初中数学湘教版九年级下册2.7正多边形与圆 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·哈尔滨月考）下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2020九上·平山期中）在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，顺次连接各分点得到的多边形是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
3．（2020八上·渝北月考）已知一个正多边形的每个内角是 ，则这个正多边形是（ ）
A．正八边形 B．正十边形 C．正十二边形 D．正十四边形
4．（2021九下·施秉开学考）如图，正六边形ABCDEF内接于于⊙O，连接BD，则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
5．（2020八上·商城月考）下列说法正确的是（ ）
A．五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形是正五边形
B．正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正六边形
C．从n边形的一个顶点出发可以引（n-2）条对角线
D．n边形共有 条对角线
6．（2021八上·正阳期末）若一个正多边形的一个内角为 ，则这个图形为正（ ）边形.
A．八 B．九 C．七 D．十
7．（2021九上·仙居期末）正六边形的边长为 ，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020九上·柯桥月考）把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连结AD，则∠DAG＝（ ）
A．18° B．20° C．28° D．30°
9．（2020九上·南京期中）如图，连接正十边形的对角线 AC 与 BD 交于点 E，则∠AED 的度数是（ ）
A．126° B．116° C．120° D．110°
10．（2020九上·湖州期中）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A，B，C，D，E，O均是正六边形的顶点.则点O是下列哪个三角形的外心（ ）.
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2021八上·武昌期末）在正n边形中，若一个内角等于一个外角的3倍，则边数n的值是 .
12．（2021八上·镇原期末）如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ．
13．（2021九上·武汉期末）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画 ， 若 ，则阴影部分图形的周长为 结果保留 .
14．（内蒙古自治区呼和浩特市内蒙古农业大学附属秋实中学2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是 ．
15．（2020·昆明）如图，边长为2 cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为 cm.
三、解答题
16．（2019七下·唐河期末）如图，观察每个正多边形中 的变化情况，解答下列问题：
……
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 ……
的度数 ……
（2）根据规律，是否存在一个正 边形，使其中的 ？若存在，写出 的值；若不存在，请说明理由.
（3）根据规律，是否存在一个正 边形，使其中的 ？若存在，写出 的值；若不存在，请说明理由.
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，分别求出半径为R的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积．
18．（2020·南昌模拟）如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心， 为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法）
（1）在圆①中画圆O的一个内接正六边形 ；
（2）在图②中画圆O的一个内接正八边形 .
19．（2019八上·宁晋期中）（解决问题）已知A，B，C是同一平面上的三个点，以线段 ， 为边，分别作正三角形 和正三角形 ，连接 ， ．
（1）如图1，当点A，B，C在同一直线上时，线段 与 的大小关系是 ；
（2）如图2，当A，B，C为三角形的顶点时（点A，B， 不在同一条直线上），判断线段 与 的大小关系是否发生改变，并说明理由；
（3）（类比猜想）
已知A，B，C是同一平面上的三个点，以线段 ， 为边，分别作正方形，连接 ， ，如图3和图4所示．判断线段 与 的大小关系，并在图4（点A，B， 不在同一条直线上）中证明你的判断；
（4）（推广应用）
上面的这些结论能否推广到任意正多边形（不必证明）？
（5）如图5， 与 的大小关系是 ，并写出它们分别在哪两个全等三角形中 ；
（6）请在图6中连接图中两个顶点，构造处一组全等三角形，并写出这两个全等的三角形．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】第二个图形、第四个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，共2个．
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的含义，判断得到答案即可。
2．【答案】D
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意这个正n边形的中心角=60°，
∴n= =6
∴这个多边形是正六边形，
故答案为：D．
【分析】求出正多边形的中心角即可解决问题．
3．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵一个正多边形的每个内角为150°，
∴这个正多边形的每个外角=180°-150°=30°，
∴这个正多边形的边数= =12.
故答案为：C.
【分析】根据多边形的一个内角和它相邻的外角互补可求得一个外角的度数，再根据多边形的外角和等于360°和正多边形的各个外角都相等可求解.
4．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF ，
∴∠BCD=180°-（360°÷6）=120°，
∵CB=CD，
∴∠CBD==30°；
故答案为：A.
【分析】先根据正多边形的外角和求出这个正六边形的一个内角的度数，再结合等腰三角形的性质，利用三角形的内角和定理即可求出∠CBD的度数.
5．【答案】D
【知识点】多边形的对角线；正多边形的性质
【解析】【解答】解：A、五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形不一定是正五边形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、正六边形各内角都相等，但各内角都相等的六边形不一定是正六边形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、从n边形的一个顶点出发可以引（n－3）条对角线，本选项说法错误，不符合题意；
D、n边形共有 条对角线，故本选项说法正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据正多边形的定义即可判断A、B两项，根据多边形对角线的性质和条数公式即可判断C、D两项，进而可得答案.
6．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设所求正n边形边数为n， 则 ，
解得 ，
故答案为：D.
【分析】利用多边形的内角和定理建立方程计算得结论.
7．【答案】D
【知识点】解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距
∵
∴△OAB是正三角形.
∵OC＝OA sin∠OAB＝ ，
∴S△OAB＝ AB OC＝ ，
∴正六边形的面积为 .
故答案为：D.
【分析】由题意画出图形，设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，由正多边形的性质可得△OAB是正三角形，解直角三角形OAC可求得OC的长，然后根据S正六边形=6×S△AOB可求解.
8．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形ABCDE和正方形ABFG
∴∠EAB=∠E=，∠GAB=90°，EA=ED，
∴
∴∠BAD=∠EAB-∠EAD=108°-36°=72°，
∴∠GAD=∠GAB-∠BAD=90°-72°=18°.
故答案为：A.
【分析】正多边形的内角和定理求出∠EAB，EA=ED，∠GAB的度数，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可求出∠EAD，∠BAD的度数；然后根据∠GAD=∠GAB-∠BAD，可求出∠GAD的度数。
9．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；正多边形的性质
【解析】【解答】正十边形的每个内角的度数为 ，
则 ，
，
由三角形的外角性质得： ，
故答案为：A.
【分析】根据正十边形的性质求出各内角的度数，再根据正五边形及正六边形的内角和公式分别求出∠BAE、∠ABE的度数，最后利用三角形外角的性质进行解答即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；正多边形的性质
【解析】【解答】解：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD.
故答案为：D.
【分析】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断.
11．【答案】8
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设多边形的外角是x，则内角是3x.
则 ，
解得 .
.
故答案为8.
【分析】本题考查了正多边形的外角与内角的知识，设外角为x，则其内角为3x，然后利用正多边形的内角与外角互补列出方程求得x的值，然后根据多边形的外角和为 求边数即可.
12．【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为
据此可得多边形的边数为：
∴
∵OA=OD
∴
故答案为：30°．
【分析】利用正多边形的边数=360°÷一个外角的度数，可求出此多边形的边数，再求出∠AOD的度数，再利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠OAD的度数。
13．【答案】 +1
【知识点】弧长的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB=1，∴AB=BC=CD=DE=EA=1，∠A=∠D=108°，∴ = = πAB= ，∴C阴影= + +BC= +1.
故答案为： +1.
【分析】观察图形可知，阴影部分的周长=弧BE+弧CE+BC，根据弧长公式l=可求解.
14．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin45°= ；
如图所示，
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°＝ ，
则该三角形的三边分别为：, , ，
∵12+( )2=( )2，
∴该三角形是直角边，
∴该三角形的面积是： ×1× = .
故答案为 .
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，再由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
15．【答案】10π
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD，OC.
∵∠DOC＝60°，OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC＝ （cm），
∵OB⊥CD，
∴BC＝BD＝ （cm），
∴OB＝ BC＝3（cm），
∵AB＝17cm，
∴OA＝OB+AB＝20（cm），
∴点A在该过程中所经过的路径长＝ ＝10π（cm），
故答案为：10π.
【分析】利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可.
16．【答案】（1）；；；；
（2）存在一个正 边形，使其中的
理由是：根据题意得： ，解得： ，
即当多边形是正九边形，能使其中的 ；
（3）不存在，理由如下：
假设存在正 边形使得 ，得 ，
解得： ，与 是正整数矛盾，
所以不存在正 边形使得 .
【知识点】多边形内角与外角；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：(1)填表如下：
正多边形的边数 3 4 5 6 …… n
的度数 ……
， ， ， ， ；(可以观察归纳出来，也可以计算出来).
【分析】（1）首先根据多边形的内角公式：(n-2)×180°，将n＝3、4、5、6、8、12代入公式分别计算出各多边形的内角和；然后再根据多边形的外角和为360°，即可得到各多边形的内角和，进而完成表格.（2）依据题意得∠α=20°= ，即可求出n的值。（3）依据题意∠α=21°= ，求出n的值是否为正整数即可.
17．【答案】解：如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D，
∵⊙O是正三角形ABC的外接圆，
∴∠AOB= =120°，
∵OA=OB，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
在Rt△ADO中，AO=R，AD=R×sin60°= R，OD=Rcos60°= R，
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD= R，
∴正△ABC的周长是3AB=3 R；面积是3× AB×OD=3× × R× R= R2；
如图2，连接OA、OB、OD，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠COD= =90°，
∵OD=OC=R，由勾股定理得；CD= = R，
∴正方形ABCD的周长为4× R=4 R，面积为 R× R=2R2．
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【分析】 如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D， 利用正多边形和圆的性质，可得出∠AOD=60°，由OA=R，利用解直角三角形分别求出AD、OD，即可求出AB的长，继而可求出△ABC的周长，再由△ABC的面积=3×△AOB的面积，即可求解；如图2， 连接OA、OB、OD，利用正方形的性质，可知∠COD=90°，OC=OD=R，利用勾股定理求出CD，然后求出正方形ABCD的周长和面积。
18．【答案】（1）解：设AO的延长线与圆交于点D，
根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即OB=AB，故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F；同理：在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，如图①，正六边形 即为所求．
（2）解：圆的内接八边形的中心角为360°÷8=45°，而正方形的对角线与边的夹角也为45°
∴在如②图所示的正方形OMNP中，连接对角线ON并延长，交圆于点B，此时∠AON=45°；∵∠NOP=45°，
∴OP的延长线与圆的交点即为点C
同理，即可确定点D、E、F、G、H的位置，顺次连接，
如图②，正八边形 即为所求．
【知识点】正方形的性质；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）设AO的延长线与圆交于点D，根据正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，根据垂直平分线的性质即可确定其它的顶点；（2）先求出内接八边形的中心角，然后根据正方形的性质即可找到各个顶点．
19．【答案】（1）解：相等
（2）解：线段 与 的大小关系没有改变，理由如下：
∵△ABD、△BCD’是等边三角形，
∴AB=BD，BD’=BC，
∵ ，
∴
∴△ABD’≌△DBC（SAS）
∴ =
（3）解：在如图3和图4．判断线段 与 的大小关系为相等，理由如下：
∵四边形ABDE、四边形BCD’E’是正方形，
∴AB=BD，BD’=BC，
∵ ，
∴
∴△ABD’≌△DBC（SAS）
∴ =
故线段 与 的大小关系为相等；
（4）能推广到任意正多边形
（5）相等；△ABD’≌△DBC
（6）解：如图，连接GD’，
∵六边形ABDEFG、六边形ACG’F’E’ D’是正方形，
∴AB=AG，AD’=AC，
∵ ，
∴
∴△GAD’≌△BAC（SAS）
故答案为△GAD’≌△BAC．
【知识点】三角形全等及其性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵△ABD、△BCD’是等边三角形，
∴AB=BD，BD’=BC，
∵ ，
∴
∴△ABD’≌△DBC（SAS）
∴ =
故答案为：相等；（4）根据题意及图形的特点同理可得△ABD’≌△DBC，则 =
故线段 与 的大小关系为相等，能推广到任意正多边形；（5）∵五边形ABDEF、五边形BCF’E’ D’是正方形，
∴AB=BD，BD’=BC，
∵ ，
∴
∴△ABD’≌△DBC（SAS）
∴ =
故答案为：相等；△ABD’≌△DBC；
【分析】（1）根据正三角形的性质证明△ABD’≌△DBC，即可求解；（2）同理证明△ABD’≌△DBC，即可求解；（3）根据正方形的性质同理证明△ABD’≌△DBC，即可求解；（4）根据题意及图形的特点可知这些结论能否推广到任意正多边形；（5）根据正五边形的性质同理证明△ABD’≌△DBC，即可求解；（6）连接GD’，证明△ABC≌△AGD’即可求解．
1 / 1初中数学湘教版九年级下册2.7正多边形与圆 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·哈尔滨月考）下列几何图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】第二个图形、第四个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，共2个．
故答案为：B．
【分析】根据中心对称图形以及轴对称图形的含义，判断得到答案即可。
2．（2020九上·平山期中）在半径为R的圆上依次截取等于R的弦，顺次连接各分点得到的多边形是（ ）
A．正三角形 B．正四边形 C．正五边形 D．正六边形
【答案】D
【知识点】正多边形的性质
【解析】【解答】解：由题意这个正n边形的中心角=60°，
∴n= =6
∴这个多边形是正六边形，
故答案为：D．
【分析】求出正多边形的中心角即可解决问题．
3．（2020八上·渝北月考）已知一个正多边形的每个内角是 ，则这个正多边形是（ ）
A．正八边形 B．正十边形 C．正十二边形 D．正十四边形
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵一个正多边形的每个内角为150°，
∴这个正多边形的每个外角=180°-150°=30°，
∴这个正多边形的边数= =12.
故答案为：C.
【分析】根据多边形的一个内角和它相邻的外角互补可求得一个外角的度数，再根据多边形的外角和等于360°和正多边形的各个外角都相等可求解.
4．（2021九下·施秉开学考）如图，正六边形ABCDEF内接于于⊙O，连接BD，则∠CBD的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：∵正六边形ABCDEF ，
∴∠BCD=180°-（360°÷6）=120°，
∵CB=CD，
∴∠CBD==30°；
故答案为：A.
【分析】先根据正多边形的外角和求出这个正六边形的一个内角的度数，再结合等腰三角形的性质，利用三角形的内角和定理即可求出∠CBD的度数.
5．（2020八上·商城月考）下列说法正确的是（ ）
A．五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形是正五边形
B．正六边形各内角都相等，所以各内角都相等的六边形是正六边形
C．从n边形的一个顶点出发可以引（n-2）条对角线
D．n边形共有 条对角线
【答案】D
【知识点】多边形的对角线；正多边形的性质
【解析】【解答】解：A、五条长度相等的线段首尾顺次相接所构成的图形不一定是正五边形，故本选项说法错误，不符合题意；
B、正六边形各内角都相等，但各内角都相等的六边形不一定是正六边形，故本选项说法错误，不符合题意；
C、从n边形的一个顶点出发可以引（n－3）条对角线，本选项说法错误，不符合题意；
D、n边形共有 条对角线，故本选项说法正确，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据正多边形的定义即可判断A、B两项，根据多边形对角线的性质和条数公式即可判断C、D两项，进而可得答案.
6．（2021八上·正阳期末）若一个正多边形的一个内角为 ，则这个图形为正（ ）边形.
A．八 B．九 C．七 D．十
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设所求正n边形边数为n， 则 ，
解得 ，
故答案为：D.
【分析】利用多边形的内角和定理建立方程计算得结论.
7．（2021九上·仙居期末）正六边形的边长为 ，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距
∵
∴△OAB是正三角形.
∵OC＝OA sin∠OAB＝ ，
∴S△OAB＝ AB OC＝ ，
∴正六边形的面积为 .
故答案为：D.
【分析】由题意画出图形，设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，由正多边形的性质可得△OAB是正三角形，解直角三角形OAC可求得OC的长，然后根据S正六边形=6×S△AOB可求解.
8．（2020九上·柯桥月考）把边长相等的正五边形ABCDE和正方形ABFG，按照如图所示的方式叠合在一起，连结AD，则∠DAG＝（ ）
A．18° B．20° C．28° D．30°
【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形ABCDE和正方形ABFG
∴∠EAB=∠E=，∠GAB=90°，EA=ED，
∴
∴∠BAD=∠EAB-∠EAD=108°-36°=72°，
∴∠GAD=∠GAB-∠BAD=90°-72°=18°.
故答案为：A.
【分析】正多边形的内角和定理求出∠EAB，EA=ED，∠GAB的度数，再利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，可求出∠EAD，∠BAD的度数；然后根据∠GAD=∠GAB-∠BAD，可求出∠GAD的度数。
9．（2020九上·南京期中）如图，连接正十边形的对角线 AC 与 BD 交于点 E，则∠AED 的度数是（ ）
A．126° B．116° C．120° D．110°
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质；正多边形的性质
【解析】【解答】正十边形的每个内角的度数为 ，
则 ，
，
由三角形的外角性质得： ，
故答案为：A.
【分析】根据正十边形的性质求出各内角的度数，再根据正五边形及正六边形的内角和公式分别求出∠BAE、∠ABE的度数，最后利用三角形外角的性质进行解答即可.
10．（2020九上·湖州期中）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A，B，C，D，E，O均是正六边形的顶点.则点O是下列哪个三角形的外心（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的外接圆与外心；正多边形的性质
【解析】【解答】解：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD.
故答案为：D.
【分析】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断.
二、填空题
11．（2021八上·武昌期末）在正n边形中，若一个内角等于一个外角的3倍，则边数n的值是 .
【答案】8
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设多边形的外角是x，则内角是3x.
则 ，
解得 .
.
故答案为8.
【分析】本题考查了正多边形的外角与内角的知识，设外角为x，则其内角为3x，然后利用正多边形的内角与外角互补列出方程求得x的值，然后根据多边形的外角和为 求边数即可.
12．（2021八上·镇原期末）如图，A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点．若O为正多边形的中心，则 ．
【答案】30°
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为
据此可得多边形的边数为：
∴
∵OA=OD
∴
故答案为：30°．
【分析】利用正多边形的边数=360°÷一个外角的度数，可求出此多边形的边数，再求出∠AOD的度数，再利用等边对等角及三角形的内角和定理求出∠OAD的度数。
13．（2021九上·武汉期末）如图，分别以正五边形ABCDE的顶点A，D为圆心，以AB长为半径画 ， 若 ，则阴影部分图形的周长为 结果保留 .
【答案】 +1
【知识点】弧长的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵五边形ABCDE为正五边形，AB=1，∴AB=BC=CD=DE=EA=1，∠A=∠D=108°，∴ = = πAB= ，∴C阴影= + +BC= +1.
故答案为： +1.
【分析】观察图形可知，阴影部分的周长=弧BE+弧CE+BC，根据弧长公式l=可求解.
14．（内蒙古自治区呼和浩特市内蒙古农业大学附属秋实中学2020-2021学年九年级上学期数学期中试卷）以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin30°=1；
如图所示，
∵OC=2，
∴OD=2×sin45°= ；
如图所示，
∵OA=2，
∴OD=2×cos30°＝ ，
则该三角形的三边分别为：, , ，
∵12+( )2=( )2，
∴该三角形是直角边，
∴该三角形的面积是： ×1× = .
故答案为 .
【分析】由于内接正三角形、正方形、正六边形是特殊内角的多边形，可构造直角三角形分别求出边心距的长，再由勾股定理逆定理可得该三角形是直角三角形，进而可得其面积．
15．（2020·昆明）如图，边长为2 cm的正六边形螺帽，中心为点O，OA垂直平分边CD，垂足为B，AB＝17cm，用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为 cm.
【答案】10π
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OD，OC.
∵∠DOC＝60°，OD＝OC，
∴△ODC是等边三角形，
∴OD＝OC＝DC＝ （cm），
∵OB⊥CD，
∴BC＝BD＝ （cm），
∴OB＝ BC＝3（cm），
∵AB＝17cm，
∴OA＝OB+AB＝20（cm），
∴点A在该过程中所经过的路径长＝ ＝10π（cm），
故答案为：10π.
【分析】利用正六边形的性质求出OB的长度，进而得到OA的长度，根据弧长公式进行计算即可.
三、解答题
16．（2019七下·唐河期末）如图，观察每个正多边形中 的变化情况，解答下列问题：
……
（1）将下面的表格补充完整：
正多边形的边数 3 4 5 6 ……
的度数 ……
（2）根据规律，是否存在一个正 边形，使其中的 ？若存在，写出 的值；若不存在，请说明理由.
（3）根据规律，是否存在一个正 边形，使其中的 ？若存在，写出 的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；；；；
（2）存在一个正 边形，使其中的
理由是：根据题意得： ，解得： ，
即当多边形是正九边形，能使其中的 ；
（3）不存在，理由如下：
假设存在正 边形使得 ，得 ，
解得： ，与 是正整数矛盾，
所以不存在正 边形使得 .
【知识点】多边形内角与外角；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：(1)填表如下：
正多边形的边数 3 4 5 6 …… n
的度数 ……
， ， ， ， ；(可以观察归纳出来，也可以计算出来).
【分析】（1）首先根据多边形的内角公式：(n-2)×180°，将n＝3、4、5、6、8、12代入公式分别计算出各多边形的内角和；然后再根据多边形的外角和为360°，即可得到各多边形的内角和，进而完成表格.（2）依据题意得∠α=20°= ，即可求出n的值。（3）依据题意∠α=21°= ，求出n的值是否为正整数即可.
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.4 正多边形和圆 同步练习）如图，分别求出半径为R的圆内接正三角形圆内接正方形的周长和面积．
【答案】解：如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D，
∵⊙O是正三角形ABC的外接圆，
∴∠AOB= =120°，
∵OA=OB，
∴∠AOD=∠BOD=60°，
在Rt△ADO中，AO=R，AD=R×sin60°= R，OD=Rcos60°= R，
∵OD⊥AB，
∴AB=2AD= R，
∴正△ABC的周长是3AB=3 R；面积是3× AB×OD=3× × R× R= R2；
如图2，连接OA、OB、OD，
∵⊙O是正方形ABCD的外接圆，
∴∠COD= =90°，
∵OD=OC=R，由勾股定理得；CD= = R，
∴正方形ABCD的周长为4× R=4 R，面积为 R× R=2R2．
【知识点】圆内接正多边形；解直角三角形
【解析】【分析】 如图1，连接OB、OC，过O作OD⊥AB于D， 利用正多边形和圆的性质，可得出∠AOD=60°，由OA=R，利用解直角三角形分别求出AD、OD，即可求出AB的长，继而可求出△ABC的周长，再由△ABC的面积=3×△AOB的面积，即可求解；如图2， 连接OA、OB、OD，利用正方形的性质，可知∠COD=90°，OC=OD=R，利用勾股定理求出CD，然后求出正方形ABCD的周长和面积。
18．（2020·南昌模拟）如图，在网格纸中，O、A都是格点，以O为圆心， 为半径作圆，用无刻度的直尺完成以下画图：（不写画法）
（1）在圆①中画圆O的一个内接正六边形 ；
（2）在图②中画圆O的一个内接正八边形 .
【答案】（1）解：设AO的延长线与圆交于点D，
根据圆的内接正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，即OB=AB，故在图中找到AO的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点B和F；同理：在图中找到OD的中垂线与圆的交点即为正六边形的顶点C和E，连接AB、BC、CD、DE、EF、FA，如图①，正六边形 即为所求．
（2）解：圆的内接八边形的中心角为360°÷8=45°，而正方形的对角线与边的夹角也为45°
∴在如②图所示的正方形OMNP中，连接对角线ON并延长，交圆于点B，此时∠AON=45°；∵∠NOP=45°，
∴OP的延长线与圆的交点即为点C
同理，即可确定点D、E、F、G、H的位置，顺次连接，
如图②，正八边形 即为所求．
【知识点】正方形的性质；圆内接正多边形；正多边形的性质
【解析】【分析】（1）设AO的延长线与圆交于点D，根据正六边形的性质，点D即为正六边形的一个顶点，且正六边形的边长等于圆的半径，根据垂直平分线的性质即可确定其它的顶点；（2）先求出内接八边形的中心角，然后根据正方形的性质即可找到各个顶点．
19．（2019八上·宁晋期中）（解决问题）已知A，B，C是同一平面上的三个点，以线段 ， 为边，分别作正三角形 和正三角形 ，连接 ， ．
（1）如图1，当点A，B，C在同一直线上时，线段 与 的大小关系是 ；
（2）如图2，当A，B，C为三角形的顶点时（点A，B， 不在同一条直线上），判断线段 与 的大小关系是否发生改变，并说明理由；
（3）（类比猜想）
已知A，B，C是同一平面上的三个点，以线段 ， 为边，分别作正方形，连接 ， ，如图3和图4所示．判断线段 与 的大小关系，并在图4（点A，B， 不在同一条直线上）中证明你的判断；
（4）（推广应用）
上面的这些结论能否推广到任意正多边形（不必证明）？
（5）如图5， 与 的大小关系是 ，并写出它们分别在哪两个全等三角形中 ；
（6）请在图6中连接图中两个顶点，构造处一组全等三角形，并写出这两个全等的三角形．
【答案】（1）解：相等
（2）解：线段 与 的大小关系没有改变，理由如下：
∵△ABD、△BCD’是等边三角形，
∴AB=BD，BD’=BC，
∵ ，
∴
∴△ABD’≌△DBC（SAS）
∴ =
（3）解：在如图3和图4．判断线段 与 的大小关系为相等，理由如下：
∵四边形ABDE、四边形BCD’E’是正方形，
∴AB=BD，BD’=BC，
∵ ，
∴
∴△ABD’≌△DBC（SAS）
∴ =
故线段 与 的大小关系为相等；
（4）能推广到任意正多边形
（5）相等；△ABD’≌△DBC
（6）解：如图，连接GD’，
∵六边形ABDEFG、六边形ACG’F’E’ D’是正方形，
∴AB=AG，AD’=AC，
∵ ，
∴
∴△GAD’≌△BAC（SAS）
故答案为△GAD’≌△BAC．
【知识点】三角形全等及其性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：（1）∵△ABD、△BCD’是等边三角形，
∴AB=BD，BD’=BC，
∵ ，
∴
∴△ABD’≌△DBC（SAS）
∴ =
故答案为：相等；（4）根据题意及图形的特点同理可得△ABD’≌△DBC，则 =
故线段 与 的大小关系为相等，能推广到任意正多边形；（5）∵五边形ABDEF、五边形BCF’E’ D’是正方形，
∴AB=BD，BD’=BC，
∵ ，
∴
∴△ABD’≌△DBC（SAS）
∴ =
故答案为：相等；△ABD’≌△DBC；
【分析】（1）根据正三角形的性质证明△ABD’≌△DBC，即可求解；（2）同理证明△ABD’≌△DBC，即可求解；（3）根据正方形的性质同理证明△ABD’≌△DBC，即可求解；（4）根据题意及图形的特点可知这些结论能否推广到任意正多边形；（5）根据正五边形的性质同理证明△ABD’≌△DBC，即可求解；（6）连接GD’，证明△ABC≌△AGD’即可求解．
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