【精品解析】初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系

初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
一、单选题
1．（2020九下·西安月考）一个点到圆的最大距离为11，最小距离为5，则圆的半径为（　　）.
A．16或6 B．3或8 C．3 D．8
2．（2020九上·建湖期末）已知⊙O的半径为10cm，OP＝8cm，则点P和⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法判断
3．（2020九上·泰兴期末）若点B(a，0)在以A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（　　）
A．a<－1 B．a＞3
C．－1 4．（2019九上·萧山月考）已知⊙O的半径为5，点 的坐标为（-1,0），点 的坐标为（-3,4），则点 与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O的外 B．点P在⊙O的上
C．点P在⊙O的内 D．不能确定
5．（2020·重庆B）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB.若∠B＝35°，则∠AOB的度数为（　　）
A．65° B．55° C．45° D．35°
6．（2020·天水）如图所示， 、 分别与 相切于A、B两点，点C为 上一点，连接 、 ，若 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2020·哈尔滨模拟）如图，AB和AC与圆O分别相切于点B和点C，点D是圆O上一点，若∠BAC＝74°，则∠BDC等于（　　）
A．46° B．53° C．74° D．106°
8．（2020·雅安）如图， 内接于圆， ，过点C的切线交 的延长线于点 ．则 （　　）
A． B． C． D．
二、填空题
9．（2020八下·揭阳期末）用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于60°”时，应先假设　 　
10．（2019九上·慈溪期中）已知⊙O的面积为36π，若PO＝7，则点P在⊙O　 　．
11．（2018九上·杭州期中）两直角边长分别为6和8的直角三角形的外接圆直径是　 　．
12．（2020·桂阳模拟）AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于　 　．
13．（2019·温州模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，且∠BAC=50°，则∠ACD=　 　°．
14．（2020·上海模拟）已知在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为　 　.
15．（2020·湖州模拟）如图，∠AOB＝30°，n个半圆依次外切，它们的圆心都在射线OA上并与射线OB相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3…、半圆 n的半径分别是r1、r2、r3…、rn，则 ＝　 　.
三、解答题
16．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）
17．（2019·陇南模拟）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．
求证：CD为⊙O的切线．
18．（人教版九年级数学上册 24.2.1 点和圆的位置关系（二） 同步练习）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）作△ABC的外心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．
19．（人教版九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积（一） 同步练习）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求 的长（结果保留π）．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当点在圆内时，则直径为11+5=16，
∴半径为16÷2=8，
当点在圆外时，则直径为11-5=6，
∴半径为6÷2=3，
故答案为：B.
【分析】分两种情况讨论：①当点在圆内时，②当点在圆外时，分别求出半径即可.
2．【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P到圆心的距离OP＝8cm，小于⊙O的半径10cm，
∴点P在在圆内．
故答案为：A．
【分析】比较OP与圆的半径的大小，然后根据点与圆的位置关系判断点P和⊙O的位置关系；
3．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】点B(a，0)在以点A(1，0)为圆心，2为半径的圆内 所以－1故答案选C
【分析】根据点与圆的位置关系，点在圆内，则点到圆心的距离小于半径，计算解决即可.
4．【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵ 点 的坐标为（-1,0），点 的坐标为（-3,4） ，
∴OP=，
又∵＜5，
∴点P在⊙O的内 .
故答案为：C.
【分析】根据两点间的距离公式算出OP的长，由于OP的长小于该圆的半径，故该点在圆内.
5．【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠B＝55°，
故答案为：B.
【分析】根据切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径可得∠A＝90°，根据直角三角形两锐角互余即可计算∠AOB.
6．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠P=70°，
∴∠AOB=180°-∠P=180°-70°=110°，
∴∠ACB= ∠AOB= ×110°=55°.
故答案为：B.
【分析】先利用切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数.
7．【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接BO，CO，如图：
∵AB和AC与圆O分别相切于点B和点C
∴BO⊥AB，OC⊥AC
∴∠ABO＝∠ACO＝90°
∵∠BAC＝74°
∴∠BOC＝360°﹣2×90°﹣74°＝106°
∴∠BDC＝ ∠BOC＝53°
故答案为：B．
【分析】连接BO，CO，根据切线的性质得出 ，从而求算 ，再根据圆周角定理计算 ．
8．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，
∵CP与圆O相切，
∴OC⊥CP，
∵∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∵∠P=28°，
∴∠COP=180°-90°-28°=62°，
而OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，
即∠CAB=31°，
故答案为：B.
【分析】连接OC，根据切线的性质得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根据外角的性质得出∠CAB.
9．【答案】三角形的三个内角都小于60°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：假设三角形的三个内角都小于60° .
【分析】反证法是“间接证明法”一类，即肯定题设否定结论，命题的结论是三个内角至少有一个大于或等于60° ，故先假设三角形的三个内角都小于60° ，即可求解.
10．【答案】外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】设圆的半径为r， =36 ，解得r=6，
∵PO=7，
∴点P在⊙O外.
【分析】先由圆的面积求得⊙O的半径，再根据PO=7，判断点P与⊙O的位置关系．
11．【答案】10
【知识点】勾股定理的应用；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解、∵在Rt△中，斜边=，
而直角三角形的外接圆直径即是直角三角形斜边，
∴直角三角形的外接圆直径=10.
【分析】根据直角三角形的外接圆直径即是直角三角形斜边用勾股定理即可求解。
12．【答案】25°
【知识点】切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAB＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠POA＝90°﹣40°＝50°，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO＝25°，
故答案为：25°
【分析】由切线的性质得：∠PAB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余计算∠POA＝50°，最后利用同圆的半径相等得结论．
13．【答案】40
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC．
∵OA=OC，∴∠OCA=∠BAC=50°．∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠ACD=∠OCD﹣∠OCA=40°．故答案为：40．
【分析】连接OC．由等边对等角可得∠OCA=∠BAC=50°．利用切线的性质可得∠OCD=90°，进而可求∠ACD的度数.
14．【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设切点为D，连接CD，如图所示
∵∠C=90 ，AC=3，BC=4，
∴
又∵⊙C与斜边AB相切，
∴CD⊥AB，CD即为⊙C的半径
∴
∴
故答案为 .
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据圆相切的性质得出CD⊥AB，CD即为⊙C的半径，然后根据三角形面积列出等式，即可解得CD
15．【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质；圆与圆的位置关系；探索图形规律
【解析】【解答】解：作C1D1⊥OB于D1，作C2D2⊥OB于D2，作C3D3⊥OB于D3，如图，
∵n个半圆都与射线OB相切，
∴C1D1＝r1，C2D2＝r2，C3D3＝r3，
∵n个半圆依次外切，
∴C1C2＝r1+r2，C2C3＝r2+r3，
在Rt△OC1D1中，∵∠O＝30°，
∴OC2＝2C1D1＝2r1，
在Rt△OC2D2中，∵∠O＝30°，
∴OC2＝2C2D2，即2r1+r1+r2＝2r2，
∴r2＝3r1，
在Rt△OC3D3中，∵∠O＝30°，
∴OC3＝2C3D3，即2r2+r2+r3＝2r3，
∴r3＝3r2，
……
∴r2013＝3r2012，
即 ＝3.
故答案为：3.
【分析】作C1D1⊥OB于D1，作C2D2⊥OB于D2，作C3D3⊥OB于D3，如图，根据切线的性质，可得C1D1＝r1，C2D2＝r2，C3D3＝r3，利用圆与圆相切，可得C1C2＝r1+r2，C2C3＝r2+r3，根据含30°角的直角三角形的性质可得OC2＝2C1D1＝2r1，OC2＝2C2D2，即2r1+r1+r2＝2r2，从而可得OC3＝2C3D3，即2r2+r2+r3＝2r3，即得r3＝3r2，从而得出r2013＝3r2012，继而求出结论.
16．【答案】证明：①假设PB=PC．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，
在△ABP和△ACP中
∴△ABP≌△ACP，
∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，
∴PB=PC是不可能的．
②假设PB＞PC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．
∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，
∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，
∴∠BAP＜∠CAP，结合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，
∴PB＞PC是不可能的．
综上所述，得：PB＜PC．
【知识点】反证法
【解析】【分析】运用反证法进行求解：
（1）假设结论PB＜PC不成立，即PB≥PC成立．
（2）从假设出发推出与已知相矛盾．
（3）得到假设不成立，则结论成立．
17．【答案】解：∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC=∠DBC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线．
【知识点】平行线的性质；切线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】先利用BC平分∠ABD得到∠OBC=∠DBC，再证明OC∥BD，从而得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论．
18．【答案】（1）解：如图所示：点O即为所求．
（2）解：如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．
【知识点】三角形的外接圆与外心；圆内接正多边形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以做三角形两条边的垂直平分线，得到的交点即为所求；
（2）分别在BC边和AC边上找一点F和H，然后连接DH，DF，HF，按照（1）的方法找出三角形DHF的内心，然后作出△DHF的外接圆，再作出△DHF三边垂直平分线与外接圆的交点，然后依次连接即可.
19．【答案】（1）证明：连接OD，如图所示．
∵DF是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°．
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，
∴DF⊥AC．
（2）解：∵∠CDF=30°，
由（1）得∠ODF=90°，
∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴ 的长= = = π．
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据切线的性质以及中位线的性质，可证明出DF⊥AC。
（2）根据等边三角形可得出∠BDC的度数，再利用弧长公式求出弧长。
1 / 1初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
一、单选题
1．（2020九下·西安月考）一个点到圆的最大距离为11，最小距离为5，则圆的半径为（　　）.
A．16或6 B．3或8 C．3 D．8
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：当点在圆内时，则直径为11+5=16，
∴半径为16÷2=8，
当点在圆外时，则直径为11-5=6，
∴半径为6÷2=3，
故答案为：B.
【分析】分两种情况讨论：①当点在圆内时，②当点在圆外时，分别求出半径即可.
2．（2020九上·建湖期末）已知⊙O的半径为10cm，OP＝8cm，则点P和⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在圆内 B．点P在圆上 C．点P在圆外 D．无法判断
【答案】A
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵点P到圆心的距离OP＝8cm，小于⊙O的半径10cm，
∴点P在在圆内．
故答案为：A．
【分析】比较OP与圆的半径的大小，然后根据点与圆的位置关系判断点P和⊙O的位置关系；
3．（2020九上·泰兴期末）若点B(a，0)在以A(1，0)为圆心，2为半径的圆内，则a的取值范围为（　　）
A．a<－1 B．a＞3
C．－1 【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】点B(a，0)在以点A(1，0)为圆心，2为半径的圆内 所以－1故答案选C
【分析】根据点与圆的位置关系，点在圆内，则点到圆心的距离小于半径，计算解决即可.
4．（2019九上·萧山月考）已知⊙O的半径为5，点 的坐标为（-1,0），点 的坐标为（-3,4），则点 与⊙O的位置关系是（　　）
A．点P在⊙O的外 B．点P在⊙O的上
C．点P在⊙O的内 D．不能确定
【答案】C
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵ 点 的坐标为（-1,0），点 的坐标为（-3,4） ，
∴OP=，
又∵＜5，
∴点P在⊙O的内 .
故答案为：C.
【分析】根据两点间的距离公式算出OP的长，由于OP的长小于该圆的半径，故该点在圆内.
5．（2020·重庆B）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB.若∠B＝35°，则∠AOB的度数为（　　）
A．65° B．55° C．45° D．35°
【答案】B
【知识点】切线的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的切线，
∴OA⊥AB，
∴∠OAB＝90°，
∴∠AOB＝90°﹣∠B＝55°，
故答案为：B.
【分析】根据切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径可得∠A＝90°，根据直角三角形两锐角互余即可计算∠AOB.
6．（2020·天水）如图所示， 、 分别与 相切于A、B两点，点C为 上一点，连接 、 ，若 ，则 的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OA、OB，
∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP=∠OBP=90°，
∵∠P=70°，
∴∠AOB=180°-∠P=180°-70°=110°，
∴∠ACB= ∠AOB= ×110°=55°.
故答案为：B.
【分析】先利用切线的性质得∠OAP=∠OBP=90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数.
7．（2020·哈尔滨模拟）如图，AB和AC与圆O分别相切于点B和点C，点D是圆O上一点，若∠BAC＝74°，则∠BDC等于（　　）
A．46° B．53° C．74° D．106°
【答案】B
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：连接BO，CO，如图：
∵AB和AC与圆O分别相切于点B和点C
∴BO⊥AB，OC⊥AC
∴∠ABO＝∠ACO＝90°
∵∠BAC＝74°
∴∠BOC＝360°﹣2×90°﹣74°＝106°
∴∠BDC＝ ∠BOC＝53°
故答案为：B．
【分析】连接BO，CO，根据切线的性质得出 ，从而求算 ，再根据圆周角定理计算 ．
8．（2020·雅安）如图， 内接于圆， ，过点C的切线交 的延长线于点 ．则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC，
∵CP与圆O相切，
∴OC⊥CP，
∵∠ACB=90°，
∴AB为直径，
∵∠P=28°，
∴∠COP=180°-90°-28°=62°，
而OC=OA，
∴∠OCA=∠OAC=2∠CAB=∠COP，
即∠CAB=31°，
故答案为：B.
【分析】连接OC，根据切线的性质得出∠OCP=90°，再由∠P=28°得出∠COP，最后根据外角的性质得出∠CAB.
二、填空题
9．（2020八下·揭阳期末）用反证法证明“三角形的三个内角中，至少有一个大于或等于60°”时，应先假设　 　
【答案】三角形的三个内角都小于60°
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：假设三角形的三个内角都小于60° .
【分析】反证法是“间接证明法”一类，即肯定题设否定结论，命题的结论是三个内角至少有一个大于或等于60° ，故先假设三角形的三个内角都小于60° ，即可求解.
10．（2019九上·慈溪期中）已知⊙O的面积为36π，若PO＝7，则点P在⊙O　 　．
【答案】外
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】设圆的半径为r， =36 ，解得r=6，
∵PO=7，
∴点P在⊙O外.
【分析】先由圆的面积求得⊙O的半径，再根据PO=7，判断点P与⊙O的位置关系．
11．（2018九上·杭州期中）两直角边长分别为6和8的直角三角形的外接圆直径是　 　．
【答案】10
【知识点】勾股定理的应用；三角形的外接圆与外心
【解析】【解答】解、∵在Rt△中，斜边=，
而直角三角形的外接圆直径即是直角三角形斜边，
∴直角三角形的外接圆直径=10.
【分析】根据直角三角形的外接圆直径即是直角三角形斜边用勾股定理即可求解。
12．（2020·桂阳模拟）AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，PO交⊙O于点C；连接BC，若∠P＝40°，则∠B等于　 　．
【答案】25°
【知识点】切线的性质；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAB＝90°，
∵∠P＝40°，
∴∠POA＝90°﹣40°＝50°，
∵OC＝OB，
∴∠B＝∠BCO＝25°，
故答案为：25°
【分析】由切线的性质得：∠PAB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余计算∠POA＝50°，最后利用同圆的半径相等得结论．
13．（2019·温州模拟）如图，已知AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，且∠BAC=50°，则∠ACD=　 　°．
【答案】40
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：连接OC．
∵OA=OC，∴∠OCA=∠BAC=50°．∵CD是⊙O的切线，∴∠OCD=90°，∴∠ACD=∠OCD﹣∠OCA=40°．故答案为：40．
【分析】连接OC．由等边对等角可得∠OCA=∠BAC=50°．利用切线的性质可得∠OCD=90°，进而可求∠ACD的度数.
14．（2020·上海模拟）已知在Rt△ABC中，∠C=90 ，AC=3，BC=4，⊙C与斜边AB相切，那么⊙C的半径为　 　.
【答案】
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】设切点为D，连接CD，如图所示
∵∠C=90 ，AC=3，BC=4，
∴
又∵⊙C与斜边AB相切，
∴CD⊥AB，CD即为⊙C的半径
∴
∴
故答案为 .
【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据圆相切的性质得出CD⊥AB，CD即为⊙C的半径，然后根据三角形面积列出等式，即可解得CD
15．（2020·湖州模拟）如图，∠AOB＝30°，n个半圆依次外切，它们的圆心都在射线OA上并与射线OB相切，设半圆C1、半圆C2、半圆C3…、半圆 n的半径分别是r1、r2、r3…、rn，则 ＝　 　.
【答案】3
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的性质；圆与圆的位置关系；探索图形规律
【解析】【解答】解：作C1D1⊥OB于D1，作C2D2⊥OB于D2，作C3D3⊥OB于D3，如图，
∵n个半圆都与射线OB相切，
∴C1D1＝r1，C2D2＝r2，C3D3＝r3，
∵n个半圆依次外切，
∴C1C2＝r1+r2，C2C3＝r2+r3，
在Rt△OC1D1中，∵∠O＝30°，
∴OC2＝2C1D1＝2r1，
在Rt△OC2D2中，∵∠O＝30°，
∴OC2＝2C2D2，即2r1+r1+r2＝2r2，
∴r2＝3r1，
在Rt△OC3D3中，∵∠O＝30°，
∴OC3＝2C3D3，即2r2+r2+r3＝2r3，
∴r3＝3r2，
……
∴r2013＝3r2012，
即 ＝3.
故答案为：3.
【分析】作C1D1⊥OB于D1，作C2D2⊥OB于D2，作C3D3⊥OB于D3，如图，根据切线的性质，可得C1D1＝r1，C2D2＝r2，C3D3＝r3，利用圆与圆相切，可得C1C2＝r1+r2，C2C3＝r2+r3，根据含30°角的直角三角形的性质可得OC2＝2C1D1＝2r1，OC2＝2C2D2，即2r1+r1+r2＝2r2，从而可得OC3＝2C3D3，即2r2+r2+r3＝2r3，即得r3＝3r2，从而得出r2013＝3r2012，继而求出结论.
三、解答题
16．如图，在△ABC中，AB=AC，P是△ABC内的一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC（反证法）
【答案】证明：①假设PB=PC．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．
∴∠ABC﹣∠PBC=∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP=∠ACP，
在△ABP和△ACP中
∴△ABP≌△ACP，
∴∠APB=∠APC．这与题目中给定的∠APB＞∠APC矛盾，
∴PB=PC是不可能的．
②假设PB＞PC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵PB＞PC，∴∠PCB＞∠PBC．
∴∠ABC﹣∠PBC＞∠ACB﹣∠PCB，∴∠ABP＞∠ACP，又∠APB＞∠APC，
∴∠ABP+∠APB＞∠ACP+∠APC，∴180°﹣∠ABP﹣∠APB＜180°﹣∠ACP﹣∠APC，
∴∠BAP＜∠CAP，结合AB=AC、AP=AP，得：PB＜PC．这与假设的PB＞PC矛盾，
∴PB＞PC是不可能的．
综上所述，得：PB＜PC．
【知识点】反证法
【解析】【分析】运用反证法进行求解：
（1）假设结论PB＜PC不成立，即PB≥PC成立．
（2）从假设出发推出与已知相矛盾．
（3）得到假设不成立，则结论成立．
17．（2019·陇南模拟）如图所示，AB是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，过点B作BD⊥CD，垂足为点D，连结BC．BC平分∠ABD．
求证：CD为⊙O的切线．
【答案】解：∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC=∠DBC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥BD，
∵BD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴CD为⊙O的切线．
【知识点】平行线的性质；切线的判定；角平分线的概念
【解析】【分析】先利用BC平分∠ABD得到∠OBC=∠DBC，再证明OC∥BD，从而得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论．
18．（人教版九年级数学上册 24.2.1 点和圆的位置关系（二） 同步练习）如图，已知等边△ABC，请用直尺（不带刻度）和圆规，按下列要求作图（不要求写作法，但要保留作图痕迹）：
（1）作△ABC的外心O；
（2）设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F，点H分别在边BC和AC上．
【答案】（1）解：如图所示：点O即为所求．
（2）解：如图所示：六边形DEFGHI即为所求正六边形．
【知识点】三角形的外接圆与外心；圆内接正多边形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，所以做三角形两条边的垂直平分线，得到的交点即为所求；
（2）分别在BC边和AC边上找一点F和H，然后连接DH，DF，HF，按照（1）的方法找出三角形DHF的内心，然后作出△DHF的外接圆，再作出△DHF三边垂直平分线与外接圆的交点，然后依次连接即可.
19．（人教版九年级数学上册 24.4 弧长和扇形面积（一） 同步练习）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O分别于BC，AC相交于点D，E，BD=CD，过点D作⊙O的切线交边AC于点F．
（1）求证：DF⊥AC；
（2）若⊙O的半径为5，∠CDF=30°，求 的长（结果保留π）．
【答案】（1）证明：连接OD，如图所示．
∵DF是⊙O的切线，D为切点，
∴OD⊥DF，
∴∠ODF=90°．
∵BD=CD，OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠CFD=∠ODF=90°，
∴DF⊥AC．
（2）解：∵∠CDF=30°，
由（1）得∠ODF=90°，
∴∠ODB=180°﹣∠CDF﹣∠ODF=60°．
∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴∠BOD=60°，
∴ 的长= = = π．
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据切线的性质以及中位线的性质，可证明出DF⊥AC。
（2）根据等边三角形可得出∠BDC的度数，再利用弧长公式求出弧长。
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