高考理数选填压轴专练
练习3
1．设且，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20~80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）（参考数据：，）
A．6 B．7 C．8 D．9
3．已知圆C：．若直线：上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则m的取值范围是（ ）
A．（，） B．（，][，）
C．（，） D．[,]
4．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在（0，）单调递减
B．当时，在（0，）处的切线为轴
C．当时，在（，0）存在唯一极小值点，且
D．对任意，在（，）一定存在零点
5．在△ABC中，∠BAC=60°，BC=3，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD=2，则△ABC的面积为 ．
6．已知O为坐标原点，抛物线C：（）上一点A到焦点F的距离为4，设点M为抛物线C准线上的动点，给出以下命题：
①若△MAF为正三角形时，则抛物线C方程为；
②若AM⊥于M，则抛物线在A点处的切线平分∠MAF；
③若，则抛物线C方程为；
④若的最小值为，则抛物线C方程为．
其中所有正确的命题序号是 ．
练习4
1．若△ABC的外心为O，且∠A=60°，AB=2，AC=3，则等于（ ）
A．5 B．8 C．10 D．13
2．若函数（为常数）的图象存在两条均过原点的切线，则实数的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（，） C．（0，） D．（，）
3．棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其不等到达的空间的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，点P在双曲线上．若△为直角三角形，且，则双曲线的离心率为 ．
5．在数列{}中，，（），记4．若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为 ．高考理数选填压轴专练
练习3
1．设且，且，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】由可得或，所以，满足充分性；
由可得或，结合前提条件可得，必要性满足．
因此是充分必要条件．
故选：C．
2．酒驾是严重危害交通安全的违法行为.根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量在20~80mg之间为酒后驾车，80mg及以上为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.2mg/mL，且在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时20%的速度减少，若他想要在不违法的情况下驾驶汽车，则至少需经过的小时数约为（ ）（参考数据：，）
A．6 B．7 C．8 D．9
【解析】设该驾驶员至少需经过个小时才能驾驶汽车，则，所以，
则，所以该驾驶员至少需经过约8个小时才能驾驶汽车．
故选：C．
3．已知圆C：．若直线：上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得∠APB=60°，则m的取值范围是（ ）
A．（，） B．（，][，）
C．（，） D．[,]
【解析】根据题意，圆C：的圆心为（2，3），半径，
过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，连接，
若∠APB=60°，则∠APC=30°，又由⊥，
则，
若直线：上存在点P，满足∠APB=60°，
则有C到直线的距离，
解可得：，即的取值范围为[,]．
故选：D．
4．已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．当时，在（0，）单调递减
B．当时，在（0，）处的切线为轴
C．当时，在（，0）存在唯一极小值点，且
D．对任意，在（，）一定存在零点
【解析】对于A选项，当时，，，易得时，，
所以当时，，单调递增，所以A选项错误；同时，，则在（0，1）处的切线为直线，所以B选项错误；
对于C选项，当时，，（，0），，恒成立，所以单调递增，
又，，
所以存在（，），使得，即，
且当（，）时，，单调递减，当（，0）时，，单调递增，
所以为在（，0）内的唯一极小值点，
又，因为（，），所以，
所以C选项正确；
对于D选项，对于，（，），令，即，
①当，，且时，显然没有零点，此时不成立；
②当，，且时，有，
令，则，令，解得，，，
所以（，）单调递减，（，0）单调递增，有极小值，
于是知（，0）时得，所以当（0，）时，函数无零点，
此时，当[0，）时，，
可得在（，）上无零点，故选项D不正确；
故选：C
5．在△ABC中，∠BAC=60°，BC=3，AD平分∠BAC交BC于点D，若AD=2，则△ABC的面积为 ．
【解析】由题可得，因为∠BAC=，则∠BAD=∠CAD=，令，，
则有，即①；
又，即，可化为②；
结合①②可得，，解得：，
所以；
故答案为：．
6．已知O为坐标原点，抛物线C：（）上一点A到焦点F的距离为4，设点M为抛物线C准线上的动点，给出以下命题：
①若△MAF为正三角形时，则抛物线C方程为；
②若AM⊥于M，则抛物线在A点处的切线平分∠MAF；
③若，则抛物线C方程为；
④若的最小值为，则抛物线C方程为．
其中所有正确的命题序号是 ．
【解析】①若△MAF为正三角形时，，故①正确；
②若AM⊥于M，设A（，），过A的切线方程为：，
代入得，
令，又，∴，，
所以过点的切线的斜率为，
因为，所以过的切线⊥，又，
故抛物线在A点处的切线平分∠MAF，②正确
③若，则、、三点共线，，，
由三角形的相似比得，，故③正确；
④设（，0）则（，），、关于准线对称，，
，
因为，解得，故④正确．
故答案为：①②③④．
练习4
1．若△ABC的外心为O，且∠A=60°，AB=2，AC=3，则等于（ ）
A．5 B．8 C．10 D．13
【解析】如图，在△ABC中，由余弦定理可得：，所以，
因为，
同理，
，
所以；
故选C．
2．若函数（为常数）的图象存在两条均过原点的切线，则实数的取值范围是（ ）
A．（0，） B．（，） C．（0，） D．（，）
【解析】设切点P为（，）（），因为切点在图象上，所以，
求导得，所以在点P处得切线的斜率，
切线经过原点，所以切线方程为：，
代入（，）可得，即，
因为存在两条切线，所以，有两个不同得零点；
当时，不成立；
当，所以，
令，易得当时，，当时，，当时，；
求导得，
所以当（，0），，单调递增，当（0，），，单调递减；
所以，
结合函数正负性和单调性，可大致画出函数图象，如图：
利用函数图象可得：，所以；
故选B．
3．棱长为4的正方体密闭容器内有一个半径为1的小球，小球可在正方体容器内任意运动，则其不等到达的空间的体积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题可得，小球球心的活动区域是棱长为2的小正方体，
当小球的球心在小正方体的8个顶点时，小球活动不到的空间相当于棱长为2的正方体中间挖去一个半球为的球剩余的部分，其体积为；
当小球的球心在小正方体的12条棱上时，小球活动不到的空间放在一起是3个棱长为2的正方体中间挖掉3个底面积为且高为2的圆柱剩余的部分，其体积为；
因此小球达不到的空间的体积为；
故选A．
4．已知双曲线C：（，）的左右焦点分别为，，点P在双曲线上．若△为直角三角形，且，则双曲线的离心率为 ．
【解析】根据对称性，可假设点P在第一象限，
因为△为直角三角形，则存在，或；
如图1，当时，由，
可假设，，则，
所以，，
所以；
如图2，当时，由，
可假设，，则，
所以，，
所以；
故答案为：或．
5．在数列{}中，，（），记4．若对任意的，恒成立，则实数的取值范围为 ．
【解析】数列{}中，，由（），得，
所以，可得，则，
则，
当为偶数时，，得，所以，
当为奇数时，，得，所以；
综上：取值范围为；
故答案为（，1）．
