初中数学华师大版九年级下学期 第27章 27.4 正多边形和圆
一、单选题
1．（2021九上·淅川期末）正方形外接圆的半径为4，则其内切圆的半径为（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；切线的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，AE＝OE，
∴OE＝ OA＝ ×4＝2 ，
故答案为：A.
【分析】连接OA、OE，由圆的切线垂直于过切点的半径可得OE⊥AB，由正方形的性质可得∠OAE＝45°，所以可得△AOE是等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形AOE中用勾股定理可求解.
2．（2020九上·霍林郭勒月考）半径为 的圆内接正三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示，过O作OD⊥BC于D；
∵此三角形是正三角形，
∴∠BOC= =120°．
∵OB=OC，
∴∠BOD= ×120°=60°，
∴∠OBD=30°；
∵OB=R，
∴OD= ，BD=OB cos30°= ，
∴BC=2BD=2× = ，
∴S△BOC= ×BC×OD= × = ，
∴S△ABC=3× ．
故答案为：D．
【分析】本题的关键是用R表示出正三角形的边长，再利用正三角形的面积计算公式（a为边长）求解即可。
3．（2020七下·吴兴期末）将每一个内角都是108°的五边形按如图所示方式放置，若直线m∥n，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．∠1=∠2+36° B．∠1=∠2+72°
C．∠1+∠2=90° D．2∠1+∠2=180°
【答案】A
【知识点】平行线的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】∵∠1+180°-∠3+108°+108°=360°，∠4+∠5=108°，∴∠3=∠1+36°，
过点A作AB∥n，∵m∥n，∴AB∥m∥n，
∴∠2=∠5，∠3+∠4=180°，
∴∠3-∠2=72°，
∴∠1=∠2+36°.
故答案为：A.
【分析】利用四边形内角和及正五边形的性质，可得∠4+∠5=108°，∠3=∠1+36°，过点A作AB∥n，∵m∥n，∴AB∥m∥n，可得∠2=∠5，∠3+∠4=180°，据此可得∠1=∠2+36°.
4．（2020·立山模拟）如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A、C，则劣弧AC的长度为（ ）
A． π B． π C． π D． π
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】因为正五边形ABCDE的内角和是
则正五边形ABCDE的一个内角
连接OA、OB、OC，
∵ 与正五边形ABCDE相切于点
，
所以劣弧AC的长度为
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB、OC，根据多边形的内角和=（n-2）×180°可求得正五边形ABCDE的内角和，再根据正多边形的各角都相等可求得正五边形ABCDE的每一个角的度数；由圆的切线的性质可得∠OAE=∠OCD=90°，则∠OAB=∠OCB=∠BCD-∠OCD，然后可求得圆心角AOC的度数，劣弧AC=可求解.
5．（2020·台州模拟）如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．S1＝ S2
【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意： ＝12，
∴S2＝ ×12×3＝18，
∵S1＝6× ×32＝ ，
∴S1＞S2，
故答案为：A.
【分析】由图形知 ＝EF+AF+AB+BC=12，分别求出正六边形的面积及扇形的面积，比较后即得.
6．（2020·富顺模拟）如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】连接AC，
设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC为圆的直径，
∴AC= AB= a，
则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为： ，
故答案为：C.
【分析】连接AC，根据正方形的性质得到∠B=90°，根据圆周角定理得到AC为圆的直径，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可．
二、填空题
7．（2020九上·讷河期中）一个半径为4cm的圆内接正六边形的面积等于 cm2．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：一个圆的内接正六边形可以分成6个全等的等边三角形，
∵圆的半径是4cm，
∴等边三角形的边长是4cm，
如图，
边长是4cm的等边三角形，
根据等边三角形的性质， ， ，
根据勾股定理， ，
，
∴内接正六边形的面积是 ．
故答案是： ．
【分析】根据草图，先算出正六边形的边长，再将正六边形分成六个正三角形，算出其中一个小三角形的面积再乘六即可。
8．（2021九上·紫阳期末）如图，正六边形ABCDEF内接于 ，若 ，则 的半径为 .
【答案】3cm
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵正六边形ABCDEF内接于 ，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AO=AB=3cm.
故答案为：3cm.
【分析】连接OA，OB，根据题意可推出△AOB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质解答即可.
9．（2020九上·同安期中）如图，正六边形ABCDEF内接于 ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为 ．
【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连结OC、OB，
∵正六边形ABCDEF内接于 ，
∴∠BOC=60 ，
∵OC=OB，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠OBM=60 ，
∴OM=OM sin∠OBM=4× ，
故答案为： ．
【分析】利用垂径定理及勾股定理求解即可。
10．（2020·滨州）如图， 是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F，G，H，ED与 相交于点M，则sin∠MFG的值为 ．
【答案】
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；切线的性质；圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，连接EG、HF
由正方形内切圆的性质得：EG与HF的交点即为圆心O
四边形ABCD是正方形
由圆的切线的性质得：
四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形
，
设正方形ABCD的边长为 ，则
的半径为
在 中，
由圆周角定理得：
则
故答案为： ．
【分析】先根据正方形内切圆的性质得出圆心O的位置，再根据正方形的性质、圆的切线的性质可得 ， ，从而可得四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形，又根据矩形的性质可得 ， ，设正方形ABCD的边长为 ，从而可得 ， ，然后在 中，根据正弦三角函数的定义可得 ，最后根据圆周角定理可得 ，由此即可得出答案．
三、解答题
11．（2020九上·福州月考）如图，已知圆O内接正六边形 的边长为 ，求这个正六边形的边心距n，面积S．
【答案】解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：
∴AH=HB，∠AOH=BOH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，由题易知△AOB是等边三角形，则有OA=AB=6cm，然后根据勾股定理求出边心距OH，然后利用三角形的面积求解六边形的面积即可。
12．正六边形的边长为8，则阴影部分的面积是多少？
【答案】解：如图，连接OA、OB、OC；
由题意知：∠BOA=∠COA= =60°，
∵OA=OB=OC，
∴△OAB、△OAC均为等边三角形，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
= ；
=32 ，
∴阴影部分的面积=3× =64π﹣96 ．
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】连接OA、OB、OC，根据正六边形的性质，易证△OAB、△OAC均为等边三角形，可证∠BAO=∠CAO=60°，利用扇形的面积公式，就可求出扇形AOB和扇形COA的面积之和，利用三角形的面积公式求出△ABO和△ACO的面积之和，再列式求出图中阴影部分的面积。
1 / 1初中数学华师大版九年级下学期 第27章 27.4 正多边形和圆
一、单选题
1．（2021九上·淅川期末）正方形外接圆的半径为4，则其内切圆的半径为（ ）
A．2 B． C．1 D．
2．（2020九上·霍林郭勒月考）半径为 的圆内接正三角形的面积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2020七下·吴兴期末）将每一个内角都是108°的五边形按如图所示方式放置，若直线m∥n，则下列结论中一定正确的是（ ）
A．∠1=∠2+36° B．∠1=∠2+72°
C．∠1+∠2=90° D．2∠1+∠2=180°
4．（2020·立山模拟）如图，半径为1的⊙O与正五边形ABCDE相切于点A、C，则劣弧AC的长度为（ ）
A． π B． π C． π D． π
5．（2020·台州模拟）如图，将边长为3的正六边形铁丝框ABCDEF（面积记为S1）变形为以点D为圆心，CD为半径的扇形（面积记为S2），则S1与S2的关系为（ ）
A．S1＞S2 B．S1＝S2 C．S1＜S2 D．S1＝ S2
6．（2020·富顺模拟）如图中有两张型号完全一样的折叠式饭桌，将正方形桌面边上的四个弓形翻折起来后，就能形成一个圆形桌面（可以近似看作正方形的外接圆），正方形桌面与翻折成圆形桌面的面积之比最接近（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2020九上·讷河期中）一个半径为4cm的圆内接正六边形的面积等于 cm2．
8．（2021九上·紫阳期末）如图，正六边形ABCDEF内接于 ，若 ，则 的半径为 .
9．（2020九上·同安期中）如图，正六边形ABCDEF内接于 ，半径为4，则这个正六边形的边心距OM的长为 ．
10．（2020·滨州）如图， 是正方形ABCD的内切圆，切点分别为E、F，G，H，ED与 相交于点M，则sin∠MFG的值为 ．
三、解答题
11．（2020九上·福州月考）如图，已知圆O内接正六边形 的边长为 ，求这个正六边形的边心距n，面积S．
12．正六边形的边长为8，则阴影部分的面积是多少？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理；切线的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】解：如图所示，连接OA、OE，
∵AB是小圆的切线，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠OAE＝45°，
∴△AOE是等腰直角三角形，AE＝OE，
∴OE＝ OA＝ ×4＝2 ，
故答案为：A.
【分析】连接OA、OE，由圆的切线垂直于过切点的半径可得OE⊥AB，由正方形的性质可得∠OAE＝45°，所以可得△AOE是等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形AOE中用勾股定理可求解.
2．【答案】D
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图所示，过O作OD⊥BC于D；
∵此三角形是正三角形，
∴∠BOC= =120°．
∵OB=OC，
∴∠BOD= ×120°=60°，
∴∠OBD=30°；
∵OB=R，
∴OD= ，BD=OB cos30°= ，
∴BC=2BD=2× = ，
∴S△BOC= ×BC×OD= × = ，
∴S△ABC=3× ．
故答案为：D．
【分析】本题的关键是用R表示出正三角形的边长，再利用正三角形的面积计算公式（a为边长）求解即可。
3．【答案】A
【知识点】平行线的性质；圆内接正多边形
【解析】【解答】∵∠1+180°-∠3+108°+108°=360°，∠4+∠5=108°，∴∠3=∠1+36°，
过点A作AB∥n，∵m∥n，∴AB∥m∥n，
∴∠2=∠5，∠3+∠4=180°，
∴∠3-∠2=72°，
∴∠1=∠2+36°.
故答案为：A.
【分析】利用四边形内角和及正五边形的性质，可得∠4+∠5=108°，∠3=∠1+36°，过点A作AB∥n，∵m∥n，∴AB∥m∥n，可得∠2=∠5，∠3+∠4=180°，据此可得∠1=∠2+36°.
4．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；弧长的计算
【解析】【解答】因为正五边形ABCDE的内角和是
则正五边形ABCDE的一个内角
连接OA、OB、OC，
∵ 与正五边形ABCDE相切于点
，
所以劣弧AC的长度为
故答案为：C.
【分析】连接OA、OB、OC，根据多边形的内角和=（n-2）×180°可求得正五边形ABCDE的内角和，再根据正多边形的各角都相等可求得正五边形ABCDE的每一个角的度数；由圆的切线的性质可得∠OAE=∠OCD=90°，则∠OAB=∠OCB=∠BCD-∠OCD，然后可求得圆心角AOC的度数，劣弧AC=可求解.
5．【答案】A
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意： ＝12，
∴S2＝ ×12×3＝18，
∵S1＝6× ×32＝ ，
∴S1＞S2，
故答案为：A.
【分析】由图形知 ＝EF+AF+AB+BC=12，分别求出正六边形的面积及扇形的面积，比较后即得.
6．【答案】C
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】连接AC，
设正方形的边长为a，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，
∴AC为圆的直径，
∴AC= AB= a，
则正方形桌面与翻折成的圆形桌面的面积之比为： ，
故答案为：C.
【分析】连接AC，根据正方形的性质得到∠B=90°，根据圆周角定理得到AC为圆的直径，根据正方形面积公式、圆的面积公式计算即可．
7．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：一个圆的内接正六边形可以分成6个全等的等边三角形，
∵圆的半径是4cm，
∴等边三角形的边长是4cm，
如图，
边长是4cm的等边三角形，
根据等边三角形的性质， ， ，
根据勾股定理， ，
，
∴内接正六边形的面积是 ．
故答案是： ．
【分析】根据草图，先算出正六边形的边长，再将正六边形分成六个正三角形，算出其中一个小三角形的面积再乘六即可。
8．【答案】3cm
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】解：连接OA，OB，
∵正六边形ABCDEF内接于 ，
∴∠AOB=60°，
∴△AOB为等边三角形，
∴AO=AB=3cm.
故答案为：3cm.
【分析】连接OA，OB，根据题意可推出△AOB为等边三角形，然后利用等边三角形的性质解答即可.
9．【答案】
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【解答】如图，连结OC、OB，
∵正六边形ABCDEF内接于 ，
∴∠BOC=60 ，
∵OC=OB，
∴△BOC为等边三角形，
∴∠OBM=60 ，
∴OM=OM sin∠OBM=4× ，
故答案为： ．
【分析】利用垂径定理及勾股定理求解即可。
10．【答案】
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；切线的性质；圆内接正多边形；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】如图，连接EG、HF
由正方形内切圆的性质得：EG与HF的交点即为圆心O
四边形ABCD是正方形
由圆的切线的性质得：
四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形
，
设正方形ABCD的边长为 ，则
的半径为
在 中，
由圆周角定理得：
则
故答案为： ．
【分析】先根据正方形内切圆的性质得出圆心O的位置，再根据正方形的性质、圆的切线的性质可得 ， ，从而可得四边形ADGE和四边形OHDG均为矩形，又根据矩形的性质可得 ， ，设正方形ABCD的边长为 ，从而可得 ， ，然后在 中，根据正弦三角函数的定义可得 ，最后根据圆周角定理可得 ，由此即可得出答案．
11．【答案】解：连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，如图所示：
∴AH=HB，∠AOH=BOH，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴∠AOB=60°，AB=BC=CD=DE=EF=AF=6cm，
∵OA=OB，
∴△AOB是等边三角形，
∴AH=3cm，∠AOH=30°，OA=AB=6cm，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【知识点】圆内接正多边形
【解析】【分析】连接OA、OB，过点O作OH⊥AB于点H，即边心距n=OH，由题易知△AOB是等边三角形，则有OA=AB=6cm，然后根据勾股定理求出边心距OH，然后利用三角形的面积求解六边形的面积即可。
12．【答案】解：如图，连接OA、OB、OC；
由题意知：∠BOA=∠COA= =60°，
∵OA=OB=OC，
∴△OAB、△OAC均为等边三角形，
∴∠BAO=∠CAO=60°，
= ；
=32 ，
∴阴影部分的面积=3× =64π﹣96 ．
【知识点】圆内接正多边形；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【分析】连接OA、OB、OC，根据正六边形的性质，易证△OAB、△OAC均为等边三角形，可证∠BAO=∠CAO=60°，利用扇形的面积公式，就可求出扇形AOB和扇形COA的面积之和，利用三角形的面积公式求出△ABO和△ACO的面积之和，再列式求出图中阴影部分的面积。
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