人教版数学七年级下册 第五章 相交线与平行线 5.1.2 垂线 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·杭州期中）若线段 ， 分别是 边上的高线和中线，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：由垂线段最短，可知 同一条边上的高线不可能比中线长，
只有当中线和高线重合时， ，
因此 ，
故答案为：D.
【分析】根据垂线段最短即可判断.
2．（2020七下·防城港期末）如图，连接直线 外一点 与直线 上各点 ， ，其中 ，这些线段 ， ， ， ， 中，最短的线段是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵PO⊥l，
∴这些线段PO，PA1，PA2，PA3，…中，最短的线段是 PO.
故答案为：A.
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”作答即可.
3．（2020七下·巴南期末）如图，AC⊥BC，AC=4.5，若点P在直线BC上，则AP的长可能是（ ）.
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：已知，在△ABC中，AC⊥BC，AC=4.5，
根据垂线段最短，可知AP的长不可小于4.5，当P和C重合时，AP=4.5，
故答案为：A.
【分析】利用垂线段最短，可得AP的取值范围是AP≥4.5，根据各选项可得答案。
4．（2020七下·韩城期末）如图，把河 中的水引到村庄C拟修水渠中最短的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵CP⊥AB，
∴把河中的水引到村庄C拟修水渠中最短的是CP.
故答案为：C.
【分析】利用垂线段最短，根据图形可得答案。
5．（2020·河北）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
【答案】D
【知识点】垂线
【解析】【解答】在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；
故答案为：D．
【分析】在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．
6．（2020·孝感）如图，直线 ， 相交于点O， ，垂足为点O.若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
故答案为：B.
【分析】已知 ， ，根据邻补角定义即可求出 的度数.
7．（2020七下·营山期末）在同－平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．55°
C．20°或 125° D．20°或55°
【答案】C
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
∠B=∠A=x°，
x=3x-40
解得，x=20，
故∠A=20°，
②两个角互补时，如图2：
x+3x-40=180，
所以x=55，
3×55°-40°=125°
故∠A的度数为：20°或125°．
故答案为：C．
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠A比∠B的3倍少40°，所以它们互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．
8．（2020七下·横县期末）如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD. 如果∠1=35°，那么∠2的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°
∵∠1+∠COD+∠2=180°
∴∠2=180°-90°-35°=55°.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义可证得∠COD=90°，观察图形可知∠1+∠COD+∠2=180°，由此可求出∠2的度数。
9．（2018七上·南山期末）如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC； ②AD与AC互相垂直； ③点C到AB的垂线段是线段AB；
④点A到BC的距离是线段AD的长度； ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；
⑥AD+BD>AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，故①正确；
∵∠DAC<∠BAC=90°，∴AD与AC不垂直，故②错误；
点C到AB的垂线段是线段AC，故③错误；
点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；
线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；
在ABD中，根据两边之和大于第三边，AD+BD>AB，故⑥正确，
∴正确的为：①④⑤⑥.
故答案为：C.
【分析】根据点到直线的距离，垂直、垂线段的定义逐项判断即可.
10．如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是（ ）
①∠AOB＝∠COD；②∠AOB＋∠COD＝90°；③∠BOC＋∠AOD＝180°；④∠AOC－∠COD＝∠BOC.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】由题意可知，OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°．同时，OB⊥OD，所以∠BOD＝90°，即∠COD＋∠BOC＝90°．依次，可以判定∠AOB＝∠COD，所以①正确．又因为不能推断出∠AOB与∠COD的具体角度，所以②不正确．∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD，所以∠BOC＋∠AOD＝∠BOC＋∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝90°＋90°＝180°．因为∠AOB＝∠COD，所以∠AOC－∠COD＝∠AOC－∠AOB＝∠BOC，所以④正确．为此，选C．
【分析】在掌握两直线相互垂直，夹角为直角的基础上，学会角度转换，就能轻松找到正确答案．本题考查垂线．
二、填空题
11．（2020·吉林）如图，某单位要在河岸 上建一个水泵房引水到C处，他们的做法是：过点C作 于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 ．
【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
12．（2020七下·邛崃期末）如图，在Rt . ，在边 、 上分别截取 ， ，使 ，分别以D、E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点M，作射线 交 边于点F．若 ，则点F到 的距离为 ．
【答案】2
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：
AF平分∠BAC，
过点F作FG⊥AC，
∵∠B＝90°，
∴FB⊥AB，
∴FG＝FB＝2．
∴点F到AC的距离为2．
故答案为：2．
【分析】根据作图过程可得，AF平分∠BAC，过点F作FG⊥AC，根据∠B＝90°，可得FB⊥AB，根据角平分线的性质可得FG＝FB，进而可得点F到AC的距离．
13．（2020七下·北京期末）如图，线段AB=15cm，线段AD=12cm，线段AC=9cm，则点A到BC的距离为 cm．
【答案】9
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：如图所示，已知 ，AC=9cm，由点到直线的距离定义可知，点A到BC的距离为AC的长度，即为9cm；
故答案为：9．
【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离，如图中，AC的距离就是点A到直线BC的距离．
14．（2020七下·交城期末）如图，CD⊥AB，垂足是点D，AC＝7，BC＝5，CD＝4，点E是线段AB上的一个动点（包括端点），连接CE，那么CE长的范围是 ．
【答案】4≤CE≤7
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，垂足是点D，AC=7，BC=5，CD=4，
∴CE长的范围是4≤CE≤7，
故答案为：4≤CE≤7．
【分析】根据垂线段最短解答即可．
15．（2020七下·宝安期中）已知 的两边与∠B的两边分别垂直，且 比∠B的3倍少 ，那么
【答案】20或125
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
∠B=∠A=x°，
x=3x-40，
解得，x=20，
故∠A=20°，
②两个角互补时，如图2：
x+3x-40=180，
所以x=55，
3×55°-40°=125°
综上所述：∠A的度数为：20°或125°．
故答案为：20或125．
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠A比∠B的3倍少40°，设∠B是x度，利用方程即可解决问题．
16．（2020七上·无锡期末）如图，已知 .若 ，则 ．
【答案】
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：∵ .，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： .
【分析】根据题意，由 ，即可求出 的度数.
17．（2016七下·江阴期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．将三角尺OCD绕点O按每秒30°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当第 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
【答案】5.5或11.5
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：如图，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGC=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，
∴∠CON=∠NGC﹣∠OCD=60°﹣45°=15°，
∴旋转角为180°﹣∠CON=180°﹣15°=165°，
t=165°÷30°=5.5秒，
CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGD=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，
∴∠AOC=∠NGD﹣∠C=60°﹣45°=15°，
∴旋转角为360°﹣∠AOC=360°﹣15°=345°，
t=345°÷30°=11.5秒，
综上所述，第5.5或11.5秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
故答案为：5.5或11.5．
【分析】分CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠CGN，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CON，再求出旋转角即可，CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠NGD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AOC，然后求出旋转角，计算即可得解．
三、解答题
18．（2019七下·西宁期中）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC：∠AOD=7：11，求∠DOE的度数.
【答案】解：∵EO⊥AB，
∴∠EOA=90°，
∴∠EOC+∠AOD=90°，
∵∠EOC：∠AOD=7：11，
∴∠AOD=90°× =55°，
∴∠DOE=∠EOA+∠AOD=90°+55°=145°，
答：∠DOE的度数是145°.
【知识点】垂线
【解析】【分析】由EO⊥AB可得∠AOE=90°，由此可得∠EOC+∠AOD=90°，结合∠EOC：∠AOD=7：11可求得∠AOD=55°，这样由∠DOE=∠EOA+∠AOD即可求得∠DOE的度数.
19．（2019七下·封开期中）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，OF平分∠AOD，且∠BOE＝50°.求∠COF的度数．
【答案】解：∵EO⊥CD，
∴∠COE=90°，
又∵∠BOE=50°，
∴∠COB=∠COE+∠BOE=140°．
∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），
∴∠AOD=140°，
又∵∠BOD=180°-∠BOE-∠COE=180°-50°-90°=40°，
∴∠AOC=∠BOD=40°（对顶角相等），
∴∠COF= ∠AOF+∠AOC=∠ ∠AOD+∠AOC= 140°+40°=110°.
【知识点】垂线；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据对顶角相等分别求出∠AOD和∠AOC，再根据角平分线的定义可求出∠AOF，由∠COF= ∠AOF+∠AOC即可求出.
20．（2018七上·大庆期中）如图，某村庄计划把河中的水引到水池M中，怎样开的渠最短，为什么？（保留作图痕迹，不写作法和证明）说明理由
【答案】解：理由是：垂线段最短 .
【知识点】垂线段最短
【解析】【分析】根据点到直线的所有连线中，垂线段最短分析作图即可.
21．如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
【答案】解：如图所示：
（1）沿AB走，两点之间线段最短；
（2）沿BD走，垂线段最短；
（3）沿AC走，垂线段最短．
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【分析】（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．
（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
四、综合题
22．（2019七下·大连月考）如图，OA⊥OC，OB⊥OD．
（1）∠AOD与∠BOC相等吗？为什么？
（2）已知∠AOB＝140°，求∠COD的度数．
【答案】（1）解：相等，理由如下：
∵AO⊥CO，DO⊥BO
∴∠AOC=∠BOD=90°
∴∠AOD+∠DOC=∠BOC+∠DOC
∴∠AOD=∠BOC
（2）解：∵∠AOB＝140°，∠BOD=90°
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=50°
∵∠AOC＝90°
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=40°
答：∠COD的度数为40°
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义，可知∠AOC=∠BOD，再利用同角的余角相等，可证得结论。
（2）此题解法不止一种，根据∠AOD=∠AOB-∠BOD，可求出∠AOD的度数，再利用∠COD=∠AOC-∠AOD，从而可求出∠COD的度数；或根据∠COD=∠AOC+∠BOD-∠AOB，即可求解。
1 / 1人教版数学七年级下册 第五章 相交线与平行线 5.1.2 垂线 同步练习
一、单选题
1．（2020八上·杭州期中）若线段 ， 分别是 边上的高线和中线，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2020七下·防城港期末）如图，连接直线 外一点 与直线 上各点 ， ，其中 ，这些线段 ， ， ， ， 中，最短的线段是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020七下·巴南期末）如图，AC⊥BC，AC=4.5，若点P在直线BC上，则AP的长可能是（ ）.
A．5 B．4 C．3 D．2
4．（2020七下·韩城期末）如图，把河 中的水引到村庄C拟修水渠中最短的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2020·河北）如图，在平面内作已知直线m的垂线，可作垂线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
6．（2020·孝感）如图，直线 ， 相交于点O， ，垂足为点O.若 ，则 的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020七下·营山期末）在同－平面内，若∠A与∠B的两边分别垂直，且∠A比∠B的3倍少40°，则∠A的度数为（ ）
A．20° B．55°
C．20°或 125° D．20°或55°
8．（2020七下·横县期末）如图，点O为直线AB上一点，OC⊥OD. 如果∠1=35°，那么∠2的度数是（ ）
A．35° B．45° C．55° D．65°
9．（2018七上·南山期末）如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，则下列结论中，正确的个数为（ ）
①AB⊥AC； ②AD与AC互相垂直； ③点C到AB的垂线段是线段AB；
④点A到BC的距离是线段AD的长度； ⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；
⑥AD+BD>AB．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．如图所示，OA⊥OC，OB⊥OD，下面结论中，其中说法正确的是（ ）
①∠AOB＝∠COD；②∠AOB＋∠COD＝90°；③∠BOC＋∠AOD＝180°；④∠AOC－∠COD＝∠BOC.
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空题
11．（2020·吉林）如图，某单位要在河岸 上建一个水泵房引水到C处，他们的做法是：过点C作 于点D，将水泵房建在了D处．这样做最节省水管长度，其数学道理是 ．
12．（2020七下·邛崃期末）如图，在Rt . ，在边 、 上分别截取 ， ，使 ，分别以D、E为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧在 内交于点M，作射线 交 边于点F．若 ，则点F到 的距离为 ．
13．（2020七下·北京期末）如图，线段AB=15cm，线段AD=12cm，线段AC=9cm，则点A到BC的距离为 cm．
14．（2020七下·交城期末）如图，CD⊥AB，垂足是点D，AC＝7，BC＝5，CD＝4，点E是线段AB上的一个动点（包括端点），连接CE，那么CE长的范围是 ．
15．（2020七下·宝安期中）已知 的两边与∠B的两边分别垂直，且 比∠B的3倍少 ，那么
16．（2020七上·无锡期末）如图，已知 .若 ，则 ．
17．（2016七下·江阴期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线AB上，其中∠ONM=30°，∠OCD=45°．将三角尺OCD绕点O按每秒30°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当第 秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
三、解答题
18．（2019七下·西宁期中）如图，直线AB、CD相交于点O，EO⊥AB，垂足为O，∠EOC：∠AOD=7：11，求∠DOE的度数.
19．（2019七下·封开期中）如图，直线AB与CD相交于点O，EO⊥CD于点O，OF平分∠AOD，且∠BOE＝50°.求∠COF的度数．
20．（2018七上·大庆期中）如图，某村庄计划把河中的水引到水池M中，怎样开的渠最短，为什么？（保留作图痕迹，不写作法和证明）说明理由
21．如图所示，码头、火车站分别位于A，B两点，直线a和b分别表示铁路与河流．
（1）从火车站到码头怎样走最近，画图并说明理由；
（2）从码头到铁路怎样走最近，画图并说明理由；
（3）从火车站到河流怎样走最近，画图并说明理由．
四、综合题
22．（2019七下·大连月考）如图，OA⊥OC，OB⊥OD．
（1）∠AOD与∠BOC相等吗？为什么？
（2）已知∠AOB＝140°，求∠COD的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：由垂线段最短，可知 同一条边上的高线不可能比中线长，
只有当中线和高线重合时， ，
因此 ，
故答案为：D.
【分析】根据垂线段最短即可判断.
2．【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵PO⊥l，
∴这些线段PO，PA1，PA2，PA3，…中，最短的线段是 PO.
故答案为：A.
【分析】根据“从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中，垂线段最短”作答即可.
3．【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：已知，在△ABC中，AC⊥BC，AC=4.5，
根据垂线段最短，可知AP的长不可小于4.5，当P和C重合时，AP=4.5，
故答案为：A.
【分析】利用垂线段最短，可得AP的取值范围是AP≥4.5，根据各选项可得答案。
4．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵CP⊥AB，
∴把河中的水引到村庄C拟修水渠中最短的是CP.
故答案为：C.
【分析】利用垂线段最短，根据图形可得答案。
5．【答案】D
【知识点】垂线
【解析】【解答】在同一平面内，画已知直线的垂线，可以画无数条；
故答案为：D．
【分析】在同一平面内，过已知直线上的一点有且只有一条直线垂直于已知直线；但画已知直线的垂线，可以画无数条．
6．【答案】B
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
故答案为：B.
【分析】已知 ， ，根据邻补角定义即可求出 的度数.
7．【答案】C
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
∠B=∠A=x°，
x=3x-40
解得，x=20，
故∠A=20°，
②两个角互补时，如图2：
x+3x-40=180，
所以x=55，
3×55°-40°=125°
故∠A的度数为：20°或125°．
故答案为：C．
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠A比∠B的3倍少40°，所以它们互补，可设∠B是x度，利用方程即可解决问题．
8．【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：∵OC⊥OD，
∴∠COD=90°
∵∠1+∠COD+∠2=180°
∴∠2=180°-90°-35°=55°.
故答案为：C.
【分析】利用垂直的定义可证得∠COD=90°，观察图形可知∠1+∠COD+∠2=180°，由此可求出∠2的度数。
9．【答案】C
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，故①正确；
∵∠DAC<∠BAC=90°，∴AD与AC不垂直，故②错误；
点C到AB的垂线段是线段AC，故③错误；
点A到BC的距离是线段AD的长度，故④正确；
线段AB的长度是点B到AC的距离，故⑤正确；
在ABD中，根据两边之和大于第三边，AD+BD>AB，故⑥正确，
∴正确的为：①④⑤⑥.
故答案为：C.
【分析】根据点到直线的距离，垂直、垂线段的定义逐项判断即可.
10．【答案】C
【知识点】垂线
【解析】【解答】由题意可知，OA⊥OC，所以∠AOC＝90°，即∠AOB＋∠BOC＝90°．同时，OB⊥OD，所以∠BOD＝90°，即∠COD＋∠BOC＝90°．依次，可以判定∠AOB＝∠COD，所以①正确．又因为不能推断出∠AOB与∠COD的具体角度，所以②不正确．∠AOD＝∠AOB＋∠BOC＋∠COD，所以∠BOC＋∠AOD＝∠BOC＋∠AOB＋∠BOC＋∠COD＝90°＋90°＝180°．因为∠AOB＝∠COD，所以∠AOC－∠COD＝∠AOC－∠AOB＝∠BOC，所以④正确．为此，选C．
【分析】在掌握两直线相互垂直，夹角为直角的基础上，学会角度转换，就能轻松找到正确答案．本题考查垂线．
11．【答案】垂线段最短
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】通过比较发现：直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
故答案为：垂线段最短．
【分析】直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短．
12．【答案】2
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：根据作图过程可知：
AF平分∠BAC，
过点F作FG⊥AC，
∵∠B＝90°，
∴FB⊥AB，
∴FG＝FB＝2．
∴点F到AC的距离为2．
故答案为：2．
【分析】根据作图过程可得，AF平分∠BAC，过点F作FG⊥AC，根据∠B＝90°，可得FB⊥AB，根据角平分线的性质可得FG＝FB，进而可得点F到AC的距离．
13．【答案】9
【知识点】点到直线的距离
【解析】【解答】解：如图所示，已知 ，AC=9cm，由点到直线的距离定义可知，点A到BC的距离为AC的长度，即为9cm；
故答案为：9．
【分析】从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫做点到直线的距离，如图中，AC的距离就是点A到直线BC的距离．
14．【答案】4≤CE≤7
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵CD⊥AB，垂足是点D，AC=7，BC=5，CD=4，
∴CE长的范围是4≤CE≤7，
故答案为：4≤CE≤7．
【分析】根据垂线段最短解答即可．
15．【答案】20或125
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【解答】解：设∠B是x度，根据题意，得
①两个角相等时，如图1：
∠B=∠A=x°，
x=3x-40，
解得，x=20，
故∠A=20°，
②两个角互补时，如图2：
x+3x-40=180，
所以x=55，
3×55°-40°=125°
综上所述：∠A的度数为：20°或125°．
故答案为：20或125．
【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因∠A比∠B的3倍少40°，设∠B是x度，利用方程即可解决问题．
16．【答案】
【知识点】角的运算；垂线
【解析】【解答】解：∵ .，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
故答案为： .
【分析】根据题意，由 ，即可求出 的度数.
17．【答案】5.5或11.5
【知识点】垂线
【解析】【解答】解：如图，CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGC=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，
∴∠CON=∠NGC﹣∠OCD=60°﹣45°=15°，
∴旋转角为180°﹣∠CON=180°﹣15°=165°，
t=165°÷30°=5.5秒，
CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，
∵CD⊥MN，
∴∠NGD=90°﹣∠MNO=90°﹣30°=60°，
∴∠AOC=∠NGD﹣∠C=60°﹣45°=15°，
∴旋转角为360°﹣∠AOC=360°﹣15°=345°，
t=345°÷30°=11.5秒，
综上所述，第5.5或11.5秒时，直线CD恰好与直线MN垂直．
故答案为：5.5或11.5．
【分析】分CD在OM的右边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠CGN，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CON，再求出旋转角即可，CD在OM的左边时，设CD与AB相交于G，根据直角三角形两锐角互余求出∠NGD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠AOC，然后求出旋转角，计算即可得解．
18．【答案】解：∵EO⊥AB，
∴∠EOA=90°，
∴∠EOC+∠AOD=90°，
∵∠EOC：∠AOD=7：11，
∴∠AOD=90°× =55°，
∴∠DOE=∠EOA+∠AOD=90°+55°=145°，
答：∠DOE的度数是145°.
【知识点】垂线
【解析】【分析】由EO⊥AB可得∠AOE=90°，由此可得∠EOC+∠AOD=90°，结合∠EOC：∠AOD=7：11可求得∠AOD=55°，这样由∠DOE=∠EOA+∠AOD即可求得∠DOE的度数.
19．【答案】解：∵EO⊥CD，
∴∠COE=90°，
又∵∠BOE=50°，
∴∠COB=∠COE+∠BOE=140°．
∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），
∴∠AOD=140°，
又∵∠BOD=180°-∠BOE-∠COE=180°-50°-90°=40°，
∴∠AOC=∠BOD=40°（对顶角相等），
∴∠COF= ∠AOF+∠AOC=∠ ∠AOD+∠AOC= 140°+40°=110°.
【知识点】垂线；对顶角及其性质；角平分线的定义
【解析】【分析】根据对顶角相等分别求出∠AOD和∠AOC，再根据角平分线的定义可求出∠AOF，由∠COF= ∠AOF+∠AOC即可求出.
20．【答案】解：理由是：垂线段最短 .
【知识点】垂线段最短
【解析】【分析】根据点到直线的所有连线中，垂线段最短分析作图即可.
21．【答案】解：如图所示：
（1）沿AB走，两点之间线段最短；
（2）沿BD走，垂线段最短；
（3）沿AC走，垂线段最短．
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；垂线段最短
【解析】【分析】（1）从火车站到码头的距离是点到点的距离，即两点间的距离．依据两点之间线段最短解答．
（2）从码头到铁路的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
（3）从火车站到河流的距离是点到直线的距离．依据垂线段最短解答．
22．【答案】（1）解：相等，理由如下：
∵AO⊥CO，DO⊥BO
∴∠AOC=∠BOD=90°
∴∠AOD+∠DOC=∠BOC+∠DOC
∴∠AOD=∠BOC
（2）解：∵∠AOB＝140°，∠BOD=90°
∴∠AOD=∠AOB-∠BOD=50°
∵∠AOC＝90°
∴∠COD=∠AOC-∠AOD=40°
答：∠COD的度数为40°
【知识点】余角、补角及其性质；垂线
【解析】【分析】（1）利用垂直的定义，可知∠AOC=∠BOD，再利用同角的余角相等，可证得结论。
（2）此题解法不止一种，根据∠AOD=∠AOB-∠BOD，可求出∠AOD的度数，再利用∠COD=∠AOC-∠AOD，从而可求出∠COD的度数；或根据∠COD=∠AOC+∠BOD-∠AOB，即可求解。
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