初中数学北师大版八年级下学期 第一章 1.3 线段的垂直平分线
一、单选题
1．（2019·梧州）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝8，BC＝5，
∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13。
故答案为：B。
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AE＝BE，从而根据三角形的周长计算方法及线段的和差等量代换即可算出答案。
2．（2019八上·武汉期中）如图，已知 ，以 两点为圆心，大于 的长为半径画圆，两弧相交于点 ，连接 与 相较于点 ，则 的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8.
故答案为：A.
【分析】根据作图过程可知：MN垂直平分AB，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出DA=DB，从而即可解决问题.
3．（2020八下·高新期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且DE⊥AB于E，DE=5，BC=11，则BD的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴CD=DE=5，
∵BC=11，
∴BD=6.
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可求得CD的长，进而根据BD=BC-CD求解.
4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵AC＝AD，BC＝BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上，∴AB垂直平分CD．故选A．
【分析】由已知条件AC＝AD，利用线段垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD的垂直平分线上，同理，点B也在CD的垂直平分线上，于是A是符合题意的，是正确的．
5．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8，AB=10，则△EBC的周长为（ ）．
A．16 B．18 C．26 D．28
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴AE+BE=CE+BE=10，
∴△EBC的周长=BC+BE+CE=10+8=18，
故答案为：B
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得出AE=CE，根据线段的和差，等量代换，三角形周长的计算方法即可算出答案。
6．（2019八上·澄海期末）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE，则∠BAE的度数是（ ）
A．80° B．85° C．90° D．105°
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵点C在AE的垂直平分线MN上
∴AC=CE
∴∠EAC=∠E=30°
又∵AB=CE
∴AB=AC
∴∠B=∠ACB
又∵∠ACB是△ACE的外角
∴∠ACB=∠EAC+∠E=60°
∴∠B=∠ACB=60°
在△ABE中，∠BAE+∠E+∠B=180°
∴∠BAE=180°-∠E-∠B=180°-30°-60°=90°。
故答案为：C.
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质证得线段AC=CE，然后用等腰三角形的性质得∠EAC=∠E=30°和∠B=∠ACB；再用 三角形外角的性质求得∠ACB=60°，易得∠B=∠ACB=60°；最后用三角形内角和定理求出∠BAE=90°。
7．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质解答。
【解答】如图，CA、CB的中点分别为D、E，CA、CB的垂直平分线OD、OE相交于点O，且点O落在AB边上， 连接CO，
∵OD是AC的垂直平分线，
∴OC=OA，
同理OC=OB，
∴OA=OB=OC，
∴A、B、C都落在以O为圆心，以AB为直径的圆周上，
∴∠C是直角。
故选C．
【点评】准确画出图形，可以快速解答此题，发挥数形结合的优势。
8．（2016·眉山）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，
故①正确；
②∵FB垂直平分OC，
∴△CMB≌△OMB，
∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，
∴△FOC≌△EOA，
∴FO=EO，
易得OB⊥EF，
∴△OMB≌△OEB，
∴△EOB≌△CMB，
故②正确；
③由△OMB≌△OEB≌△CMB得∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF=EF，
∵DF∥BE且DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF，
∴DE=EF，
故③正确；
④在直角△BOE中∵∠3=30°，
∴BE=2OE，
∵∠OAE=∠AOE=30°，
∴AE=OE，
∴BE=2AE，
∴S△AOE：S△BCM=S△AOE：S△BOE=1：2，
故④错误；
所以其中正确结论的个数为3个；
故选B
【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；
②证△OMB≌△OEB得△EOB≌△CMB；
③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证 DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF；
④由②可知△BCM≌△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出BE=2OE=2AE，得出结论S△AOE：S△BOE=AE：BE=1：2．
本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．
二、填空题
9．（2019八下·南华期中）已知点O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为6cm，则OA+OB+OC= .
【答案】18cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点，
∴OB=OC=OA=6cm，
∴OA+OB+OC=18cm.
故答案为：18cm.
【分析】由线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得：OB=OA=OC，于是OA+OB+OC的值可求解。
10．（2020八下·中卫月考）在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 .
【答案】PA=PB=PC
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线相交于P，
∴PA=PB，
∵边BC的垂直平分线相交于P，
∴PB=PC，
∴PA=PB=PC.
故答案为：PA=PB=PC.
【分析】根据线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等得出PA=PB，PB=PC，进而根据等量代换即可得出结论.
11．（2019八下·靖远期中）如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC与点E，若三角形BCE的周长等于50，则BC的长为 .
【答案】23
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∴BC=50-27=23.
故答案为：23.
【分析】由线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据△BCE的周长及等量代换即可求出BC的长 .
12．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN= ．
【答案】32°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=106°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°，
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，
即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，
∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．
故答案为32°
【分析】利用三角形内角和定理可求出∠B+∠C的值，再利用线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，可证得∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，从而可求出∠BAE+∠CAN的值，然后求出∠EAN的度数即可。
13．（2020·广东）如图，在菱形 中， ，取大于 的长为半径，分别以点 ， 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交 边于点 （作图痕迹如图所示），连接 ， ，则 的度数为 ．
【答案】45°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】
∵
∴
∴
故答案为：45°．
【分析】根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得 ；结合 °， ，可计算 的度数．
三、解答题
14．（2018八上·开封期中）已知，如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于D，若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长.
【答案】解：∵DE是边AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AE＝EC，
∵AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，
∴AC＝AE+EC＝3+3＝6cm，
△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝13cm，
所以，△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等得出 AD＝CD，AE＝EC， 根据三角形周长的计算方法及等量代换线段的和差得出 AB+BC＝13cm， 从而即可算出答案.
15．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
【答案】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE=CE，OE=OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF，
∴OE=4EF．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；
（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论．
1 / 1初中数学北师大版八年级下学期 第一章 1.3 线段的垂直平分线
一、单选题
1．（2019·梧州）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
2．（2019八上·武汉期中）如图，已知 ，以 两点为圆心，大于 的长为半径画圆，两弧相交于点 ，连接 与 相较于点 ，则 的周长为（ ）
A．8 B．10 C．11 D．13
3．（2020八下·高新期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且DE⊥AB于E，DE=5，BC=11，则BD的长为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（ ）
A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分AB
C．AB与CD互相垂直平分 D．CD平分∠ACB
5．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8，AB=10，则△EBC的周长为（ ）．
A．16 B．18 C．26 D．28
6．（2019八上·澄海期末）如图，在△ABE中，AE的垂直平分线MN交BE于点C，∠E=30°，且AB=CE，则∠BAE的度数是（ ）
A．80° B．85° C．90° D．105°
7．若一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
8．（2016·眉山）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
9．（2019八下·南华期中）已知点O为△ABC三边垂直平分线的交点，点O到顶点A的距离为6cm，则OA+OB+OC= .
10．（2020八下·中卫月考）在△ABC中，边AB、BC、AC的垂直平分线相交于P，则PA、PB、PC的大小关系是 .
11．（2019八下·靖远期中）如图，在△ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC与点E，若三角形BCE的周长等于50，则BC的长为 .
12．如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的垂直平分线，点E、N在BC上，则∠EAN= ．
13．（2020·广东）如图，在菱形 中， ，取大于 的长为半径，分别以点 ， 为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交 边于点 （作图痕迹如图所示），连接 ， ，则 的度数为 ．
三、解答题
14．（2018八上·开封期中）已知，如图，在△ABC中，边AC的垂直平分线DE交AC于E，交BC于D，若AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长.
15．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．
（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝8，BC＝5，
∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13。
故答案为：B。
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AE＝BE，从而根据三角形的周长计算方法及线段的和差等量代换即可算出答案。
2．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得MN垂直平分AB，
∴DA=DB，
∴△BDC的周长=DB+DC+BC=DA+DC+BC=AC+BC=5+3=8.
故答案为：A.
【分析】根据作图过程可知：MN垂直平分AB，根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出DA=DB，从而即可解决问题.
3．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
∴CD=DE=5，
∵BC=11，
∴BD=6.
故答案为：B.
【分析】根据线段垂直平分线的性质即可求得CD的长，进而根据BD=BC-CD求解.
4．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵AC＝AD，BC＝BD，∴点A，B在线段CD的垂直平分线上，∴AB垂直平分CD．故选A．
【分析】由已知条件AC＝AD，利用线段垂直平分线的性质的逆用可得点A在CD的垂直平分线上，同理，点B也在CD的垂直平分线上，于是A是符合题意的，是正确的．
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE=CE，
∴AE+BE=CE+BE=10，
∴△EBC的周长=BC+BE+CE=10+8=18，
故答案为：B
【分析】根据垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等得出AE=CE，根据线段的和差，等量代换，三角形周长的计算方法即可算出答案。
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵点C在AE的垂直平分线MN上
∴AC=CE
∴∠EAC=∠E=30°
又∵AB=CE
∴AB=AC
∴∠B=∠ACB
又∵∠ACB是△ACE的外角
∴∠ACB=∠EAC+∠E=60°
∴∠B=∠ACB=60°
在△ABE中，∠BAE+∠E+∠B=180°
∴∠BAE=180°-∠E-∠B=180°-30°-60°=90°。
故答案为：C.
【分析】先根据线段的垂直平分线的性质证得线段AC=CE，然后用等腰三角形的性质得∠EAC=∠E=30°和∠B=∠ACB；再用 三角形外角的性质求得∠ACB=60°，易得∠B=∠ACB=60°；最后用三角形内角和定理求出∠BAE=90°。
7．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质解答。
【解答】如图，CA、CB的中点分别为D、E，CA、CB的垂直平分线OD、OE相交于点O，且点O落在AB边上， 连接CO，
∵OD是AC的垂直平分线，
∴OC=OA，
同理OC=OB，
∴OA=OB=OC，
∴A、B、C都落在以O为圆心，以AB为直径的圆周上，
∴∠C是直角。
故选C．
【点评】准确画出图形，可以快速解答此题，发挥数形结合的优势。
8．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点，
∴OB=OC，
∵∠COB=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC，
∵FO=FC，
∴FB垂直平分OC，
故①正确；
②∵FB垂直平分OC，
∴△CMB≌△OMB，
∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，
∴△FOC≌△EOA，
∴FO=EO，
易得OB⊥EF，
∴△OMB≌△OEB，
∴△EOB≌△CMB，
故②正确；
③由△OMB≌△OEB≌△CMB得∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE，
∴△BEF是等边三角形，
∴BF=EF，
∵DF∥BE且DF=BE，
∴四边形DEBF是平行四边形，
∴DE=BF，
∴DE=EF，
故③正确；
④在直角△BOE中∵∠3=30°，
∴BE=2OE，
∵∠OAE=∠AOE=30°，
∴AE=OE，
∴BE=2AE，
∴S△AOE：S△BCM=S△AOE：S△BOE=1：2，
故④错误；
所以其中正确结论的个数为3个；
故选B
【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；
②证△OMB≌△OEB得△EOB≌△CMB；
③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证 DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF；
④由②可知△BCM≌△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出BE=2OE=2AE，得出结论S△AOE：S△BOE=AE：BE=1：2．
本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．
9．【答案】18cm
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵点O是△ABC三边垂直平分线的交点，
∴OB=OC=OA=6cm，
∴OA+OB+OC=18cm.
故答案为：18cm.
【分析】由线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得：OB=OA=OC，于是OA+OB+OC的值可求解。
10．【答案】PA=PB=PC
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵边AB的垂直平分线相交于P，
∴PA=PB，
∵边BC的垂直平分线相交于P，
∴PB=PC，
∴PA=PB=PC.
故答案为：PA=PB=PC.
【分析】根据线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等得出PA=PB，PB=PC，进而根据等量代换即可得出结论.
11．【答案】23
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴△BCE的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，
∴BC=50-27=23.
故答案为：23.
【分析】由线段的垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等可得AE=BE，再根据△BCE的周长及等量代换即可求出BC的长 .
12．【答案】32°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=106°，
∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣106°=74°，
∵EF、MN分别是AB、AC的中垂线，
∴∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，
即∠B+∠C=∠BAE+∠CAN=74°，
∴∠EAN=∠BAC﹣（∠BAE+∠CAN）=106°﹣74°=32°．
故答案为32°
【分析】利用三角形内角和定理可求出∠B+∠C的值，再利用线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，可证得∠B=∠BAE，∠C=∠CAN，从而可求出∠BAE+∠CAN的值，然后求出∠EAN的度数即可。
13．【答案】45°
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】
∵
∴
∴
故答案为：45°．
【分析】根据题意知虚线为线段AB的垂直平分线，得AE=BE，得 ；结合 °， ，可计算 的度数．
14．【答案】解：∵DE是边AC的垂直平分线，
∴AD＝CD，AE＝EC，
∵AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，
∴AC＝AE+EC＝3+3＝6cm，
△ABD的周长＝AB+AD+BD＝AB+CD+BD＝AB+BC＝13cm，
所以，△ABC的周长＝AB+BC+AC＝13+6＝19cm.
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】根据线段垂直平分线上的点，到线段两个端点的距离相等得出 AD＝CD，AE＝EC， 根据三角形周长的计算方法及等量代换线段的和差得出 AB+BC＝13cm， 从而即可算出答案.
15．【答案】解：（1）∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，
∴DE=CE，OE=OE，
∴Rt△ODE≌Rt△OCE，
∴OD=OC，
∴△DOC是等腰三角形，
∵OE是∠AOB的平分线，
∴OE是CD的垂直平分线；
（2）∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，
∴∠AOE=∠BOE=30°，
∵EC⊥OB，ED⊥OA，
∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，
∴∠EDF=30°，
∴DE=2EF，
∴OE=4EF．
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；
（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论．
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