人教版数学九年级下册 第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·重庆月考）如图， 过点 ，点D是y轴左侧圆上一点，则 的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
2．（2020九上·杭州月考）在 中， ，若 ，则（ ）.
A． B． C． D．
3．（2020九上·柯桥月考）计算sin230°+cos260°的结果为（ ）
A． B． C．1 D．
4．（2020九上·慈溪月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ， 则tanB=（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九上·杭州月考）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 都在这些小正方形的顶点上， 相交于点P，则 （ ）.
A． B．3 C． D．2
6．（2020九上·长春期中）如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米．若梯子与地面的夹角为 ，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
7．（2020九上·浦东期中） 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2020九上·德惠月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，CD是斜边AB上的高，则cos∠BCD的值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2020九上·重庆开学考）如图，在正方形 中，边长 ， 是为 中点，连接 ， ，把 沿着 翻折，得到 ，则点 到 的距离为（ ）
A． B．4 C． D．
二、填空题
10．（2020九上·慈溪月考）计算：sin60°+cos30°= .
11．（2020九上·泰兴月考）若∠A为锐角，且tanA＝1，则∠A的度数为 .
12．（2020九上·张掖月考）如果 是等边三角形的一个内角，那么 的值等于 .
13．（2020九上·柯桥月考）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ACB的值为 .
14．（2020九上·浦东期中）已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝ ．
15．（2020九上·浦东期中）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝2，那么点A的坐标是 ．
16．（2020九上·惠城月考）如图，已知等腰 ， ，以 为直径的圆交 于点 ，过点 的 的切线交 于点 ，若 ， ，则 的半径是 .
17．（2020九上·成都期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则当线段AF的长取最小值时，sin∠FBD是 ．
三、计算题
18．（2020九上·象山月考）计算：
（1）计算：
（2）计算
四、解答题
19．（2020九上·张掖月考）如图，在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA.
20．（2020九上·长春月考）如图，在 中， 于点D，若 ． ， ，求 的值．
21．（2020·青岛）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D．某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西 方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东 方向，求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．
（参考数据： ， ， ， ， ， ）
五、综合题
22．（2020九上·杨浦期末）如图，已知在 中，∠ACB=90°， ，延长边BA至点D，使AD=AC，联结CD.
（1）求∠D的正切值；
（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求 的值.
23．（2020·长春）如图，在 中，O是对角线 、 的交点， ， ，垂足分别为点E、F．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】连接BC
在Rt△BOC中
∵OB=1，OC=
∴tan∠BCO=
∴∠BCO=30°
根据圆周角定理得
=∠BCO=30°
故答案为：B
【分析】连接BC，在Rt△BOC中，根据tan∠BCO=并结合特殊角的三角函数值可求得∠BCO的度数，再根据圆周角定理得∠BDO=∠BCO可求解.
2．【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：如图，
A.BC= ，故不正确；
B. ∵sinA= ，tanB= ，∴ ，故不正确；
C. ，正确；
D. ∵tanA= ，cosB= ，∴ ，故不正确；
故答案为：C.
【分析】（1）由勾股定理可求得BC的值；
（2）计算sinA=和tanB=的值，再比较大小即可判断求解；
（3）根据cosA=可求解；
（4）计算tanA=和cosB=，比较大小即可判断求解.
3．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：A.
【分析】先代入特殊角的三角函数值，再进行计算。
4．【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵sinA=，
∴设BC=2x，AB=3x，
由勾股定理得：AC=，
∴tanB=
故答案为：D.
【分析】设BC=2x，AB=3x，由勾股定理求得AC=，代入tanB=求出即可.
5．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解析 设小正方形的边长为1，
由图形可知， ，
是等腰直角三角形，
.
，
，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】由网格图的特征用勾股定理可求得AD=DC的值，于是易判断是△ADC等腰直角三角形，然后根据平行线分线段成比例定理可得，则PC可用含DP的代数式表示，在直角三角形APD中，根据tan∠APD=可求解.
6．【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】由题意可得：sin ＝ ＝ ，
故BC＝2sin （米）．
故答案为：A．
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin ＝ ＝ ，进而得出答案．
7．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： = ，
故答案为：C.
【分析】根据三角函数的定义，正切值=对边：邻边，代入即可。
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=24，AB=25
∴BC=7
∵CD为斜边AB上的高，
∴CD=
∵CD⊥AB
∴∠CDB=90°
∴cos∠BCD==
故答案为：B.
【分析】根据题意，由勾股定理即可得到BC的长度，根据等积法求出CD的长，从而得到cos∠BCD的值即可。
9．【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于点F，过点 作 交AD于M，交BC于N，交BD于G，则 ， ，
∴四边形ABNM和四边形MNCD均为矩形，
∵ 沿着 翻折，得到 ， ， 是为 中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设AM=x， ，则 ，NE=x-5，
则： ，
解得： ，
∴AM=8， ，
∴MD=2，
∵BD为正方形ABCD的对角线， ，
∴ ，
∴MD=MG=2，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】过点 作 于点F，过点 作 交AD于M，交BC于N，交BD于G， 可得四边形ABNM和四边形MNCD均为矩形，由折叠的性质可得 ， ， ，可证 ，列出比例式，设AM=x， ，则 ，NE=x-5，代入比例式可求x，y，进而可求MD与MG，可得 的长度，由 ， ，可求答案.
10．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式=+
=.
故答案为：.
【分析】代入三角函数特殊值，再通分即可求得结果.
11．【答案】45°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵∠A为锐角，且tanA＝1，tan45°＝1，
∴∠A＝45°.
故答案为：45°.
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可.
12．【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ 是等边三角形的一个内角，
∴
∴
故答案为： .
【分析】由等边三角形的内角为60°可得，根据特殊角的三角函数值即可求解.
13．【答案】3
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，过点A作AE⊥BC于点E，
∴
∵
∴
解之：AE=3
∴
在Rt△ACE中
tan∠ACB=.
故答案为：3.
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，过点A作AE⊥BC于点E，利用勾股定理求出AC，BC的长，再利用三角形的面积公式可得到AB·CD=AE·CB，由此可求出AE的长；再利用勾股定理求出CE的长，然后在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠ACB的值。
14．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵菱形对角线互相垂直，
∴∠OEA＝∠AOB，
∵∠OAE＝∠BAO，
∴△OAE∽△ABO，
∴∠AOE＝∠ABO，
∵AO＝ AC＝2，AB＝6，
∴sin∠AOE＝sin∠ABO＝ ＝ ．
故答案为： ．
【分析】根据菱形的性质，可得，，因此，再利用余弦的定义求解即可。
15．【答案】（﹣1，0）或（3，0）
【知识点】点的坐标；两一次函数图象相交或平行问题；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
∵一次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
即 ，
∴一次函数解析式为 ，
∴一次函数 与x轴、y轴的交点坐标为（ ，0）、（0， ），
∴ ， ，
∵ ，
∴ 且 ，
解得， 或 ，
当 时，OA=1，此时点A在x轴负半轴上，所以点A坐标为（﹣1，0），
当 时，OA=3，此时点A在x轴正半轴上，所以点A坐标为（3，0），
∴A点的坐标是 或
故答案为：（﹣1，0）或（3，0）．
【分析】先将点P代入一次函数，求出k、b的等量关系式，再用含k的表达式表示出A、B点的坐标，最后利用列方程，求出k的值，再代入，求出点A的坐标。
16．【答案】5
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
连接OD和BD
∵DE是切线
∴OD⊥DE
∵AB为直径
∴∠ADB=90°，AB=BC
∴AD=CD=4，且 AO=OB
∴DO=BC，DE⊥OD
∴DE⊥EC
∴DE===4
∵tanC===
∴BD=2
∴AB==10
∴OA=5
【分析】根据DE⊥EC，根据勾股定理可得DE=4，根据锐角三角函数求出DB的长度，继而根据勾股定理求出AB的长度，即可得到圆O的半径。
17．【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵由题意得，
∴点 在以 为圆心、 为半径的圆上，作 ，连接 交 于点 ，此时 的值最小，如图：
∵点 是 的中点
∴
∵
∴
∵
∴
∴
连接 ，过 作 于 ，如图：
∵
∴
∴
∴
∴
∴ ，
∴
∴
∴ ．
故答案是：
【分析】根据题意，首先确定AF取最小值时的情况，通过添加辅助线构造直角三角形，由相似三角形的判定和性质、勾股定理以及锐角三角函数即可求出答案。
18．【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）利用负整数指数幂的性质，先算乘方运算，代入特殊角的三角函数值，同时化简绝对值，然后利用有理数的乘法法则及减法法则，可求出结果。
（2）先算乘方运算，代入特殊角的三角函数值，同时化简绝对值，再算乘法运算，然后合并同类二次根式。
19．【答案】解：∵在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，∴AC＝12，sinA＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ，
tanA＝ ＝ .
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】由题意先用勾股定理可求得直角边AC的长，再根据锐角三角函数sinA=、cosA=、tanA=可求解.
20．【答案】解：
，
．
．
在 中
，
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】在 中，利用正切定义解得CD的长，结合已知条件，可得BD的长，再由勾股定理解题即可．
21．【答案】解：过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，
则四边形CDEF是矩形，
∵∠BAE=22°，AE=5（海里），
∴BE=AE tan22°=5× =2（海里），
∵DE=BD-BE=6-2=4（海里），
∵四边形CDEF是矩形，
∴CF=DE=4（海里），
∴AC=CF÷sin67°=4÷ ≈4.3（海里）．
【知识点】矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，由正切函数与正弦函数的定义，以及矩形的性质，即可求解．
22．【答案】（1）解：过点C作CG⊥BD于G，
∵ ，∴设AC=3a,则AB=5a,
易得∠ABC=∠ACG,∴sin∠ACG= ，
∴AG=AC·sin∠ACG= ,∴CG=
又AD=AC=3a,∴DG=AD+AG=
∴tanD= ,即∠D的正切值为 .
（2）解：延长BF至H，使EH=BE,连接CH,由CE=AE,则CH∥BD,
∴ = ，△CEH≌△AEB,
∴CH=AB=5a,
又BD=AD+AB=AE+AB=3a+5a=8a,
∴ = = .
【知识点】平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）过点C作CG⊥BD于G,根据已知三角函数值，设出参数表示出各边长，可求出CE,DE，进而可得出∠D的正切值.（2）延长BF至H，使EH=BE,连接CH,则CH∥BD， = ,求出 的值即可.
23．【答案】（1）证明：在 中，
∵ ， ∴∴
又∵∴
∴
（2）解：∵ ， ∴
∵∴
在 中， ，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，求出DF∥BE，根据平行线的性质，结合题意证明△DFO≌△BEO，根据全等三角形的对应边相等，即可得到答案；
（2）根据题意，求出∠OEB为90°，在直角三角形OBE中，根据锐角三角函数的定义，计算得到答案即可。
1 / 1人教版数学九年级下册 第二十八章 锐角三角函数 28.1 锐角三角函数 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·重庆月考）如图， 过点 ，点D是y轴左侧圆上一点，则 的度数是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义；特殊角的三角函数值
【解析】【解答】连接BC
在Rt△BOC中
∵OB=1，OC=
∴tan∠BCO=
∴∠BCO=30°
根据圆周角定理得
=∠BCO=30°
故答案为：B
【分析】连接BC，在Rt△BOC中，根据tan∠BCO=并结合特殊角的三角函数值可求得∠BCO的度数，再根据圆周角定理得∠BDO=∠BCO可求解.
2．（2020九上·杭州月考）在 中， ，若 ，则（ ）.
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；锐角三角函数的增减性
【解析】【解答】解：如图，
A.BC= ，故不正确；
B. ∵sinA= ，tanB= ，∴ ，故不正确；
C. ，正确；
D. ∵tanA= ，cosB= ，∴ ，故不正确；
故答案为：C.
【分析】（1）由勾股定理可求得BC的值；
（2）计算sinA=和tanB=的值，再比较大小即可判断求解；
（3）根据cosA=可求解；
（4）计算tanA=和cosB=，比较大小即可判断求解.
3．（2020九上·柯桥月考）计算sin230°+cos260°的结果为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式=.
故答案为：A.
【分析】先代入特殊角的三角函数值，再进行计算。
4．（2020九上·慈溪月考）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ， 则tanB=（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵sinA=，
∴设BC=2x，AB=3x，
由勾股定理得：AC=，
∴tanB=
故答案为：D.
【分析】设BC=2x，AB=3x，由勾股定理求得AC=，代入tanB=求出即可.
5．（2020九上·杭州月考）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点 都在这些小正方形的顶点上， 相交于点P，则 （ ）.
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解析 设小正方形的边长为1，
由图形可知， ，
是等腰直角三角形，
.
，
，
，
，
.
故答案为：B.
【分析】由网格图的特征用勾股定理可求得AD=DC的值，于是易判断是△ADC等腰直角三角形，然后根据平行线分线段成比例定理可得，则PC可用含DP的代数式表示，在直角三角形APD中，根据tan∠APD=可求解.
6．（2020九上·长春期中）如图，一个梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是2米．若梯子与地面的夹角为 ，则梯子顶端到地面的距离（BC的长）为（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】A
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】由题意可得：sin ＝ ＝ ，
故BC＝2sin （米）．
故答案为：A．
【分析】直接利用锐角三角函数关系得出sin ＝ ＝ ，进而得出答案．
7．（2020九上·浦东期中） 中， ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解： = ，
故答案为：C.
【分析】根据三角函数的定义，正切值=对边：邻边，代入即可。
8．（2020九上·德惠月考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝24，AB＝25，CD是斜边AB上的高，则cos∠BCD的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=24，AB=25
∴BC=7
∵CD为斜边AB上的高，
∴CD=
∵CD⊥AB
∴∠CDB=90°
∴cos∠BCD==
故答案为：B.
【分析】根据题意，由勾股定理即可得到BC的长度，根据等积法求出CD的长，从而得到cos∠BCD的值即可。
9．（2020九上·重庆开学考）如图，在正方形 中，边长 ， 是为 中点，连接 ， ，把 沿着 翻折，得到 ，则点 到 的距离为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质；轴对称的性质；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：如图，过点 作 于点F，过点 作 交AD于M，交BC于N，交BD于G，则 ， ，
∴四边形ABNM和四边形MNCD均为矩形，
∵ 沿着 翻折，得到 ， ， 是为 中点，
∴ ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
设AM=x， ，则 ，NE=x-5，
则： ，
解得： ，
∴AM=8， ，
∴MD=2，
∵BD为正方形ABCD的对角线， ，
∴ ，
∴MD=MG=2，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ .
故答案为：A.
【分析】过点 作 于点F，过点 作 交AD于M，交BC于N，交BD于G， 可得四边形ABNM和四边形MNCD均为矩形，由折叠的性质可得 ， ， ，可证 ，列出比例式，设AM=x， ，则 ，NE=x-5，代入比例式可求x，y，进而可求MD与MG，可得 的长度，由 ， ，可求答案.
二、填空题
10．（2020九上·慈溪月考）计算：sin60°+cos30°= .
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：原式=+
=.
故答案为：.
【分析】代入三角函数特殊值，再通分即可求得结果.
11．（2020九上·泰兴月考）若∠A为锐角，且tanA＝1，则∠A的度数为 .
【答案】45°
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵∠A为锐角，且tanA＝1，tan45°＝1，
∴∠A＝45°.
故答案为：45°.
【分析】根据特殊角的三角函数值进行解答即可.
12．（2020九上·张掖月考）如果 是等边三角形的一个内角，那么 的值等于 .
【答案】
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵ 是等边三角形的一个内角，
∴
∴
故答案为： .
【分析】由等边三角形的内角为60°可得，根据特殊角的三角函数值即可求解.
13．（2020九上·柯桥月考）如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ACB的值为 .
【答案】3
【知识点】三角形的面积；勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥AB于点D，过点A作AE⊥BC于点E，
∴
∵
∴
解之：AE=3
∴
在Rt△ACE中
tan∠ACB=.
故答案为：3.
【分析】过点C作CD⊥AB于点D，过点A作AE⊥BC于点E，利用勾股定理求出AC，BC的长，再利用三角形的面积公式可得到AB·CD=AE·CB，由此可求出AE的长；再利用勾股定理求出CE的长，然后在Rt△ACE中，利用锐角三角函数的定义求出tan∠ACB的值。
14．（2020九上·浦东期中）已知菱形ABCD的边长为6，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥AB，垂足为点E，AC＝4，那么sin∠AOE＝ ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵菱形对角线互相垂直，
∴∠OEA＝∠AOB，
∵∠OAE＝∠BAO，
∴△OAE∽△ABO，
∴∠AOE＝∠ABO，
∵AO＝ AC＝2，AB＝6，
∴sin∠AOE＝sin∠ABO＝ ＝ ．
故答案为： ．
【分析】根据菱形的性质，可得，，因此，再利用余弦的定义求解即可。
15．（2020九上·浦东期中）在平面直角坐标系xOy中，已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过点P（1，1），与x轴交于点A，与y轴交于点B，且tan∠ABO＝2，那么点A的坐标是 ．
【答案】（﹣1，0）或（3，0）
【知识点】点的坐标；两一次函数图象相交或平行问题；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
∵一次函数 的图象经过点 ，
∴ ，
即 ，
∴一次函数解析式为 ，
∴一次函数 与x轴、y轴的交点坐标为（ ，0）、（0， ），
∴ ， ，
∵ ，
∴ 且 ，
解得， 或 ，
当 时，OA=1，此时点A在x轴负半轴上，所以点A坐标为（﹣1，0），
当 时，OA=3，此时点A在x轴正半轴上，所以点A坐标为（3，0），
∴A点的坐标是 或
故答案为：（﹣1，0）或（3，0）．
【分析】先将点P代入一次函数，求出k、b的等量关系式，再用含k的表达式表示出A、B点的坐标，最后利用列方程，求出k的值，再代入，求出点A的坐标。
16．（2020九上·惠城月考）如图，已知等腰 ， ，以 为直径的圆交 于点 ，过点 的 的切线交 于点 ，若 ， ，则 的半径是 .
【答案】5
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：
连接OD和BD
∵DE是切线
∴OD⊥DE
∵AB为直径
∴∠ADB=90°，AB=BC
∴AD=CD=4，且 AO=OB
∴DO=BC，DE⊥OD
∴DE⊥EC
∴DE===4
∵tanC===
∴BD=2
∴AB==10
∴OA=5
【分析】根据DE⊥EC，根据勾股定理可得DE=4，根据锐角三角函数求出DB的长度，继而根据勾股定理求出AB的长度，即可得到圆O的半径。
17．（2020九上·成都期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE，使点B落在点F处，连接AF，则当线段AF的长取最小值时，sin∠FBD是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：∵由题意得，
∴点 在以 为圆心、 为半径的圆上，作 ，连接 交 于点 ，此时 的值最小，如图：
∵点 是 的中点
∴
∵
∴
∵
∴
∴
连接 ，过 作 于 ，如图：
∵
∴
∴
∴
∴
∴ ，
∴
∴
∴ ．
故答案是：
【分析】根据题意，首先确定AF取最小值时的情况，通过添加辅助线构造直角三角形，由相似三角形的判定和性质、勾股定理以及锐角三角函数即可求出答案。
三、计算题
18．（2020九上·象山月考）计算：
（1）计算：
（2）计算
【答案】（1）解：原式=
（2）解：原式=
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）利用负整数指数幂的性质，先算乘方运算，代入特殊角的三角函数值，同时化简绝对值，然后利用有理数的乘法法则及减法法则，可求出结果。
（2）先算乘方运算，代入特殊角的三角函数值，同时化简绝对值，再算乘法运算，然后合并同类二次根式。
四、解答题
19．（2020九上·张掖月考）如图，在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，求sinA，cosA，tanA.
【答案】解：∵在Rt△ABC中，a＝5，c＝13，∴AC＝12，sinA＝ ＝ ，cosA＝ ＝ ，
tanA＝ ＝ .
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】由题意先用勾股定理可求得直角边AC的长，再根据锐角三角函数sinA=、cosA=、tanA=可求解.
20．（2020九上·长春月考）如图，在 中， 于点D，若 ． ， ，求 的值．
【答案】解：
，
．
．
在 中
，
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【分析】在 中，利用正切定义解得CD的长，结合已知条件，可得BD的长，再由勾股定理解题即可．
21．（2020·青岛）如图，在东西方向的海岸上有两个相距6海里的码头B，D．某海岛上的观测塔A距离海岸5海里，在A处测得B位于南偏西 方向．一艘渔船从D出发，沿正北方向航行至C处，此时在A处测得C位于南偏东 方向，求此时观测塔A与渔船C之间的距离（结果精确到0.1海里）．
（参考数据： ， ， ， ， ， ）
【答案】解：过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，
则四边形CDEF是矩形，
∵∠BAE=22°，AE=5（海里），
∴BE=AE tan22°=5× =2（海里），
∵DE=BD-BE=6-2=4（海里），
∵四边形CDEF是矩形，
∴CF=DE=4（海里），
∴AC=CF÷sin67°=4÷ ≈4.3（海里）．
【知识点】矩形的性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】过点A作AE⊥BD，过点C作CF⊥AE，由正切函数与正弦函数的定义，以及矩形的性质，即可求解．
五、综合题
22．（2020九上·杨浦期末）如图，已知在 中，∠ACB=90°， ，延长边BA至点D，使AD=AC，联结CD.
（1）求∠D的正切值；
（2）取边AC的中点E，联结BE并延长交边CD于点F，求 的值.
【答案】（1）解：过点C作CG⊥BD于G，
∵ ，∴设AC=3a,则AB=5a,
易得∠ABC=∠ACG,∴sin∠ACG= ，
∴AG=AC·sin∠ACG= ,∴CG=
又AD=AC=3a,∴DG=AD+AG=
∴tanD= ,即∠D的正切值为 .
（2）解：延长BF至H，使EH=BE,连接CH,由CE=AE,则CH∥BD,
∴ = ，△CEH≌△AEB,
∴CH=AB=5a,
又BD=AD+AB=AE+AB=3a+5a=8a,
∴ = = .
【知识点】平行线分线段成比例；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）过点C作CG⊥BD于G,根据已知三角函数值，设出参数表示出各边长，可求出CE,DE，进而可得出∠D的正切值.（2）延长BF至H，使EH=BE,连接CH,则CH∥BD， = ,求出 的值即可.
23．（2020·长春）如图，在 中，O是对角线 、 的交点， ， ，垂足分别为点E、F．
（1）求证： ．
（2）若 ， ，求 的值．
【答案】（1）证明：在 中，
∵ ， ∴∴
又∵∴
∴
（2）解：∵ ， ∴
∵∴
在 中， ，
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质，求出DF∥BE，根据平行线的性质，结合题意证明△DFO≌△BEO，根据全等三角形的对应边相等，即可得到答案；
（2）根据题意，求出∠OEB为90°，在直角三角形OBE中，根据锐角三角函数的定义，计算得到答案即可。
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