初中数学人教版九年级上学期 第二十三章 23.2 中心对称
一、单选题
1．（2020·郴州）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2020·中山模拟）下图是用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，对其对称性表述，正确的是（ ）
A．轴对称图形
B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
3．（2020·九江模拟）如图，在4× 4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．现要在这张网格纸中找出一格点作为旋转中心，绕着这个中心旋转后的三角形的顶点也在格点上，若旋转前后的两个三角形构成中心对称图形，那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．20个
4．（2020八下·镇江月考）如图，△ABC与△ 关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点 是对称点 B．
C．AB∥ D．∠ACB＝∠
5．（2020八下·来宾期末）在平面直角坐标系中，点P(-3，m2+1)关于原点的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6．（2020九上·嘉陵期末）如图，正六边形 ABCDEF的半径OA=OD=2，则点B关于原点O的对称点坐标为（ ）
A．(1，- ) B．(-1， ) C．(- ，1) D．( ，-1)
7．（2020·高邮模拟）如图，在正方形 中，顶点 在坐标轴上，且 ，以 为边构造菱形 .将菱形 与正方形 组成的图形绕点 逆时针旋转，每次旋转 ，则第2020次旋转结束时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．（2020八下·舞钢期末）如图， 和 关于点C成中心对称，若 ， ， ，则 的长是 .
9．（2020·九江模拟）如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕点O顺时针旋转，至少旋转 °的角后，两张硬纸片所构成的图形是中心对称图形．
10．（2020·滨湖模拟）给出如下5种图形：①矩形，②等边三角形，③正五边形，④圆，⑤线段.其中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有 .（请将所有符合题意的序号填在横线上）
11．（2020·长安模拟）已知点 与点 关于原点对称，则 ．
12．（2020·福州模拟）若点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，那么点A在第 象限．
13．（2020·黄浦模拟）已知等边△ABC的重心为G，△DEF与△ABC关于点G成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S1，△ABC的面积记作S2，那么 的值是
14．（初中数学苏科版八年级下册9.1-9.2 图形的旋转 中心对称与中心对称图形 同步练习）如图，已知 与 成中心对称， 的面积是32，AB=16，则 中，CD边上的高为 .
三、解答题
15．（初中数学苏科版八年级下册9.1-9.2 图形的旋转 中心对称与中心对称图形 同步练习）如图，线段AC，BD相交于点O，AB //CD， ：A B=CD.线段AC上的两点E，F关于点O中心对称.
求证：BF=DE.
16．（人教版九年级数学上册 第二十三章旋转 单元检测a卷）如果B（m+1，3m﹣5）到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求：
（1）m的值；
（2）求它关于原点的对称点坐标．
17．（2018九上·云安期中）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，
①写出A、B、C的坐标．
②以原点0为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标．
18．（人教版九年级数学上册 第23章旋转 单元检测c卷）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接BE．
（1）图中哪两个图形成中心对称？
（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．
19．（2018-2019学年数学沪科版八年级上册第11章 平面直角坐标系单元检测b卷）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】“赵爽弦图”是中心对称图形，但不是轴对称图形，
故答案为：B．
【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念判断即可．
3．【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】如图，
旋转中心有D、E、F、G四个，
故答案为：C．
【分析】根据中心对称的性质找到旋转中心即可得．
4．【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： AB、∵△ABC与△ 关于点O成中心对称，
∴点A与点 ‘ 是对称点 ，BO=B'O，∴AB正确，不符合题意；
C、∵△ABC与△ 关于点O成中心对称，∴OA=OA'，OB=OB'，∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥A'B'，正确，不符合题意.
D、∵∠ACB=∠A‘C’B’，而 ∠ACB和∠ 不一定相等，错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】因为中心对称图形是关于点对称，可得 △ABC全等△ ，相应的点互相对称，且相应的点到对称中心的距离相等，据此逐一分析判断即可.
5．【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点P(-3，m2+1)，
∴-3＜0，m2+1＞0
∴点P在第二象限，
∴ 点P(-3，m2+1)关于原点的对称点在第四象限.
故答案为：D.
【分析】利用平方的非负性，可得点P在第二象限，再根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，就可得到点P关于原点对称的点的坐标所在的象限。
6．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接OB，
∵ 正六边形 ABCDEF的半径OA=OD=2 ，
∴OB=OA=AB=2，
∴∠AOB=60°，
∴∠BOH=30°，
在Rt△BOH中，∠BOH=30°，OB=2，
∴BH=OB=1，
由勾股定理可得OH=，
∴B（-，1）
∴ 点B关于原点O的对称点坐标为 （，-1）.
故答案为：D .
【分析】连接OB，利用正六边形的性质可得OB=OA=AB=2，从而可得∠AOB=60°，继而可得∠BOH=30°，在Rt△BOH中，利用30°锐角的直角三角形的性质可得BH=OB=1，OH=，即得B（-，1），根据关于原点对称点坐标的特征：横纵坐标分别互为相反数即可求出即可.
7．【答案】D
【知识点】正方形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵点 的坐标为 ，
∴ ，
由正方形的性质，得 ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
由题可知旋转为每8次一个循环， ，
∴第2020次旋转结束时，点 与点 关于原点对称，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】先根据正方形知识求出AB长，从而求出点F的坐标，再根据题上条件得出旋转为每8次一个循环，从而求出点 的坐标.
8．【答案】
【知识点】勾股定理；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴DC=AC=1，DE=AB=2，
∴在Rt△EDA中，AE的长是：
.
故答案为： .
【分析】直接利用中心对称的性质得出DC，DE的长，进而利用勾股定理得出答案.
9．【答案】60
【知识点】中心对称及中心对称图形；正多边形的性质
【解析】【解答】要使两张图案构成的图形是中心对称图形，
则两张图案构成的图形至少是正六边形，
∵正六边形的中心角是60°，
∴要使得两张图案构成的图形是中心对称图形，它至少旋转60°．
故答案为：60．
【分析】首先根据图示，可得原来的图案是一个正三角形；然后要使两张图案构成的图形是中心对称图形，则两张图案构成的图形是正六边形；最后根据正六边形的中心角是60°，可得它至少旋转60°，据此解答即可．
10．【答案】②③
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：①矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；
②等边三角形是轴对称图形，但不是中兴对称图形；
③正五边形是轴对称图形，但不是中兴对称图形；
④圆是轴对称图形，也是中心对称图形；
⑤线段是轴对称图形，也是中心对称图形.
故答案是：②③.
【分析】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形；把一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
11．【答案】7
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（a，-6）与点Q（-5，3b）关于原点对称，
∴a=5，3b=6，
解得：b=2，
故a+b=7．
故答案为：7．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可得出答案．
12．【答案】二
【知识点】中心对称及中心对称图形；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，
∴﹣3﹣（2x﹣1）＝4﹣（﹣3），
解得：x＝﹣ ，
∴点A（﹣10，5），
∴点A在第二象限，
故答案为：二．
【分析】根据点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，列方程求得x，y的值，结果可得．
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：如图，
∵点G是等边△ABC的重心，
∴AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AG＝2GN，
设AB＝3a，则AN＝ ×3a＝ a，
∵△DEF与△ABC关于点G成中心对称，
∴△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，
∴∠AQH＝∠ABC＝∠AHQ＝∠ACB＝60°，
∴△AQH是等边三角形，
∴AQ＝HQ＝AH＝ AB＝a，
∴AP＝ a，
∴它们重叠部分为边长＝QH的正六边形，
∴S1＝ ，S2＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】如图，根据点G是等边△ABC的重心，得到AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分线，根据中心对称的性质得到△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，推出△AQH是等边三角形，得到AQ＝HQ＝AH，求得它们重叠部分为边长＝QH的正六边形，设AB＝3a，则QH＝a，根据等边三角形的面积即可得到结论．
14．【答案】16
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： ∵ 与 成中心对称，∴△AOB≌△DOC，
∴S△AOB=S△DOC=32，CD=AB=16，
∴CD边上的高为32×2÷16=4.
故答案为：16.
【分析】根据中心对称的性质，可得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的性质可得S△AOB=S△DOC=32，CD=AB=16，由三角形的面积公式即可求出结论.
15．【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∵∠AOB=∠COD，AB=CD，∴△ABO≌△CDO（AAS）∴BO=DO，∵ E，F关于点O中心对称，∴OE=OF，∵∠BOF=∠DOE，∴△BOF≌△DOE（SAS），∴BF=DE.
【知识点】全等三角形的判定与性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】根据AAS先证△ABO≌△CDO，可得BO=DO，利用中心对称的性质可得OE=OF，根据SAS可证△BOF≌△DOE，从而可得BF=DE.
16．【答案】（1）解：由题意得：m+1=3m﹣5，或m+1+3m﹣5=0，
解得：m=3或m=1
（2）解：当m=3时，B（4，4）关于原点的对称点坐标（﹣4，﹣4）；
当m=1时，B（2，﹣2）关于原点的对称点坐标（﹣2，2）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）因为B点到x和y的距离相等，所以他们的横坐标和纵坐标相等或者互为相反数。
（2）将（1）中所求出的m的数值代入B点坐标中，求出其关于原点对称的坐标即可。
17．【答案】解：①A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）； ②A1（﹣1，4），B1（﹣5，4），C1（﹣4，1）， 如图所示：
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）要写一个点的坐标，应分别向x轴和y轴作垂线，在x轴上的垂足对应坐标是a，在y轴上的垂足对应坐标是b，那么点的坐标可以用有序数对（a，b）表示；
（2）点A与点A′关于原点O成中心对称，则AOA1在一条直线上，且AO=A1O，从而可确定A1位置，同样可确定B1、C1的位置，继而可写 出A1、B1、C1的坐标 。
18．【答案】（1）解：图中△ADC和三角形EDB成中心对称。
（2）解：∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8。
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称的定义易知：图中△ADC和△EDB成中心对称。
（2）由（1）知△ADC和△EDB成中心对称，所以=，又因为D为BC的中点，即AD为△ABC的中线，把△ABC分成面积相等的两部分，所以=，最后求得。
19．【答案】（1）解：如图1所示：
（2）解：如图2所示：
（3）解：找出A的对称点A′（1，﹣1），
连接BA′，与x轴交点即为P；
如图3所示：点P坐标为（2，0）．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据题意找出点A、B、C的对应点的位置，再顺次连接即可。
（2）找出点A、B、C关于点O的对称点的位置，再顺次连接即可。
（3）先找出点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，与x轴交点即为P，求出直线BA′的解析式，再求出直线BA′与x轴的交点坐标。
1 / 1初中数学人教版九年级上学期 第二十三章 23.2 中心对称
一、单选题
1．（2020·郴州）下列图形是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D、是中心对称图形，故此选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
2．（2020·中山模拟）下图是用来证明勾股定理的图案被称为“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的大正方形，对其对称性表述，正确的是（ ）
A．轴对称图形
B．中心对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】“赵爽弦图”是中心对称图形，但不是轴对称图形，
故答案为：B．
【分析】根据轴对称和中心对称图形的概念判断即可．
3．（2020·九江模拟）如图，在4× 4的网格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．现要在这张网格纸中找出一格点作为旋转中心，绕着这个中心旋转后的三角形的顶点也在格点上，若旋转前后的两个三角形构成中心对称图形，那么满足条件的旋转中心有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．20个
【答案】C
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】如图，
旋转中心有D、E、F、G四个，
故答案为：C．
【分析】根据中心对称的性质找到旋转中心即可得．
4．（2020八下·镇江月考）如图，△ABC与△ 关于点O成中心对称，则下列结论不成立的是（ ）
A．点A与点 是对称点 B．
C．AB∥ D．∠ACB＝∠
【答案】D
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： AB、∵△ABC与△ 关于点O成中心对称，
∴点A与点 ‘ 是对称点 ，BO=B'O，∴AB正确，不符合题意；
C、∵△ABC与△ 关于点O成中心对称，∴OA=OA'，OB=OB'，∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥A'B'，正确，不符合题意.
D、∵∠ACB=∠A‘C’B’，而 ∠ACB和∠ 不一定相等，错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】因为中心对称图形是关于点对称，可得 △ABC全等△ ，相应的点互相对称，且相应的点到对称中心的距离相等，据此逐一分析判断即可.
5．（2020八下·来宾期末）在平面直角坐标系中，点P(-3，m2+1)关于原点的对称点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点P(-3，m2+1)，
∴-3＜0，m2+1＞0
∴点P在第二象限，
∴ 点P(-3，m2+1)关于原点的对称点在第四象限.
故答案为：D.
【分析】利用平方的非负性，可得点P在第二象限，再根据关于原点对称的点的坐标特点：横纵坐标都互为相反数，就可得到点P关于原点对称的点的坐标所在的象限。
6．（2020九上·嘉陵期末）如图，正六边形 ABCDEF的半径OA=OD=2，则点B关于原点O的对称点坐标为（ ）
A．(1，- ) B．(-1， ) C．(- ，1) D．( ，-1)
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接OB，
∵ 正六边形 ABCDEF的半径OA=OD=2 ，
∴OB=OA=AB=2，
∴∠AOB=60°，
∴∠BOH=30°，
在Rt△BOH中，∠BOH=30°，OB=2，
∴BH=OB=1，
由勾股定理可得OH=，
∴B（-，1）
∴ 点B关于原点O的对称点坐标为 （，-1）.
故答案为：D .
【分析】连接OB，利用正六边形的性质可得OB=OA=AB=2，从而可得∠AOB=60°，继而可得∠BOH=30°，在Rt△BOH中，利用30°锐角的直角三角形的性质可得BH=OB=1，OH=，即得B（-，1），根据关于原点对称点坐标的特征：横纵坐标分别互为相反数即可求出即可.
7．（2020·高邮模拟）如图，在正方形 中，顶点 在坐标轴上，且 ，以 为边构造菱形 .将菱形 与正方形 组成的图形绕点 逆时针旋转，每次旋转 ，则第2020次旋转结束时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正方形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；探索图形规律
【解析】【解答】解：∵点 的坐标为 ，
∴ ，
由正方形的性质，得 ，
∴ ，
∵四边形 为菱形，
∴ ，
∴ ，
由题可知旋转为每8次一个循环， ，
∴第2020次旋转结束时，点 与点 关于原点对称，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】先根据正方形知识求出AB长，从而求出点F的坐标，再根据题上条件得出旋转为每8次一个循环，从而求出点 的坐标.
二、填空题
8．（2020八下·舞钢期末）如图， 和 关于点C成中心对称，若 ， ， ，则 的长是 .
【答案】
【知识点】勾股定理；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】∵△DEC 与△ABC关于点C成中心对称，
∴DC=AC=1，DE=AB=2，
∴在Rt△EDA中，AE的长是：
.
故答案为： .
【分析】直接利用中心对称的性质得出DC，DE的长，进而利用勾股定理得出答案.
9．（2020·九江模拟）如图，两张完全重合在一起的正三角形硬纸片，点O是它们的中心，若按住下面的纸片不动，将上面的纸片绕点O顺时针旋转，至少旋转 °的角后，两张硬纸片所构成的图形是中心对称图形．
【答案】60
【知识点】中心对称及中心对称图形；正多边形的性质
【解析】【解答】要使两张图案构成的图形是中心对称图形，
则两张图案构成的图形至少是正六边形，
∵正六边形的中心角是60°，
∴要使得两张图案构成的图形是中心对称图形，它至少旋转60°．
故答案为：60．
【分析】首先根据图示，可得原来的图案是一个正三角形；然后要使两张图案构成的图形是中心对称图形，则两张图案构成的图形是正六边形；最后根据正六边形的中心角是60°，可得它至少旋转60°，据此解答即可．
10．（2020·滨湖模拟）给出如下5种图形：①矩形，②等边三角形，③正五边形，④圆，⑤线段.其中，是轴对称图形但不是中心对称图形的有 .（请将所有符合题意的序号填在横线上）
【答案】②③
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：①矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；
②等边三角形是轴对称图形，但不是中兴对称图形；
③正五边形是轴对称图形，但不是中兴对称图形；
④圆是轴对称图形，也是中心对称图形；
⑤线段是轴对称图形，也是中心对称图形.
故答案是：②③.
【分析】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形；把一个图形绕着某一点旋转180°后能与其自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可一一判断得出答案.
11．（2020·长安模拟）已知点 与点 关于原点对称，则 ．
【答案】7
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（a，-6）与点Q（-5，3b）关于原点对称，
∴a=5，3b=6，
解得：b=2，
故a+b=7．
故答案为：7．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，即可得出答案．
12．（2020·福州模拟）若点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，那么点A在第 象限．
【答案】二
【知识点】中心对称及中心对称图形；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，
∴﹣3﹣（2x﹣1）＝4﹣（﹣3），
解得：x＝﹣ ，
∴点A（﹣10，5），
∴点A在第二象限，
故答案为：二．
【分析】根据点A（2x﹣1，5）和点B（4，y+3）关于点（﹣3，2）对称，列方程求得x，y的值，结果可得．
13．（2020·黄浦模拟）已知等边△ABC的重心为G，△DEF与△ABC关于点G成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S1，△ABC的面积记作S2，那么 的值是
【答案】
【知识点】三角形的面积；等边三角形的判定与性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：如图，
∵点G是等边△ABC的重心，
∴AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分线，
∴AG＝2GN，
设AB＝3a，则AN＝ ×3a＝ a，
∵△DEF与△ABC关于点G成中心对称，
∴△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，
∴∠AQH＝∠ABC＝∠AHQ＝∠ACB＝60°，
∴△AQH是等边三角形，
∴AQ＝HQ＝AH＝ AB＝a，
∴AP＝ a，
∴它们重叠部分为边长＝QH的正六边形，
∴S1＝ ，S2＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【分析】如图，根据点G是等边△ABC的重心，得到AD垂直平分BC，AD是∠BAC的角平分线，根据中心对称的性质得到△DEF≌△ABC，AG＝DG，EF∥BC，推出△AQH是等边三角形，得到AQ＝HQ＝AH，求得它们重叠部分为边长＝QH的正六边形，设AB＝3a，则QH＝a，根据等边三角形的面积即可得到结论．
14．（初中数学苏科版八年级下册9.1-9.2 图形的旋转 中心对称与中心对称图形 同步练习）如图，已知 与 成中心对称， 的面积是32，AB=16，则 中，CD边上的高为 .
【答案】16
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解： ∵ 与 成中心对称，∴△AOB≌△DOC，
∴S△AOB=S△DOC=32，CD=AB=16，
∴CD边上的高为32×2÷16=4.
故答案为：16.
【分析】根据中心对称的性质，可得△AOB≌△DOC，利用全等三角形的性质可得S△AOB=S△DOC=32，CD=AB=16，由三角形的面积公式即可求出结论.
三、解答题
15．（初中数学苏科版八年级下册9.1-9.2 图形的旋转 中心对称与中心对称图形 同步练习）如图，线段AC，BD相交于点O，AB //CD， ：A B=CD.线段AC上的两点E，F关于点O中心对称.
求证：BF=DE.
【答案】证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∵∠AOB=∠COD，AB=CD，∴△ABO≌△CDO（AAS）∴BO=DO，∵ E，F关于点O中心对称，∴OE=OF，∵∠BOF=∠DOE，∴△BOF≌△DOE（SAS），∴BF=DE.
【知识点】全等三角形的判定与性质；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】根据AAS先证△ABO≌△CDO，可得BO=DO，利用中心对称的性质可得OE=OF，根据SAS可证△BOF≌△DOE，从而可得BF=DE.
16．（人教版九年级数学上册 第二十三章旋转 单元检测a卷）如果B（m+1，3m﹣5）到x轴的距离与它到y轴的距离相等，求：
（1）m的值；
（2）求它关于原点的对称点坐标．
【答案】（1）解：由题意得：m+1=3m﹣5，或m+1+3m﹣5=0，
解得：m=3或m=1
（2）解：当m=3时，B（4，4）关于原点的对称点坐标（﹣4，﹣4）；
当m=1时，B（2，﹣2）关于原点的对称点坐标（﹣2，2）
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【分析】（1）因为B点到x和y的距离相等，所以他们的横坐标和纵坐标相等或者互为相反数。
（2）将（1）中所求出的m的数值代入B点坐标中，求出其关于原点对称的坐标即可。
17．（2018九上·云安期中）每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上，
①写出A、B、C的坐标．
②以原点0为对称中心，画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标．
【答案】解：①A（1，﹣4），B（5，﹣4），C（4，﹣1）； ②A1（﹣1，4），B1（﹣5，4），C1（﹣4，1）， 如图所示：
【知识点】点的坐标；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）要写一个点的坐标，应分别向x轴和y轴作垂线，在x轴上的垂足对应坐标是a，在y轴上的垂足对应坐标是b，那么点的坐标可以用有序数对（a，b）表示；
（2）点A与点A′关于原点O成中心对称，则AOA1在一条直线上，且AO=A1O，从而可确定A1位置，同样可确定B1、C1的位置，继而可写 出A1、B1、C1的坐标 。
18．（人教版九年级数学上册 第23章旋转 单元检测c卷）如图，D是△ABC边BC的中点，连接AD并延长到点E，使DE=AD，连接BE．
（1）图中哪两个图形成中心对称？
（2）若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．
【答案】（1）解：图中△ADC和三角形EDB成中心对称。
（2）解：∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，
∴△EDB的面积也为4，
∵D为BC的中点，
∴△ABD的面积也为4，
所以△ABE的面积为8。
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】（1）根据中心对称的定义易知：图中△ADC和△EDB成中心对称。
（2）由（1）知△ADC和△EDB成中心对称，所以=，又因为D为BC的中点，即AD为△ABC的中线，把△ABC分成面积相等的两部分，所以=，最后求得。
19．（2018-2019学年数学沪科版八年级上册第11章 平面直角坐标系单元检测b卷）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
（1）请画出将△ABC向左平移4个单位长度后得到的图形△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于原点O成中心对称的图形△A2B2C2；
（3）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）解：如图1所示：
（2）解：如图2所示：
（3）解：找出A的对称点A′（1，﹣1），
连接BA′，与x轴交点即为P；
如图3所示：点P坐标为（2，0）．
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据题意找出点A、B、C的对应点的位置，再顺次连接即可。
（2）找出点A、B、C关于点O的对称点的位置，再顺次连接即可。
（3）先找出点A关于x轴的对称点A′，连接BA′，与x轴交点即为P，求出直线BA′的解析式，再求出直线BA′与x轴的交点坐标。
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