1．若＝a，＝b，则＝________.
答案 b－a
2.可以写成：①＋；②－；③－；④－.其中正确的是________．
解析 ＋＝，故①正确；②错；③－＝错；④正确．
答案 ①④
3．下列等式：①a＋b＝b＋a；②a－b＝b－a；③0 －a＝－a；④0 －(－a)＝a；⑤a＋(－a)＝0，其中一定成立的是________．
解析 因为减法不满足交换律，故②不一定成立．向量与其相反向量的和是零向量0，而不是数0，故⑤是不成立的．而①③④是成立的．
答案 ①③④
4．如图所示，则＝____________.(写出正确的所有序号)．
①a－b＋c ②b－(a＋c)
③a＋b＋c ④b－a＋c
解析 ＝＋＋＝－b＋a＋c.
答案 ①
5．若A、B、C、D是平面内任意四点，给出下列式子：①＋＝＋；②＋＝＋；③－＝＋.其中正确的有________．
解析 －＝－＝.故②正确；
＋＝＝＋
∴－＝－＝＋.故③正确．
答案 ②③
6．如图所示，D、E在线段BC上，且BD＝EC，
求证：＋＝＋.
证明 ∵－＝，
－＝，D、E在线段BC上，且BD＝EC，∴与大小相等，方向相同，
∴＝.∴－＝－，
即＋＝＋.
7．如图，已知O为平行四边形ABCD内一点，O＝a，O＝b，O＝c，则＝________.
解析 因为＝，＝－，＝－，
所以－＝－，＝－＋.
所以＝a－b＋c
答案 a－b＋c
8．设平面内有四边形ABCD和点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形ABCD的形状是________．
解析 由＋＝＋，即－＝－，∴＝，∴四边形ABCD是平行四边形．
答案 平行四边形
9．若||＝5，||＝8，则||的取值范围是________．
解析 ＝－，∴||＝|－|，||－||≤|－|≤||＋||，即3≤||≤13
答案 [3,13]
10．下列各式，其中运算结果必定为0的式子有________个．
答案 4
11．若G是△ABC的重心，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求＋＋.
解 取BG中点P，连续DP、PE，得?GDPE有＝2＝2(＋)＝－2，＝－
上面三式两端相加得＋＋＝0.
12．已知|a|＝5，|b|＝12.若|a＋b|＝|a－b|，求|a＋b|，|a－b|.
解 作＝a，＝b，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD.
由向量的加减法法则可知：
＝a＋b，＝a－b，
由于|a＋b|＝|a－b|
∴||＝||
所以ABCD是矩形，
于是|a＋b|＝|a－b|＝13.
13．(创新拓展)在平行四边形ABCD中，＝a，＝b，先用a，b表示向量和，并回答：当a，b分别满足什么条件时，四边形ABCD为矩形、菱形、正方形？
解 由向量加法的平行四边形法则，得＝a＋b，＝－＝a－b.
则有：当a，b满足|a＋b|＝|a－b|时，平行四边形两条对角线相等，四边形ABCD为矩形；
当a，b满足|a|＝|b|时，平行四边形的两条邻边相等，四边形ABCD为菱形；
当a，b满足|a＋b|＝|a－b|且|a|＝|b|时，
四边形ABCD为正方形．
课件23张PPT。【题后反思】 (1)向量减法的几何意义的主要作用是进行向量的合成或分解，特别是“向量分解”可使所有向量的起点相同，为后续运算带来方便．
(2)正确应用向量加减法的几何意义，把向量相等、平行、模的关系进行转化，在证明、运算中具有重要作用，尤其要注意平行四边形、菱形、矩形、正方形对角线的性质的应用．单击此处进入 活页规范训练课件8张PPT。2.2.2向量减法运算 及其几何意义学习目标:了解相反向量的概念；2.会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 相反向量
定义：
与 长度相同、方向相反的向量.记作 规定：零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与它的相反向量的和是零向量.
如果 互为相反向量，则
向量减法的定义 求两个向量差的运算叫做向量的减法. 在平面内取一点O，作 向量减法几何意义 同始点尾尾相接,指向被减向量例1、 解：在平面上取一点O，作 练习：平行四边形中， 解：由平行四边形法则得 小结：1、向量减法的定义及其几何意义 2、向量减法的作图法 课件16张PPT。向量的减法教学目标
（一）知识目标
1、 理解向量减法的概念，掌握向量的几何表示
2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律
（二）能力目标
在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明
（三）情感目标
通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识．
教学重点
向量的加减法的运算法则及其应用
教学难点
向量减法的概念的理解复习：1、向量加法运算法则：BAC三角形法则平行四边形法则2、向量加法的交换律：
结合律：引例：已知：两个力的合力为求：另一个力 其中一个力为 相反向量及其性质
与a长度相等,方向相反的向量,叫做a的相反向量。
记作-a，a和-a互为相反向量。规定：零向量的相反向量仍是零向量。
性质：-(-a)=a;
a+(-a)=(-a)+a=0;
若a、b是互为相反的向量，则有
a=-b,b=-a,a+b=0.
向量减法的定义： 向量a加上b相反向量，叫做a与b的差.
即：a ? b = a + (?b)
求两个向量差的运算叫做向量的减法CD例1①③④1、下列说法正确的是 ( )
A) 方向相同或相反的向量是平行向量.
B) 零向量是0 .
C)长度相等的向量叫做相等向量.
D) 共线向量是在一条直线上的向量.达标练习：4、 化简5.一艘船以 的速度和垂直于对岸的方向行驶，同时，河水的流速为 ，求船实际航行速度的大小与方向（用与流速间的夹角表示）． 课堂小结
1、向量减法的运算法则
2、在掌握向量加减法的基础上结合图形
进行向量的运算
课后作业：
课本 86页练习B 1、2、3
课件12张PPT。向量的减法复习回顾：
向量加法的三角形法则ACB一、向量减法的定义1、定义：向量a加上向量b的相反向量，叫a与b的差，即a-b=a+(-b)
求两个向量差的运算叫向量的减法说明：１、与b长度相等、方向相反的向量，叫做b的相反向量
２、零向量的相反向量仍是零向量
３、任一向量和它相反向量的和是零向量二、向量减法的三角形法则 已知 , 在平面内任取一点O作OA=a,OB=b,则BA= 即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量OAB说 明：向量减法可以转化为向量加法，如图b与a-b首尾相接，根据向量加法的三角形法则有b+(a-b)=a即a-b=CB例１：如图，已知向量a,b,c,d,求作向量a-b,c-d.abcd 结 论OABCD深入理解两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同（否则无法相减），这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点例题２化简 AB-AC+BD-CD
解：原式：=CB+BD-CD=CD-CD=0
化简OA+OC+BO+CO
解：原式=（OA+BO）+（OC+CO）
=（OA-OB）+0=BA
思考：
已知OA=a,OB=b,且|a|=|b|=4,角AOB为600,
(1)求|a+b|,|a-b|
(2)求a+b与a的夹角,a-b与a的夹角小结1、理解向量减法的定义
2、掌握向量减法的三角形法则并能加以运用
作业习题5.2 第1 5 7题总 课 题
向量的线性运算
总课时
第19课时
分 课 题
向量的减法
分课时
第 1 课时
教学目标
理解向量减法的含义；能用三角形法则和平行四边形法则求出两向量的差；体会类比方法和转化思想
重点难点
向量减法的含义；求两向量的差
?引入新课
1、如何用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两向量的和？
2、 ；
3、向量减法的含义：若 ，则向量 叫做 ，记作 ；
叫做向量的减法。
4、= ，这表明：减去一个向量等于 。
5、如何用三角形法则和平行四边形法则从“相反向量”的角度，求作：？
?例题剖析
例1、已知、不共线，求作：。
小结：当向量、起点相同时，从的终点指向的终点的向量就是。
（差向量的箭头指向被减向量）
思考1：你能画图说明=吗？
例2、已知是平行四边形的对角线的交点，若，，
。试证明：。
思考2：任意一个非零向量是否一定可以表示为两个不共线的向量的和？
例3、计算：。
注意：对任意一点，。
?巩固练习
1、在平行四边形中，，用,表示。
2、若，下列结论正确的是______________________。
（1）（2）（3） （4）
3、若非零向量和互为相反向量，则错误的是（ ）
A、 B、 C、 D、
4、中，是的中点，设，则
； 。
5、已知中，，，则下列等式成立的是______________。
（1） （2）
（3） （4）
6、已知：四边形的对角线与交于点，且，。
求证：四边形是平行四边形。
?课堂小结
向量减法的含义；求两向量的差；两向量与的差起点，终点和指向。
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、若，则为（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下列各式不能化简为的是（ ）
A、 B、
C、 D、
3、已知，且，，则 。
4、已知，且，，则 。
5、在正六边形中，，则 。
6、化简（ 。
二、提高题
7、化简下列各式
（1） （2）
8、已知菱形的边长都是，求向量的模。
三、能力题
9、对于任意向量,，求证：。
10、如图，、是的边上的两点，且，求证：。
A
1．在?ABCD中，＝a，＝b，则－＝__________.
解析：－＝＋＝＝a.
答案：a
2．化简(＋－)＋(B－＋)－＝________.
解析：原式＝(＋)＋(＋)＋＋(＋)＝＋＋＋＝0.
答案：0
3．设向量a和b的长度分别为6和3，则|a－b|的取值范围是__________．
解析：|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|.
答案：[3,9]
4．在△ABC中，＝a，＝b，则等于__________．
答案：b－a
一、填空题
1．已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中a＝，b＝，c＝，则等于__________．
解析：由正六边形性质知：＝＝＝b＝a＋c.
答案：a＋c
2．已知三个不全共线的非零向量a，b，c，若a＋b＋c＝0，则a，b，c首尾相连可构成的图形形状是__________．
解析：如图，作向量＝a，＝b，则＝＋＝a＋b，又a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴与c是相反向量，即a，b，c首尾相连可构成一个△ABC.
答案：三角形
3．已知正方形ABCD的边长等于1，＝a，＝b，＝c，则|a－b＋c|＝__________.
答案：2
4．已知a、b为非零向量，则下列命题中真命题有________．
①若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同：
②若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反；
③若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b有相等的模；
④若＝|a－b|，则a与b方向相同．
答案：①②④
5．设平面内有四边形ABCD和点O，＝a，＝b，＝c，＝d，若a＋c＝b＋d，则四边形的形状是__________．
解析：∵a＋c＝b＋d，∴＋＝＋，∴－＝－，∴＝，四边形ABCD为平行四边形．
答案：平行四边形
6．已知a，b为非零向量，且|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为__________．
解析：a，b，a－b构成等边三角形，a＋b平分a，b的夹角，
∴a与a＋b的夹角为30°.
答案：30°
7．给出下列运算：
①－＋＝0；
②－＋＝0；
③－(－)－＝；
④(－)－(－)＝.
其中，所有正确运算的序号是__________．
答案：①②③
8．已知＝a，＝b，若||＝5，||＝12，且∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________，|a－b|＝__________.
解析：如图，在矩形OACB中，＋＝，即|a＋b|＝||＝＝＝13.同理|a－b|＝13.
答案：13 13
二、解答题
9．如图所示，O是平行四边形ABCD的对角线AC、BD的交点，设＝a，＝b，＝c，求证：b＋c－a＝.
证明：法一：∵b＋c＝＋＝＋＝，＋a＝＋＝，∴b＋c＝＋a，即b＋c－a＝.
法二：∵c－a＝－＝－＝，＝＋＝－b，∴c－a＝－b，即b＋c－a＝.
10．已知△OAB中，＝a，＝b，满足|a|＝|b|＝|a－b|＝2，求|a＋b|与△OAB的面积．
解：由已知得||＝||，以、为邻边作平行四边形OACB，则可知其为菱形，如图，且＝a＋b，＝a－b，由于|a|＝|b|＝|a－b|，即OA＝OB＝BA，
∴△OAB为正三角形，
|a＋b|＝||＝2×＝2，
∴S△OAB＝×2×＝.
11．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|－|＝|－＋－|，试判断△ABC的形状．
解：因为－＋－＝＋，－＝＝－，又|－|＝|－＋－|，所以|＋|＝|－|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，所以此平行四边形为矩形．所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．
第三课时 向量的减法
教学目标：
掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量，能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量，了解向量方程，并会用几何法解向量方程.
教学重点：
向量减法的三角形法则.
教学难点：
对向量减法定义的理解.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习了向量的加法，并熟悉了求解向量和的向量加法的平行四边形法则与三角形法则，并进行了简单应用.
这一节，我们来继续学习向量的减法.
Ⅱ.讲授新课
1.向量减法的定义
向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b).
求两个向量差的运算，叫向量的减法.
说明：(1)与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量；
(2)零向量的相反向量仍是零向量；
(3)任一向量和它相反向量的和是零向量.
［师］从向量减法的定义中，我们可以体会到向量减法与向量加法的内在联系.
2.向量减法的三角形法则
以平面内的一点作为起点作a，b，则两向量终点的连线段，并指向a终点的向量表示a－b.
说明：向量减法可以转化为向量加法，如图b与a－b首尾
相接，根据向量加法的三角形法则有b＋(a－b)＝a
即a－b＝.
下面我们通过例题来熟悉向量减法的三角形法则的应用.
［例1］如图，已知向量a，b，c，d，求作向量a－b，c－d.
分析：根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个
同起点的向量.
作法：如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，
＝c，＝d.
作，，则＝a－b，＝c－d
［例2］判断题
(1)若非零向量a与b的方向相同或相反，则a＋b的方向必与a、b之一的方向相同.
(2)三角形ABC中，必有＋＋＝0.
(3)若＋＋＝0，则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.
(4)｜a＋b｜≥｜a－b｜.
分析：(1)a与b方向相同，则a＋b的方向与a和b方向都相同；若a与b方向相反，则有可能a与b互为相反向量，此时a＋b＝0的方向不确定，说与a、b之一方向相同不妥.
(2)由向量加法法则＋＝，与是互为相反向量，所以有上述结论.
(3)因为当A、B、C三点共线时也有＋＋＝0，而此时构不成三角形.
(4)当a与b不共线时，｜a＋b｜与｜a－b｜分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，其大小不定.
当a、b为非零向量共线时，同向则有｜a＋b｜＞｜a－b｜，异向则有｜a＋b｜＜｜a－b｜；
当a、b中有零向量时，｜a＋b｜＝｜a－b｜.
综上所述，只有(2)正确.
［例3］化简－＋－.
解：原式＝＋－＝－＝0
［例4］化简＋＋＋.
解：原式＝(＋)＋(＋)＝(－)＋0＝
Ⅲ.课堂练习
课本P65练习1，2，3，4，5，6.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家在理解向量减法定义的基础上，掌握向量减法的三角形法则，并能加以适当的应用.
Ⅴ.课后作业
课本P68习题 4，8，11
向量、向量的加减法
1．下列关于零向量的说法中，错误的是 （ ）
A.零向量长度为0 B.零向量是没有方向的
C.零向量的方向是任意的 D.零向量与任一向量平行
2．下列命题中，正确的是 （ ）
A.若|a|＝|b|，则a＝b B.若|a|＞|b|，则a＞b
C.若a＝b，则a∥b D.若|a|＝1，则a＝±1
3．当|a|＝|b|，且a与b不共线时，a＋b与a－b的关系为 （ ）
A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.相等
4．如右图，已知O为正六边形ABCDEF的中心，则与向量
相等的向量有 .
5．已知||＝10，||＝7，|则||的取值范围为 .
6．已知＝a，＝b，且|a|＝|b|＝4，∠AOB＝60°.
则|a＋b|＝ ，|a－b|＝ .
7．化简＋＋－－＝ .
8．判断以下说法是否正确.
（1）向量a与b共线，b与c共线，则a与c共线. （ ）
（2）任意两个非零的相等向量的起点与终点是一平行四边形的四个顶点. （ ）
（3）向量与是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上. （ ）
（4）向量a与b平行，则a与b的方向相同. （ ）
（5）长度相等且起点相同的两个向量，其终点必相同. （ ）
9．已知两个力F1、F2的方向互相垂直，且它们的合力F大小为10 N，与力F1的夹角为60°，求力F1与F2的大小.
10．一架飞机从A地按北偏西30°方向飞行300 km，到达B地，然后向C地飞行，设C地恰在A北偏东60°，且距A 100 km处，求飞机从B地向C地飞行的方向和B、C两地的距离.
向量、向量的加减法答案
1．B 2．C 3．B 4．，， 5．［3，17］ 6．4 4 7．
8．（1）错误 （2）错误 （3）错误 （4）错误 （5）错误
9．F1，F2分别为5 N和5 N
10．解：∵BC＝＝200，sinB＝＝∴B＝30°，∴飞机从B以南偏东60°的方向向C地飞行.
