课件25张PPT。平面向量的概念及表示
教学目标：
1. 知识与技能目标
了解向量的实际背景，掌握向量的有关概念及几何表示。
2. 过程与方法目标：
通过解决实际问题，提高依据具体问题背景分析问题、解决问题的能力。
3. 情感、态度与价值观目标：
体会数学在生活中重要作用，培养严谨的思维习惯。
引例 美国“小鹰”号航空母舰导弹发射处获得信息：伊拉克的军事目标距“小鹰”号1200公里。试问只知道这一信息导弹是否能击中目标？??? 答案：不能，因为没有给定发射的方向. 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
力：重力，浮力，弹力等1kg12N许多物理量都有这样的性质．．．向 量（一）向量的概念 定义：既有大小又有方向的量叫向量。2.向量与数量的区别：①数量只有大小 ②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小的，因此向量不能比较大小。注：1.向量两要素：大小，方向，可以比较大小。友情链接：物理中向量与数量分别叫做矢量、标量2．温度含零上和零下温度，所以温度是向量（ ）3.坐标平面上的 x 轴和 y 轴都是向量。( ) ×××(二）向量的表示方法 答：有向线段——具有方向的线段有向线段三要素：问：什么是有向线段？1、几何表示法： 用有向线段表示 。起点、2、字母表示法：或 （印刷用黑体）等。方向、长度思考：有向线段就是向量，向量就是有 向线段？ 有向线段只是一个几何图形，是 向量直观表示作图 第二次龟兔赛跑：兔子因为贪玩而忘记了两点之间线段最短，走了弯路。但聪明的乌龟由起点A向东南方向前进100米直达终点B。乌龟再次获胜。 请用有向线段表示下列向量 （1）乌龟的位移 （用1cm表示50m) （2）1千克乌龟所受的重力。(用1cm长度表示5N)解：（三）向量的模及两个特殊向量注：向量的模是可以比较大小的记作：如：?向量 的模(或长度)就是向量 的大小两个特殊向量1.零向量: 2.单位向量:长度（模）为1个单位长度 的向量长度（模）为0的向量，记作规定： 方向是任意的。 把所有单位向量的起点平移到同一起点P,向量的终点的集
合是什么图形?思考：是以P点为圆心，以1个单位长为半径的圆。例1 如图，试根据图中的比例尺以及三地的位置，在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移,并求出A地至B、C两地的距离（精确到1km).解： 表示Ａ地至Ｂ地
的位移，且 232km 表示Ａ地至C地的
位移，且 296k m向量不能比较大小，但可以说相等不相等1.相等向量：向量 与 相等，记作：向量可以自由平移(四）向量间的关系长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。①规定：零向量与任一向量平行记作： // // 2.平行向量：方向 或 的非零向量如下图： 平行相同相反②平行向量也叫共线向量 a与b共线，b 与c 共线， 则a 与 c 共线。练习：判断下列命题的真假，并注意体会它们之间的联系与不同
⑴若a∥b，则a=b（ ）
⑵若│a│=│b│则a=b（ ）
⑶若│a│=│b│则a∥b（ ）
⑷若a=b，则│a│=│b│（ ）
×××√ 【例1】:如图，设O是正六边形的中心，分别写出图中与向量 、 、 相等的向量。例题精析解：3.与向量 共线的向量有哪些？2.是否存在与向量 长度相等、方向相反向量？1.与向量 长度相等的向量有多少个？变式训练11个例3．一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点,然后又改变方向向西偏北50度走了200公里到达C点,最后又改变方向,
向东行驶了100公里到达D点
1.做出向量
2.求(1)如图所示(2)由题意,易知 与 方向相反,故 与
共线,又 ,
所以在四边形ABCD中,AB∥CD且 AB=CD
所以四边形ABCD为平行四边形
所以 =200(公里)小结向量向量长度（或模）有向线段相等平行（共线）零向量单位向量作业必做:
习题2.1 A组1, 5, 6
选做:
在等腰梯形ABCD中,对角线AC,BD交于O,EF为过O点且 平行于AB的线段.
1.写出图中的各组共线向量
2.写出图中的各组相等向量
3.写出图中的各组同向向量
?
【高中数学苏教版必修4 】 2.1～2.2综合测试题
一、选择题
1．已知，，
，其中为非零向量，则下列命题中错误的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｂ
2．化简以下各式：
①；②；③；④．其结果为的个数是（ ）
Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4
答案：Ｄ
3．若，，，，则四边形是（ ）
Ａ．平行四边形 Ｂ．菱形 Ｃ．等腰梯形 Ｄ．直角梯形
答案：Ｃ
4．设是不共线向量，若向量与向量共线，则的值等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
答案：Ａ
5．若点是的重心，则下列向量中与共线的是（ ）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
答案：Ｃ
二、填空题
6．已知数轴上三点，其中点的坐标分别为，且，则 ，
点的坐标为 ．
答案： 9；4或8
7．在中，是边靠近点的三等分点，若，则 ．
答案：
8．是边长为1的正三角形，点是平面上任意一点，则 ．
答案：
三、解答题
9．是内一点，，试证为的重心．
证明：如图，延长到，
使，交于，
则．
而由，
有，
，
四边形为平行四边形．
平分，即所在的直线为的边上的中线．
同理可证，所在的直线分别为边上的中线．
为的重心．
10．已知，其中不共线，向量，问是否存在这样的实数，使与共线．
解：假设存在满足条件的，
则．
与共线，则存在实数，使．
即．
解得．
存在实数，满足时，与共线．
11．如图1，在中，，，与交于点，且，用表示．
解：如图1，由，，
有，．
三点共线，
设，
．
同理：由三点共线，可设，
．
解得
．
12．如图2所示，已知的两边的中点分别为，在的延长线上取点，使，在的延长线上取点，使．试证明：三点共线．
证明：如图2
．
同理可得，．
．
与平行且有公共点．
三点共线．
1．下列说法正确的是________(写出正确的所有序号)．
①数量可以比较大小，向量也可以比较大小．
②方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以比较大小．
③向量的大小与方向有关．
④向量的模可以比较大小．
答案 ④
2．下列对零向量的叙述错误的是________．
①零向量是没有方向的；②零向量的长度为0；③零向量与任一向量平行；④零向量的方向是任意的；⑤零向量可以用一个点表示．
解析 零向量不是没有方向，其方向是任意的，由于零向量的模是0，所以零向量是画不出来的，也就不能用一个点表示．
答案 ①⑤
3．若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1，其中正确的有________．
解析 a是非零向量，∴|a|>0.
b是单位向量，∴|b|＝1.
答案 ③
4．下列说法中错误的是________．
①向量的长度与向量的长度相等；
②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；
③两个有共同终点的向量，一定是共线向量；
④有向线段就是向量，向量就是有向线段．
解析 ①是正确的；②中a与b有一个为零向量，就不成立；③错；④错；可以用有向线段表示向量，但有向线段不一定是向量．
答案 ②③④
5．下列说法正确的有________．(填序号)
①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．
解析 相等向量不仅方向相同，大小也相等，①错；②正确，④错误；共线向量不一定在同一条直线上，故③错；⑤正确；⑥平行向量方向也可相反．
答案 ②⑤
6．如图所示，四边形ABCD与ABDE都是菱形，并标出了5个向量．
(1)写出图中标出的与向量相等的所有向量；
(2)写出图中标出的与向量的模相等的所有向量．
解 (1)因为四边形ABCD与ABDE都是菱形，所以图中标出的与向量相等的所有向量是和.
(2)因为四边形ABCD与ABDE都是菱形，所以图中标出的与向量的模相等的所有向量是和以及和.
7．下图中，小正方形的边长为1，则||＝____________；
||＝________；||＝________.
解析 ||表示一个边长为3的正方形的对角线长．
∴||＝3，||＝＝.||＝2.
答案 3 2
8．给出下列六个命题：
①若|a|＝0，则a＝0；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③若a∥b，则|a|＝|b|；④若a＝0，则－a＝0；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥若＝，则ABCD是平行四边形，其中正确的命题是________．
解析 |a|＝0，则a＝0，故①错；②中|a|＝|b|，则a与b的方向不确定；③错，两向量a∥b，则两向量的方向相同或相反，④正确；⑤中若b＝0，则不成立；⑥若A、B、C、D共线，则不成立．
答案 ④
9．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________．
解析 因为a＝b?a∥b，即①能够使a∥b成立；由于|a|＝|b|并没有确定a与b的方向，即②不能够使a∥b成立；因为a与b方向相反时，a∥b，即③能够使a∥b成立；因为零向量与任意向量共线，所以|a|＝0或|b|＝0时，a∥b能够成立．故使a∥b成立的条件是①③④.
答案 ①③④
10．已知三角形ABC是等腰三角形，AB、AC为腰，则向量与的关系是________．
解析 因为AB、AC是等腰三角形的两腰，所以向量与的关系是||＝||.
答案 ||＝||
11．如图所示，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：
(1)分别写出与，相等的向量；
(2)写出与共线的向量；
(3)写出与的模相等的向量；
(4)向量与是否相等？
解 (1)＝，＝.
(2)与的共线的向量为：，，.
(3)与的模相等的向量有：，，，，，，.
(4)向量与不相等．因为它们的方向不相同．
12．一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向向北偏西40°走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点．
(1)作出向量、、； (2)求||.
解 (1)向量、、如图所示：
(2)由题意，易知与方向相反，故与共线，又||＝||，∴在四边形ABCD中，AB綉CD，∴四边形ABCD为平行四边形．
∴＝，∴||＝||＝200 km.
13．(创新拓展)如图所示，A1、A2、…、A8是⊙O上的八个等分点，则在以A1、A2、…、A8及O点九个点中任意两点为起点与终点的向量中，
(1)模等于半径的向量有多少个？
(2)模等于半径的倍的向量有多少个？
解 (1)模等于半径的向量只有两类，
一类是 (i＝1、2、…、8)共8个；
另一类是(i＝1、2、…、8)也有8个．两类合计16个．
(2)以A1、A2…A8为顶点的⊙O的内接正方形有两个，一个是正方形A1A3A5A7；另一个是正方形A2A4A6A8.在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边(看成有向线段，每一边对应两个向量)的长度为半径的倍．所以模为半径倍的向量共有4×2×2＝16(个)．
课件28张PPT。单击此处进入 活页规范训练课件16张PPT。想一想：位移和距离这两个量有什么不同？o2000米1500米位移既有大小又有方向
距离只有大小没有方向向量的概念及表示生活中有向量 生活中用向量阅读课本 P57－58完成下列问题:既有大小又有方向的量称为向量.1）几何表示；
2）字母表示；指向量的长度零向量单位向量平行向量共线向量相等向量相反向量变2： 的相反向量有几个？3个4个●●●●●●● 1、下列说法正确的是（ ）课堂练习C2、判断下列说法是否正确： 探究： 如图，以 方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？课堂小结：向 量课本P59习题 1，3，4；课后作业《数学作业本》P42作业17.
向量的表示方法：手写时写成:有向线段的长度表示向量的大小
箭头所指的方向表示向量的方向 几何表示法：用一条有向线段 来表示.字母表示法：用字母a、b、c(黑体字)或 来表示.2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量.零向量模为0，方向不确定.单位向量模为1，方向不一定相同.两个特殊向量：思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，
它们的终点的轨迹是什么图形？1、零向量：长度为 0 的向量. 记作 .平行向量：规定零向量与任一向量平行.两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.任意一组平行向量都可以平移到同一直线上共线向量：平行向量又称共线向量两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？相等向量：长度相等且方向相同的向量.相反向量:思考：课件17张PPT。向量的概念及表示据报道：我国用来发射“神舟六号”宇宙飞船推力约为2万牛,每个航天员的质量约为65kg，火箭进入轨道后的速度约为708km/s。上述力、质量、速度这些在生产生活中常见 的量我们如何用数学模型来刻画呢？这个数学模型又有些什么性质与用途呢？F=20NV =20km/h （2）（3）都是有大小和方向的量m=20kg(1)(2)(3)观察上述三个量有什么区别？向量的概念及表示：1.向量的定义：
2.向量的表示方法：
3.向量的大小：
记作：
4.两个特殊向量：
零向量：
单位向量：既有大小又有方向的量称为向量.（或称为 模 ）指向量的长度长度为0的向量称为~长度等于1个单位长度的向量，叫做~记作：1）几何表示；
2）代数表示；向量之间的关系：5.平行向量的定义：一组方向相同或相反的非零向量叫做~我们规定零向量与任一向量平行两向量的平行与平面几何里两线段的平行有什么区别？6.相等向量的定义：长度相等且方向相同的向量叫做~相反向量的定义：向量之间的关系：任意一组平行向量都可以平移到同一直线上向量之间的关系：7.共线向量与平行向量的关系：平行向量就是共线向量两向量的共线与平面几何里两线段的共线是否一样？
为什么？例1：已知O为正六边形ABCDEF的中心，
在图中所标出的向量中：解：概念辨析：×××××√×√ 合作探究：练习：1.向量的定义：
2.向量的表示方法：
3.向量的大小又称为：
4.两个特殊向量：
零向量：
单位向量：
5.平行向量的定义：
6.相等向量的定义
相反向量的定义：
7.共线向量与平行向量的关系：小 结：课后作业：研究作业：(1)
用有向线段表示；(2)
i)用有向线段的起点与终点字母来表示；ii)用小写的字母来表示；A（起点）B（终点）上述向量还可表示为：有向线段的长度表示向量的大小注意：起点一定要写在终点的前面几何表示：代数表示：箭头所指的方向表示向量的方向两个特殊向量：2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。零向量大小为0，方向不确定的.可以是任意方向.1单位向量大小为1，方向不一定相同。所以零向量只有一个，而单位向量可以有无数个思考：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，
它们的终点的轨迹是什么图形？有向线段：规定了方向（即规定了起点和终点）的线段称为~通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.A（起点）B（终点）如图：AB叫有向线段 我们现在所研究的向量，与起点位置无关.
所以数学中的向量也叫 自由向量用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。总 课 题
平面向量
总课时
第17课时
分 课 题
向量的概念及表示
分课时
第 1 课时
教学目标
了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示。理解零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量，相反向量的概念。
重点难点
向量的有关概念的理解，向量的正确表示方法。
?引入新课
问题1、位移和距离两个量有什么不同？
问题2、举例说明只有大小的量_________________________________________；
既有大小又有方向的量_________________________________________。
1、向量的概念（两要素）_________________________________________
2、如何表示向量？
3、__________________________________________________向量的模，
__________________________________________________叫零向量，
__________________________________________________叫单位向量。
4、_________________________________________平行向量
_________________________________________共线向量
_________________________________________相等向量
_________________________________________相反向量。
5、平面直角坐标系内，起点在坐标原点的单位向量，它们的终点的轨迹是__________。
?例题剖析
例1、如图，已知为正六边形的中心，在图中所标出的向量中：
（1）试找出与共线的向量；
（2）确定与相等的向量；
（3）与相等吗？
例2、如图，四边形与都是平行四边形。
（1）用有向线段表示与向量相等的向量；
（2）用有向线段表示与向量共线的向量。
例3、在如图中的的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？
?巩固练习
1、在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，________________________
_______________是数量,_________________________________________是向量.
2、在下列结论中，正确的是______________________________
（1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（3）若和都是单位向量，则； （4）两个相等向量的模相等。
3、设是正△的中心，则向量，，是（ ）
A、相等向量 B、模相等的向量 C、共线向量 D、共起点的向量
4、写出图中所示各向量的长度（小正方形的边长为）
?课堂小结
1、向量的概念及向量与有向线段的联系与区别。
2、向量的表示方法。3、平行向量，共线向量，相反向量，相等向量的概念。
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、下列说法中正确的是（ ）
A、具有方向的量就是向量 B、零向量没有方向
C、相等的向量一定是共线向量 D、单位向量都相等
2、已知是正方形对角线的交点，在以这5点中任一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：
（1）与相等的向量；（2）与长度相等的向量；（3）与共线的向量。
3、长度相等的向量是相等向量吗？相等向量是共线向量吗？平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量吗？请举例说明。
4、如图是正方形对角线的交点，四边形，都是正方形。在图中所示的向量中：
（1）分别写出与，相等的向量；
（2）写出与共线的向量；
（3）写出与的模相等的向量；
（4）向量与是否相等？
5、在如图所示的向量中（小正方形的边长为），是否存在：
（1）共线向量 （2）相反向量 （3）相等向量 （4）模相等的向量
若存在，分别写出这些向量。
二、提高题
6、如图，以方格纸中的格点为起点和终点的所有非零向量中，有多少种大小不同的模？有多少种不同的方向？
7、某人从点出发向西走米到达点，然后改变方向朝西北方向走米到达点，最后又向东走米到达点。
（1）按的比例作出向量，和；
（2）求。
三、能力题
8、设点为正八边形的中心，在以正八边形的顶点及点为起点或终点的向量中，分别写出与相等的向量。
1．下列各量是向量的是________．
①质量；②距离；③速度；④电流强度．
解析：①②④均无方向．
答案：③
2．下列结论中，正确的是________．(只填序号)
①零向量只有大小而没有方向；
②若a，b都是单位向量，则a＝b；
③对任一向量a，|a|＞0总是成立的；
④||＝||.
解析：对于①，零向量有方向且方向是任意的，故①不正确．对于②，有|a|＝|b|＝1，但a与b的方向未必一致，故②不正确．对于③，∵|0|0，∴对任一向量a，|a|≥0总成立，故③不正确．对于④，||，||分别与线段AB，BA的长度相等，且AB＝BA，故④正确．
答案：④
3．下列结论中，不正确的是________．(只填序号)
①向量，共线与向量∥的意义是相同的；
②若＝，则∥；
③若向量a，b满足|a|＝|b|，则a＝b；
④若向量＝，则向量＝.
解析：由共线向量、相等向量的定义知①②正确．对于④，当＝时，与的模相等且方向相同，这时与的模也相等且方向相同，故④正确．对于③，由|a|＝|b|不能得到向量a与b是同向的，故③不正确．
答案：③
4．如图所示，在?ABCD中，与a共线的向量有________．
答案：、、、
一、填空题
1. 如图所示，D，E，F分别是△ABC的三边AB，BC，AC的中点，则与向量相等的向量为________．
解析：大小相等、方向相同的向量才是相等向量．
答案：与
2．有两个人，同时从同一地点按相反的方向沿直线行走，若他们的速度相同，在某一时刻这两个人的位移分别为向量a，b，则这两个向量的模________，方向________，它们的关系是________．
解析：两人从同一地点按相反的方向沿直线行走，说明位移方向相反，又他们的速度相同，故在某一时刻两个人的位移向量具有相等的模，再由定义知这两个向量互为相反向量．
答案：相等 相反 互为相反向量
3．若a0是a的单位向量，则与a0的长度________．
解析：依题意，a是非零向量，是将a单位化．
答案：相等
4.
如图所示，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，且AB＝4，AD＝2，设＝a，＝b.图中的七个向量，，，，，，中：
(1)与a相等的向量有________；
(2)与b相等的向量有________；
(3)与a平行的向量有________；
(4)与b共线的向量有________；
(5)与b长度相等的向量有________．
答案：(1) (2) (3)， (4)，， (5)，，，，，
5.
如图所示，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．
(1)图中所标的向量中，与向量相等的向量有________；
(2)若||＝3，则向量的模等于________．
解析：(1)四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形，根据平行四边形的性质及向量相等的定义，可知＝，＝，∴＝.(2)由(1)中的分析可知＝＝.又E，D，C三点在同一条直线上，∴||＝||＋||＝2||＝6.
答案：(1)， (2)6
6．在四边形ABCD中，＝2，则四边形ABCD为________．
解析：在四边形ABCD中，∵＝2，∴∥，||＝2||，∴对边AB与CD平行且不相等，由梯形的定义知四边形ABCD为梯形．
答案：梯形
7. 设O是正方形ABCD的中心，则①＝；②∥；③与共线；④＝.其中，所有表示正确的序号为________．
解析：正方形的对角线互相平分，∴＝，①正确；与的方向相同，所以∥，②正确；与的方向相反，所以与共线，③正确；尽管||＝||，然而与的方向不相同，所以≠，④不正确．
答案：①②③
8．下列说法中正确的有________．
①物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量．
②温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量．
③方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
④坐标平面上的x轴和y轴都是向量．
答案：①③
二、解答题
9. 在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O，EF是过点O且平行于AB的线段，在所标的向量中：
(1)写出与共线的向量；
(2)写出与方向相同的向量；
(3)写出与，的模相等的向量；
(4)写出与相等的向量．
解：等腰梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，AD＝BC，
(1)图中与共线的向量有，，，.
(2)图中与方向相同的向量有，，，.
(3)图中与的模相等的向量为，与的模相等的向量为.
(4)图中与相等的向量为.
10．一架飞机从A点向西北飞行200 km到达B点，再从B点向东飞行100 km到达C点，最后从C点向南偏东60°飞行50 km到达D点，求飞机从D点飞回A点的位移．
解：
如图所示，由||＝200 km，＝100 km，
知C在A的正北100 km处．
又由||＝50 km，∠ACD＝60°，知∠CDA＝90°，
所以∠DAC＝30°，所以||＝50 km.
故的方向为南偏西30°，长度为50 km.
11. 如图所示菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为起点与终点的向量中．
(1)写出与平行的向量；
(2)写出与模相等的向量．
解：由题意可知，(1)与平行的向量有：，，；
(2)与模相等的向量有：，，，，，，，，.
第一课时 向量的概念及表示
教学目标：
理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量.
教学重点：
向量概念、相等向量概念、向量几何表示.
教学难点：
向量概念的理解.
教学过程：
Ⅰ.课题导入
在现实生活中，我们会遇到很多量，其中一些量在取定单位后用一个实数就可以表示出来，如长度、质量等.
还有一些量，如我们在物理中所学习的位移，是一个既有大小又有方向的量，这种量就是我们本章所要研究的向量.
向量是数学中的重要概念之一，向量和数一样也能进行运算，而且用向量的有关知识还能有效地解决数学、物理等学科中的很多问题，在这一章，我们将学习向量的概念、运算及其简单应用.
而这一节课，我们将学习向量的有关概念.
Ⅱ.讲授新课
这一节，大家通过自学来熟悉相关内容，然后我们通过概念辨析例题来检验大家自学的效果.
1.向量的概念：
(我们把既有大小又有方向的量叫向量)
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示；
②用字母a、b等表示；
③用有向线段的起点与终点字母：.
3.零向量、单位向量概念：
①长度为0的向量叫零向量，记作0；
②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.
说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向.
4.平行向量定义：
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定0与任一向量平行.
说明：(1)综合①、②才是平行向量的完整定义；
(2)向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.
5.相等向量定义：
长度相等且方向相同的向量叫相等向量.
说明：(1)向量a与b相等，记作a＝b；
(2)零向量与零向量相等；
(3)任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.
6.共线向量与平行向量关系：
平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
说明：(1)平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；
(2)共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.
［例1］判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.
①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；
②单位向量都相等；
③任一向量与它的相反向量不相等；
④四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝；
⑤模为0是一个向量方向不确定的充要条件；
⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同.
分析：①不正确.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量、在同一直线上.
②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.
③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.
④、⑤正确.
⑥不正确.如图，与共线，虽起点不同，但其终点却相同.
评述：本题考查基本概念，对于零向量、单位向量、平行向量、共线向量的概念特征及相互关系必须把握好.
［例2］下列命题正确的是 ( )
A.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点
C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量
D.有相同起点的两个非零向量不平行
分析：由于零向量与任一向量都共线，所以A不正确，由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B不正确.向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以D不正确.对于C，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应选C.
评述：对于有关向量基本概念的考查，可以从概念的特征入手，也可以从反面进行考虑，要启发学生注意这两方面的结合.
几点说明：
1.向量有三个要素：起点、方向、长度.
2.向量不能比较大小，但向量的长度(或模)可以比较大小
3.实数与向量不能相加减，但实数与向量可以相乘.
4.向量a与实数a.
5.零向量0与实数0
6.注意下列写法是错误的：
①a－a＝0; ②＋＋＝0;
③a＋0＝a; ④｜a｜－｜a｜＝0.
7.平行向量与相等向量
方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也即共线向量，并且规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫相等向量，规定零向量与零向量相等.
平行向量不一定相等，但相等向量一定是平行向量，即向量平行是向量相等的必要条件.
为巩固大家对向量有关概念的理解，我们进行下面的课堂训练.
Ⅲ.课堂练习
课本P59练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家能理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解零向量、单位向量、平行向量、相等向量等概念，并能进行简单的应用.
Ⅴ.课后作业
课本P59习题 1，2，3，4
