：设AB、EF交于点O。
∵∠AFO=∠EBO=90°，∠AOF=∠EOB
∴△AOF∽△EOB
∴∠BEO=∠A=30°
∴EO=，OB=BE·tan30°=
∴OA=AB-OB=3-1=2
∴OF=OA·sin∠A=2×=1
∴EF=EO+OF=2+1=3.
【分析】先证得△AOF∽△EOB，利用相似三角形的性质得∠BEO=∠A=30°，然后在Rt△EOB中，利用锐角三角函数的定义求出OE、OB，进而求出OA；最后在Rt△AOF中，利用三角函数求出OF，则EF=EO+OF，从而得解。
18．（2020九下·宝应模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝ ，则tan∠B＝ ．
【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】Rt△AMC中，sin∠CAM= ，
设MC=3x，AM=5x，则AC= =4x．
∵M是BC的中点，∴BC=2MC=6x．
在Rt△ABC中，tan∠B= ．
故答案为 .
【分析】根据∠CAM的正弦值，用未知数表示出MC、AM的长，进而可表示出AC、BC的长．在Rt△ABC中，求∠B的正切值．
19．（2020·绍兴模拟）如图，∠MAN=60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是 .
【答案】 【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BC1⊥AN于点C1，BC2⊥AM于点B，交AN于点C2，
在Rt△ABC1中，∠A=60°，AB=2
∴BC1=ABsin∠A=2×sin60°=；
在Rt△ABC2中，∠A=60°，AB=2
∴BC2=ABtan∠A=2×tan60°=；
∴BC的取值范围是.
故答案为：.
【分析】点点C在射线AN上运动时，△ABC由锐角三角形变为直角三角形再变为钝角三角形，根据题意画出图形，在Rt△ABC1和Rt△ABC2中，利用解直角三角形分别求出BC1，BC2的值，即可得到BC的取值范围。
20．（2019·嘉兴模拟）如图1，含30°和45°角的两块三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12cm，点P为边BC（EF）的中点，现将三角板ABC绕点P按逆时针方向旋转角度α（如图2），设边AB与EF相交于点Q，则当a从0°到90°的变化过程中，点Q移动的路径长为 （结果保留根号）
【答案】（6﹣2 ）cm
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：当a从0°到90°的变化过程中，Q点从E运动到Q，（如图）
∵EF＝12cm，
∴BP＝6cm，
∵∠B＝30°，
在Rt△BPQ中，QP＝2 cm，
∴EQ＝（6﹣2 ）cm，
∴Q点移动的路径为（6﹣2 ）cm，
故答案为（6﹣2 ）cm；
【分析】由题意知：当a从0°到90°的变化过程中，Q点从E运动到Q，即只需求出EQ的值即可。在Rt△BPQ中，解直角三角形可求得QP的长，再结合线段的构成得EQ=EP-PQ=EF-PQ可求解.
三、解答题
21．（2020·天台模拟）我们把底角为51°的等腰三角形称为最稳定三角形. 如图，已知△ABC是最稳定三角形， AB=AC，BC=232.8m.求BC边上的高AD的长.
（sin51°≈0.8，cos51°≈0.6，tan51°≈1.2，精确到1m）
【答案】解：∵
△ABC是最稳定三角形，
∴∠B=∠C=51°，且AB=AC
∵
AD BC，
∴BD= BC=116.4m
∴ AD= tan51°=139.68 ≈140m
∴BC边上的高AD的长是140米.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据最稳定三角形的定义得出 ∠B=∠C=51°，根据等角对等边得出AB=AC ，然后根据等腰三角形的三线合一得出BD的长，最后根据正切函数的定义，由 AD= BD× tan51° 即可算出答案.
22．（2020·盐城）如图，在 中， 的平分线 交 于点 .求 的长？
【答案】解：在 中，
是 的平分线，
又
，
在 中， ，
.
故答案为： .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】由 求出∠A=30°，进而得出∠ABC=60°，由BD是∠ABC的平分线得出∠CBD=30°，进而求出BC的长，最后用sin∠A即可求出AB的长.
23．（2020·淮安模拟）如图示，在 中， ， ， ，求 的面积.
【答案】解：过点C作 ，垂足D
在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴
∴
∴
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】首先过点C作 ，然后在 中，利用锐角三角函数解出 ， ，再在 中得出 ，进而得出AB，即可得出△ABC的面积.
24．（2020·淮安模拟）在△ABC中，tanA＝ ，tanB＝1，CD⊥AB于点D，且BD＝4，请画出示意图并且求边AB的长．
【答案】解：∵tanA= ，tanB=1， ∴∠A=30 ，∠B=45 ， 如图所示： ∵CD⊥AB，∠B=45°，且BD=4， ∴∠BDC=90°，∠BCD=45°=∠B， ∴BD=DC=4， ∵∠BDC=90°，∠A=30°，CD=4， ∴AC=2CD=8， 由勾股定理得： ， ∴AB=AD+BD= ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据题意画出图形，利用特殊角的三角函数值求得∠A、∠B的值，根据等腰直角三角形的性质和判定求出CD，利用含30度角直角三角形的性质求出AD，即可求出AB．
25．（2020九上·来宾期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90，BC=8，tanB= ，点D在BC上，且BD=AD。求AC的长和cos∠ADC的值。
【答案】解：∵在Rt△ABC中，BC=8，tanB=
∴AC=4
设AD=x，则BD=x，CD=8-x
由勾股定理，得
(8-x)2+42=x2解得x=5
∴cos∠ADC=
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】利用锐角三角函数的定义，由tanB的值，就可求出AC的长，设AD=x，用含x的代数式表示出CD的长，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后利用锐角三角函数的定义求出cos∠ADC的值。
26．（2020·阳新模拟）如图，在ΔABC中，∠C=90°，点D在BC上，BD=4，AD=BC，cos∠ADC= .
（1）求DC的长；
（2）求sinB的值.
【答案】（1）解：在直角△ACD中，cos∠ADC＝ = ，
因而可以设CD=3x，AD=5x，
根据勾股定理得到AC=4x，则BC=AD=5x，
∵BD=4，∴5x-3x=4，
解得x=2，
因而BC=10，AC=8，
CD=6；
（2）解：在直角△ABC中，根据勾股定理得到AB=2 ，
∴sinB= .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据cos∠ADC＝ ，就是已知CD：AD=3：5，因而可以设CD=3x，AD=5x，AC=4x.根据BD=4，就可以得到关于x的方程，就可以求出x，求出CD的长度；（2）在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出AB，再根据正弦函数的定义即可求出sinB的值.
27．（2020·天津）如图， 两点被池塘隔开，在 外选一点C，连接 ．测得 ， ， ．根据测得的数据，求 的长（结果取整数）．
参考数据： ， ， ．
【答案】解：如图，过点A作 ，垂足为H．
根据题意， ， ， ．
在 中， ，
．
在 中， ， ，
， ．
又 ，
．可得 ．
．
答：AB的长约为160m．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
28．（2020九上·昌平期末）如图，在 中，AD是BC边上的高， 。
（1）求证：AC＝BD
（2）若 ，求AD的长。
【答案】（1）证明：∵AD是BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB＝ ，cos∠DAC＝ ，
又∵tanB＝cos∠DAC，
∴ ＝ ，
∴AC＝BD
（2）解：在Rt△ADC中，sinC＝ ，
故可设AD＝12k，AC＝13k，
∴CD＝ ＝5k，
∵BC＝BD＋CD，又AC＝BD，
∴BC＝13k＋5k＝18k，
由已知BC＝12，
∴18k＝12，
∴k＝ ，
∴AD＝12k＝12× ＝8．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）由于tanB＝cos∠DAC，所以根据正切和余弦的概念证明AC＝BD；（2）设AD＝12k，AC＝13k，然后利用题目已知条件即可解直角三角形．
1 / 1初中数学青岛版九年级上学期 第2章 2.4 解直角三角形
一、单选题
1．（2020·常山模拟）已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则tanA的值（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·温州模拟）如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝ ，则sinB的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2020·平阳模拟）如图，梯子AC的长为2.8米，则梯子顶端离地面的高度AD是（ ）
A． 米 B． 米 C． sinα米 D． cosα米
4．（2020·遵义）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图.在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝ ＝ ＝ ＝2﹣ .类比这种方法，计算tan22.5°的值为（ ）
A． +1 B． ﹣1 C． D．
5．（2020·下城模拟）如图，△ACB中，∠ACB＝90°，已知∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，则BD的长可表示为（ ）
A．a （cosα﹣cosβ） B．
C．acosα﹣ D．a cosα﹣asinα a tanβ
6．（2020·章丘模拟）如图所示，在桥外一点A测得大桥主架与水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶端D的仰角为β，已知大桥主架顶端离水面的高CD＝a，则此时测量点与大桥主架的水平距离AB为（ ）
A．asinα+asinβ B．atanα+atanβ
C． D．
7．（2020·辽宁模拟）如图， 中， ， ， ，则 的长为（ ）
A． B． C．5 D．
8．（2020·瑞安模拟）如图，为了保证道路交通安全，某段高速公路在A处设立观测点，与高速公路的距离AC为20米.现测得一辆小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒。若∠BAC=α，则此车的速度为（ ）
A．5tanα米/秒 B．80tanα米/秒
C． 米/秒 D． 米/秒
9．（2019九上·偃师期中）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C都在格点上，则tan∠BAC的值为（ ）
A．2 B． C． D．
10．（2019九下·杭州期中）如图，BD是菱形ABCD的对角线，CE⊥AB于点E，且点E是AB的中点，则tan∠BFE的值是( ）
A． B． C．2 D．
11．（2018九上·娄星期末）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是（ ）
A． B． C． D．
12．（2020九下·西安月考）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB， ，AE=3，则tan∠DBE的值是（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题
13．（2020·哈尔滨）在 中， ， 为BC边上的高， ，则BC的长为 ．
14．（2020·辽宁模拟）如图，将一副三角板按图中方式叠放，BC=4，那么BD=
15．（2020·溧阳模拟）在△ABC中，AC＝5，AB＝6，则△ABC面积的最大值为 .
16．（2020·西湖模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，现将△ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE＝ .
17．（2020·上海模拟）一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱滑至如图位置时，AB=3m，已知木箱高BE= m，斜面坡脚为30°，则木箱顶端E距离地面AC的高度EF为 m。
18．（2020九下·宝应模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝ ，则tan∠B＝ ．
19．（2020·绍兴模拟）如图，∠MAN=60°，若△ABC的顶点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上运动，当△ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是 .
20．（2019·嘉兴模拟）如图1，含30°和45°角的两块三角板ABC和DEF叠合在一起，边BC与EF重合，BC＝EF＝12cm，点P为边BC（EF）的中点，现将三角板ABC绕点P按逆时针方向旋转角度α（如图2），设边AB与EF相交于点Q，则当a从0°到90°的变化过程中，点Q移动的路径长为 （结果保留根号）
三、解答题
21．（2020·天台模拟）我们把底角为51°的等腰三角形称为最稳定三角形. 如图，已知△ABC是最稳定三角形， AB=AC，BC=232.8m.求BC边上的高AD的长.
（sin51°≈0.8，cos51°≈0.6，tan51°≈1.2，精确到1m）
22．（2020·盐城）如图，在 中， 的平分线 交 于点 .求 的长？
23．（2020·淮安模拟）如图示，在 中， ， ， ，求 的面积.
24．（2020·淮安模拟）在△ABC中，tanA＝ ，tanB＝1，CD⊥AB于点D，且BD＝4，请画出示意图并且求边AB的长．
25．（2020九上·来宾期末）如图，在Rt△ABC中，∠C=90，BC=8，tanB= ，点D在BC上，且BD=AD。求AC的长和cos∠ADC的值。
26．（2020·阳新模拟）如图，在ΔABC中，∠C=90°，点D在BC上，BD=4，AD=BC，cos∠ADC= .
（1）求DC的长；
（2）求sinB的值.
27．（2020·天津）如图， 两点被池塘隔开，在 外选一点C，连接 ．测得 ， ， ．根据测得的数据，求 的长（结果取整数）．
参考数据： ， ， ．
28．（2020九上·昌平期末）如图，在 中，AD是BC边上的高， 。
（1）求证：AC＝BD
（2）若 ，求AD的长。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=3
∴BC=
∴
故答案为：B
【分析】本题考查正切三角函数，首先根据勾股定理求出BC，在根据正切三角函数的定义即可得到答案.
2．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示.
在Rt△ACD中，CD＝CA cosC＝1，
∴AD＝ ＝ ；
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，AD＝ ，
∴AB＝ ＝2 ，
∴sinB＝ ＝ .
故答案为：D.
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示.在Rt△ACD中，可得CD＝CA cosC＝1，利用勾股定理求出AD=，在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝3，利用勾股定理求出AB=2，由sinB＝ 即可求出结论.
3．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ADC中，∠ACD=α，AC=2.8，
∴AD=ACsin∠ACD=2.8sinα=.
故答案为：C.
【分析】在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义可求出AD的值。
4．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝ ，
∴tan22.5°＝ ＝ ＝ ﹣1，
故答案为：B.
【分析】连接AD，由三角形外角的性质和等腰三角形的性质可得∠D＝22.5°，设AC＝BC＝1，由勾股定理可得AB＝BD＝ ，根据tan22.5°＝计算即可求解.
5．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝α，∠ADC＝β，AB＝a，
∴cosB＝cosα＝ ＝ ，
则BC＝a cosα，
sinB＝sinα＝ ＝ ，
故AC＝a sinα，
则tanβ＝ ，
故DC＝ ＝ ，
则BD＝BC﹣DC＝a cosα﹣ .
故答案为：C.
【分析】由cosα＝ ，可得BC＝a cosα，由sinα＝ ，可得AC＝a sinα，由tanβ＝ ，可得DC＝ ，利用BD＝BC﹣DC即可求出结论.
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵在Rt△ABC中，tan ，
∴BC＝AB tanα，
在Rt△ABD中，tanβ＝ ，
∴BD＝AB tanβ，
∴CD＝a＝BC+BD＝AB tanα+AB tanβ．
∴AB＝ ．
故答案为：C．
【分析】根据锐角三角函数即可求解．
7．【答案】C
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】过C作CD⊥AB于D，
则∠ADC=∠BDC=90 ，
∵∠A=30 ，AC= ，
∴CD= AC= ，由勾股定理得：AD= CD=3，
∵tanB= = ，
∴BD=2，
∴AB=2+3=5，
故答案为：C.
【分析】过C作CD⊥AB于D，根据含30度角的直角三角形求出CD，解直角三角形求出AD，在△BDC中解直角三角形求出BD，相加即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，
BC=ACtan∠BAC=20tanα
∵小轿车从B处行驶到C处所用的时间为4秒，
∴此车的速度为.
故答案为：A.
【分析】利用解直角三角形求出BC的长，再利用速度=路程÷时间，即可求解。
9．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接BC.
根据勾股定理可得AC2=22+22=8，
BC2=12+12=2，
AB2=12+32=10，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，
∴tan∠BAC= = = .
故答案为：B.
【分析】连接BC，先根据勾股定理求出AC2、BC2、AB2，由勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，然后根据锐角三角函数的定义即可求出答案.
10．【答案】D
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=BA，∠ABD=∠CBD，
∵CE⊥AB， E是AB的中点 ，
∴BC=2BE，
∴∠BCE=30°，∠BCA=60°，
∴△ACB是等边三角形，
∴∠ABC=60°，∠ABD=30°，
∴∠BFE=60°，
在Rt△BEF中，
∴tan∠BFE=tan60°=.
故答案为：D.
【分析】由菱形性质得BC=BA，∠ABD=∠CBD，根据直角三角形性质得BC=2BE，∠BCE=30°，∠BCA=60°，从而可得△ACB是等边三角形，根据等边三角形性质和三角形内角和定理得∠BFE=60°，在Rt△BEF中，根据正切锐角三角函数定义即可求得答案.
11．【答案】A
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，
∴∠EFC+∠AFB=90°，
∵∠B=90°，
∴∠BAF+∠AFB=90°，
∴∠EFC=∠BAF，
cos∠BAF= = ，
∴cos∠EFC= ，
故答案为：A.
【分析】根据翻折变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可．
12．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AD=AB.
∵DE⊥AB，
∴∠DEA=90°，
在Rt△ADE中，
解之：AD=5；
∴AB=5
∴BE=AB-AE=5-3=2.
在Rt△AED中，.
在Rt△BED中，.
故答案为：B.
【分析】利用菱形的四边相等，可证得AD=AB，再在Rt△ADE中，利用解直角三角形求出AD的长，从而可求出BE的长，利用勾股定理求出DE的长，然后利用锐角三角函数的定义求出tan∠DBE的值。
13．【答案】7或5
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，∵在Rt△ABD中， ， ，
∴ ，即： ，
∴ ，
当D在BC之间时，BC=BD+CD=6+1=7；
当D在BC延长线上时，BC=BD-CD=6-1=5；
故答案为：7或5．
【分析】如图所示，分D在BC之间和BC延长线上两种情况考虑，先由 求出BD，再求出BC的长．
14．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵∠BAC=90°，∠C=45°，BC=4，
∴AB=BC sin∠C=4× =2 .
在Rt△ABC中，∵∠DBA=90°，∠D=30°，AB=2 ，
∴BD= .
【分析】先解等腰直角三角形ABC，求出AB的长，再解直角三角形ABD，即可求出BD.
15．【答案】15
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，△ABC中，AB=6，AC=5，BD是AC边上的高，
∴sin∠A= ，
∴BD=6sin∠A，
∴△ABC的面积= ，
当sin∠A最大时，即∠A=90°，
△ABC的面积最大，且为 ，
故答案为：15.
【分析】画出图形，设BD为AC边上的高，利用三角函数表示出BD的长为6sin∠A，再用面积公式表示出△ABC的面积为 ，得到当∠A=90°时面积最大，从而求值.
16．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵△BDE由△ADE翻折而成，
∴BE＝AE.
设CE＝x，则BE＝AE＝8﹣x，
在Rt△BCE中，BC2+CE2＝BE2，即62+x2＝（8﹣x）2，解得x＝ ，
∴tan∠CBE＝＝ ＝ .
故答案为 ： .
【分析】由折叠的性质可得BE＝AE，设CE＝x，则BE＝AE＝8﹣x，在Rt△BCE中，由勾股定理可得BC2+CE2＝BE2，把BC、CE、BE的值代入等式可得关于x的方程，解方程可求得x的值，则CE的值可求解，然后根据tan∠CBE＝可求解.
17．【答案】3
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：设AB、EF交于点O。
∵∠AFO=∠EBO=90°，∠AOF=∠EOB
∴△AOF∽△EOB
∴∠BEO=∠A=30°
∴EO=，OB=BE·tan30°=
∴OA=AB-OB=3-1=2
∴OF=OA·sin∠A=2×=1
∴EF=EO+OF=2+1=3.
【分析】先证得△AOF∽△EOB，利用相似三角形的性质得∠BEO=∠A=30°，然后在Rt△EOB中，利用锐角三角函数的定义求出OE、OB，进而求出OA；最后在Rt△AOF中，利用三角函数求出OF，则EF=EO+OF，从而得解。
18．【答案】
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】Rt△AMC中，sin∠CAM= ，
设MC=3x，AM=5x，则AC= =4x．
∵M是BC的中点，∴BC=2MC=6x．
在Rt△ABC中，tan∠B= ．
故答案为 .
【分析】根据∠CAM的正弦值，用未知数表示出MC、AM的长，进而可表示出AC、BC的长．在Rt△ABC中，求∠B的正切值．
19．【答案】 【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：过点B作BC1⊥AN于点C1，BC2⊥AM于点B，交AN于点C2，
在Rt△ABC1中，∠A=60°，AB=2
∴BC1=ABsin∠A=2×sin60°=；
在Rt△ABC2中，∠A=60°，AB=2
∴BC2=ABtan∠A=2×tan60°=；
∴BC的取值范围是.
故答案为：.
【分析】点点C在射线AN上运动时，△ABC由锐角三角形变为直角三角形再变为钝角三角形，根据题意画出图形，在Rt△ABC1和Rt△ABC2中，利用解直角三角形分别求出BC1，BC2的值，即可得到BC的取值范围。
20．【答案】（6﹣2 ）cm
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：当a从0°到90°的变化过程中，Q点从E运动到Q，（如图）
∵EF＝12cm，
∴BP＝6cm，
∵∠B＝30°，
在Rt△BPQ中，QP＝2 cm，
∴EQ＝（6﹣2 ）cm，
∴Q点移动的路径为（6﹣2 ）cm，
故答案为（6﹣2 ）cm；
【分析】由题意知：当a从0°到90°的变化过程中，Q点从E运动到Q，即只需求出EQ的值即可。在Rt△BPQ中，解直角三角形可求得QP的长，再结合线段的构成得EQ=EP-PQ=EF-PQ可求解.
21．【答案】解：∵
△ABC是最稳定三角形，
∴∠B=∠C=51°，且AB=AC
∵
AD BC，
∴BD= BC=116.4m
∴ AD= tan51°=139.68 ≈140m
∴BC边上的高AD的长是140米.
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据最稳定三角形的定义得出 ∠B=∠C=51°，根据等角对等边得出AB=AC ，然后根据等腰三角形的三线合一得出BD的长，最后根据正切函数的定义，由 AD= BD× tan51° 即可算出答案.
22．【答案】解：在 中，
是 的平分线，
又
，
在 中， ，
.
故答案为： .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】由 求出∠A=30°，进而得出∠ABC=60°，由BD是∠ABC的平分线得出∠CBD=30°，进而求出BC的长，最后用sin∠A即可求出AB的长.
23．【答案】解：过点C作 ，垂足D
在 中， ， ，
∴ ，
在 中， ，
∴
∴
∴
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】首先过点C作 ，然后在 中，利用锐角三角函数解出 ， ，再在 中得出 ，进而得出AB，即可得出△ABC的面积.
24．【答案】解：∵tanA= ，tanB=1， ∴∠A=30 ，∠B=45 ， 如图所示： ∵CD⊥AB，∠B=45°，且BD=4， ∴∠BDC=90°，∠BCD=45°=∠B， ∴BD=DC=4， ∵∠BDC=90°，∠A=30°，CD=4， ∴AC=2CD=8， 由勾股定理得： ， ∴AB=AD+BD= ．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】根据题意画出图形，利用特殊角的三角函数值求得∠A、∠B的值，根据等腰直角三角形的性质和判定求出CD，利用含30度角直角三角形的性质求出AD，即可求出AB．
25．【答案】解：∵在Rt△ABC中，BC=8，tanB=
∴AC=4
设AD=x，则BD=x，CD=8-x
由勾股定理，得
(8-x)2+42=x2解得x=5
∴cos∠ADC=
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】利用锐角三角函数的定义，由tanB的值，就可求出AC的长，设AD=x，用含x的代数式表示出CD的长，再利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后利用锐角三角函数的定义求出cos∠ADC的值。
26．【答案】（1）解：在直角△ACD中，cos∠ADC＝ = ，
因而可以设CD=3x，AD=5x，
根据勾股定理得到AC=4x，则BC=AD=5x，
∵BD=4，∴5x-3x=4，
解得x=2，
因而BC=10，AC=8，
CD=6；
（2）解：在直角△ABC中，根据勾股定理得到AB=2 ，
∴sinB= .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据cos∠ADC＝ ，就是已知CD：AD=3：5，因而可以设CD=3x，AD=5x，AC=4x.根据BD=4，就可以得到关于x的方程，就可以求出x，求出CD的长度；（2）在Rt△ABC中，先利用勾股定理求出AB，再根据正弦函数的定义即可求出sinB的值.
27．【答案】解：如图，过点A作 ，垂足为H．
根据题意， ， ， ．
在 中， ，
．
在 中， ， ，
， ．
又 ，
．可得 ．
．
答：AB的长约为160m．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点A作AH⊥BC于点H，根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
28．【答案】（1）证明：∵AD是BC上的高，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，∠ADC＝90°，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
∵tanB＝ ，cos∠DAC＝ ，
又∵tanB＝cos∠DAC，
∴ ＝ ，
∴AC＝BD
（2）解：在Rt△ADC中，sinC＝ ，
故可设AD＝12k，AC＝13k，
∴CD＝ ＝5k，
∵BC＝BD＋CD，又AC＝BD，
∴BC＝13k＋5k＝18k，
由已知BC＝12，
∴18k＝12，
∴k＝ ，
∴AD＝12k＝12× ＝8．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）由于tanB＝cos∠DAC，所以根据正切和余弦的概念证明AC＝BD；（2）设AD＝12k，AC＝13k，然后利用题目已知条件即可解直角三角形．
1 / 1
