人教版数学九年级下册 第二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·张掖月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则cosA的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵sinA＝ ，∴可设a＝3k，c＝5k，由勾股定理可求得b＝4k，∴cosA＝ ＝ ，
故答案为：B.
【分析】由正弦函数的定义得sinA＝ ，可以设出a＝3k，c＝5k，由勾股定理可求得b，进而再根据余弦函数的定义即可得出答案.
2．（2020九上·浦东期中）一段公路路面的坡度为i＝1：2.4．如果某人沿着这段公路向上行走了260m，那么此人升高了（ ）
A．50m B．100m C．150m D．200m
【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
Rt△ABC中，tanA＝ ，AB＝260米．
设BC＝x，则AC＝2.4x，根据勾股定理，得：
x2+（2.4x）2＝2602，
解得x＝100（负值舍去）．
故答案为：B．
【分析】根据坡度比设未知数，再结合勾股定理列方程求解即可。
3．（2021九上·仙居期末）正六边形的边长为 ，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距
∵
∴△OAB是正三角形.
∵OC＝OA sin∠OAB＝ ，
∴S△OAB＝ AB OC＝ ，
∴正六边形的面积为 .
故答案为：D.
【分析】由题意画出图形，设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，由正多边形的性质可得△OAB是正三角形，解直角三角形OAC可求得OC的长，然后根据S正六边形=6×S△AOB可求解.
4．（2020九上·包河月考）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1： ，坝高BC=4m，则AB的长度为（ ）
A．2 m B．4 m C．4 m D．6m
【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡度比为1：
∴，即
解得，AC=4
根据勾股定理可得，AB==4
故答案为：C.
【分析】根据坡度的含义求出AC，继而由勾股定理计算得到AB即可。
5．（2020九上·长春月考）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长l为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由已知得： ，
，
故答案为：B.
【分析】根据三角函数的定义求解即可。
6．（2020九上·长春月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：
故答案为： B
【分析】根据三角函数的定义求解即可。
7．（2020九上·正定期中）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A． 米 B．12米 C． 米 D．10米
【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°．
作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，
∴CE=2，EF=4cos30°=2 ，
在Rt△CED中，CE=2，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4．
∴BD=BF+EF+ED=12+2 ．
∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，
∴在Rt△ABD中，AB= BD= ．
故答案为：A．
【分析】延长AC交BF的延长线于点D，BD即为AB的影长，根据物长和影长的比值计算得到答案即可。
8．（2020九上·鄞州期中）如图，AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，若AB=2a，则 PQ的值为（ ）
A．a B．1.5a C． D．
【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接AP、BQ，作BH⊥AP于H，
∵AC、BC为直径，
∴∠APC=∠BQC=90°，
∴四边形BHPQ为矩形，
∴PQ=BH，
∵BH∥CP，
∴∠ABH=∠C=30°，
∴BH=ABcos30°=2a×=a，
∴PQ=a.
故答案为：C.
【分析】连接AP、BQ，作BH⊥AP于H，利用直径所对的圆周角是直角，结合垂直的定义可证四边形BHPQ为矩形，从而把PQ转化为BH，最后在Rt△AHB中用余弦函数即可求出BH的长，则PQ长可知.
9．（2020九上·椒江期中）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE.点P为 上一点（点P不与点B，C重合），连结AP，BP，CP，AC，BC.过点C作CF⊥BP于点F.给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中， 的值始终等于 .则下列说法正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作CM⊥AP于M，连接AD.
∵AE⊥OD，OE＝DE，
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠D＝∠ABC＝60°，
∵CD⊥AB，
∴AE＝EB，
∴CA＝CB，
∴△ABC是等边三角形，故①正确，
∵∠CPA＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，
∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥PA，
∴CF＝CM，
∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，
∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），
∴PF＝PM，
∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，
∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），
∴AM＝BF，
∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，
∴ ，
在Rt△CPF中，
∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，
，
，
∴ ，故②正确，
故答案为：A.
【分析】作CM⊥AP于M，连接AD，根据AE⊥OD，OE＝DE，可得AD=OA=OD，即可得△AOD是等边三角形，故可得①正确；利用全等三角形的性质可得AM=BF，PM=PF，CF=PF可判断②.
二、填空题
10．（2020九上·浦东期中）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则S△ABC＝ （结果保留根号）
【答案】
【知识点】三角形的面积；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB＝5，∠B＝60°，
∴△ABC中，BC边上的高＝sin60°×AB＝ ×5＝ ，
∵BC＝8，
∴S△ABC＝ ×8× ＝10 ；
故答案为：10 ．
【分析】先利用三角函数求出BC边上的高，再根据三角形的面积计算即可。
11．（2020九上·浦东期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝m，那么边AB上的高为 ．
【答案】msinαcosα
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意可得：AC＝mcosα，BC＝msinα，
∴AC BC＝ mh，即h＝msinαcosα，
故答案是：msinαcosα．
【分析】先根据三角函数的定义求出AC、BC的长度，再利用三角形的面积求出AB边上的高。
12．（2020九上·福鼎期中）如图，在边长为10的菱形ABCD中，AC为对角线，∠ABC=60°，M、N分别是边BC，CD上的点，BM=CN，连接MN交AC于P点，当MN最短时，PC长度为 ．
【答案】
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接AM，AN，
∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC=10，
同理可证∠ACN=60°，
在△AMB和△ANC中，
，
∴△AMB≌△ANC，
∴AM=AN，∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°，
∴∠MAN=60°，
∴△AMN为等边三角形，
∴MN=AM，∠MAN=60°，
当AM⊥BC时，AM最短，即MN最短，
∵sinB= ，
∴AM=sin60°×10=5 ．
∵∠ABC=60°，
∴∠BAM=30°，
∴∠MAC=30°，
∴∠NAC=30°，
∴AP⊥MN．
∵sin∠AMN= ，
∴AP=sin60°×5 = ，
∴CP=10- = ．
故答案为： ．
【分析】连接AM、AN，证明三角形全等，推出三角形AMN为等边三角形，当时，AM最短，即MN最短，在直角三角形ABM中求出AM的长，在直角三角形AMP中求出AP的长，即可解决问题。
13．（2020九上·东阿期中）如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为30°，∠AOB为45°，OB长为（ ）厘米，则AB的长为 厘米．
【答案】32
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥OB于点C，如图所示：
∵∠ABO=30°，∠O=45°，
∴AC=OC， ，AB=2AC，
∵ ，
∴ ，
∴AC=16cm，
∴AB=32cm；
故答案为32．
【分析】过点A作AC⊥OB于点C，然后根据30°、45°角的三角函数值进行求解即可．
14．（2020八上·牡丹期中）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB= 2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开。一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米)，感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于 米。
【答案】1.5
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E
∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米
∴AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9
在直角三角形ADE中，由勾股定理可得
AD===1.5
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造得到直角三角形ADE，根据勾股定理计算得到AD的长度即可。
15．（2020九上·鄞州期中）如图，△ 中， ， ， ，斜边 上一点 ，使得 ，则 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥BC于F，
∵ ，
∵AB=
∵S△ABC=CE×AB=AC×BC，
∴CE=，
∴DE==，
∵△BCD为等腰三角形，
∴BD=2DE=，
∴DF=BD×sinB==，
，
∴ .
故答案为： .
【分析】过C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥BC于F，利用勾股定理先求出AB的长，再用面积法求出CE长，则用勾股定理可求DE的长，于是BD长可求，在Rt△BFD中，利用正弦三角函数求出DF，然后在Rt△CFD中即可求出sin∠DCF，最后利用sinx2+cosx2=1即可求得结果.
三、解答题
16．（2020九上·蚌埠月考）如图，已知中，，，求的面积．
【答案】解：作 于点D在 中，
，
在 中，
，
【知识点】三角形的面积；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据锐角三角函数先求出，再求出，最后根据三角形的面积公式计算即可求解。
17．（2020九上·杭州月考）如图，A市北偏东 方向有一旅游景点M，在A市北偏东 的公路上向前行1000米到C处，测得M位于C的北偏西 ，试求景点M到C处的距离 及景点M到公路 的距离 （结果保留根号）.
【答案】解：由题意可知：
，
，
过C作 交 于点H，
∴在 中，
,
即： ,
，
同理： ，
同理：在 中， ，
，
即： ，
，
故 的长度为 米， 的长度为 米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作CH⊥AM交AM于点H，在直角三角形ACH中，根据sin∠A=可求得HC的值，同理可求得AH的值，在直角三角形HMC中，用三角函数的定义可求得CM和HM的值，根据三角形AMC的面积的两种不同表示方法可求得MN的值.
18．（2020九上·浦东期中）如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据： ≈1.4， ≈1.7）
【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
设CD＝x．
在Rt△ACD中，sin∠A＝ ，AC＝ ＝2x，
在Rt△BCD中，sin∠B＝ ，BC＝ ＝ x，
∵AC+BC＝2x+ x＝68，
∴x＝ ，
在Rt△ACD中，tan∠A＝ ，AD＝ ，
在Rt△BCD中，tan∠B＝ ，BD＝ ＝20，
AB＝20 +20≈54，
AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）．
答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点C做AB的垂线，将分成两个直角三角形，再利用解直角三角形分别求出AC、BC和AB的长度，最后用AC+BC﹣AB即可。
19．（2020九上·青神期中）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．（结果带根号）
【答案】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝ ，
∴FG＝ ＝ ＝ ．
在Rt△ACG中，tan∠ACG＝ ，
∴CG＝ = AG．
又CG FG＝40，
即 AG ＝40，
∴AG＝20 ，
∴AB＝20 ＋1.5．
答：这幢教学楼的高度AB为（20 ＋1.5）米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△AFG中，由tan∠AFG＝ ，可得 FG= 在Rt△ACG中，由tan∠ACG＝ CG＝AG，由CG FG＝40，建立方程求出AG的长，利用AB=AG+BG即可求出结论.
20．（2020九上·成都期中）兰州白塔山山势起伏，山中白塔七级八面，上有绿项，下筑圆基，几经强烈地震仍屹立未动，显示了我国古代劳动人民在建筑艺术上的智慧与才能．
问题提出：如何测量白塔的高MN．
方案设计：九年级三班的白亮同学去测量白塔的高，如图，他在点A处测得塔尖M的仰角是30°，向前走了50米到达点B处，又测得塔尖M的仰角是60°．
问题解决：根据上述方案和数据，求白塔的高度MN（结果精确到1m，参考数据： ≈1.73）．
【答案】解：∵∠MBN是△ABM的一个外角，
∴∠AMB＝∠MBN﹣∠MAB＝30°，
∴∠AMB＝∠MAB，
∴BM＝AB＝50，
在Rt△MBN中，sin∠MBN＝ ，
∴MN＝BM sin∠MBN＝50× ＝25 ≈43，
答：白塔的高度MN约为43米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意及三角形的外角性质得出∠AMB＝∠MAB， 得出BM＝AB＝50， 利用sin∠MBN＝ ， 得出MN＝BM sin∠MBN ，代入数值进行计算即可求解.
四、综合题
21．（2020九上·慈溪月考）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过50km/h.如图，在一条笔直公路l的旁边A处有一探测仪，AD⊥l于D，AD=32m，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=28°，2秒后到达C点，测得∠ACD=45°.(sin28°≈ ，cos28°≈ ，tan28°≈ )
（1）求CD，BD的长度.
（2）通过计算，判断此轿车是否超速.
【答案】（1）解：∵AD⊥CD，∠ACD=45°，
∴CD=AD=32（m）,
BD===68（m）；
（2）解：∵BC=BD-CD=68-32=36（m），
∴轿车的速度==18（m/s）=32.4（km/h）,
∵32.4<50，
∴汽车没有超速.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出AD的长度，根据正切三角函数的定义求出BD的长度；
（2）根据线段的关系求出BC的长度，再根据速度公式求出轿车的速度，比较即可结果.
22．（2020九上·柯桥月考）如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上.量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm.
（1）
求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；
（2）当E点到水平桌面（AB所在直线）的距离介于45cm至46cm范围时，视线最佳，通过计算说明此时光线是否为最佳.（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27， ＝1.73.）
【答案】（1）解：如图所示：过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，故四边形DNMF是矩形，则∠NDF＝90°，
∵∠A＝60°，∴∠ADF＝120°，∴∠EDF＝135°﹣120°＝15°，
即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；
（2）解：如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，
∴∠ABC＝30°，∴AC＝ AB＝8cm，
∵灯杆CD长为40cm，∴AD＝48cm，
∴DN＝AD cos30°≈41.57cm，则FM＝41.57cm，
∵灯管DE长为15cm，∴sin15°＝ ＝ ＝0.26，解得：EF＝3.9（cm），
∴E点到水平桌面（AB所在直线）的距离为：3.9+41.57≈45.5（cm），
∵45cm＜45.5cm＜46cm，∴此时光线最佳.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，易证四边形DNMF是矩形，利用矩形的性质可证得∠NDF＝90°，可求出∠ADF的度数，然后根据∠EDF=∠ADE-∠ADF，代入计算求解。
（2）利用直角三角形的性质求出AC的长，再利用解直角三角形求出DN的长，即可得到FM的长，然后利用解直角三角形求出DE的长，就可求出E点到水平桌面（AB所在直线）的距离，比较大小可作出判断。
23．（2020·凉山州）如图， 的半径为R，其内接锐角三角形ABC中， 、 、 所对的边分别是a、b、c
（1）求证：
（2）若 ， ， ，利用（1）的结论求AB的长和 的值
【答案】（1）证明：
如图所示,连接BO并延长交圆于A1,连接A1C,可得 , ,根据三角函数可得 ,则 .
同理可得 , .
∴ .
（2）解：根据(1)的结论可得 ,
, , .将值代入得:
,解得 ,即AB= .
过点B作BD⊥AC,由题意可得 , ,
∴AD=AB·sin = , AD=BC·sin = .
∴AC=AD+CD= .
∴ 即 ,得 .
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形
【解析】【分析】(1)根据圆周角的性质作出辅助线构造直角三角形,利用三角函数解出即可求证.(2)利用(1)中的结论代入求出AB,再作BD⊥AC,利用三角函数求出AC的值,再根据(1)的结论求出 .
1 / 1人教版数学九年级下册 第二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 同步练习
一、单选题
1．（2020九上·张掖月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝ ，则cosA的值等于（ ）
A． B． C． D．
2．（2020九上·浦东期中）一段公路路面的坡度为i＝1：2.4．如果某人沿着这段公路向上行走了260m，那么此人升高了（ ）
A．50m B．100m C．150m D．200m
3．（2021九上·仙居期末）正六边形的边长为 ，则它的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020九上·包河月考）如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比为1： ，坝高BC=4m，则AB的长度为（ ）
A．2 m B．4 m C．4 m D．6m
5．（2020九上·长春月考）如图，某游乐场一山顶滑梯的高为h，滑梯的坡角为a，那么滑梯长l为（ ）
A． B． C． D．
6．（2020九上·长春月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，AB＝7，则BC的长为（ ）
A． B． C． D．
7．（2020九上·正定期中）小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为300，同一时 刻，一根长为l米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为（ ）
A． 米 B．12米 C． 米 D．10米
8．（2020九上·鄞州期中）如图，AC，BC是两个半圆的直径，∠ACP=30°，若AB=2a，则 PQ的值为（ ）
A．a B．1.5a C． D．
9．（2020九上·椒江期中）如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE.点P为 上一点（点P不与点B，C重合），连结AP，BP，CP，AC，BC.过点C作CF⊥BP于点F.给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中， 的值始终等于 .则下列说法正确的是（ ）
A．①，②都对 B．①对，②错 C．①错，②对 D．①，②都错
二、填空题
10．（2020九上·浦东期中）在△ABC中，AB＝5，BC＝8，∠B＝60°，则S△ABC＝ （结果保留根号）
11．（2020九上·浦东期中）已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝α，AB＝m，那么边AB上的高为 ．
12．（2020九上·福鼎期中）如图，在边长为10的菱形ABCD中，AC为对角线，∠ABC=60°，M、N分别是边BC，CD上的点，BM=CN，连接MN交AC于P点，当MN最短时，PC长度为 ．
13．（2020九上·东阿期中）如图1，一扇窗户打开一定角度，其中一端固定在窗户边OM上的点A处，另一端B在边ON上滑动，图2为某一位置从上往下看的平面图，测得∠ABO为30°，∠AOB为45°，OB长为（ ）厘米，则AB的长为 厘米．
14．（2020八上·牡丹期中）如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB= 2.5米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开。一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时(BC=1.2米)，感应门自动打开，则人头顶离感应器的距离AD等于 米。
15．（2020九上·鄞州期中）如图，△ 中， ， ， ，斜边 上一点 ，使得 ，则 .
三、解答题
16．（2020九上·蚌埠月考）如图，已知中，，，求的面积．
17．（2020九上·杭州月考）如图，A市北偏东 方向有一旅游景点M，在A市北偏东 的公路上向前行1000米到C处，测得M位于C的北偏西 ，试求景点M到C处的距离 及景点M到公路 的距离 （结果保留根号）.
18．（2020九上·浦东期中）如图，A，B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地须经C地沿折线A﹣C﹣B行驶，全长68km．现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶．已知∠A＝30°，∠B＝45°，则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果精确到0.1km）（参考数据： ≈1.4， ≈1.7）
19．（2020九上·青神期中）如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB、小刚在D处用高1.5m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30°，然后向教学楼前进40m到达E，又测得教学楼顶端A的仰角为60°．求这幢教学楼的高度AB．（结果带根号）
20．（2020九上·成都期中）兰州白塔山山势起伏，山中白塔七级八面，上有绿项，下筑圆基，几经强烈地震仍屹立未动，显示了我国古代劳动人民在建筑艺术上的智慧与才能．
问题提出：如何测量白塔的高MN．
方案设计：九年级三班的白亮同学去测量白塔的高，如图，他在点A处测得塔尖M的仰角是30°，向前走了50米到达点B处，又测得塔尖M的仰角是60°．
问题解决：根据上述方案和数据，求白塔的高度MN（结果精确到1m，参考数据： ≈1.73）．
四、综合题
21．（2020九上·慈溪月考）据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一，所以规定以下情境中的速度不得超过50km/h.如图，在一条笔直公路l的旁边A处有一探测仪，AD⊥l于D，AD=32m，第一次探测到一辆轿车从B点匀速向D点行驶，测得∠ABD=28°，2秒后到达C点，测得∠ACD=45°.(sin28°≈ ，cos28°≈ ，tan28°≈ )
（1）求CD，BD的长度.
（2）通过计算，判断此轿车是否超速.
22．（2020九上·柯桥月考）如图是一种简易台灯的结构图，灯座为△ABC（BC伸出部分不计），A、C、D在同一直线上.量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，灯杆CD长为40cm，灯管DE长为15cm.
（1）
求DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角；
（2）当E点到水平桌面（AB所在直线）的距离介于45cm至46cm范围时，视线最佳，通过计算说明此时光线是否为最佳.（参考数据：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27， ＝1.73.）
23．（2020·凉山州）如图， 的半径为R，其内接锐角三角形ABC中， 、 、 所对的边分别是a、b、c
（1）求证：
（2）若 ， ， ，利用（1）的结论求AB的长和 的值
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：∵sinA＝ ，∴可设a＝3k，c＝5k，由勾股定理可求得b＝4k，∴cosA＝ ＝ ，
故答案为：B.
【分析】由正弦函数的定义得sinA＝ ，可以设出a＝3k，c＝5k，由勾股定理可求得b，进而再根据余弦函数的定义即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：如图，
Rt△ABC中，tanA＝ ，AB＝260米．
设BC＝x，则AC＝2.4x，根据勾股定理，得：
x2+（2.4x）2＝2602，
解得x＝100（负值舍去）．
故答案为：B．
【分析】根据坡度比设未知数，再结合勾股定理列方程求解即可。
3．【答案】D
【知识点】解直角三角形；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距
∵
∴△OAB是正三角形.
∵OC＝OA sin∠OAB＝ ，
∴S△OAB＝ AB OC＝ ，
∴正六边形的面积为 .
故答案为：D.
【分析】由题意画出图形，设O是正六边形的中心，AB是正六边形的一边，OC是边心距，由正多边形的性质可得△OAB是正三角形，解直角三角形OAC可求得OC的长，然后根据S正六边形=6×S△AOB可求解.
4．【答案】C
【知识点】勾股定理；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡度比为1：
∴，即
解得，AC=4
根据勾股定理可得，AB==4
故答案为：C.
【分析】根据坡度的含义求出AC，继而由勾股定理计算得到AB即可。
5．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：由已知得： ，
，
故答案为：B.
【分析】根据三角函数的定义求解即可。
6．【答案】B
【知识点】解直角三角形
【解析】【解答】解：
故答案为： B
【分析】根据三角函数的定义求解即可。
7．【答案】A
【知识点】特殊角的三角函数值；解直角三角形
【解析】【解答】延长AC交BF延长线于E点，则∠CFE=30°．
作CE⊥BD于E，在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4，
∴CE=2，EF=4cos30°=2 ，
在Rt△CED中，CE=2，
∵同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴DE=4．
∴BD=BF+EF+ED=12+2 ．
∵△DCE∽△DAB，且CE：DE=1：2，
∴在Rt△ABD中，AB= BD= ．
故答案为：A．
【分析】延长AC交BF的延长线于点D，BD即为AB的影长，根据物长和影长的比值计算得到答案即可。
8．【答案】C
【知识点】矩形的判定与性质；圆周角定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，连接AP、BQ，作BH⊥AP于H，
∵AC、BC为直径，
∴∠APC=∠BQC=90°，
∴四边形BHPQ为矩形，
∴PQ=BH，
∵BH∥CP，
∴∠ABH=∠C=30°，
∴BH=ABcos30°=2a×=a，
∴PQ=a.
故答案为：C.
【分析】连接AP、BQ，作BH⊥AP于H，利用直径所对的圆周角是直角，结合垂直的定义可证四边形BHPQ为矩形，从而把PQ转化为BH，最后在Rt△AHB中用余弦函数即可求出BH的长，则PQ长可知.
9．【答案】A
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的判定与性质；垂径定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，作CM⊥AP于M，连接AD.
∵AE⊥OD，OE＝DE，
∴AO＝AD，
∵OA＝OD，
∴AO＝AD＝OD，
∴△AOD是等边三角形，
∴∠D＝∠ABC＝60°，
∵CD⊥AB，
∴AE＝EB，
∴CA＝CB，
∴△ABC是等边三角形，故①正确，
∵∠CPA＝∠ABC＝60°，∠APB＝∠ACB＝60°，
∴∠CPF＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∵∠CPM＝∠CPF＝60°，CF⊥PF，CM⊥PA，
∴CF＝CM，
∵PC＝PC，∠CFP＝∠CMP，
∴Rt△CPF≌Rt△CPM（HL），
∴PF＝PM，
∵AC＝BC，CM＝CF，∠AMC＝∠CFB＝90°，
∴Rt△AMC≌Rt△BFC（HL），
∴AM＝BF，
∴AP﹣PB＝PM+AM﹣（BF﹣PF）＝2PM＝2PF，
∴ ，
在Rt△CPF中，
∵∠CPF＝60°，∠CFP＝90°，
，
，
∴ ，故②正确，
故答案为：A.
【分析】作CM⊥AP于M，连接AD，根据AE⊥OD，OE＝DE，可得AD=OA=OD，即可得△AOD是等边三角形，故可得①正确；利用全等三角形的性质可得AM=BF，PM=PF，CF=PF可判断②.
10．【答案】
【知识点】三角形的面积；解直角三角形
【解析】【解答】解：∵AB＝5，∠B＝60°，
∴△ABC中，BC边上的高＝sin60°×AB＝ ×5＝ ，
∵BC＝8，
∴S△ABC＝ ×8× ＝10 ；
故答案为：10 ．
【分析】先利用三角函数求出BC边上的高，再根据三角形的面积计算即可。
11．【答案】msinαcosα
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图所示：
根据题意可得：AC＝mcosα，BC＝msinα，
∴AC BC＝ mh，即h＝msinαcosα，
故答案是：msinαcosα．
【分析】先根据三角函数的定义求出AC、BC的长度，再利用三角形的面积求出AB边上的高。
12．【答案】
【知识点】菱形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接AM，AN，
∵ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC=10，
同理可证∠ACN=60°，
在△AMB和△ANC中，
，
∴△AMB≌△ANC，
∴AM=AN，∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠NAC=60°，
∴∠MAN=60°，
∴△AMN为等边三角形，
∴MN=AM，∠MAN=60°，
当AM⊥BC时，AM最短，即MN最短，
∵sinB= ，
∴AM=sin60°×10=5 ．
∵∠ABC=60°，
∴∠BAM=30°，
∴∠MAC=30°，
∴∠NAC=30°，
∴AP⊥MN．
∵sin∠AMN= ，
∴AP=sin60°×5 = ，
∴CP=10- = ．
故答案为： ．
【分析】连接AM、AN，证明三角形全等，推出三角形AMN为等边三角形，当时，AM最短，即MN最短，在直角三角形ABM中求出AM的长，在直角三角形AMP中求出AP的长，即可解决问题。
13．【答案】32
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点A作AC⊥OB于点C，如图所示：
∵∠ABO=30°，∠O=45°，
∴AC=OC， ，AB=2AC，
∵ ，
∴ ，
∴AC=16cm，
∴AB=32cm；
故答案为32．
【分析】过点A作AC⊥OB于点C，然后根据30°、45°角的三角函数值进行求解即可．
14．【答案】1.5
【知识点】勾股定理；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E
∵AB=2.5米，BE=CD=1.6米，ED=BC=1.2米
∴AE=AB-BE=2.5-1.6=0.9
在直角三角形ADE中，由勾股定理可得
AD===1.5
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造得到直角三角形ADE，根据勾股定理计算得到AD的长度即可。
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的性质；勾股定理；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，过C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥BC于F，
∵ ，
∵AB=
∵S△ABC=CE×AB=AC×BC，
∴CE=，
∴DE==，
∵△BCD为等腰三角形，
∴BD=2DE=，
∴DF=BD×sinB==，
，
∴ .
故答案为： .
【分析】过C作CE⊥AB于E，过点D作DF⊥BC于F，利用勾股定理先求出AB的长，再用面积法求出CE长，则用勾股定理可求DE的长，于是BD长可求，在Rt△BFD中，利用正弦三角函数求出DF，然后在Rt△CFD中即可求出sin∠DCF，最后利用sinx2+cosx2=1即可求得结果.
16．【答案】解：作 于点D在 中，
，
在 中，
，
【知识点】三角形的面积；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】根据锐角三角函数先求出，再求出，最后根据三角形的面积公式计算即可求解。
17．【答案】解：由题意可知：
，
，
过C作 交 于点H，
∴在 中，
,
即： ,
，
同理： ，
同理：在 中， ，
，
即： ，
，
故 的长度为 米， 的长度为 米.
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】过点C作CH⊥AM交AM于点H，在直角三角形ACH中，根据sin∠A=可求得HC的值，同理可求得AH的值，在直角三角形HMC中，用三角函数的定义可求得CM和HM的值，根据三角形AMC的面积的两种不同表示方法可求得MN的值.
18．【答案】解：如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，
设CD＝x．
在Rt△ACD中，sin∠A＝ ，AC＝ ＝2x，
在Rt△BCD中，sin∠B＝ ，BC＝ ＝ x，
∵AC+BC＝2x+ x＝68，
∴x＝ ，
在Rt△ACD中，tan∠A＝ ，AD＝ ，
在Rt△BCD中，tan∠B＝ ，BD＝ ＝20，
AB＝20 +20≈54，
AC+BC﹣AB＝68﹣54＝14.0（km）．
答：隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走14.0千米．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】过点C做AB的垂线，将分成两个直角三角形，再利用解直角三角形分别求出AC、BC和AB的长度，最后用AC+BC﹣AB即可。
19．【答案】解：在Rt△AFG中，tan∠AFG＝ ，
∴FG＝ ＝ ＝ ．
在Rt△ACG中，tan∠ACG＝ ，
∴CG＝ = AG．
又CG FG＝40，
即 AG ＝40，
∴AG＝20 ，
∴AB＝20 ＋1.5．
答：这幢教学楼的高度AB为（20 ＋1.5）米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】（1）在Rt△AFG中，由tan∠AFG＝ ，可得 FG= 在Rt△ACG中，由tan∠ACG＝ CG＝AG，由CG FG＝40，建立方程求出AG的长，利用AB=AG+BG即可求出结论.
20．【答案】解：∵∠MBN是△ABM的一个外角，
∴∠AMB＝∠MBN﹣∠MAB＝30°，
∴∠AMB＝∠MAB，
∴BM＝AB＝50，
在Rt△MBN中，sin∠MBN＝ ，
∴MN＝BM sin∠MBN＝50× ＝25 ≈43，
答：白塔的高度MN约为43米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意及三角形的外角性质得出∠AMB＝∠MAB， 得出BM＝AB＝50， 利用sin∠MBN＝ ， 得出MN＝BM sin∠MBN ，代入数值进行计算即可求解.
21．【答案】（1）解：∵AD⊥CD，∠ACD=45°，
∴CD=AD=32（m）,
BD===68（m）；
（2）解：∵BC=BD-CD=68-32=36（m），
∴轿车的速度==18（m/s）=32.4（km/h）,
∵32.4<50，
∴汽车没有超速.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质求出AD的长度，根据正切三角函数的定义求出BD的长度；
（2）根据线段的关系求出BC的长度，再根据速度公式求出轿车的速度，比较即可结果.
22．【答案】（1）解：如图所示：过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，故四边形DNMF是矩形，则∠NDF＝90°，
∵∠A＝60°，∴∠ADF＝120°，∴∠EDF＝135°﹣120°＝15°，
即DE与水平桌面（AB所在直线）所成的角为15°；
（2）解：如图所示：∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，
∴∠ABC＝30°，∴AC＝ AB＝8cm，
∵灯杆CD长为40cm，∴AD＝48cm，
∴DN＝AD cos30°≈41.57cm，则FM＝41.57cm，
∵灯管DE长为15cm，∴sin15°＝ ＝ ＝0.26，解得：EF＝3.9（cm），
∴E点到水平桌面（AB所在直线）的距离为：3.9+41.57≈45.5（cm），
∵45cm＜45.5cm＜46cm，∴此时光线最佳.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点D作DN⊥AB于点N，过E作EM⊥AB于点M，过点D作DF∥AB，交EM于F，易证四边形DNMF是矩形，利用矩形的性质可证得∠NDF＝90°，可求出∠ADF的度数，然后根据∠EDF=∠ADE-∠ADF，代入计算求解。
（2）利用直角三角形的性质求出AC的长，再利用解直角三角形求出DN的长，即可得到FM的长，然后利用解直角三角形求出DE的长，就可求出E点到水平桌面（AB所在直线）的距离，比较大小可作出判断。
23．【答案】（1）证明：
如图所示,连接BO并延长交圆于A1,连接A1C,可得 , ,根据三角函数可得 ,则 .
同理可得 , .
∴ .
（2）解：根据(1)的结论可得 ,
, , .将值代入得:
,解得 ,即AB= .
过点B作BD⊥AC,由题意可得 , ,
∴AD=AB·sin = , AD=BC·sin = .
∴AC=AD+CD= .
∴ 即 ,得 .
【知识点】勾股定理；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；解直角三角形
【解析】【分析】(1)根据圆周角的性质作出辅助线构造直角三角形,利用三角函数解出即可求证.(2)利用(1)中的结论代入求出AB,再作BD⊥AC,利用三角函数求出AC的值,再根据(1)的结论求出 .
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