课件15张PPT。三角函数全章复习1）任意角及其三角函数的定义
2）弧度制，扇形的弧长、周长、面积
3）三角公式：同角关系；诱导公式；两角和差公式；二倍角公式；半角公式；和积互化公式
4）正弦、余弦、正切函数的图象（五点法）
性质-----定义域、值域、奇偶性（对称 性）、单调性、周期性 。 （1）振幅、周期、初相（2）确定函数解析式（3）图象的变换规律（平移、伸缩）（4）研究其性质：定义域、值域（最值）
单调区间、最小正周期、奇偶性
（对称轴方程、对称中心坐标）6）求值：用公式，配角（注意角的范围）（1）给角求值 （2）给值求角三角函数主要公式：1）同角关系（4式）2）诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）3）两角和差正弦、余弦、正切公式（8式）4）二倍角公式（5式）5）半角公式、万能公式、和积互化公式
（能记住为佳）一：求值二：求定义域三。求值域、最值四：求最小正周期五：判断函数奇偶性对称性对称轴方程（）对称中心（）六：求单调区间综合题：课件19张PPT。三角函数复习一、三维目标：
1、知识与技能：
1、了解任意角的概念和弧度制，能正确地进行弧度和角度的互化。
2、使学生理解任意角的定义。
3、理解同角三角函数的基本关系式。
2、能力目标：
用运动的观点了解角的概念的推广时解决现实生活和生产中实际
问题的需要，通过对各种角的表示法的训练，提高分析、抽象、
概括的能力。
3、情感态度与价值观：
1、通过对角的概念的推广，培养学生学习数学的兴趣；理解并
认识角度值和弧度制的辩证统一关系。
2、通过对同角三角函数的基本关系的学习，揭示事物之间普遍
联系的规律，培养辩证唯物主义思想。
二、重点与难点：
任意角的三角函数的概念，同角三角函数关系式，诱导公式。角度制与
弧度制弧长与扇形
面积公式任意角的
三角函数同角三角函数
的基本关系三角函数的
图象和性质三角函数的
诱导公式任意角
的概念三角函数
的应用计算、化简、
证明恒等式三角函数复习（2）象限角：注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。（3）所有与角 终边相同的角，连同角 在内，构成集合：（角度制）（弧度制）原点x轴的非负半轴角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。知识回顾：1.角的概念：(1)什么是1弧度的角(2)弧度的计算：角度的符号由旋转
方向确定(3)角度与弧度的换算：(4)、扇形面积公式：2.角度与弧度：3、任意角的三角函数：
（1）三角函数的定义(2)4：同角三角函数的基本关系式：（注意“同角”两字）公式的主要用途：
a)??已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值
b)? 化简同角三角函数式；
c) 证明同角的三角恒等式。5、正弦、余弦的诱导公式： 诱导公式的类型：
2kπ+α(k ∈z)， π+α ，π-α ，-α ，2π-α（π/2的奇数倍）（π/2的偶数倍）【例1】已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.
①若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的 弓形面积.
②若扇形的周长是一定值l(l＞0)，当α为多少弧度时，该扇形的面积有最大值?并求出这一最大值? 【解题回顾】
1、扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易记，而且好用.在使用时，先要将问题中涉及到的角度换算为弧度. ?
2、解答实际应用题的关键是建模，有关最优问题往往归结为求函数的最值，恰当选择自变量，其定义域源于问题中各量的实际意义，此题②中以半径R为自变量较好，其定义域由弧长大于0而小于周长确定.二、典型例题分析1.在(0，2π)内，使sinα·cosα＜0，sinα＋cosα＞0，
同时成立的α的取值范围是( )
(A)(π/2，3π/4） (C)(π/2，3π/4)∪(7π/4，2π)
(B)(3π/4，π) (D)(3π/4，π)∪(3π/２，7π/4) C练习：2、函数的值域是 .{-2,0,2}【例2】（全国理，1）若sinθcosθ＞0，则θ在（ ）
A．第一、二象限 B．第一、三象限
C．第一、四象限 D．第二、四象限练习1、若A、B是锐角△ABC的两个内角，则点P（cosB－sinA，sinB－cosA）在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 练习2、已知“θ是第三象限角，则θ/2是第几象限角?【例3】已知 是第三象限的角
(1)化简
(2)若 ，求 的值；
(3)若 =–1860°，求 的值.题型2：诱导公式解： 题型3：同角三角函数关系 解：由条件， 【例5】已知 是关于 的方程
的两个根.课后练习：已知为锐角，利用单位圆证明：（１）（２）若均为锐角，试比较的大小１．２．，（利用（１）的结论）角度制与
弧度制弧长与扇形
面积公式任意角的
三角函数同角三角函数
的基本关系三角函数的
图象和性质三角函数的
诱导公式任意角
的概念三角函数
的应用计算、化简、
证明恒等式三角函数复习作业：课本69页8、（2）（4）
9、10课件26张PPT。三 角 函 数 复 习
（第2课时）知识与技能目标：1、正确理解正弦函数、余弦函数和正切函数的性质。
2、能正确使用“五点法”、“几何法”、“图像变化法”画出函数图像。
3、会用三角函数解决简单的实际应用。
4、会用已知三角函数值求角。过程与方法目标： 通过图像变换的学习，培养运用数形结合思想分析、理解问题的能力；培养利用联系、变化的辩证唯物主义观点去分析问题的能力。情感、态度与价值观目标： 通过图像变换的学习，培养从特殊到一般，从具体到抽象的思维方式，从而表达从感性认识到理性认识的飞跃。重难点： 正弦函数的性质与图像，正弦型函数的图象和正弦函数图象的关系。综合运用公式进行求值、化简和证明。图象1-11-1定义域值域周期性奇偶性单调性RR函数R奇函数偶函数奇函数增区间减区间增区间减区间增区间三角函数的图象和性质xyoyxoyxo（1）求小球初始位置;经过多少时间小球往复振动一次？
（2）小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？
（3）求t=1s时弹簧振子对平衡位置的位移（精确到0.001）例1：解： （1）在平衡位置以上且距平衡位置（2）都是若弹簧振子对平衡位置的位移 x(cm)与时间t(s)之间的
关系由上述关系式决定，回答下列问题.已知函数（3） 0.283 cm经过 s小球往复振动一次题型一：三角函数图象复习（1）当 时，若 ，求例2：已知函数分析：由诱导公式有答：例2：已知函数（2）用五点法作出函数 在一个周期
内的简图；并指出其减区间，对称轴和对称中心xy0030-30例2：已知函数（2）用五点法作出函数 在一个周期
内的简图；并指出其减区间，对称轴和对称中心xy0030-30xyo3-3例2：已知函数（2）用五点法作出函数 在一个周期
内的简图；并指出其减区间，对称轴和对称中心xy0030-30xo3-3y减区间对称轴对称中心例2：已知函数（3）如何将 的图象 的图象？变换到解：（3）向右移个单位例2：已知函数（4）若时，恒成立，求实数k的取值范围。解：法1：图象法；xo3-3y例2：已知函数（4）若时，恒成立，求实数k的取值范围。解：法1：图象法；xo3-3y法2：值域法由图可得 y=k小结：能够正确认识图像平移问题，审清题意，注意起止，把握好要点。【解题回顾】解此题时，若能充分利用图象与函数式之间的联系，则也可用排除法来巧妙求解.根据图像求解析式【解题回顾】这类问题的求解难点是φ的确定，除以上方法外，常用移轴方法：做平移，移轴公式为x=x′+π/6，y=y′，则易知函数在新坐标系中的方程是y′=3sin2x′，而x′=x-π/6，故所求函数y=3sin[2(x-π/6)]练习：.如下图，函数y=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0)的图像上相邻的最高点与最低点的坐标分别为(5π/12，3)和(11π/12，-3)．
求该函数的解析式 例4、函数 单调递增
区间是—————————变题：函数 单调递减
区间是 —————————题型二：三角函数的性质：课件22张PPT。三角函数复习课课题三、例题分析宏观思路微观直觉四、基础练习一、知识网络二、学法指导三角函数复习课五、小结及作业一、知识网络一、知识网络一、知识网络一、知识网络一、知识网络一、知识网络上页重点：让学生掌握三角函数的 图象；在理解各组三角 公式的基础上掌握并熟 练运用三角公式。
难点：两个变换，“图象变换” 和“三角变换”下页本章知识网络图定义同角三角函数的基本关系图象性质单位圆与三角函数线诱导公式Cα±β
Sα±β、T α±β y=asinα+bcosα的最值形如y=Asin(ωx+φ)+B图象万能公式和差化积公式积化和差公式Sα/2=
Cα/2=
Tα/2=S2α=
C2α=
T2α=正弦定理、
余弦定理、
面积公式降幂公式一、同角三角函数的八大关系返回二、两组诱导公式: ①2kπ±α,π±α的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上把α看成锐角时原函数的符号.
②π/2±α,3π/2±α的三角函数值等于α的余角的三角函数值，前面加上把α看成锐角时原函数的符号.返回三、一般函数图象变换基本变换位移变换伸缩变换上下平移左右平移上下伸缩左右伸缩y=f(x)
图 象y=f(x)+b图象y=f(x+φ)
图 象y=A f(x)图象 y=f(ωx)图象向上(b>0)或向下(b<0)移︱b︱单位向左(φ>0)或向右(φ<0)移︱φ︱单位点的横坐标变为原来的1/ω倍
纵坐标不变点的纵坐标变为原来的A倍
横坐标不变
返回例3返小结四、记住下列三角公式:天哪 ! ⑥和差化积与积化和差公式不需记但要会用.记住啊
!返回例5三角解题常规宏观思路分析差异寻找联系促进转化指角的、函数的、运算的差异利用有关公式，建立差异间关系活用公式，差异转化，矛盾统一返回返小结1、以变角为主线，注意配凑和转化；
2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；
3、见和差，想化积；见乘积，化和差；
4、见分式，想通分，使分母最简；
5、见平方想降幂，见“1±cosα”想升幂；
6、见sin2α，想拆成2sinαcosα；
7、见sinα±cosα或
想两边平方或和差化积8、见a sinα+b cosα，想化为9、见cosα·cosβ·cosθ····，先若不行，则化和差微观直觉10、见cosα+cos(α+β)
+cos(α+2 β )····， 想乘
sinα+sinβ=p
cosα+cosβ=q返回返小结高考试题精选及分析C点评:
本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的余弦符号确定结论.返回思路:函数y=sin2x+acos2x可化为要使它的图象关于直线x= -π/8对称,则图象在该处必是处于波峰或波谷.即函数在x=-π/8时取得最大、小值.解题步骤: 3.指出变换过程:复习答案:tan(α－2β)=7/24.基本思路: 最后结果:复习返回基础练习一、选择题:
1、若A=21°，B=24°，则(1+tanA)(1+tanB)
的值是( )
(A)1 (B)2 (C)1+ (D)2(tanA+tanB)
2、若270°<α<360°，则
等于（ ）
(A)-cos(α/2) (B) cos(α/2)
(C) sin(α/2) (D) -sin(α/2)
3、在△ABC中，a=3，b=4，外接圆直径
为5，则△ABC的面积为( )
(A)6 (B)42/25 (C)6或42/ 25 (D)5
BAC返回二、填空题:4 1、已知α、β为锐角，且cosα= ，
cos(α+β)= ，求β。三、解答题:β为锐角，故?=?/3返回本课小结：由学生先根据自己所掌握的口述，然后再由教师总结:作业： 略
1、三角函数的图象变换2、三角变换的使用技巧课件38张PPT。三角函数[学习内容]
1、三角函数的有关概念。
2、同角三角函数基本关系及诱导公式。
3、两角和与差三角函数。
4、三角函数图象与性质。
5、三角函数求值。 [学习要求]
（1）理解任意角的概念、弧度的意义。能正确地进行弧度与角度的换算。
（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义。掌握同角三角函数的基本关系式。掌握正弦、余弦的诱导公式。了解周期函数与最小正周期的意义，了解奇函数、偶函数的意义。 （3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（4）能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
（5）了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin(ωx+φ)的简图，理解A，ω，φ的物理意义。
（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示。 [学习指导]
1、掌握三角函数的概念、图象和性质。近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法。2、掌握三角函数基本的三角变换
虽然三角变换的考查要求有所降低，但它终究是三角函数的基础，没有三角函数的恒等变形就谈不上性质和图象的应用，所以要立足于课本，掌握基本的三角变换。3、重视数学思想方法的复习
本章试题以选择、填空题、解答题的形式出现，因此复习中要重视选择填空题的一些特殊解法，如数形结合，代入检验，特殊值法。待定系数法，排除法，另外对有些具体问题还需掌握和运用一些基本结论。
4、加强三角函数应用意识的训练。[典型例题分析]
例1、求下列函数的定义域
（1）f(x)=logsinx(1+2cosx)
（2）f(x)=
[分析]先转化为三角不等式，可利用单位圆或三角函数图象进行求解。解（1） 1+2cosx>0 ∴ cosx>-
0∴ 2kπ- 2kπf(x)定义域为（2） 2cosx+1≥0 ∴ cosx≥-
tanx≠0 tanx≠0
∴f(x)定义域为
{x|2kπ- ≤x≤2kπ+ 且x≠kπ+
x≠kπ,k∈z}例2、求下列函数值域
（1）y= （4）y=
（2）y=sinx+cosx+sinxcosx
（3）y=2cos( +π)+2cosx
[分析]将原函数化为y=Asin(ωx+φ)+b或y=Acos(ωx+φ)+b或化为关于sinx(cosx)二次函数，利用换元进行配方求解。反思：关于y=acos2x+bcosx+c(y=asin2x+bsinx+c,a≠0)可化为二次函数在闭区间上求最值问题，切忌忽略函数的定义域） 例3、若sin2α+2sin2β=2cosα，求sin2α+sin2β的最大值与最小值。
[分析]将sin2β用含有α的式子表示，利用二次函数知识求解。例4、设a≥0若y=cos2x-asinx+b的最大值为0，最小值为-4，试求a与b的值，并求出使y取得最大，最小的x值。
[分析]解此类问题是化为关于sinx(cosx)的二次式，配方求最值办法。解：y=-(sinx+ )2+1+b+
当-1≤- ≤0时，0≤a≤2时
即x=kπ+(-1)k arcsin(- ) k∈z时
ymax=1+b+ =0 ①
当日仅当 sinx=1即x=2k+ k∈z
ymin=-(1+ )2+1+b+ =-4 ②
由①、② a=2 b=-2解得a=2（舍）
综上 a=2
b=-2例5、已知函数f(x)=log (sinx-cosx)
（1）求它的定义域与值域
（2）求它的单调区间
（3）判断奇偶性
（4）判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期
[分析](1)、(2)从sinx-cosx= sin(x- )入手；(3)定义域；(4)利用周期函数定义。（3）f(x)定义域不关于原点对称。即不是奇函数，也不是偶函数。反思：本题综合考查了三角函数性质，解题关键是把sinx-cosx化为Asin(ωx+φ)形式。例6、已知
f(x)=2sin(x+ )cos(x+ )+2 cos2(x+ )-
①化简f(x)的解析式
②若0≤x≤π求θ,使函数f(x)为偶函数
③在②的条件下，求满足f(x)=1 x[-π, π]的x集合。③小结：解决此类问题一定要注意已知角和所求角之间的关系。例8、f(x)=cos2x+asinx- - (0≤x≤ )
①用a表示f(x)的最大值M(a)
②当M(a)=2时，求a的值
解：①②③ 例9、已知函数
y= cos2x+ sinxcosx+1 (x∈R)
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合
（2）该函数图象可由y=sinx(x∈R)的图象进行怎样的平移和伸缩变换得到的？
[分析]由题设可知，需采取降次，化为简单的三角函数。解：（2）将函数y=sinx依次进行如下变换
思路一：先平移，后缩短（指横坐标）
解法一：（1）把函数y=sinx的图象向左平移 ，得到函数y=sin(x+ )的图象；
（2）把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+ )的图象；（3）把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变），得到函数y= sin(2x+ )的图象；
（4）把得到的图象向上平移 个单位长度，得到函数y= sin(2x+ )+ 的图象。思路二：先缩短，后平移（指横坐标）
解法二：（1）把函数y=sinx的图象上各点的横坐标缩短原来的 倍（纵坐标不变），得到函数y=sin2x的图象；
（2）把得到的函数的图象向左平移 ，得到函数y=sin[2(x+ )]=sin(2+ )的图象；（3）把得到的函数图象向上平移 个单位，得到函数y=sin(2x+ )+ 的图象；
（4）把得到的函数的图象的各点的纵坐标缩小到原来的 倍（横坐标不变），得到函数2y=sin(2x+ )+ 的图象，即y= sin(2x+ )+ 的图象。
反思：在解法二中，由函数y=sin2x向左平移 ，而不是 个长度单位，这一点应特别注意。课件30张PPT。三角函数定义学习目标：1.理解三角函数的定义。
2.会利用三角函数的定义求简单角的函数值。
3.理解并掌握三角函数在各象限的符号。教学重点：会利用三角函数的定义求角的函数值，会判断，三角函数在各象限的符号。求角的函数值时对象限符号的判定。 教学难点：1.初中学过的锐角三角函数的定义: 在直角三角形ABC中，角C是直角，角A为锐角，则用角A的对边BC，邻边AC和斜边AB之间的比值来定义角A的三角函数.2.用坐标的形式表示出初中所学的锐角三角函数： 以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy,
则角α的终边落在直角坐标系的第一象限内，记∠MOP= αsinα= ，cosα= ，tanα= 。 若点P (x,y)是角α终边上的任意一点，点P到原点O的距离是r , 试将角α的三角函数用x、y、r的式子表示出来。 3. 任意角的三角函数 :（1）确立任意角α在直角坐标系中的位置；以角α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为x轴的正方向，建立直角坐标系xOy ； （2）在其终边上取点A，使OA=1，点A的坐标为(l, m)，再任取一点P(x,y)，设点P到原点的距离为r，OP =r（r≠0），根据三角形的相似知识得： 因为A、P在同一象限内，所以它们的坐标符号相同，因此得 叫做角α的余弦，记作cosα ,即
cosα= ； 不论点P在终边上的位置如何，它们都是定值，它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关。即当点P在α的终边上的位置变化时，这三个比值始终等于定值。 叫做角α的正弦，记作sinα，
即sinα= ； 叫做角α的正切，记作tanα，
即 tanα=角α的正割，记作secα= = ； 角α的余割，记作cscα= = ； 角α的余切，记作cotα= = ； 依照上述定义，对于每一个确定的角α，都分别有唯一确定的余弦值、正弦值与之对应： 当α≠kπ (k∈Z)时，它有唯一的正切值与之对应. 因此这三个对应法则都是以α为自变量的函数，分别叫做角α的余弦函数、正弦函数和正切函数。4. 几点说明：(1) 这里提到的角α是“任意角” 。（2）锐角三角函数是以边长的比来定义的，都是正值；任意角的三角函数是以坐标与距离、坐标与坐标的比来定义的，不一定都是正值。 (3)三角函数是以角为自变量，以“比值”为函数值的函数。正弦函数可记作:f(α) = sinα余弦函数可记作:正切函数可记作:h(α)=cosαg(α)=tanα体会对应法则 对于正弦函数sinα= , 因为r>0，所以恒有意义，即α取任意实数， 恒有意义，也就是说sinα恒有意义，所以正弦函数的定义域是R；类似地可写出余弦函数的定义域是R；三角函数函数的定义域 对于正切函数tanα= , 因为x=0时， 无意义，又当且仅当α的终边落在y轴上时，才有x=0，所以当α的终边落不在y轴上时， 恒有意义，即tanα= 恒有意义，所以正切函数的定义域是{α|α≠kπ+ （k∈Z）}从而三角函数的定义域是
y=sinα, α∈R
y=cosα, α∈Ry=tanα ,α≠kπ+ （k∈Z）例3.设sinθ<0且tanθ>0，确定θ是第几象限的角。解：因为sinθ<0，所以θ可能是第三、四象限的角，又tanθ>0，θ可能是第一、三象限的角，综上所述，θ是第三象限的角。例4. 确定下列三角函数值的符号:?
（1）cos250o; （2）
（3）tan(－672o)；（4）解： （1）250o在第三象限，所以cos250o<0.(2) － 在第四象限，所以sin(－ )<0.(3) －672o在第一象限，所以tan(－672o)>0.(4) 在第四象限，所以tan( )<0. 例6.若 ? 的终边与函数 y=-2|x| 的图象重合, 求 ? 的各三角函数值. 解: ∵? 的终边与函数 y=-2|x| 的图象重合,∴? 是第三或第四象限的角. 课后练习 4.已知角 ? 的终边上一个点 P 的坐标为(4t, -3t)(t?0), 求 ? 的正弦、余弦和正切值. 解: 由已知有 x=4t, y=-3t,∴ |OP|=r=5|t|.5.若点p(-8，y)是角α终边上一点，且 sin α=3/5，则y的值是__________.
6、已知角α=3π/2 ，分别求sinα，cosα，tanα 设α是一个任意角，α的任意一点Ｐ(除端点外)的坐标(x,y),它与原点的距离是r,那么： (1)比值y/r叫做α的正弦，记作sinα,即sinα=y/r;(2)比值x/r叫做α的余弦，记作cosα,即cosα=x/r;(3)比值y/x叫做α的正弦，记作tanα,即tan=y/x;小结：本节课我们学习了三角函数的定义，即 这一过程反应了人们认识数学概念的分划过程.即数学概念是在人们的认识不段深化的过程中逐步完善起来的．作业：
课本18页A组3、4
B组5课件36张PPT。本章归纳整合(2)函数y＝sin x的图象变换到函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，法则是针对自变量x和因变量y，左加右减，上加下减．途径是相位变换φ(φ≠0)→周期变化ω(ω>0)→振幅变换A(A>0)和周期变换ω(ω>0)→相位变化φ(φ≠0)→振幅变换A(A>0)．注意二者平移量不同．
(3)依据y＝Asin(ωx＋φ)的图象可以确定周期和振幅，依据图象上的特殊点可确定A，ω，φ，可得对应的函数解析式.课件34张PPT。1.3.1三角函数的周期性金陵中学 金凤义【教学目标】
（1）了解周期现象在现实中广泛存在，感受周期现象对实际工作的意义；
（2）了解周期函数的概念，会判断一些简单的、常见的函数的周期性，并会求一些简单三角函数的周期；
（3）培养及渗透数形结合思想，培养辩证唯物主义观点．（一）情境引入
1．问题：
（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？……
（2）物理学中的单摆振动、圆周运动中质点运动，规律如何呢？
2．我们学过的函数中哪些函数也具有这种“周而复始”的基本特征呢？怎样从数学的角度研究函数的周期现象呢？（二）意义建构
由单位圆中的三角函数线可知，正、余弦函数值的变化呈现出周期现象，每当角增加（或减少）2π，所得角的终边与原来角的终边相同，故两角的正、余弦函数值也分别相同．即有sin（2π＋x）＝sinx，cos（2π＋x）＝cosx，
正弦函数和余弦函数所具有的这种性质称为周期性．（三）数学理论
一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得定义域内的每一个x值，都满足f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．（四）数学应用
例1 课本P26
例2 T＝ 是y＝sinx的周期吗？
试证明你的结论．例3? 已知f(x＋T)＝f(x) (T为常数，T≠0)，求证f(x＋2T)＝f(x)．例4? 证明f(x)＝sinx(x∈R)的最小正周期是2π．例5? 求函数y＝3cosx的周期．例6? 求y＝sin2x的周期．例8? 求y＝Asin(ωx＋φ)的周期．(其中A，ω，φ为常数，且A≠0，ω＞0，x∈R)(六)课堂小结（回顾反思）(七)课堂巩固与课后作业（略）
【课堂教学设计说明】
1．此教学方案是按照“教师为主导，学生为主体”的原则，以“感受理解、思考运用、探究拓展”为主线而设计的．教师通过为学生创设问题情境，激发学生的求知欲，指引探索的途径，引导学生不断地提出新问题，解决新问题．
2．函数周期性概念的教学是本节课的重点,也是本节课的难点．概念教学是中学数学教学的一项重要内容，既不能因其易而轻视．也不能因其难而回避．概念教学应面向全体学生，但由于函数周期的概念比较抽象，所以学生对它的认识不可能一下子就十分深刻．因此，进行概念教学时，除了逐字逐句分析，还要通过不同的例题，让学生暴露出问题，通过老师的引导使学生对概念的理解逐步深入．2.4向量的数量积一、问题情景其中力F 和位移s 是向量， 是F 与s 的夹角，而功是数量.数量 叫做力F 与位移s的数量积 | b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．θ为锐角时，
| b | cosθ＞0θ为钝角时，
| b | cosθ＜0θ为直角时，
| b | cosθ=0平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0． （1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定； （3） a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．（2）一种新的运算法则，以前所学的运算律、性质不一定适合．数学理论向量的夹角 两个非零向量 和 ，作 ，
与 反向 与 同向则 叫做向量 和 的夹角．记作与 垂直，注意:在两向量的夹角定义中,两向量必须是“共起点”的，过点B作垂直于直线OA，垂足为 ，则| b | cosθ定义：| b | cosθ叫向量b 在a 方向上的投影．θ为锐角时，
| b | cosθ＞0θ为钝角时，
| b | cosθ＜0θ为直角时，
| b | cosθ=0投影的概念及两个向量的数量积的性质两个向量数量积的性质：（1）e · a=a · e=| a | cos? （2）a⊥b a · b=0 (判断两向量垂直的依据) （3）当a 与b 同向时，a · b =| a | · | b |，当a 与b 反向
时， a · b =－| a | · | b | ．
特别地（4）（5）a · b ≤| a | · | b |数学应用2.判断下列各题是否正确：1．若a =0，则对任一向量b ，有a · b=0．2．若a ≠0，则对任一非零向量b ,有a · b≠0．3．若a ≠0，a·b =0，则b=04．若a·b=0，则a·b中至少有一个为0．6．若a≠0，a · b= a · c，则b =c5．对任意向量 a 有√××××√3.1.1两角和与差的余弦引入方法探索诸如 等角都是较为特殊的角，如何求它们的三角函数值？方法：1、计算器2、查表在实际生活及科研中必须要保证每一步计算都非常精确才能不会造成不必要的损失和后果！但是：如何求的精确值？分析：问题：由图可知：设建构数学 这种“算两次”的方法是一种重要的数学方法，也称做富比尼(G.．Fubini)原理． 注：1、公式中两边的符号正好相反（一正一负）2、式子右边同名三角函数相乘再加减，
且余弦在前正弦在后。数学应用例1 用两角和的（差）的余弦公式证明下列诱导公式：谢谢大家！章末质量评估(一)
(时间：120分钟 满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)
1．已知角α的终边在射线y＝－x (x>0)上，则2sin α＋cos α的值是________．
解析 由题知，角α在第四象限，且tan α＝－
∴＝－，又sin2α＋cos2α＝1，
解得sin α＝－，cos α＝，
∴2sin α＋cos α＝－.
答案 －
2．如果点P(sin θ·cos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是__________．
解析 由知sin θ>0，且cos θ<0，
∴θ是第二象限角．
答案 第二象限
3．(2010·上海春季高考)函数y＝sin 2x的最小正周期T＝________.
解析 由周期公式得T＝＝＝π.
答案 π
4．已知sin(2π－α)＝，α∈，则＝________.
解析 由sin(2π－α)＝－sin α＝
∴sin α＝－，又α∈，
∴cos α＝，
∴＝＝.
答案
5．把函数y＝sin的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，所得函数的解析式为________．
解析 y＝sin向右平移个单位得y＝sin3－＝sin即y＝－sin3x－，再将横坐标缩短为原来的，得y＝－sin.
答案 y＝－sin
6．函数y＝cos2x－3cos x＋2的最小值为________．
解析 y＝2－，又cos x∈[－1,1]，
∴当cos x＝1时，ymin＝0.
答案 0
7．函数y＝lg(cos x－sin x)的定义域是________．
解析 由cos x>sin x，结合图象知2kπ－π答案 k∈Z
8．已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，－π≤φ<π)的图象如下图所示，则φ＝________.
解析 由图象知函数y＝sin(ωx＋φ)的周期为T＝2＝，所以＝，得到ω＝.所以y＝sin，从图中可知，点是“五点法”中的第四点，所以×＋φ＝，解得φ＝.
答案
9．关于x的函数f(x)＝tan(x＋φ)有以下说法：
(1)对任意的φ，f(x)既不是奇函数也不是偶函数；
(2)不存在φ，使f(x)既是奇函数，又是偶函数；
(3)存在φ，使f(x)是奇函数；
(4)对任意的φ，f(x)都不是偶函数．
其中不正确的说法的序号是________．因为当φ＝________时，该说法的结论不成立．
答案 ① kπ
10．若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0，ω≠0)为奇函数，则φ的取值集合是________．
解析 由f(0)＝0，得sin φ＝0，φ＝kπ，k∈Z.
答案 {φ|φ＝kπ，k∈Z}
11．下列三角函数①sin；②cos；
③sin；④cos；
⑤sin.(n∈Z)其中与sin数值相同的是________．
解析 ①sin＝
②cos＝cos＝sin；
③sin＝sin ；
④cos＝cos＝－sin；
⑤sin＝sin，故②③⑤正确．
答案 ②③⑤
12．函数y＝cos的最小值是________．
解析 x∈，则 x－∈
当x－＝时，即当x＝π时，ymin＝0.
答案 0
13．已知函数f(x)＝πsin，如果存在实数x1、x2，使得对任意的实数x，都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是________．
解析 f(x)＝πsin，则当x2＝8kπ＋2π时，f(x)max＝π；
当x1＝8kπ－2π时，f(x)min＝－π；
∴|x1－x2|min＝4π.
答案 4π
14．函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的最大值为3，对称轴是直线x＝.要使图象的解析式为y＝3sin，下列给出的条件中________都适合．
①周期T＝π；②图象经过点；③图象与x轴的两个相邻交点的距离为；
④图象的对称中心到最近的对称轴的距离为.
解析 将所给的四个条件进行检验，①②③符合条件；④不符合条件．
答案 ①②③
二、解答题(本大题共6小题，共90分)
15．(本小题满分14分)已知＝－1，求下列各式的值：
(1)；
(2)sin2α＋sin αcos α＋2.
解 由已知得tan α＝，
(1)＝＝＝－.
(2)sin2α＋sin αcos α＋2
＝sin2α＋sin αcos α＋2(cos2α＋sin2α)
＝
＝＝＝.
16．(本小题满分14分)化简：
(k∈Z)．
解 对参数k分为奇数、偶数讨论．
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
原式＝
＝＝＝－1；
当k＝2n(n∈Z)时，
原式＝
＝＝－1；
所以＝－1.
17．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R的周期为π，且图象上一个最低点为M.
(1)求f(x)的解析式；
(2)当x∈，求f(x)的最值．
解 (1)由函数f(x)图象上的一个最低点为M，得A＝2.由周期T＝π，得ω＝＝＝2.
由点M在图象上，得2sin＝－2，
即sin＝－1，所以＋φ＝2kπ－(k∈Z)，
故φ＝2kπ－(k∈Z)，又φ∈，
所以φ＝.
所以函数的解析式为f(x)＝2sin.
(2)因为x∈，所以2x＋∈，
所以当2x＋＝，即x＝0时，函数f(x)取得最小值1；当2x＋＝，即x＝时，函数f(x)取得最大值.
18．(本小题满分16分)已知tan α，是关于x的方程x2－kx＋k2－3＝0的两实根，且3π<α<π，求cos(3π－α)－sin(π＋α)的值．
解 由已知得tan α·＝k2－3＝1，
所以k＝±2.又3π<α<π，
所以tan α>0，>0，
于是tan α＋＝k>0，
从而k＝2(k＝－2应舍去)．
进而由tan α·＝1及tan α＋＝2
可得tan α＝＝1.
所以sin α＝cos α＝－.
故cos(3π－α)－sin(π＋α)＝－cos α＋sin α＝0.
19．(本小题满分16分)函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)的一段图象如右图所示．
(1)求函数f1(x)的解析式；
(2)将函数y＝f1(x)的图象向右平移个单位，得函数y＝f2(x)的图象，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合．
解 (1)由图象知A＝2，T＝2＝π，∴ω＝2，
∴f1(x)＝2sin(2x＋φ)．
又当x＝－时，2×＋φ＝0，
即φ＝，∴f1(x)＝2sin.
(2)由题意f2(x)＝2sin＝2sin.当2x－＝2kπ＋，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f2(x)取得最大值2，此时x的集合为
20．(本小题满分16分)如右图所示，函数y＝2cos(ωx＋θ)x∈R，ω>0，0≤θ≤的图象与y轴交于点，且该函数的最小正周期为π.
(1)求θ和ω的值；
(2)已知点A，点P是该函数图象上一点，点Q(x0，y0)是PA的中点，当y0＝，x0∈时，求x0的值．
解 (1)将x＝0，y＝代入函数y＝2cos(ωx＋θ)中，
得cos θ＝，
因为0≤θ≤，所以θ＝.
由已知T＝π，且ω>0，得ω＝＝＝2.
(2)因为点A，Q(x0，y0)是PA的中点，
y0＝，所以点P的坐标为.
又因为点P在y＝2cos的图象上，
且≤x0≤π，
所以cos＝，且≤4x0－≤，
从而得4x0－＝，或4x0－＝，即x0＝，
或x0＝.
三角函数单元检测题
选择题（每题3分，共54分）
1、若点P在的终边上，且OP=2，则点P的坐标（ ）
A． B． C． D．
2、已知（ ）
A． B． C． D．
3、已知（ ）
A． B． C． D．
4、设的值是（ ）
A． B． C． D．
5、的值等于( )
A． B． C． D．
6、函数( )
A．周期为的奇函数 B．周期为的偶函数C．周期为的奇函数 D．周期为的偶函数
7． 是的 ( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
8． 已知函数的最小正周期为，则该函数的图象
A．关于直线对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于直线对称
9．将的图象按向量平移，则平移后所得图象的解析式为（ ）
Ａ．Ｂ． Ｃ． Ｄ．
10．函数的最小正周期和最大值分别为（ ）
A． ， B．， C．， D．，
11．若函数，（其中，）
的最小正周期是，且，则（ ）
A． B． C． D．
12．函数在区间的简图是（ ）
二、填空题（每题3分，共15分）
13、函数
14、的形状为
15、函数的单调递增区间是__________
16、某时钟的秒针端点到中心点的距离为，秒针均匀地绕点旋转，
当时间时，点与钟面上标的点重合，将两点的距离
表示成的函数，则________________，其中。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
三、解答题（第24、25两题每题7分，第26题8分，第27题9分，共31分）
17、已知
18、化简
19、已知函数在同一周期内有最高点和最低点，求此函数的解析式
20.已知函数R.
(I)求函数的最小正周期；
(II)求函数在区间上的最小值和最大值.
21.已知0＜＜的最小正周期，=（tan（+），-1），
=（cos，2），且=m，求.
22.在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
答案
一、
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
D
C
D
A
A
C
A
B
C
A
二、13、－5 14、钝角三角形 15、16、解： t秒后转过的弧度为，过O作AB作高，三角形OAB为等腰三角形，
所以d＝2×5sin＝.
三、17、
18、原式=
19、由题意知：
所求函数的解析式为
20. 【分析】.
因此，函数的最小正周期为.
(II)解法一：因为在区间上为增函数，
在区间上为减函数，
又
故函数在区间上的最大值为最小值为.
解法二：作函数在长度为一个周期的区间上的图象如下：
由图象得函数在区间上
的最大值为最小值为.
【考点】本小题考查三角函数中的诱导公式、特殊角三角函数值、两角差公式、
倍角公式、函数的性质等基础知识，考查基本运算能力.
21.已知0＜＜的最小正周期，=（tan（+），-1），
=（cos，2），且=m，求.
解： 因为为的最小正周期，故．
因，又．故．
由于，所以
22.在中，已知内角，边．设内角，周长为．
（1）求函数的解析式和定义域；
（2）求的最大值．
解：（1）的内角和，由
得．应用正弦定理，知
，
．
因为，
所以，
（2）因为
，
所以，当，即时，取得最大值．
三角函数复习讲义（1）
两角和与差的三角函数
一、复习要点：
1．主要内容：同角三角函数的基本关系式，诱导公式，和角（差角）公式，倍角公式。
2．主要题型：化简、求值、证明。
3．方法要点：化简、求值、证明常涉及三个方面的变形：角、函数名称、运算方式，关键是角的处理。常用的变形措施有：负角化正，大角化小，切割化弦，化异为同，降高为低，引进辅助角，“”的变换，和差配凑等。对于给式求值的问题，要针对目标运用条件；对于证明问题，消除条件和结论的差异，即为成功。要求不仅熟悉公式、活用公式，还要善于观察、辨析差异，根据题意选取适当的方法。
二、基础训练：
1．已知，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
2．设是三角形中的最小角，且，则的取值范围是 ．
3．化简，其结果为 （ ）
A． B． C． D．
4．在中，，且，则的大小为 （ ）
A． B． C．或 D．或
5．已知，且，则角是第 象限角。
6．若和都是锐角，且，，则的值是 ，的值是 ．
7．已知，，则的值是 ．
三、例题分析：
例1．求值：。
例2．设是锐角，且，，求证：成等差数列。
例3．是否存在锐角和，使得，同时成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由。
四、课后作业：
1．设，，，则有 （ ）
A． B． C． D．
2．若，则的最大值是 最小值是 ．
3．函数的最小正周期是 （ ）
A． B． C． D．
4．若和都是锐角，且，则与的大小关系是 ．
5．若，则的值是 ．
6．若和都是锐角，且，则的值是 ．
7．若，则的值是 （ ）
． ． ． ．
8．计算：．
9．已知，且满足，
（1）求证：；
（2）求证：；
（3）将表示成的函数关系式。
10．已知：其中不同时为零，
求证：．
三角函数复习讲义（2）
三角函数的图象和性质
一、复习要点：
1．主要内容：正弦、余弦、正切函数的图象和性质（定义域、值域、周期、奇偶性、单调区间），函数的图象和图象变换，已知三角函数值求角。
2．主要题型：求三角函数的定义域、值域、周期，判断奇偶性，求单调区间，利用单调性比较大小，图象的平移和伸缩，图象的对称轴和对称中心，利用图象解题，根据图象求解析式，已知三角函数值求角。
3．常用方法：
（1）求三角函数的值域、最值：利用正弦、余弦函数的有界性，通过变换转化为代数最值问题；
（2）求周期：将函数式化为一个三角函数的一次方的形式，再利用公式，利用图象判断。
二、基础训练：
1．将函数的图象向右平移个单位后再作关于轴对称的曲线，得到函数的图象，则可以是 （ ）
A． B． C． D．
2．函数图象的一条对称轴是直线，则常数与满足（ ）
A． B． C． D．
3．如果、，且，那么必有 （ ）
A． B． C． D．
4．函数，给出下列四个命题，其中正确的是 （ ）
A．的值域为
B．是以为周期的周期函数
C．当且仅当时取得最大值
D．当且仅当时
5．函数的最小正周期是 ．
6．如果、、均为锐角，，，，则从小到大的顺序为 ．
7．设甲：“”，乙：“”，则甲是乙的 条件。
三、例题分析：
例1 已知函数，求的定义域，判断它的奇偶性，并求其值域。
例2 若的最小值为 ，
（1）求的表达式；
（2）求使的的值，并求当取此值时的最大值。
四、课后作业：
1．给出下列命题：
①存在实数，使成立；
②存在实数，使成立；
③函数是偶函数；
④直线是函数的图象的一条对称轴；
⑤若和都是第一象限角，且，则．
其中真命题的序号是 （把你认为是真命题的序号都填上）．
2．函数的图象的一条对称轴方程是（ ）
A． B． C． D．
3．如果，且，则可以是 （ ）
A． B． C． D．
4．要得到的图象，只需将函数的图象 （ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向左平移个单位 D．向右平移个单位
5．若是周期为的奇函数，则可以是 （ ）
A． B． C． D．
6．函数的一个单调递增区间是 （ ）
A． B． C． D．
7．已知以及均为锐角，，那么的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
8．函数是奇函数，且当时，，则当时， 等于 ．
9．已知函数，
（1）求的最小正周期；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的递增区间。
10．已知函数的图象与轴交于点，它在轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为，，
（1）求函数的解析式；
（2）用“五点法”作出此函数在一个周期内的图象，并说明它是由函数的图象依次经过哪些变换而得到的。
三角函数阶段复习
一、课题：三角函数阶段复习
二、教学目标：1.复习巩固三角函数的定义、定义域；
2.进一步理解三角函数的符号与角的终边所在位置的关系；
3.进一步掌握三角函数的基本关系式（五个），并能熟练应用关系式解题。
三、基础训练：
1．已知角的终边过点，则 ， ．
2．若是第四象限角，则是第 象限角，是第 象限角。
3．若，且为二、三象限角，则的取值范围是 ．
4．已知，则 ．
5．已知集合，，
，
则这三个集合之间的关系为 （ ）
四、例题分析：
例1 求值：．
例2 已知，且，求（1）角的集合；（2）、终边所在的象限；（3）试判断，，的符号。
例3 化简：（1）；
（2）（）
例4 证明：（1）；
（2）已知，求证：．
五、课后作业：
1．已知是第二象限角，则 ．
2．若是三角形的内角，且，则此三角形一定是 （ ）
等边三角形 直角三角形 锐角三角形 钝角三角形
3．若，则角的取值范围是 ．
求证：（1）；
（2）．
已知，，其中，求满足条件的实数的取值的集合。
已知，求的值。
本章复习与小结
三角函数
一、三角函数的基本概念
1.角的概念的推广
(1)角的分类:正角(逆转) 负角(顺转) 零角(不转)
(2)终边相同角:
(3)直角坐标系中的象限角与坐标轴上的角.
2.角的度量
(1)角度制与弧度制的概念
(2)换算关系:
(3)弧长公式: 扇形面积公式:
3.任意角的三角函数
注:三角函数值的符号规律“一正全、二正弦、三双切、四余弦”
二、同角三角函数的关系式及诱导公式
（一）诱导公式：
与的三角函数关系是“立变平不变，符号看象限”。如：
等。
（二）同角三角函数的基本关系式：
①平方关系；
②商式关系；
③倒数关系；。
关于公式的深化
；；
如：；
注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为~角的三角函数。
2、主要用途：
已知一个角的三角函数值，求此角的其他三角函数值（①要注意题设中角的范围，②用三角函数的定义求解会更方便）；
化简同角三角函数式；
三、三角函数的性质
y=sinx
y=cosx
y=tanx
y=cotx
图象
定义域
x∈R
x∈R
x≠kπ+(k∈Z)
x≠kπ(k∈Z)
值域
y∈[－1,1]
y∈[－1,1]
y∈R
y∈R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
奇函数
单调性
在区间[2kπ－,2kπ+]上都是增函数
在区间[2kπ+，
2kπ+]上都是减函数
在区间[2kπ－2kπ]上都是增函数
在区间[2kπ，2kπ+π]上都是减函数
在每一个开区间
(kπ－, kπ+)
内都是增函数
在每一个开区间
（kπ,kπ+π）内都是减函数
周期
T=2π
T=2π
T=π
T=π
对称轴
无
无
对称
中心
基础题型归类
1.运用诱导公式化简与求值：
要求：掌握,,,,,等诱导公式. 记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限.
例1.求值：
练1 （1）若cos(π+α)=，<α<2π, 则sin(2π－α)等于 .
（2）若，那么的值为 .
（3）(π)的值为 .
2.运用同角关系化简与求值：
要求：掌握同角二式（,），并能灵活运用. 方法：平方法、切弦互化.
例2 （1）化简； （2）已知, 且, 求的值.
练2 （1）已知，且＜α＜，则的值为 .
（2）已知=3, 计算：（i）； （ii）.
3.运用单位圆及三角函数线：
要求：掌握三角函数线，利用它解简单的三角方程与三角不等式. 方法：数形结合.
例5 （1）已知，则、、的大小顺序为 .
（2）函数的定义域为 .
练5 （1）若, 则角α的取值集合为____________.
（2）在区间（0，2）内，使成立的的取值范围 .
4.弧度制与扇形弧长、面积公式：
要求：掌握扇形的弧长与面积计算公式，掌握弧度制. 方法：方程思想.
例6 某扇形的面积为1，它的周长为4，那么该扇形圆心角的弧度数为 .
练6 （1）终边在直线上的所有角的集合为 ，其中在－2π～2π间的角有 .
（2）若α为第三象限角，那么－α，、2α为第几象限的角?
5.三角函数的定义、定义域与值域：
要求：掌握三角函数定义（单位圆、终边上点），能求定义域与值域. 方法：定义法、数形结合、整体.
例7角α的终边过点P（－8m，－6cos60°）且cosα=－，则m的值是 .
练7 （1）函数的定义域为____________.
（2）把函数的图像上各点的横坐标变为原来的，再把所得图像向右平移，得到 .
6.三角函数的图象与性质：
要求：掌握五点法作图、给图求式，由图象研究性质. 方法：五点法、待定系数法、数形结合、整体.
例8 （1）已知函数.求的最小正周期、定义域、单调区间.
（2）已知函数. （i）求此函数的周期，用“五点法”作出其在长度为一个周期的闭区间上的简图. （ii）求此函数的最小值及取最小值时相应的值的集合
练8 （1）函数最高点的坐标是，由最高点运动到相邻的最低点时，函数图象与轴的交点坐标是(4，0)，则函数的表达式是 .
（2）如图，它表示电流在一个周期内的图象. 则其解析式为 .
（3）函数的单调减区间为 .
（4）函数的图象和直线y=2所围成的封闭图形的面积为 .
（5）画出函数，∈R的简图. 并有图象研究单调区间、对称轴、对称中心.
7.三角函数的应用
（1）某港口水深（米）是时间（0≤≤24，单位：小时）函数，记为，下面是某日水深数据：
t（时）
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
10.0
13.0
9.9
7.0
10.0
13.0
10.1
7.0
10.0
经过长期观察，的曲线可以近似看成y=Asint+b的图象.
（i）根据以上数据求出的近似表达式；
（ii）船底离海底5米或者5米以上是安全的，某船的吃水深度为6.5米（船底离水面距离），如果此船在凌晨4点进港，希望在同一天安全出港，那么此船最多在港口停留多少时间？（忽略进出时间）.
（2）如图，表示电流强度I与时间的关系式在一个周期内的图象.根据图象得到的一个解析式是 .
t(时)
0
3
6
9
12
15
18
21
24
y（米）
1.5
1.0
0.5
1.0
1.5
1.0
0.5
0.99
1.5
（3）已知某海滨浴场的海浪高度（米）是时间（0≤t≤24，单位：小时）的函数，经过长期的观察，该函数的图象可以近似地看成. 下表是测得的某日各时的浪高数据：
依规定，当浪高不低于1米时浴场才开放，试安排白天内开放浴场的具体时间段.
(时间：120分钟；满分：160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，把答案填在题中横线上)
1．角α，β的终边关于x轴对称，若α＝30°，则β＝________.
解析：画出图形可知β与－α的终边相同，故β＝－30°＋k·360°(k∈Z)．
答案：－30°＋k·360°(k∈Z)
2．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2则扇形的圆心角的弧度数是________．
解析：设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，则解得或∴α＝4或α＝1.
答案：1或4
3．已知sinθ＝，cosθ＝，其中＜θ＜π，则tanθ的值为________．
解析：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴()2＋()2＝1，解得m＝0，或m＝8.又＜θ＜π，∴sinθ＞0.当m＝0时，sinθ＝－，不符合题意；当m＝8时，sinθ＝，cosθ＝－.
∴tanθ＝－.
答案：－
4．已知P(－，m)为角α的终边上的一点，且sinα＝，则m的值为________．
解析：r＝|OP|＝，∴sinα＝＝＝，解得m＝±.∵sinα＝＞0，∴m＞0，∴m＝.
答案：
5．已知tan(3π－α)＝2，则的值为________．
解析：∵tan(3π－α)＝2，∴tanα＝－2，∴原式＝＝＝＝.
答案：
6．已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值为________．
解析：∵cos31°＝m，∴sin31°＝，∵sin239°tan149°＝sin(270°－31°)·tan(180°－31°)＝(－cos31°)·(－tan31°)＝.
答案：
7．函数f(x)＝tanωx(ω＞0)的图象中相邻两支截直线y＝所得的线段长为，则f()的值是________．
解析：由题意知T＝，所以ω＝4，所以f(x)＝tan4x，所以f()＝tanπ＝0.
答案：0
8．函数f(x)＝()|cosx|在[－π，π]上的单调递减区间为________．
解析：只需求出y＝|cosx|在[－π，π]上的单调递增区间．
答案：[－，0]和[，π]
9．(2010年高考湖北卷改编)函数f(x)＝sin(－)，x∈R的最小正周期为________．
解析：因为T＝，ω＝，所以T＝＝4π.
答案：4π
10．(2010年高考重庆卷改编)下列函数中，周期为π，且在[，]上为减函数的是________(填序号)．
①y＝sin(2x＋)； ②y＝cos(2x＋)；
③y＝sin(x＋); ④y＝cos(x＋)．
解析：因为函数的周期为π，所以排除③④，又因为y＝cos(2x＋)＝－sin2x在[，]上为增函数，所以②不符合，只有函数y＝sin(2x＋)的周期为π，且在[，]上为减函数．
答案：①
11．(2010年高考四川卷改编)将函数y＝sinx的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式为________．
解析：y＝sinxy＝sin(x－)y＝sin(x－)．
答案：y＝sin(x－)
12．设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋)＋2的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是________．
解析：由函数的图象向右平移π个单位后与原图象重合，得π是此函数周期的整数倍．又ω＞0，∴·k＝π(k∈Z)，∴ω＝k(k∈Z)，∴ωmin＝.
答案：
13．设函数y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0，|φ|＜)的图象的最大值是3，对称轴方程是x＝，要使图象的解析式为y＝3sin(2x＋)，还应给出一个条件是________．
解析：当T＝π时，ω＝2，y＝3sin(2x＋φ)，当x＝时，
y＝3sin(2×＋φ)＝3，φ＋＝kπ＋，k∈Z，则φ＝kπ＋，k∈Z.∵|φ|＜π＋，∴φ＝π＋.
答案：T＝π
14．已知函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数(0＜θ＜π)，其图象与直线y＝2的交点的横坐标为x1、x2，若|x1－x2|的最小值为π，则ω＝________，θ＝________.
解析：由已知T＝π，∴ω＝2，θ＝kπ＋(k∈Z)．
答案：2
二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(本小题满分14分)已知角x的终边过点P(1，)．
(1)求sin(π－x)－sin(＋x)的值；
(2)写出角x的集合S.
解：(1)∵角x的终边过点P(1，)，∴可设x＝1，y＝，则r＝2，∴sinx＝，cosx＝，∴sin(π－x)－sin(＋x)＝sinx－cosx＝.
(2)由(1)知sinx＝，∴x＝2kπ＋，
∴S＝{x|x＝2kπ＋，k∈Z}．
16．(本小题满分14分)已知α是第三象限角，且f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝＝－cosα.
(2)∵cos(α－)＝cos(－3·＋α)＝－sinα＝，
∴sinα＝－，cosα＝－ ＝－，
∴f(α)＝.
17．(本小题满分14分)已知f(x)＝sin(2x＋)＋，x∈R.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间；
(2)函数f(x)的图象可以由函数y＝sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到？
解：(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z) 得到kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所求单调增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．
(2)变换如下：
y＝sin2xy＝sin[2(x＋)]
y＝sin(2x＋)＋
18．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝1＋sin(2x－)，
(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值；
(2)画出函数y＝f(x)在区间[－，]上的图象．
解：(1)函数f(x)的最小正周期为T＝＝π，当sin(2x－)＝1时，f(x)取得最大值1＋.
(2)由(1)知：
x
－
－
y
1
1－
1
1＋
1
故函数y＝f(x)在区间[－，]上的图象如图所示．
19．(本小题满分16分)(2011年杭州高一检测)函数f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜)的一段图象过点(0,1)，如图所示．
(1)求函数f1(x)的表达式；
(2)将函数y＝f1(x)的图象向右平移个单位，得到函数y＝f2(x)的图象，求y＝f2(x)的最大值，并求出此时自变量x的取值．
解：(1)由图知，T＝π，于是ω＝＝2.将y＝Asin2x的图象向左平移，得y＝Asin(2x＋φ) 的图象，于是φ＝2·＝.将(0,1)代入y＝Asin(2x＋)，得A＝2.故f1(x)＝2sin(2x＋)．
(2)依题意，f2(x)＝2sin[2(x－)＋]＝－2cos(2x＋)，当2x＋＝2kπ＋π，即x＝kπ＋(k∈Z) 时，ymax＝2.此时x的取值为{x|x＝kπ＋，k∈Z}．
20．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，且ω＞0,0＜φ＜)的部分图象如图所示．
(1)求A，ω，φ的值；
(2)若方程f(x)＝a在(0，)上有两个不同的实根，试求a的取值范围．
解：(1) 由图象易知A＝1，函数f(x)的周期为T＝4×(－)＝2π，∴ω＝1，
∵π－＝，
∴ 此函数的图象是由y＝sinx的图象沿x轴向左平移个单位长度得到的，故φ＝.
(2)由(1)知函数解析式为f(x)＝sin(x＋)．
∴方程f(x)＝a在(0，)上有两个不同的实根等价于y＝f(x)，x∈(0，π)与y＝a有两个交点．
当x＝0时，f(x)＝，
∴ a∈(，1)时，y＝a与y＝f(x)有两个交点；
当x＝π时，f(x)＝0，
∴a∈(－1,0)时，y＝a与y＝f(x)也有两个交点，
故所求a∈(，1)∪(－1,0)．
