初中数学北师大版七年级下学期 第二章 2.3 平行线的性质
一、单选题
1．（2020八上·钦州月考）如图，直线a，b被直线c所截，且a//b，若∠1=55°，则∠2等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．125°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】根据图示可得：∠1和∠2是同位角，根据两直线平行，同位角相等可得：∠2=∠1=55°.
【分析】根据两直线平行同位角相等可求解.
2．（2020·营口）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（ ）
A．66° B．56° C．68° D．58°
【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝58°.
故答案为：D.
【分析】根据二直线平行同旁内角互补求得∠BEF，再根据角平分线的定义求得∠GEB.
3．（2020·南通）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．36° B．34° C．32° D．30°
【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示.
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠A＝54°，
∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°.
又∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF＝36°.
故答案为：A.
【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数.
4．（2020·鄂州）如图， ，一块含 的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图所示，过直角顶点作c∥a，
∵ ，
∴a∥b∥c，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】作平行a和b的平行线，再根据平行的性质可知 ，再算出 即可得出 .
5．（2020·广元）如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（ ）.
A．180° B．360° C．270° D．540°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠APN=180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
故答案为：B．
【分析】首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．
6．（2020·宁夏）如图摆放的一副学生用直角三角板， ， 与 相交于点G，当 时， 的度数是（ ）
A．135° B．120° C．115° D．105°
【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点G作 ，
有 ，
∵在 和 中，
∴
∴ ，
∴
故答案为：105°.
【分析】过点G作 ，则有 ， ，又因为 和 都是特殊直角三角形， ，可以得到 ，有 即可得出答案.
二、填空题
7．（2020八上·湛江开学考）如图，直线 ， 的顶点 和 分别落在直线 和 上，若 ， ，则 的度数是 .
【答案】20°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a//b，∠1=60°，
∴∠ACD=∠1=60°.
∵∠ACB=40°，
∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-40°=20°.
故∠2的度数为20°.
【分析】首先根据平行线的性质得到∠ACD的度数，再观察图形根据角的和差关系求∠2的度数.
8．（2020·昆明）如图，点C位于点A正北方向，点B位于点A北偏东50°方向，点C位于点B北偏西35°方向，则∠ABC的度数为 °.
【答案】95
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：过点B作一条平行于AC的线，
由题意可得，∠1＝∠A＝50°（两直线平行，内错角相等），
则∠ABC＝180°-35°-50°＝95°，
故答案为：95.
【分析】按照题意，将点A、B、C的位置关系表示在图中，过点B作一条平行于AC的线，并标注出已知角的度数，两平行线间内错角相等，可得∠1=∠BAC，则∠ABC的度数就可求得.
9．（2020·盐城）如图，直线 被直线c所截， .那么 .
【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵
∴
故答案为：60.
【分析】根据平行线的性质即可求解.
10．（2020七下·渝北期末）如图，直线l1∥l2∥l3，点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，若∠1=70°，∠2=50°，则∠ABC= 度.
【答案】120
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵l1∥l2∥l3，∠1=70°，∠2=50°，
∴∠3=∠1=70°，∠4=∠2=50°，
∴∠ABC=∠3+∠4=70°+50°=120°.
故答案为：120
【分析】如图，由两直线平行，同位角相等可得∠3，再由两直线平行，内错角相等可得∠4，∠ABC=∠3+∠4即可得解.
11．（2020七下·天府新期末）如图，直线l1//l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为 ．
【答案】92°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵l1//l2，
∴∠1＝∠3＝58°，
∵∠4＝30°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣58°﹣30°＝92°．
故答案为：92°．
【分析】根据两条直线平行，同位角相等可得∠1＝∠3，再根据平角定义即可求出∠2的度数．
12．（2020七下·福绵期末）如图，如果AB∥CD，那么∠BAE+∠AEC+∠ECD＝ °.
【答案】360
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE+∠AEF＝180°，∠FEC+∠ECD＝180°，
∵∠AEF+∠FEC＝∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°，
故答案为：360.
【分析】作辅助线EF∥AB，然后根据平行线的性质，可以得到∠BAE+∠AEC+∠ECD的度数，本题得以解决.
三、解答题
13．（2020八上·桐城期中）如图，有三个论断① ；② ；③ ，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
【答案】解：答案不唯一，如：选②③作为条件，①作为结论.
已知 .所以 .
已知：∠B=∠D，∠A=∠C．
求证：∠1=∠2．
证明：∵∠A=∠C，
∴AB∥CD．
∴∠B=∠BFC．
∵∠B=∠D，
∴∠BFC=∠D．
∴DE∥BF．
∴∠DMN=∠BNM．
∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM，
∴∠1=∠2．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的性质与判定作答即可。
14．（2020七下·徽县期末）如图，已知 平分 ，且 于 ，点 在同一直线上， ，延长 交 于 ，证明： .
【答案】解： 平分 ，
，
，
，
，
又 ，
.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】先根据角平分线的定义可得 ，从而可得 ，再根据内错角相等，二直线平行可得 ，然后根据平行线的性质即可得证.
15．（2020八上·江城月考）如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，DE//BC，∠ADE=48°，∠C=62°，求∠ABE的度数.
【答案】解：∵DE∥BC，∠ADE=48°，
∴∠ABC=∠ADE=48°，
∵BE是AC边上的高，
∴∠BEC =90°，
∵∠C=62°，
∴∠EBC=90°-∠C=28°
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=48°-28°=20°.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据直线平行的性质以及高的性质，计算得到∠EBC的度数，继而求出∠ABE的度数即可。
16．（2020八上·萧山月考）已知：如图，在 中， 于点 ， 是 上一点，过点 作 于点 ，且满足 .求证： .
【答案】证明： ， ， ，
，
，
.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由同位角相等二直线平行得DE∥BC，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出CD∥FG，然后根据平行线的性质及等量代换可求证.
17．（2020八上·阳东月考）如图所示，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，∠1+∠2＝90°，∠B＝75°，求∠A的度数．
【答案】解：∵∠1+∠2＝90°，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，
∴∠ADC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝180°，
∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝75°，
∴∠A＝180°﹣75°＝105°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据已知条件∠1+∠2＝90°，CE，DE分别为角平分线，可得一对同旁内角互补，证得AD∥BC；根据两直线平行，同旁内角互补由已知∠B的度数，即可求出∠A的度数．
18．（第12讲 平行——练习题）如图，在△ABC中， ∠ABC与 ∠ACB的平分线相交于O．过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．若 ∠BOC=130°， ∠ABC： ∠ACB=3：2，求 ∠AEF和 ∠EFC．
【答案】解：∵∠ABC： ∠ACB=3：2，
∴设∠ABC=3x， ∠ACB=2x，
∵BO、CO分别平分 ∠ ABC、 ∠ ACB，
∴∠ABO=∠CBO=x，∠ACO=∠BCO=x，
又∵∠BOC=130°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴130°+x+x=180°，
解得：x=20°，
∴∠ABC=3x=60°， ∠ACB=2x=40°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，
∠EFC+∠ACB=180°，
∴∠EFC=140°.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据已知条件设∠ABC=3x， ∠ACB=2x，由角平分线性质得∠ABO=∠CBO=x，∠ACO=∠BCO=x，在△BOC中，根据三角形内角和定理列出方程，解之求得x值，从而得∠ABC=60°， ∠ACB=40°，再由平行线性质同位角相等得∠AEF=60°，同旁内角互补得∠EFC=140°.
1 / 1初中数学北师大版七年级下学期 第二章 2.3 平行线的性质
一、单选题
1．（2020八上·钦州月考）如图，直线a，b被直线c所截，且a//b，若∠1=55°，则∠2等于（ ）
A．35° B．45° C．55° D．125°
2．（2020·营口）如图，AB∥CD，∠EFD＝64°，∠FEB的角平分线EG交CD于点G，则∠GEB的度数为（ ）
A．66° B．56° C．68° D．58°
3．（2020·南通）如图，已知AB∥CD，∠A＝54°，∠E＝18°，则∠C的度数是（ ）
A．36° B．34° C．32° D．30°
4．（2020·鄂州）如图， ，一块含 的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·广元）如图，a∥b，M、N分别在a，b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=（ ）.
A．180° B．360° C．270° D．540°
6．（2020·宁夏）如图摆放的一副学生用直角三角板， ， 与 相交于点G，当 时， 的度数是（ ）
A．135° B．120° C．115° D．105°
二、填空题
7．（2020八上·湛江开学考）如图，直线 ， 的顶点 和 分别落在直线 和 上，若 ， ，则 的度数是 .
8．（2020·昆明）如图，点C位于点A正北方向，点B位于点A北偏东50°方向，点C位于点B北偏西35°方向，则∠ABC的度数为 °.
9．（2020·盐城）如图，直线 被直线c所截， .那么 .
10．（2020七下·渝北期末）如图，直线l1∥l2∥l3，点A、B、C分别在直线l1、l2、l3上，若∠1=70°，∠2=50°，则∠ABC= 度.
11．（2020七下·天府新期末）如图，直线l1//l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放，若∠1＝58°，则∠2的度数为 ．
12．（2020七下·福绵期末）如图，如果AB∥CD，那么∠BAE+∠AEC+∠ECD＝ °.
三、解答题
13．（2020八上·桐城期中）如图，有三个论断① ；② ；③ ，请从中任选两个作为条件，另一个作为结论构成一个命题，并证明该命题的正确性．
14．（2020七下·徽县期末）如图，已知 平分 ，且 于 ，点 在同一直线上， ，延长 交 于 ，证明： .
15．（2020八上·江城月考）如图，在△ABC中，BE是AC边上的高，DE//BC，∠ADE=48°，∠C=62°，求∠ABE的度数.
16．（2020八上·萧山月考）已知：如图，在 中， 于点 ， 是 上一点，过点 作 于点 ，且满足 .求证： .
17．（2020八上·阳东月考）如图所示，点E在AB上，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，∠1+∠2＝90°，∠B＝75°，求∠A的度数．
18．（第12讲 平行——练习题）如图，在△ABC中， ∠ABC与 ∠ACB的平分线相交于O．过点O作EF∥BC分别交AB、AC于E、F．若 ∠BOC=130°， ∠ABC： ∠ACB=3：2，求 ∠AEF和 ∠EFC．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】根据图示可得：∠1和∠2是同位角，根据两直线平行，同位角相等可得：∠2=∠1=55°.
【分析】根据两直线平行同位角相等可求解.
2．【答案】D
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD＝180°，
∴∠BEF＝180°﹣64°＝116°；
∵EG平分∠BEF，
∴∠GEB＝58°.
故答案为：D.
【分析】根据二直线平行同旁内角互补求得∠BEF，再根据角平分线的定义求得∠GEB.
3．【答案】A
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点E作EF∥AB，则EF∥CD，如图所示.
∵EF∥AB，
∴∠AEF＝∠A＝54°，
∵∠CEF＝∠AEF﹣∠AEC＝54°﹣18°＝36°.
又∵EF∥CD，
∴∠C＝∠CEF＝36°.
故答案为：A.
【分析】过点E作EF∥AB，则EF∥CD，由EF∥AB，利用“两直线平行，内错角相等”可得出∠AEF的度数，结合∠CEF=∠AEF-∠AEC可得出∠CEF的度数，由EF∥CD，利用“两直线平行，内错角相等”可求出∠C的度数.
4．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】如图所示，过直角顶点作c∥a，
∵ ，
∴a∥b∥c，
∴ ，
∴ ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】作平行a和b的平行线，再根据平行的性质可知 ，再算出 即可得出 .
5．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：过点P作PA∥a，
∵a∥b，PA∥a，
∴a∥b∥PA，
∴∠1+∠MPA=180°，∠3+∠APN=180°，
∴∠1+∠MPA+∠3+∠APN=180°+180°=360°，
∴∠1+∠2+∠3=360°．
故答案为：B．
【分析】首先作出PA∥a，根据平行线性质，两直线平行同旁内角互补，可以得出∠1+∠2+∠3的值．
6．【答案】D
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：过点G作 ，
有 ，
∵在 和 中，
∴
∴ ，
∴
故答案为：105°.
【分析】过点G作 ，则有 ， ，又因为 和 都是特殊直角三角形， ，可以得到 ，有 即可得出答案.
7．【答案】20°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a//b，∠1=60°，
∴∠ACD=∠1=60°.
∵∠ACB=40°，
∴∠2=∠ACD-∠ACB=60°-40°=20°.
故∠2的度数为20°.
【分析】首先根据平行线的性质得到∠ACD的度数，再观察图形根据角的和差关系求∠2的度数.
8．【答案】95
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如下图所示：过点B作一条平行于AC的线，
由题意可得，∠1＝∠A＝50°（两直线平行，内错角相等），
则∠ABC＝180°-35°-50°＝95°，
故答案为：95.
【分析】按照题意，将点A、B、C的位置关系表示在图中，过点B作一条平行于AC的线，并标注出已知角的度数，两平行线间内错角相等，可得∠1=∠BAC，则∠ABC的度数就可求得.
9．【答案】
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】∵
∴
故答案为：60.
【分析】根据平行线的性质即可求解.
10．【答案】120
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵l1∥l2∥l3，∠1=70°，∠2=50°，
∴∠3=∠1=70°，∠4=∠2=50°，
∴∠ABC=∠3+∠4=70°+50°=120°.
故答案为：120
【分析】如图，由两直线平行，同位角相等可得∠3，再由两直线平行，内错角相等可得∠4，∠ABC=∠3+∠4即可得解.
11．【答案】92°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵l1//l2，
∴∠1＝∠3＝58°，
∵∠4＝30°，
∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠4＝180°﹣58°﹣30°＝92°．
故答案为：92°．
【分析】根据两条直线平行，同位角相等可得∠1＝∠3，再根据平角定义即可求出∠2的度数．
12．【答案】360
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【解答】解：作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠BAE+∠AEF＝180°，∠FEC+∠ECD＝180°，
∵∠AEF+∠FEC＝∠AEC，
∴∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°，
故答案为：360.
【分析】作辅助线EF∥AB，然后根据平行线的性质，可以得到∠BAE+∠AEC+∠ECD的度数，本题得以解决.
13．【答案】解：答案不唯一，如：选②③作为条件，①作为结论.
已知 .所以 .
已知：∠B=∠D，∠A=∠C．
求证：∠1=∠2．
证明：∵∠A=∠C，
∴AB∥CD．
∴∠B=∠BFC．
∵∠B=∠D，
∴∠BFC=∠D．
∴DE∥BF．
∴∠DMN=∠BNM．
∵∠1=∠DMN，∠2=∠BNM，
∴∠1=∠2．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的性质与判定作答即可。
14．【答案】解： 平分 ，
，
，
，
，
又 ，
.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】先根据角平分线的定义可得 ，从而可得 ，再根据内错角相等，二直线平行可得 ，然后根据平行线的性质即可得证.
15．【答案】解：∵DE∥BC，∠ADE=48°，
∴∠ABC=∠ADE=48°，
∵BE是AC边上的高，
∴∠BEC =90°，
∵∠C=62°，
∴∠EBC=90°-∠C=28°
∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=48°-28°=20°.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据直线平行的性质以及高的性质，计算得到∠EBC的度数，继而求出∠ABE的度数即可。
16．【答案】证明： ， ， ，
，
，
.
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】由同位角相等二直线平行得DE∥BC，由同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出CD∥FG，然后根据平行线的性质及等量代换可求证.
17．【答案】解：∵∠1+∠2＝90°，CE，DE分别平分∠BCD，∠ADC，
∴∠ADC+∠BCD＝2（∠1+∠2）＝180°，
∴AD∥BC，∴∠A+∠B＝180°，
∵∠B＝75°，
∴∠A＝180°﹣75°＝105°．
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】根据已知条件∠1+∠2＝90°，CE，DE分别为角平分线，可得一对同旁内角互补，证得AD∥BC；根据两直线平行，同旁内角互补由已知∠B的度数，即可求出∠A的度数．
18．【答案】解：∵∠ABC： ∠ACB=3：2，
∴设∠ABC=3x， ∠ACB=2x，
∵BO、CO分别平分 ∠ ABC、 ∠ ACB，
∴∠ABO=∠CBO=x，∠ACO=∠BCO=x，
又∵∠BOC=130°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴130°+x+x=180°，
解得：x=20°，
∴∠ABC=3x=60°， ∠ACB=2x=40°，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠ABC=60°，
∠EFC+∠ACB=180°，
∴∠EFC=140°.
【知识点】平行线的性质
【解析】【分析】根据已知条件设∠ABC=3x， ∠ACB=2x，由角平分线性质得∠ABO=∠CBO=x，∠ACO=∠BCO=x，在△BOC中，根据三角形内角和定理列出方程，解之求得x值，从而得∠ABC=60°， ∠ACB=40°，再由平行线性质同位角相等得∠AEF=60°，同旁内角互补得∠EFC=140°.
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