1．若＝(3,4)，点A的坐标为(－2，－1)，则点B的坐标为________．
答案 (1,3)
2．已知A(x,2)，B(5，y－2)，若＝(4,6)，则x，y值分别为________．
解析 ＝(5－x，y－4)＝(4,6)，
∴∴x＝1，y＝10.
答案 1,10
3．已知向量＝(3，－2)，＝(－5，－1)，则等于________．
解析 ＝－＝(－5，－1)－(3，－2)＝(－8,1)，＝.
答案 (－4，)
4．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝________.
解析 a－b＝－＝(－1,2)．
答案 (－1,2)
5．若向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与相等，其中A(1,2)，B(3,2)，则x＝________.
解析 ＝(2,0)，＝a，即(2,0)＝(x＋3，x2－3x－4)
∴x＝－1.
答案 －1
6．已知平面上的三点：A(－2,1)，B(3，－4)，C(5，－2)，求：
(1)＋2；
(2)－.
解 (1)由已知得，＝(5，－5)，＝(7，－3)，
故＋2＝(5，－5)＋2(7，－3)＝(19，－11)；
(2)由已知得，＝(2,2)，＝(－7,3)，
故－＝(2,2)－(－7,3)＝.
7．已知M(3，－2)，N(－5，－2)，且＝，则P点坐标为________．
解析 设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)，
又∵＝(－8,0)，且＝，
∴(x－3，y＋2)＝(－4,0)，
∴x＝－1，y＝－2，∴P(－1，－2)．
答案 (－1，－2)
8．已知a＝(1,2)，b＝(－4,4)，c＝(－3，－6)，且c＝xa＋yb(x，y∈R)，则x＋y＝________.
解析 由已知得c＝xa＋yb＝(x－4y,2x＋4y)＝(－3，－6)，所以解得x＝－3，y＝0，故x＋y＝－3.
答案 －3
9．平行四边形ABCD的对角线交于点O，且＝(3,7)，＝(－2,1)，则的坐标是________．
解析 ＝－＝(－2,1)－(3,7)＝(－5，－6)．
∴＝＝.
答案
10．已知A(－1，－2)，B(2,3)，C(－2,0)，D(x，y)，且＝2，则x＋y＝________.
解析 ＝(－1,2)，＝(x－2，y－3)，＝2
∴(－1,2)＝2(x－2，y－3)
∴x＝，y＝4，∴x＋y＝.
答案
11．已知A(－2,4)、B(3，－1)、C(－3，－4)且＝3，＝2，求点M、N及的坐标．
解 ∵A(－2,4)、B(3，－1)、C(－3，－4)，
∴＝(1,8)，＝(6,3)，
∴＝3＝(3,24)，＝2＝(12,6)．
设M(x，y)，则有＝(x＋3，y＋4)，
∴∴
∴M点的坐标为(0,20)．
同理可求得N(9,2)，因此＝(9，－18)，故所求点M、N的坐标分别为(0,20)、(9,2)，的坐标为(9，－18)．
12．已知点A(2,3)，B(5,4)，C(10,8)，若＝＋λ(λ∈R)，求当点P在第二象限时，λ的取值范围．
解 设点P的坐标为(x，y)，则＝(x－2，y－3)，
＋λ＝(5－2,4－3)＋λ(10－2,8－3)
＝(3,1)＋λ(8,5)＝(3＋8λ，1＋5λ)．
∵＝＋λ，
∴(x－2，y－3)＝(3＋8λ，1＋5λ)．
即 解得
即当－<λ<－时，点P在第二象限内．
13．(创新拓展)已知点A(1,0)，B(0,2)，C(－1，－2)，求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．
解
设D的坐标为(x，y)，
(1)若是?ABCD，则由＝得(0,2)－(1,0)＝(－1，－2)－(x，y)，即(－1,2)＝(－1－x，－2－y)
∴∴x＝0，y＝－4，
∴D点的坐标为(0，－4)(如图中的D1)．
(2)若是?ADBC，则由＝得(x，y)－(1,0)＝(0,2)－(－1，－2)，
即(x－1，y)＝(1,4)．解得x＝2，y＝4.
∴D点的坐标为(2,4)(如图中的D2)．
(3)若是?ABDC，则由＝得，(0,2)－(1,0)＝(x，y)－(－1，－2)，即(－1,2)＝(x＋1，y＋2)，解得x＝－2，y＝0.
∴D点的坐标为(－2,0)(如图中的D3)，
综上所述，以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为(0，－4)或(2,4)或(－2,0)．
课件27张PPT。单击此处进入 活页规范训练
1．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)当实数k＝________，ka＋2b与2a－4b平行．
解析 ∵a＝(1,2)，b＝(－3,2)，∴ka＋2b＝(k－6,2k＋4)，2a－4b＝(14，－4)，∵ka＋2b与2a－4b平行，
∴－4(k－6)＝14(2k＋4)，∴k＝－1.
答案 －1
2．设a＝，b＝，且a∥b，则锐角α＝________.
解析 ∵a∥b，∴×－sin α＝0，得到sin α＝，而α为锐角，∴α＝45°.
答案 45°
3．若三点A(2,2)、B(a,0)、C(0，b)(ab≠0)共线，则＋＝________.
解析 由已知得，＝(a－2，－2)与＝(－2，b－2)共线，
所以(a－2)(b－2)－2×2＝0，整理为ab－2a－2b＝0，各项同除以2ab得，－－＝0，故＋＝.
答案
4．已知点A(－1,5)，a＝(－1,2)，若＝3a，则B点的坐标是________．
解析 设B(x，y)，则由＝3a得，(x＋1，y－5)＝(－3,6)，解得x＝－4，y＝11，故B点的坐标是(－4,11)．
答案 (－4,11)
5．已知a＝(3,4)，b＝(sin α，cos α)，且a∥b，则tan α＝________.
解析 由已知得，3cos α－4sin α＝0，所以tan α＝.
答案
6．设点C(2a－1，a＋2)在过点A(1，－3)、B(8，－1)的直线上，求a的值．
解 若A、B、C三点共线，则向量、共线，
故必存在实数λ，使＝λ成立．
则＝(8－1，－1－(－3))＝(7,2)，
＝(2a－1－1，a＋2－(－3))＝(2a－2，a＋5)，
于是得：解之得，
即a＝－13.
7．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a－c)∥b，则k＝________.
解析 a－c＝(3－k，－6)，b＝(1,3)．
∵(a－c)∥b，∴3(3－k)－(－6)×1＝0?k＝5.
答案 5
8．已知向量m＝(2,3)，n＝(－1,2)，若am＋bn与m－2n共线，则等于________．
解析 ∵am＋bn＝(2a,3a)＋(－b,2b)
＝(2a－b,3a＋2b)，
m－2n＝(2,3)－(－2,4)＝(4，－1)．
∵am＋bn与m－2n共线．
∴b－2a－12a－8b＝0，
∴＝－.
答案 －
9．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，若A、B、C三点共线，实数k________.
解析 ∵＝－＝(4－k，－7)，
＝－＝(6，k－5)，
∵A、B、C三点共线，
∴与共线．
∴(4－k)(k－5)－6×(－7)＝0，
解得k＝－2或11.
答案 －2或11
10．已知两点A(4,1)，B(7，－3)，则与向量同向的单位向量是________．
答案
11．已知A(1,1)，B(3，－1)，C(a，b)．
(1)若A、B、C三点共线，求a、b的关系式；
(2)若＝－2，求点C的坐标．
解 (1)因为＝(2，－2)、＝(a－1，b－1)，于是由A、B、C三点共线可得，2(b－1)－(－2)·(a－1)＝0，整理得a＋b－2＝0；
(2)因为＝－2，所以(a－1，b－1)＝－2(2，－2)，解得a＝－3，b＝5，所以C(－3,5)．
12．已知两点A(3，－4)，B(－9,2)，在直线AB上求一点P，使||＝||.
解 设P(x，y)，∴＝(x－3，y＋4)，＝(－12,6)
∴(x－3，y＋4)＝(－12,6)＝(－4,2)或(x－3，y＋4)＝－(－12,6)＝(4，－2)．
即或.
∴或.
∴ P(－1,2)或P(7，－6)．
13．(创新拓展)已知在△AOB中，O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，＝，＝，AD与BC交于M点，求点M的坐标．
解 ∵点O(0,0)，A(0,5)，B(4,3)，
∴＝(0,5)，＝(4,3)．
令＝(xC，yC)＝＝.
∴点C的坐标为.同理可得点D的坐标为.
设点M(x，y)，则＝(x，y－5)，
而＝＝.
∵A、M、D共线，∴与共线．
∴－x－2(y－5)＝0，即7x＋4y＝20.①
而＝，＝＝.
∵C、M、B共线，∴与平行．
∴x－4＝0，即7x－16y＝－20.②
联立式①②解得x＝，y＝2.
故点M的坐标为.
课件22张PPT。单击此处进入 活页规范训练课件22张PPT。向量的数量积的运算律教学目标：1、知识与技能
掌握平面向量数量积的运算律及其应用。2、过程与方法
（1）通过向量数量积分配律的学习，体会
类比、猜想、证明的探索性学习方法。
（2）通过解题实践，体会向量数量积的
运算方法。3、情感、态度与价值观
通过本节的探究性学习让学生初步尝试数学研
究的过程，培养学生发现、提出、解决数学问
题的能力，有助于发展学生的创新意识。教学重点
平面向量的数量积定义。 教学难点
平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用。平面向量的数量积：规定：零向量与任一向量的数量积为0。知识链接2、数量积a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？ 数量积a·b等于a的模与b在a方向上的正投影的数量︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的正投影的数量的︱a︱cosθ的乘积，3、向量的数量积的性质：练习：
1、下列命题是真命题的是（ ）D E23cos θ= 解：∵∴且 θ∈[０, π]
数量积的运算律：注：课前预习 一个向量与一个轴上的单位向量的数量积等于这个向量在轴上的正射影的数量，如果分配律中的向量c换成它的单位向量c0，则分配律变成 (a+b)·c0=a·c0+b·c0. 证明分配律就成为证明：两个向量的和在一个方向上的正射影的数量等于每个向量在这个方向上的正射影的数量之和。例1 求证：证明：（1）（2）（3）练习 用向量方法证明：直径所对的圆周角为直角。例3 求证菱形的两条对角线互相垂直。变式 在矩形ABCD中，求证两条对角线AC和BD的长相等。例4等价达标练习 3.下列结论：①a2=|a|2②a·b/a2=b/a
③ (a·b )2=a2·b2 ④若a ≠ 0,则b=c a·b=a·c,其中正确的序号是__________.（1）
4. -13课堂小结2 、 数量积的运算律：1、 常用的向量的数量积的性质：课后作业达标练习 7，8课件12张PPT。要点·疑点·考点
课 前 热 身 ?
能力·思维·方法 ?
延伸·拓展
误 解 分 析平面向量的坐标表示要点·疑点·考点1.平面向量的坐标表示
(1)a＝(x，y)叫向量的坐标表示，其中x叫a在x轴上的坐标，y叫a在y轴上的坐标.
(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，λ∈R.
则a+b＝(x1+x2，y1+y2)，
a-b＝(x1-x2，y1-y2)，
λa＝(λx1，λy1)
(3)a∥b(b≠0)的充要条件是x1y2-x2y1＝0 返回3.平移
设原坐标P(x，y)按向量a(h，k)平移后得到新坐标
,则1.设A(x1，y1)、B(x2，y2)是不同的两点，点P(x，y)的坐
标由公式 确定.当λ∈R且λ≠-1
时有( )
(A)P表示直线AB上的所有点
(B)P表示直线AB上除去A的所有点
(C)P表示直线AB上除去B的所有点
(D)P表示直线AB上除去A、B的所有点 课 前 热 身C2.若对n个向量a1、a2、…、an，存在n个不全为零的实数k1、k2、…、kn，使得k1a1+k2a2+…+knan=0成立，则称向量a1、a2、…、an为“线性相关”，依此规定，能使a1=(1,0)，a2=(1,-1)，a3=(2,2)“线性相关”的实数k1、k2、k3依次可取的值是 ___________(写出一组数值即可，不必考虑所有情况) -4，2，13.三点A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)共线的充要条件是( )
(A)x1y2-x2y1＝0
(B)(x2-x1)(x3-x1)＝(y2-y1)(y3-y1)
(C)(x2-x1)(y3-y1)＝(x3-x1)(y2-y1)
(D)x1y3-x3y1＝0 C返回B4.若向量a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2)，则c等于( ) 5.函数y=x2的图象按向量a=(2,1)平移后得到的图象的函数表达式为( )
(A)y=(x-2)2-1 (B)y=(x+2)2-1
(C)y=(x-2)2+1 (D)y=(x+2)2+1 C能力·思维·方法【解题回顾】任何两个不共线的向量都可作为基底，i＝(1，0)，j＝(0，1)分别是直角坐标系横、纵两个方向的单位向量，用i、j表示向量时，xi+yj中的x、y是惟一的，即为向量的(直角)坐标.两个向量用坐标表示时，当且仅当两个向量横、纵坐标分别相等时，两个向量相等. 1.设x、y为实数，分别按下列条件，用xa+yb的形式表示c.
(1)若给定a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(-3，-5)；
(2)若给定a＝(5，2)，b＝(-4，3)，c＝(-3，-5). 【解题回顾】设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若b≠0，则a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.用坐标形式来表示就是a∥b<=>x1y2-x2y1＝0.而x1/x2＝y1/y2是a∥b的充分不必要条件. 3.已知三点A(1，2)、B(4，1)、C(3，4)，在线段AB上取一点P，过P作直线与BC平行交AC于Q，△APQ与梯形PQCB的面积之比是4∶5，求点P的坐标. 【解题回顾】一般地，函数y＝f(ωx)的图象按a＝(h，k)平移后所得图象的解析式为y-k＝f[ω(x-h)]，即y＝f[ω(x-h)]+k.返回4.若函数y＝log2(2x-4)+1的图象按a平移后图象的解析式为y＝log22x，求a. 延伸·拓展返回【解题回顾】本题(2)是一道开放题，求解开放题的一般途径是假定命题成立.解出存在的值(如无解，则不存在)，再验证求出的解，如不矛盾，则存在. 5.已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)及OP＝OA+tAB，试问：
(1)t为何值时，P在x轴上?在y轴上?P在第二象限?
(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由. 1.利用定比分点解题时，一定要先把定比λ先明确，λ的意义是起点到分点的数量除以分点到终点的数量，不能算错.
2.利用平移公式解题时，一定要分清原坐标与新坐标之间关系.误解分析返回总 课 题
向量的坐标表示
总课时
第23课时
分 课 题
平面向量的坐标运算
分课时
第2课时
教学目标
掌握平面向量的坐标表示及坐标运算
重点难点
掌握平面向量的坐标表示及坐标运算；平面向量坐标表示的理解
?引入新课
1、在直角坐标平面内一点是如何表示的？ 。
2、以原点为起点，为终点，能不能也用坐标来表示呢？例：
3、平面向量的坐标表示。
4、平面向量的坐标运算。
已知、、实数，那么
； ； 。
?例题剖析
例1、如图，已知是坐标原点，点在第一象限，，，求向量的坐标。
例2、如图，已知，，，，求向量，，，的坐标。
例3、用向量的坐标运算解：如图，质量为的物体静止的放在斜面上，斜面与水平面的夹角为，求斜面对物体的摩擦力。
例4、已知，，是直线上一点，且，求点的坐标。
?巩固练习
1、与向量平行的单位向量为（ ）
、 、 、或 、
2、已知是坐标原点，点在第二象限，，，求向量的坐标。
3、已知四边形的顶点分别为，，，，求向量，的坐标，并证明四边形是平行四边形。
4、已知作用在原点的三个力，，，求它们的合力的坐标。
5、已知是坐标原点，，，且，求的坐标。
?课堂小结
平面向量的坐标表示；平面向量的坐标运算。
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、若向量，，则， 的坐标分别为（ ）
、， 、， 、， 、，
2、已知，终点坐标是，则起点坐标是 。
3、已知，，向量与相等.则 。
4、已知点，，，则 。
5、已知的终点在以，为端点的线段上，则的最大值和最小值分别等于 。
6、已知平行四边形的三个顶点坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标。
7、已知向量，，点为坐标原点，若向量，，求向量的坐标。
8、已知点，及，，求点，和的坐标。
三、能力题
9、已知点，，，若点满足，
当为何值时：（1）点在直线上？ （2）点在第四象限内？
总 课 题
向量的坐标表示
总课时
第24课时
分 课 题
向量平行的坐标表示
分课时
第 3 课时
教学目标
掌握向量平行的坐标表示方法
重点难点
掌握向量平行的坐标表示及理解
?引入新课
1、平行向量（共线向量）
__________________________________________________________________________
2、共线向量基本定理
__________________________________________________________________________
3、向量平行的坐标表示
__________________________________________________________________________
与是否平行？__________；此时向量与的坐标满足_________。
一般地，设向量，，如果，那么______________,反过来，如果__________________，那么。
证明：
?例题剖析
例1、已知与，当实数为何值时，向量与平行？并确定此时它们是同向还是反向。
例2、已知与，且，求实数的值。
例3、已知，，，求证：三点共线。
例4、已知点的坐标分别为，，，，是否存在常数，使成立？解释你所得结论的几何意义。
?巩固练习
1、已知与，且，求实数的值。
2、已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是，，，求第四个顶点的坐标。
3、已知，，，求证：三点共线。
?课堂小结
向量平行的代数式表示，坐标表示。
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、下列各组向量中，共线的是 （ ）
A、， B、 ，
C、， D、，
2、已知向量，，当与平行时，的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
3、若向量与共线且方向相反，则_____________。
4、若向量，，且，则_____________。
5、已知，则与同方向的单位向量________________。
6、已知和，如果点在直线上，则________。
7、已知四点的坐标分别为，，，
证明：四边形是梯形
8、已知向量，，当为何值时：
（1） （2）
二、提高题
9、若向量，，且，，且，求的值。
三、能力题
10、设向量，，，当为何值时，三点共线。
1．若向量a＝(1，－2)的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是__________．
解析：设始点坐标为(x，y)，则(0－x,0－y)＝(1，－2)，则
答案：(－1,2)
2．已知点A(1，－3)和向量a＝(3,4)，若＝2a，则点B的坐标为__________．
解析：＝2a＝2(3,4)＝(6,8)，所以＝＋＝(1，－3)＋(6,8)＝(7,5)．
答案：(7,5)
3．已知a＝(－3,4)，则a的相反向量的坐标为__________．
答案：(3，－4)
4．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，则向量a－b＝__________.
解析：a＝，b＝，
故a－b＝(－1,2)．
答案：(－1,2)
一、填空题
1．设向量a＝(1,2)，b＝(2,3)．若向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，则λ＝________.
解析：∵a＝(1,2)，b＝(2,3)，
∴λa＋b＝(λ，2λ)＋(2,3)＝(λ＋2,2λ＋3)．
∵向量λa＋b与向量c＝(－4，－7)共线，
∴－7(λ＋2)＋4(2λ＋3)＝0.∴λ＝2.
答案：2
2．已知e1＝(1,2)，e2＝(－2,3)，a＝(－1,2)，试以e1，e2为基底，将a分解为λ1e1＋λ2e2的形式为__________．
解析：设a＝λ1e1＋λ2e2(λ1，λ2∈R)，
则(－1,2)＝λ1(1,2)＋λ2(－2,3)
＝(λ1－2λ2,2λ1＋3λ2)，
∴解得
∴a＝e1＋e2.
答案：a＝e1＋e2
3．点P在平面上做匀速直线运动，速度向量v＝(4，－3)(即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位)．设开始时点P的坐标为(－10,10)，则5秒后点P的坐标为__________．
解析：不妨设5秒后移动到点P′.据题意有：＝tv＝t(4，－3)＝(4t，－3t)．由于点P的运动方向与v同向且速度为每秒|v|＝5个单位，故5秒运动25个单位，即：|PP′|＝25，∴25t2＝252，∴t＝±5，
又∵与v同向，∴t＝5，
∴＝5(4，－3)＝(20，－15)，
∴P′(10，－5)．
答案：(10，－5)
4．已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则k＝__________.
解析：＝(4－k，－7)，＝(－2k，－2)，又A，B，C三点共线，所以∥.所以(－2)×(4－k)－(－7)×(－2k)＝0，所以k＝－.
答案：－
5．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则＋等于__________．
解析：＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，∵∥，∴(a－2)(b－2)－4＝0，∴ab－2(a＋b)＝0，该等式两边同除以ab，可得＝0，∴1－2(＋)＝0，
∴＋＝.
答案：
6．已知平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝__________.
解析：因为a∥b，所以1∶(－2)＝2∶m，所以m＝－4，所以b＝(－2，－4)，所以2a＋3b＝(2,4)＋(－6，－12)＝(－4，－8)．
答案：(－4，－8)
7．已知P＝{a|a＝(1,0)＋m(0,1)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1,1)＋n(－1,1)，n∈R}是两个向量集合，则P∩Q等于________．
解析：因为a＝(1，m)，b＝(1－n,1＋n)，若a＝b，则，∴.得P∩Q＝{(1,1)}．
答案：{(1,1)}
8．对于任意的两个向量m＝(a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋ad)，运算“⊕”为m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1,2)?m＝(5,0)，则(1,2)⊕m等于__________．
解析：由(1,2)?m＝(5,0)，可得解得∴(1,2)⊕m＝(1,2)⊕(1，－2)＝(2,0)．
答案：(2,0)
二、解答题
9．已知点O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，且＝＋t，求：
(1)t为何值时，P在x轴上？P在y轴上？P在第二象限内？
(2)四边形OABP能否成为平行四边形？若能，求出相应的t值；若不能，请说明理由．
解：(1)由已知得：＝(1,2)，＝(3,3)，则＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)．若P在x轴上，只需2＋3t＝0，则t＝－；若P在y轴上，只需1＋3t＝0，则t＝－；若P在第二象限内，只需1＋3t＜0，且2＋3t＞0，解得－＜t＜－.
(2)＝(1,2)，＝(4,5)，＝(1＋3t,2＋3t)，则＝(3－3t,3－3t)．若四边形OABP为平行四边形，只需＝，即此方程组无解，故四边形OABP不能组成平行四边形．
10．已知向量＝(4,3)，＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
(2)若点P(2，y)满足＝λ(λ∈R)，求y与λ的值．
解：(1)设B(x1，y1)．
∵＝(4,3)，A(－1，－2)，
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4,3)，
∴解得
∴B(3,1)．同理可得D(－4，－3)．
设线段BD的中点M的坐标为(x2，y2)，
则x2＝＝－，y2＝＝－1，
∴M.
(2)∵＝(3,1)－(2，y)＝(1,1－y)，
＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)，＝λ，
∴(1,1－y)＝λ(－7，－4)，
∴解得
11．已知三点A，B，C的坐标分别为(－1,0)，(3，－1)，(1,2)，并且＝，＝.求证：∥.
证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，由题意，得＝(1－(－1)，2－0)＝(2,2)，＝(3－(－1)，－1－0)＝(4，－1)，＝(1－3,2－(－1))＝(－2,3)．因为＝＝，所以(x1－(－1)，y1－0)＝，所以得点E坐标为.因为＝＝，所以(x2－3，y2－(－1))＝，所以得点F坐标为，所以＝＝.
因为4×－×(－1)＝0，所以∥.
第七课时 平面向量的坐标运算（一）
教学目标：
理解平面向量的坐标概念，掌握已知平面向量的和、差，实数与向量的积的坐标表示方法.
教学重点：
平面向量的坐标运算.
教学难点：
理解向量坐标化的意义.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们学习了平面向量的基本定理，这一节，我们将利用此定理推得平面向量的坐标表示.
我们知道，在直角坐标系内，第一个点都可以用一个有序实数对(x，y)来表示，本节我们将把向量放入直角坐标平面内，同样用有序数对(x，y)来表示.
Ⅱ.讲授新课
1.平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，i、j为x轴、y轴正方向的单位向量(一组基底)，由平面向量的基本定理可知：平面内任一向量a，有且只有一对实数x，y，使a＝xi＋yj成立.
2.平面向量的坐标运算
若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，
a－b＝(x1－x2，y1－y2).
即：平面内一个向量的坐标等于此向量有向线段的终点坐标减去始点坐标.
3.实数与向量积的坐标表示
若a＝(x，y)，则λa＝(λx，λ y)
4.向量平行的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，由a∥b存在实数λ，使a＝λb.
∴(x1，y1)＝λ(x2，y2)＝(λx2，λ y2)，
∴x1＝λx2，y1＝λy2.
消去λ得：x1y2－x2y1＝0，
∴a∥bx1y2－x2y1＝0.(b≠0)
［例1］已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，
(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.
解：∵a＝(1，1)，b＝(x，1)，∴u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)
v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1)
(1)u＝3v(2x＋1，3)＝3(2－x，1)
(2x＋1，3)＝(6－3x，3)
∴2x＋1＝6－3x，解得x＝1
(2)u∥v(2x＋1，3)＝λ(2－x，1)
(2x＋1)－3(2－x)＝0x＝1
评述：对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应要求学生引起重视.
［例2］平行四边形ABCD的对角线交于点O，且知＝(3，7)，＝(－2，1)，求坐标.
分析：要求得的坐标，只要求得的坐标即可.
解：由＝(3，7)，＝(－2，1)，
可有＝－＝(－2，1)－(3，7)＝(－5，－6)
∴＝＝ (－5，－6)＝(－，－3)
评述：向量的加、减法，实数与向量的积是向量的基本运算，对于用坐标表示的向量需运用向量的坐标运算法则，而几何图形中的向量应结合向量加、减法的几何意义以方便寻找关系.
［例3］下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的判断是( )
(1)e1＝(－1，2)，e2＝(5，7); (2)e1＝(3，5)，e2＝(6，10);
(3)e1＝(2，－3)，e2＝(，－).
A.(1) B.(1)(3) C.(2)(3) D.(1)(2)(3)
解：(1)∵－1×7≠2×5
∴e1e2故e1、e2可作为基底.
(2)∵3×10=5×6.
∴e1∥e2故e1，e2不能作为基底.
(3)∵2×(－)=－3×.
∴e1∥e2故e1，e2不能作为基底. 故选A
评述：本题考查基底的概念，及两向量平行的充要条件的坐标形式.
Ⅲ.课堂练习
课本P74练习1，2，3，4，5，6
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的坐标表示，熟练平面向量的坐标运算，并能进行简单的应用.
Ⅴ.课后作业
课本P76习题 1，2，3，4
第八课时 平面向量的坐标运算（二）
教学目标：
掌握已知平面向量的和、差，实数与向量的积的坐标表示方法并能熟练运用.
教学重点：
平面向量的坐标运算.
教学难点：
平面向量的坐标运算.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
平面向量的坐标运算法则.
Ⅱ.讲授新课
［例1］已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，那么与是否共线?线段AB与线段AC是否共线?
解：∵＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，又2×6－3×4＝0，
∴∥，∴与共线.
又直线AB与直线AC显然有公共点A，
∴A、B、C三点共线，即线段AB与线段AC共线.
综上，与共线，线段AB与线段AC也共线.
［例2］已知ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别为(－2，1)、(－1，3)、(3，4)，求顶点D的坐标.
对此题，课本是利用向量相等(即＝)来求解的，较为简便.另外，此题若利用同学们刚学过且也较为熟悉的向量加法或减法都是可以顺利求解的，为开拓同学们的解题思路，下面就介绍这下面六种解法.
解法一：(利用向量加法)
先依题意在坐标系内作出ABCD(如图)，设顶点D的坐标为(x，y)，并连结OA、OD，则＝＋.
∵＝，∴＝＋
∴(x，y)＝(－2，1)＋(3－(－1)，4－3)
＝(－2，1)＋(4，1)＝(2，2)
∴顶点D的坐标为(2，2).
解法二：(利用向量减法)
先依题意在坐标系内作出ABCD(如图)，设顶点D的坐标为(x，y)，并连结OA、OD，则＝－
∵＝，∴＝－，
∴(x，y)＝(3－(－1)，4－3)－(0－(－2)，0－1)
＝(4，1)－(2，－1)＝(2，2)
∴顶点D的坐标为(2，2).
解法三：(利用中点的向量表达式)
如图，在ABCD中，AC的中点M即是BD的中点.
∵＝ (＋)＝ (＋)，
＋＝＋，
＝＋－
＝(－2，1)＋(3，4)－(－1，3)＝(2，2).
∴顶点D的坐标为(2，2).
解法四：(利用中点坐标公式)
如图，在ABCD中，AC的中点即为BD的中点，设点D的坐标为(x，y)，则
. 解得x＝2，y＝2.
∴顶点D的坐标为(2，2).
解法五：(利用平面内两点间的距离公式)
如图，设点D的坐标为(x，y).
在ABCD中，｜｜＝｜｜，｜｜＝｜｜，
有
解得，.
经检验是方程组的解.
∴顶点D的坐标为(2，2).
解法六：(利用平行四边形对边的向量相等)
如上图，设顶点D的坐标为(x，y)，
在ABCD中， ＝， ＝(x＋2，y－1)，
＝(4，1)，(x＋2，y－1)＝(4，1)，
即， 解得x＝2，y＝2，
∴顶点D的坐标为(2，2).
［例3］在△OAB中，＝a，＝b，设点M分所成的比为2∶1，点N分所成的比为3∶1，而OM和BN交于点P，试用a和b表示OP.
解：＝＋＝＋
＝＋ (－)＝＋
＝a＋b
∵与共线，设＝a＋b ①
又∵与共线，设＝s，
∴＝＋＝＋s＝＋s(－)
＝(1－s) ＋s＝ (1－s) ＋s
＝ (1－s)a＋sb ②
由①②知 ∴t＝，＝a＋b
［例4］向量b＝(－3，1)，c＝(2，1)，若向量a与c共线，求｜b＋a｜的最小值.
解：设a＝λc＝(2λ，λ)，
则b＋a＝(－3＋2λ，1＋λ)，
∴｜b＋a｜＝＝
＝≥
∴｜b＋a｜的最小值为，此时a＝c.
［例5］已知b的方向与a＝(－3，4)的方向相同，且｜b｜＝15，求b.
解：设a的单位向量为e，
则e＝＝(－，); ∵b与a方向相同
∴b＝｜b｜·e＝15·(－，)＝(－9，12)
∴b＝(－9，12).
Ⅲ.课堂练习
课本P76练习1，2，3
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的坐标表示，熟练平面向量的坐标运算，并能进行简单的应用.
Ⅴ.课后作业
课本P77习题 5，6，7，8
平面向量的坐标运算
1．已知a＝（－1，3），b＝（x，1），且a∥b，则x等于 （ ）
A.3 B. C.－3 D.－
2．已知A（x，2），B（5，y－2)，若＝（4，6），则x、y的值为 （ ）
A.x＝－1，y＝0 B.x＝1，y＝10
C.x＝1，y＝－10 D.x＝－1，y＝－10
3．已知M（3，－2），N（－5，－1），＝，则P点的坐标为 （ ）
A.（－8，1） B.（－1，－） C.（1，） D.（8，－1）
4．若a－b＝（1，2），a＋b＝(4，－10），则a等于 （ ）
A.（－2，－2） B.（2，2） C.（－2，2） D.（2，－2）
5．若向量a＝（－1，x)，b＝(－x，2）共线且方向相同，则x＝ .
6．已知向量＝（k，12），＝（4，5），＝（10，k）若A、B、C三点共线，则k＝ .
7．已知|a|＝2，b＝(－1，），且a∥b，则a＝ .
8．已知作用于坐标原点的三个力F1（3，4），F2（2，－5），F3（3，1），求作用于原点的合力F1＋F2＋F3的坐标.
9．设A、B、C、D四点坐标分别为（－1，0），（0，2），（2，），（，），求证：ABCD为梯形.
10．已知A（2，3），B（－1，5），满足＝，＝3，＝－，求C、D、E三点坐标.
平面向量的坐标运算答案
1．D 2．B 3．B 4．D 5． 6．11或－2 7．（－，3）或（，－3）
8．解：由F1＋F2＋F3＝（3，4）＋（2，－5）＋（3，1）＝（8，0）
9．证明：∵＝（1，2），＝（，1）＝
∴∥，且||＝2||
∴四边形ABCD为梯形.
10．解：由A（2，3），B（－1，5）得＝（－3，2）
∴＝＝（－1，） ∴C（1，）
＝3＝（－9，6） ∴D（－7，9）
又∵＝－＝（，－） ∴E（，）
课件17张PPT。平面向量的坐标表示及运算复习回顾平面向量基本定理的内容是什么？思考：
既然向量是既有大小又有方向的量，那如何刻画向量a的相对位置呢？探索1:以坐标原点O为起点，P为终点的向量能否用坐标表示？如何表示？向量的坐标表示在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?探索2: 在平面直角坐标系内，起点不在坐标原点O的向量如何用坐标来表示?探索2: 在平面直角坐标系内，若分别取与X轴、Y轴正方向相同的两个单位向量 i , j作为基底，任作一向量a，由平面向量基本定理知，有且仅有一对实数 x , y ,使得 a=x i+y j.归纳总结2、单位向量 i1、 a=x i+y j =( x , y) 称其为向量的坐标形式. = (0,0)=（1，0），j =（0，1）平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？探索3： （1）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ，
求a + b , a – b .
（2）已知a =(x1 , y1)和实数 ，
求 a的坐标 .如何计算？ 向量的坐标运算A解：由图可知同理课时小结:2 加、减法法则.a + b=( x1 , y1) + (x2 ,? y2)= (x1+x2 , y1+y2)3 实数与向量积的运算法则：λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =(λx , λy) 4 向量坐标.若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)1 向量坐标定义.则 =(x2 - x1 , y2 – y1 ) a - b=( x1 , y1) - (x2 ,? y2)= (x1- x2 , y1-y2)
