1.(4a＋b)－3(b－a)＝________.
解析 (4a＋b)－3(b－a)＝2a＋b－3b＋3a＝5a－b.
答案 5a－b
2．设e1，e2是两个不共线的向量，关于向量a，b有下列四种说法
①a＝2e1，b＝－2e1；②a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2；
③a＝4e1－e2，b＝e1－e2；④a＝e1＋e2，b＝2e1－2e2.
其中a，b共线的有________．
答案 ①②③
3．在四边形ABCD中，若＝－，则此四边形是____．
答案 梯形
4．已知实数m，n和向量a，b，给出下列命题
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na(a≠0)，则m＝n.⑤ma和a的方向与m无关(m∈R)
其中正确的命题是________．
解析 若m＝0，则ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确．ma中m>0时，ma与a同向，m<0时，ma与a反向．故⑤错．
答案 ①②④
5．已知e1，e2是两个不共线的向量，而a＝k2e1＋e2与b＝2e1＋3e2是两个共线向量，则实数k＝________.
解析 由题意得k2e1＋e2＝λ(2e1＋3e2)，
所以
解得k＝－2或k＝.
答案 －2或
6．设a，b是不共线的两个向量，已知＝2a＋kb，＝a＋b，＝a－2b，若A、B、D三点共线，则k的值为________．
解析 由已知，必存在实数λ，使＝λ.而＝＋＝(a＋b)＋(a－2b)＝2a－b，
∴2a＋kb＝λ(2a－b)＝2λa－λb，于是解得∴k＝－1.
答案 －1
7．在?ABCD中，E，F分别在DC和AB上，且DE＝DC，AF＝AB，则与的关系是________．
解析 设＝a，＝b，
∵DE＝DC，AF＝AB，
∴＝＋＝a＋b，
＝＋＝－＝－.
答案 ＝－
8．若2－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a、b、c为已知向量，则未知向量y＝________.
解析 2y－a－c－b＋y＋b＝0，
即y－a－c＋b＝0，∴y＝a－b＋c.
答案 a－b＋c
9．如右图，已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，则＝________.
解析 D为BC的中点
∴＋＝2，
∴2＋2＝0
∴＝－.
答案 －1
10．已知平面内O，A，B，C四点，其中A，B，C三点共线，且＝x＋y，则x＋y＝________.
解析 ∵A，B，C三点共线，∴＝λ
即－＝λ－λ
∴＝(1－λ)＋λ
即x＝1－λ y＝λ
∴x＋y＝1
答案 1
11．如图，设△ABC的重心为M，O为平面上任一点，O＝a，O＝b，O＝c，试用a、b、c表示向量O.
解 如图，连结AM并延长交BC于D点．
∵M是△ABC的重心，
∴D是BC的中点，
且AM＝AD.
∴A＝A＝(A＋B)
＝A＋B
＝A＋＝A＋B
＝(O－O)＋(O－O)
＝(b－a)＋(c－b)＝－a＋b＋c，
∴O＝O＋A＝a＋
＝(a＋b＋c)．
12．设P、Q分别是四边形的对角线AC与BD的中点，＝a，＝b, 试用基底a，b表示.
解 ＝＋＋，＝＋＋.
∵＝－，＝－，∴2＝＋＝－a－b，∴＝－a－b.
13．(创新拓展)如图，在?ABCD中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝BD.
求证：M，N，C三点共线．
证明 设＝a，＝b，则＝＋＝a＋(－a＋b)＝a＋b，＝＋＝a＋b.
所以＝3，又MC，MN有公共点M.
所以M，N，C三点共线．
课件25张PPT。单击此处进入 活页规范训练课件10张PPT。2.2.3 向量数乘运算及 其几何意义学习目标：1、向量数乘运算及其几何意义2、向量数乘运算的运算律实数 与向量 的积是一个向量，记作 ，它的长度和
方向规定如下： （2）当 时， 的方向与 的方向相同；当 时，
的方向与 的方向相反；特别地，当 或 时， 数乘向量的定义：数乘向量的运算律：结合律第一分配律第二分配律向量 与非零向量 共线的充分必要条件是有
且仅有一个实数 ，使得 ．定理证明：（1）对于向量 ，如果有一个实数
使
那么，由向量数乘的定义知， （2）已知 ， ，且向量 的长度是向量 的 倍，即 ，那么当
同向时，有 ；当 反向时 ， 有 综上，如果 与 共线，那么有且只有一个实数 使-12a5b-a+5b-2c∴ 与 共线． 解：答案:R=6小节:1、向量数乘运算及其几何意义2、向量数乘运算的运算律3、向量共线的判定作业：总 课 题
向量的线性运算
总课时
第20课时
分 课 题
向量的数乘（1）
分课时
第 1 课时
教学目标
理解向量数乘的含义，掌握向量数乘的运算律，理解数乘的运算律与实数乘法的运算律的区别与联系
重点难点
向量数乘的含义的理解及运算律的应用
?引入新课
1、质点从点出发做匀速直线运动，若经过的位移对应的向量用表示，那么在同方向上经过的位移所对应的向量可用来表示。
提问：这里，是何种运算的结果？
2、向量数乘的定义：一般地，实数与向量的积是一个__________，记作_________，它的长度和方向规定如下：
（1）__________________；
（2）当时，与方向_____________；当时，与方向_____________；当时，_____________； 当时，____________。
实数与向量相乘，叫做向量的数乘。
注意：向量数乘的结果是一个向量。
3、向量数乘的运算律
(1)___________；（2） ___________；（3）____________。
?例题剖析
例1、已知向量和向量，求作向量和向量。
例2、计算
（1） （2）
思考：向量数乘与实数乘法有哪些的相同点和不同点？
例3、如图，在平行四边形ABCD中，，，试用，表示向量和。
?巩固练习
1、化简计算：（1） （2）
2、已知向量和向量，求作向量：
（1） （2） （3）
3、已知向量，，求（用表示）
4、已知和是不共线向量，（），试用和表示向量。
5、已知非零向量，求向量的模。
?课堂小结
向量数乘运算及其几何意义；数乘的运算律及其与实数乘法运算的联系与区别。 ?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、在四边形中，若，则此四边形是 （ ）
A、平行四边形 B、菱形 C、梯形 D、矩形
2、下列四个命题：①对于实数和向量与，恒有；②对于实数和向量，恒有；③若则有；④若（），则，其中真命题的个数是 （ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3、若是的中线，已知，，则 ____________。
4、已知，，且向量与共线，则 ________。
5、已知，是不共线向量，实数满足向量等式，则______________，_______________。
6、设为线段的中点，若，，则_________________。
二、提高题
7、计算：
（1） （2）
8、如图，已知向量与共线，求作向量
三、能力题
9、已知三条边，，的中点分别为，
求证：
10、已知为两个不共线的向量，且，其中是实数。
求证：
总 课 题
向量的线性运算
总课时
第21课时
分 课 题
向量的数乘（2）
分课时
第2课时
教学目标
理解两个向量共线的含义，并掌握向量共线定理。能运用实数与向量的积解决有关问题。
重点难点
两个向量共线含义的理解及其应用。
?引入新课
1、填空：（1） ；
（2）当时，与方向 ；当时，与方向 ；
当时，= ； 当时，= 。
（3） ； ； 。
（4）若向量与方向相反，且，则与的关系是 。
（5）设是已知向量，若，则 。
2、如图，，分别是的边、的中点，求证：与共线，
并将用线性表示。
3、共线向量定理：如果存在一个实数，使 ，，那么 。
反之，如果与是共线向量，那么 。
注意：可写成，但不能写成或。
4、提问：上述定理中，若无条件，会有什么结果？
5、向量共线定理如何用来解决点共线或线共点问题。
?例题剖析
例1、设是非零向量，若，试问：向量与是否共线？
例2、如图，中，为直线上一点，，
求证：。
思考：上例证明的结论表明：起点为，终点为直线上一点的向量可以用表示。那么两个不共线的向量可以表示平面内任一向量吗？
?巩固练习
1、已知向量，求证：与是共线向量。
2、已知向量，求证：三点共线。
3、如图，在△中，记求证：。
4、如图，设点是线段的三等分点，若，试用表示向量
?课堂小结
共线向量定理及其运用；若，则时，三点共线。
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、点在线段上，且，设，则 （ ）
A、 B、 C、 D、
2、若是平行四边形的中心，且，则 ( )
A、 B、 C、 D、
3、已知向量，则与 （填“共线”或“不共线”）。
4、给出下列命题：①若，则；②若，则∥；③若，则；④则∥。其中，正确的序号是 。
5、若是△的重心，则 。
6、已知，则 三点共线。
二、提高题
7、已知非零向量和不共线，若和共线，求实数的值。
8、设分别是的边上的点，且，，
。若记，试用表示。
三、能力题
9、如图，平行四边形中，是的中点，交于，
试用向量的方法证明：是的一个三等分点。
10、在第题中，当点三等分线段时，有。如果点是的等分点，你能得到什么结论？请证明你的结论。
1．已知实数m，n和向量a，b，给出下列命题：
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na(a≠0)，则m＝n.
其中正确的命题是__________．
解析：若m＝0，则ma＝mb＝0，但a与b不一定相等，故③不正确．
答案：①②④
2．在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则＝__________.
解析：由＝2知＝.又∵＝b－c，∴＝(b－c)，∴＝＋＝c＋(b－c)＝b＋c.
答案：b＋c
3．若|a|＝3，b与a的方向相反，且|b|＝5，则a＝________b.
解析：b与a方向相反，设a＝λb(λ＜0)，所以λ＝－＝－，所以a＝－b.
答案：－
4．若2(y－a)－(c＋b－3y)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，则未知向量y＝__________.
答案：a－b＋c
一、填空题
1．若O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，＝2e1，＝3e2，则＝__________.
解析：结合题目画出图形如图
＝＝(－)
＝(3e2－2e1)＝e2－e1.
答案：e2－e1
2．点C在线段AB上，且＝，则＝__________，＝__________.
解析：∵＝，∴点C为线段AB的5等分点，
∴＝，＝－.
答案： －
3．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为__________．
解析：由原式可得解得∴x－y＝3.
答案：3
4．若G是△ABC的重心，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，则＋＋＝__________.
解析：如图所示，令GB的中点为P，连结DP、PE，得?GDPE.＝＋＝＝－，则＋＋＝0.
答案：0
5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝__________.
解析：由于＝2，得＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，结合＝＋λ，知λ＝.
答案：
6．设P是△ABC所在平面内的一点，＋＝2，则＋＝__________.
解析：∵＋＝2，∴P为线段AC的中点，∴＝－，∴＋＝0.
答案：0
7．△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB.若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则等于__________．
解析：如图所示，∠1＝∠2，
∴＝＝，
∴＝＝(－)＝(b－a)，
∴＝＋＝a＋(b－a)＝a＋b.
答案：a＋b
8．已知向量a，b，若＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是________．
解析：通过观察，＝＋＝2a＋4b，与a＋2b有2倍关系，即2＝.符合向量共线定理，∴A，B，D三点共线．故填A，B，D.
答案：A，B，D
二、解答题
9．设两个向量a与b不共线．
(1)试证：起点相同的三个向量a，b,3a－2b的终点在同一条直线上(a≠b)；
(2)求实数k，使得ka＋b与2a＋kb共线．
解：(1)证明：设＝a，＝b，＝3a－2b.因为＝－＝(3a－2b)－a＝2(a－b)，＝－＝b－a，所以＝－2，故，共线．又，有公共起点A，所以A，B，C在同一直线上．
(2)因为ka＋b与2a＋kb共线，
所以设ka＋b＝λ(2a＋kb)，λ∈R，即ka＋b＝2λa＋kλb，
又a与b不共线，所以所以k＝±.
10．如图所示，E，F分别是四边形ABCD的对角线AC，BD的中点，已知＝a，＝b，＝c，＝d，求向量.
解：法一：连结AF.
∵＝＋＝a＋b，E是AC的中点，
∴＝＝(a＋b)．
又∵＝＋＝b＋c，F是BD的中点，
∴＝＝(b＋c)．
∴＝＋＝a＋(b＋c)，
∴＝－＝a＋(b＋c)－(a＋b)＝(a＋c)．
法二：连结AF.
∵＝＋＝a＋b，E是AC的中点，
∴＝＝(a＋b)．
∵＝＋＝d＋a，F是DB的中点，
∴＝＝(d＋a)．
∴＝－＝(d＋a)－d＝(a－d)，
∴＝－＝(a－d)－(a＋b)＝－(b＋d)．
11．设a，b，c为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a＋b与c共线，且b＋c与a共线，则b与a＋c是否共线？请证明你的结论．
解：b与a＋c共线．证明如下：
∵a＋b与c共线，∴存在惟一实数λ，使得a＋b＝λc.①
∵b＋c与a共线，∴存在惟一实数μ，使得b＋c＝μa.②
由①－②得，a－c＝λc－μa.∴(1＋μ)a＝(1＋λ)c.
又∵a与c不共线，∴1＋μ＝0,1＋λ＝0，
∴μ＝－1，λ＝－1，∴a＋b＝－c，
即a＋b＋c＝0.∴a＋c＝－b.
故a＋c与b共线．
第五课时 向量的数乘(二)
教学目标：
掌握实数与向量的积的运算律，理解实数与向量积的几何意义，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行并能熟练运用.
教学重点：
实数与向量积的运用.
教学难点：
实数与向量积的运用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习了实数与向量的积的定义及运算律，并了解了两向量共线的条件.
这一节，我们将在上述知识的基础上进行具体运用.
Ⅱ.讲授新课
［例1］已知ABCD，E、F分别是DC和AB的中点，求证：AE∥CF.
证明：因为E、F为DC、AB的中点，
∴＝，＝，
由向量加法法则可知：＝＋＝＋，
＝＋＝＋.
∵四边形ABCD为平行四边形， ∴＝－，＝－，
∴＝－－＝－(＋)＝－
∴∥， ∴AE∥CF
［例2］已知ABCD的对角线AC和BD相交于点O，证明AO＝OC，BO＝OD.
分析：本题考查两个向量共线的充要条件，实数与向量积的
运算以及平面向量基本定理的综合应用.
证明：∵A、O、C三点共线，B、O、D三点共线，
∴存在实数λ和μ，使得＝λ，＝μ.
设＝a，＝b，则＝a＋b，＝b－a
∴＝λ(a＋b)，＝μ(b－a).
又∵＋＝，
∴a＋μ(b－a)＝ λ (a＋b)，即
(1－μ－λ)a＋(μ－λ)b＝0，
又∵a与b不共线，
由平面向量基本定理，，
∴μ＝λ＝， ∴AO＝AC，BO＝BD，
即AO＝OC，BO＝OD.
［例3］已知G为△ABC的重心，P为平面上任一点，求证：PG＝ (PA＋PB＋PC).
证明：如图，设△ABC三条中线分别为AM、BK和CL，则易知AM＝3GM，由向量中线公式有：
＝ (＋)，＝ (＋)，
∴＋＝ (＋) ①
同理可得＋＝ (＋) ②
＋＝ (＋) ③
由式①＋②＋③得：2(＋＋)
＝ (＋＋＋＋＋)＝0
∴＋＋＝0
∴3＝＋＋
＝(＋)＋(＋)＋(＋)
＝(＋＋)＋(＋＋)＝＋＋
∴PG＝ (PA＋PB＋PC).
［例4］AD、BE、CF是△ABC的中线，若直线EG∥AB，FG∥BE.
求证：AD GC.
证明：如图，因为四边形BEGF是平行四边形.
所以＝
又因为D是BC的中点，所以＝，
所以－＝－，
所以＝ (＋)＝＋＝＋＝
所以AD GC.
［例5］设四边形ABCD的两对角线AC、BD的中点分别是E、F，求证：｜AB－CD｜≤EF≤ (AB＋CD).
证明：如图，∵＝＋＋，
＝＋＋，
∴2＝(＋)＋(＋)＋(＋)
∵E、F分别是AC、BD的中点，∴＋＝0，＋＝0，
∴＝ (＋)
又∵｜｜｜－｜｜｜≤｜＋｜≤｜｜＋｜｜，
∴｜｜｜－｜｜｜≤｜｜≤ (｜｜＋｜｜)，
即｜AB－CD｜≤EF≤ (AB＋CD).
Ⅲ.课堂练习
课本P68练习1，2，3.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求学生在理解平面向量基本定理基础上，能掌握平面向量基本定理的简单应用.
Ⅴ.课后作业
课本P69习题 9，10，12，13
向量的数乘
1．已知ABCD中，点E是对角线AC上靠近A的一个三等分点，设＝a，＝b，则向量BC等于 （ ）
A. 2a＋b B.2a－b C.b－2a D.－b－2a
2．若＝5e1，＝－7e1，且||＝||，则四边形ABCD是 （ ）
A.平行四边形 B.等腰梯形
C.菱形 D.梯形但两腰不相等
3．设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB的中点，且＝a，＝b，给出下列命题：①＝－a－b ②＝a＋b ③＝－a＋b ④＋＋＝0.其中正确的命题个数为 （ ）
A.1 B.2 C.3 D.4
4．若O为平行四边形ABCD的中心，＝4e1，＝6e2，则3e2－2e1等于 （ ）
A. B. C. D.
5．已知向量a，b不共线，实数x，y满足等式3xa＋(10－y)b＝2xb＋(4y＋7) a，则x＝ ，y＝ .
6．在△ABC中，＝，EF∥BC交于点F，设＝a，＝b，用a、b表示向量为 .
7．若ke1＋e2与e1＋ke2共线，则实数k的值为 .
8．已知任意四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC的中点，求证：＝（＋）.
9．在△OAB中，C是AB边上一点，且＝λ(λ>0)，若＝a，＝b，试用a，b表示.
10．如图，＝a，＝b，＝t（t∈R)，当P是（1）中点，（2）的三等分点（离A近的一个）时，分别求.
向量的数乘答案
1．D 2．B 3．C 4．B 5． 6．－a＋b 7．±1
8．已知任意四边形ABCD中，E为AD中点，F为BC的中点，求证：＝（＋）.
证明：∵＋＋＋＝0，＋＋＋＝0
∴＝＋＋，＝＋＋
两式相加，
2＝＋＋＋＋＋
∵＋＝0，＋＝0
∴＝（＋）.
9．在△OAB中，C是AB边上一点，且＝λ(λ>0)，若＝a，＝b，试用a，b表示.
解：＝(b＋λa)
10．如图，＝a，＝b，＝t（t∈R)，当P是（1）中点，（2）的三等分点（离A近的一个）时，分别求.
解：（1）∵P为中点，∴＝（b－a）
∴＝a＋ (b－a)＝ (a＋b).
(2)∵＝ (b－a)
∴＝a＋（b－a)＝ (b＋2a).
第四课时 向量的数乘(一)
教学目标：
掌握实数与向量积的定义，理解实数与向量积的几何意义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的条件，能够运用两向量共线条件判定两向量是否平行.
教学重点：
实数与向量积的定义；实数与向量积的运算律；
教学难点：
对向量共线的理解.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
前面两节课，我们一起学习了向量加减法运算.这一节，我们将在加法运算基础上研究相同向量和的简便计算及其推广.
Ⅱ.讲授新课
在代数运算中，a＋a＋a＝3a，故实数乘法可以看成是相同实数加法的简便计算方法，所以相同向量的求和运算也有类似的简便计算.
已知非零向量a，我们作出a＋a＋a和(－a)＋(－a)＋(－a).
由图可知，＝＋＋＝a＋a＋a，我们把a＋a＋a记作3a，即＝3a，显然3a的方向与a的方向相同，3a的长度是a的长度的3倍，即｜3a｜＝3｜a｜.
同样，由图可知，＝＋＋＝(－a)＋(－a)＋(－a)，我们把(－a)＋(－a)＋(－a)记作－3a，即＝－3a，显然－3a的方向与a的方向相反，－3a的长度是a的长度的3倍，即｜－3a｜＝3｜a｜.
上述过程推广后即为实数与向量的积.
1.实数与向量的积
实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和方向规定如下：
(1)｜λa｜＝｜λ｜｜a｜
(2)当λ＞0时，λ a与a同向；当λ＜0时，λ a与a反向；当λ＝0时，λ a＝0.
根据实数与向量的积的定义，我们可以验证下面的运算律.
2.实数与向量的积的运算律
(1)λ (μa)＝(λμ)a
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa
(3)λ (a＋b)＝λa＋λb
说明：对于运算律的验证要求学生通过作图来进行.
3.向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b＝λa.
说明：(1)推证过程引导学生自学；
(2)可让学生思考把“非零向量”的“非零”去掉后，是否正确，目的是通过0与任意向量的平行来加强学生对于充要条件的认识.
下面我们通过例题分析来进一步熟悉向量与实数积的定义、运算律及两向量共线的充要条件的应用.
［例1］若3m＋2n＝a，m－3n＝b，其中a，b是已知向量，求m，n.
分析：此题可把已知条件看作向量m、n的方程，通过方程组的求解获得m、n.
解：记3m＋2n＝a ①
m－3n＝b ②
3×②得3m－9n＝3b ③
①－③得11n＝a－3b.
∴n＝a－b ④
将④代入②有：m＝b＋3n＝a＋b
评述：在此题求解过程中，利用了实数与向量的积以及它所满足的交换律、结合律，从而解向量的二元一次方程组的方法与解实数的二元一次方程组的方法一致.
［例2］凸四边形ABCD的边AD、BC的中点分别为E、F，求证＝ (＋).
证法一：构造三角形，使EF作为三角形中位线，借助于
三角形中位线定理解决.
过点C在平面内作＝，则四边形ABGC是平行
四边形，故F为AG中点.
∴EF是△ADG的中位线，
∴EFDG，∴＝.
而＝＋＝＋，
∴＝ (＋).
证法二：创造相同起点，以建立向量间关系
如图，连EB，EC，则有＝＋，
＝＋，又∵E是AD之中点，
∴有＋＝0.
即有＋＝＋；
以与为邻边作平行四边形EBGC，则由F是BC之中点，可得F也是EG之中点.
∴＝＝ (＋)＝ (＋)
Ⅲ.课堂练习
课本P66练习1，2，3，4.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握实数与向量的积的定义，掌握实数与向量的积的运算律，理解两个向量共线的充要条件，并能在解题中加以运用.
Ⅴ.课后作业
课本P68习题 5，6，7
