课件19张PPT。2.4.1 平面向量数量积的
物理背景及其含义学法指导1.多动脑筋
2.数形结合
3.总结基本题型
4.限时训练复习：数乘复习：向量的夹角OθOθOOO 我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移sθS力F所做的功W可用下式计算
W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。向量的数量积已知两个非零向量 与 ，它们的
夹角为θ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积,点乘），思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？当0°≤θ ＜ 90°时 为正；当90°＜θ ≤180°时 为负。当θ =90°时 为零。 例1练习例题：在△ABC中， ，求解：例题：在△ABC中， ，求解：练习总结规律：练习总结规律：练习总结规律：练习总结规律：思考：比较大小小结：1.
2.作业A.小结
B.P121 A1（前两个）， A2
小结高中苏教数学④2.4~2.5测试题
一、选择题
1．a、b为非零向量，且|a+b|=|ab|，则以下判断错误的是（ ）
Ａ．a·b=0
Ｂ．a∥b
Ｃ．a⊥b
Ｄ．以a，b为邻边的平行四边形为矩形
答案：B
2．设a、b为单位向量，它们的夹角为90°，那么|a+3b|等于（ ）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．4
答案：B
3．已知i、j分别为x轴、y轴方向上的单位向量，若，那么等于（ ）
Ａ．63 Ｂ． Ｃ．33 Ｄ．
答案：B
4．若向量a，b的夹角是60°，|b|=4，（a+2b）·（a3b）=72，则向量a的模是（ ）
Ａ．2 Ｂ．4 Ｃ．6 Ｄ．12
答案：C
5．在△ABC中，AB=a，AC=b，当a·b＜0时，△ABC为（ ）
Ａ．直角三角形 Ｂ．锐角三角形
Ｃ．钝角三角形 Ｄ．等腰三角形
答案：C
6．若向量a、b、c满足a+b+c=0，|a|=3，|b|=1，|c|=4，则ab+bc+ca等于（ ）
Ａ．11 Ｂ．12 Ｃ．13 Ｄ．14
答案：C
二、填空题
7．已知a·b=12，且|b|=5，则向量a在向量b方向上的射影为 ．
答案：
8．已知点A（2，4）、点B（2，y），若，则 ．
答案：或
9．已知点，则∠BAC的余弦值为 ．
答案：
10．已知，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是 ．
答案：
三、解答题
11．已知向量，其中e1=（1，0），e2=（0，1），求：
（1）a·b，|a+b|；
（2）a与b的夹角的余弦值．
解：（1）
，
．
；
（2）
12．的顶点为，重心．求：
（1）边上的中线长；
（2）边上的高的长．
解：由题意可得解得
．
（1）的中点为，，
边的中线长；
（2），
可找到与垂直的一个向量．
在向量方向上的投影为．
边上的高的长为．
13．已知O为△ABC所在平面内的一点，且满足，试判断△ABC的形状．
解：
为等腰三角形．
14．已知，设C是直线OP上的一点，其中O为坐标原点．
（1）求使取得最小值时向量的坐标；
（2）当点C满足（1）时，求cos∠ACB．
解：（1）点在直线上，
可设．
，
，
．
．
当时，取得最小值，
此时；
（2）当时，，
．
课件12张PPT。2.4 平面向量的数量积学习目标:1.平面向量的数量积的定义及几何意义2.平面向量数量积的性质及运算律 3.平面向量数量积的坐标表示 4.平面向量的模、夹角 平面向量的数量积的定义│b│cosθ叫做向量b在向量a上的投影。规定：零向量与任意向量的数量积为0，即 0． 注: 两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定 a · b不能写成a×b ，a×b 表示向量的另一种运算．向量数量积的几何意义OB＝ │b│cosθ运算律：1．2．3．平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即平面向量的模、夹角（1）设a =（x，y），则 或|a |= .即平面内两点间的距离公式．（2）写出向量夹角公式的坐标式，向量平行和垂直的坐
标表示式. 例1．已知|a |=5，|b |=4，a与b的夹角 ，求a ·b.解： a ·b =|a | |b |cosθ解：练习1 已知 ， ， ，求证 是直角三角形. 证明：∵∴ 是直角三角形. 练习2、求 与向量的夹角为 的单位向量． 解：设所求向量为 ∵ a 与b 成 ∴ 另一方面 ∴ ……① 1.平面向量的数量积的定义及几何意义2.平面向量数量积的性质及运算律 3.平面向量数量积的坐标表示 4.平面向量的模、夹角 小结：作业：课件17张PPT。 2.4 平面向量的数量积学法指导1.多动脑筋
2.数形结合
3.总结基本题型
4.限时训练向量的数量积已知两个非零向量 与 ，它们的
夹角为θ，我们把数量
叫做 与 的数量积（或内积,点乘），思考：向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？当0°≤θ ＜ 90°时 为正；当90°＜θ ≤180°时 为负。当θ =90°时 为零。练习例题：在△ABC中， ，求解：练习练习求向量模的方法数量积运算律经验证，数量积满足如下运算率常用公式 例题 例题例4 θO投影OθO练习P119 练习 3 小结：1.
2.可用来求向量的模3.投影作业
1．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在b方向上的投影为________．
解析 |a|·cos θ＝＝.
答案
2．平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2,0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
解析 ∵|a|＝2，∴|a＋2b|2＝(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12，
∴|a＋2b|＝2.
答案 2
3．已知|a|＝1，|b|＝2，|c|＝4，a与c的夹角为90°，b与c的夹角为60°，则(a＋b)·c＝________.
解析 (a＋b)·c＝a·c＋b·c＝|b||c|cos 60°
＝2×4×＝4.
答案 4
4．设|a|＝3，|b|＝5，且a＋λb与a－λb垂直，则λ＝________.
解析 (a＋λb)·(a－λb)＝a2－λ2b2
＝9－25λ2＝0，∴λ＝±.
答案 ±
5．已知|a|＝2，|b|＝3，若a∥b，则a·b＝________；若a⊥b，则a·b＝________.
解析 当a∥b时，则a与b的夹角为0°或180°；若θ＝0°，则a·b＝|a||b|＝6；若θ＝180°，则a·b＝－|a||b|＝－6.当a⊥b时，a·b＝0.
答案 ±6 0
6.
如图，已知正三角形ABC的边长为1，求：
(1)·；(2)·；
(3)·.
解 (1)与的夹角为60°.
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
(2)与的夹角为120°.
∴·＝||||cos 120°
＝1×1×－＝－.
(3)与的夹角为60°.
∴·＝||||cos 60°＝1×1×＝.
7．若向量|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，则|a＋b|＝________.
解析 ∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|＝2，∴a2－2a·b＋b2＝4，即|a|2－2a·b＋|b|2＝4，
得1－2a·b＋4＝4，∴2a·b＝1.
于是|a＋b|＝＝＝＝.
答案
8．下列等式中，其中正确的是________．
①|a|2＝a2；②＝；
③(a·b)2＝a2·b2；
④(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.
解析 ①|a|2＝a2是向量数量积的性质，在求模计算中常用；
②＝＝cos θ≠；
③(a·b)2＝(|a||b|cos θ)2＝|a|2|b|2cos2θ≠a2·b2；
④(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋a·b＋b·a＋b2
＝a2＋2a·b＋b2.
答案 ①④
9．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为________．
解析 因为(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝0
∴a·b＝－|b|2，设a与b的夹角为θ
∴cos θ＝＝＝－，∴θ＝120°.
答案 120°
10．若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为________．
解析 ∵a·b＝|a|·|b|·cos 60°＝2|a|，
∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72，∴|a|＝6，|a|＝－4(舍去)．
答案 6
11．已知向量a与b的夹角θ＝120°，且|a|＝4，|b|＝2，求：
(1)a·b；(2)(a－2b)·(a＋b)；(3)|3a－4b|.
解 (1)a·b＝|a||b|cos θ＝4×2×cos 120°＝8×＝－4.
(2)(a－2b)·(a＋b)＝a·(a＋b)－2b·(a＋b)
＝|a|2＋a·b－2a·b－2|b|2
＝|a|2－a·b－2|b|2
＝16－(－4)－2×4＝12.
(3)因为(3a－4b)2＝9|a|2－24a·b＋16|b|2＝9×16－24×(－4)＋16×4＝16×19，
所以|3a－4b|＝＝＝4.
12．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．
解 ∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，
∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×＝.
|a|＝|2m＋n|＝
＝
＝ ＝，
|b|＝|2n－3m|＝
＝
＝ ＝，
a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2
＝－6×1＋2×1＝－.
设a与b的夹角为θ，则
cos θ＝＝＝－.
又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.
13．(创新拓展)在△ABC中，＝c，＝a，＝b，且a·b＝b·c＝c·a，判断△ABC的形状．
解 在△ABC中，易知＋＋＝0，即a＋b＋c＝0，因此a＋c＝－b，a＋b＝－c，从而，两式相减可得b2＋2a·b－c2－2a·c＝c2－b2.
因为a·b＝c·a＝a·c，所以2b2＝2c2，即|b|＝|c|.
同理可得|a|＝|b| ，故||＝||＝||，即△ABC是等边三角形．
第九课时 平面向量的数量积及运算律(一)
教学目标：
掌握平面向量的数量积及其几何意义，掌握平面向量数量积的重要性质及运算律，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件.
教学重点：
平面向量的数量积定义.
教学难点：
平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用.
教学过程：
Ⅰ.课题引入
在物理课中，我们学过功的概念，即如果一个物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W可由下式计算：
W＝｜F｜·｜s｜cosθ
其中θ是F与s的夹角.
从力所做的功出发，我们引入向量数量积的概念.
Ⅱ.讲授新课
1.两个非零向量夹角的概念
已知非零向量a与b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ (0≤θ≤π)叫a与b的夹角.
说明：(1)当θ＝0时，a与b同向；
(2)当θ＝π时，a与b反向；
(3)当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b；
(4)注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.
2.数量积的定义
已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则数量｜a｜｜b｜cosθ叫a与b的数量积，记作a·b，即有a·b＝｜a｜｜b｜cosθ(0≤θ≤π).
说明：(1)零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0；
(2)符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.
3.数量积的几何意义
两个向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在其上的投影值的乘积.
说明：这个投影值可正可负也可为零，所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.
4.数量积的重要性质
设a与b都是非零向量，e是单位向量，θ0是a与e夹角，θ是a与b夹角.
①e·a＝a·e＝｜a｜cosθ0
②a⊥ba·b＝0
③当a与b同向时，a·b＝｜a｜｜b｜
当a与b反向时，a·b＝－｜a｜｜b｜
特别地，a·a＝｜a｜2或｜a｜＝＝
④cosθ＝
⑤｜a·b｜≤｜a｜｜b｜
说明：上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证.
5.数量积的运算律
已知a，b，c和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
①a·b＝b·a (交换律)
②(λa)·b＝λ (a·b)＝a·(λb) (数乘结合律)
③(a＋b)·c＝a·c＋b·c (分配律)
说明：(1)一般地，(a·b)c≠a(b·c)
(2)a·c＝b·c，c≠0a＝b
(3)有如下常用性质：a2＝｜a｜2，
(a＋b)·(c＋d)＝a·c＋a·d＋b·c＋b·d
(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2
［师］为使大家进一步熟悉数量积的性质，加深对数量积定义的理解，我们来看下面的例题.
［例题］判断正误，并简要说明理由.
①a·0＝0；②0·a＝0；③0－＝；④｜a·b｜＝｜a｜｜b｜；⑤若a≠0，则对任一非零b有a·b≠0；⑥a·b＝0，则a与b中至少有一个为0；⑦对任意向量a，b，c都有(a·b)c＝a(b·c)；⑧a与b是两个单位向量，则a2＝b2.
分析：根据数量积的定义、性质、运算律，逐一判断.
解：上述8个命题中只有③⑧正确；
对于①：两个向量的数量积是一个实数，应有0·a＝0；
对于②：应有0·a＝0；
对于④：由数量积定义有｜a·b｜＝｜a｜｜b｜·｜cosθ｜≤｜a｜｜b｜，这里θ是a与b的夹角，只有θ＝0或θ＝π时，才有｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜；
对于⑤：若非零向量a、b垂直，有a·b＝0；
对于⑥：由a·b＝0可知a⊥b可以都非零；
对于⑦：若a与c共线，记a＝λc.
则a·b＝(λc)·b＝λ (c·b)＝λ (b·c)，
∴(a·b)c＝λ (b·c)c＝(b·c)λ c＝(b·c)a
若a与c不共线，则(a·b)c≠(b·c)a.
评述：这一类型题，要求学生确实把握好数量积的定义、性质、运算律.
说明：
1.概念辨析：正确理解向量夹角定义
对于两向量夹角的定义，两向量的夹角指从同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因对向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些易见的错误，如：
［例1］已知△ABC中，a＝5，b＝8，C＝60°，求·.
对此题，有同学求解如下：
解：如图，∵｜｜＝a＝5，｜｜＝b＝8，C＝60°，
∴·＝｜｜｜｜cosC＝5×8cos60°＝20.
分析：上述解答，乍看正确，但事实上确实有错误，原因就在于
没能正确理解向量夹角的定义，即上例中与两向量的起点并不同，因此，C并不是它们的夹角，而正确的夹角应当是C的补角120°.
2.向量的数量积不满足结合律
分析：若有(a·b)·c＝a·(b·c)，设a、b夹角为α，b、c夹角为β，则
(a·b)·c＝｜a｜·｜b｜cosα·c，a·(b·c)＝a·｜b｜｜c｜cosβ.
∴若a＝c，α＝β，则｜a｜＝｜c｜，进而有：(a·b)c＝a·(b·c)
这是一种特殊情形，一般情况则不成立.举反例如下：
已知｜a｜＝1，｜b｜＝1，｜c｜＝，a与b夹角是60°，b与c夹角是45°，则：
(a·b)·c＝(｜a｜｜b｜cos60°)·c＝c，
a·(b·c)＝(｜b｜｜c｜cos45°)·a＝a
而c≠a，故(a·b)·c≠a·(b·c)
3.等式的性质“实数a、b、c，且ab＝ac，a≠0推出b＝c”这一性质在向量推理中不正确.
［例2］举例说明a·b＝a·c，且a≠0，推不出b＝c.
解：取｜a｜＝1，｜b｜＝，a与b的夹角为45°，｜c｜＝，a与c的夹角为0°，显然a·b＝a·c＝，但b≠c.
4.“如果ab＝0，那么a，b中至少有一个为零”这一性质在向量推理中不正确.
［例3］已知｜a｜＝2，｜b｜＝3，a与b的夹角为90°，求a·b.
解：a·b＝2×3×cos90°＝0，显然a≠0，b≠0，由a·b＝0可推出以下四种可能：
①a＝0，b≠0; ②b＝0，a≠0;
③a＝0且b＝0; ④a≠0且b≠0但a⊥b.
Ⅲ.课堂练习
课本P80练习1，2，3
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量的数量积的定义、重要性质、运算律，并能运用它们解决相关的问题.
Ⅴ.课后作业
课本P82习题 1，2，3
第十课时 平面向量的数量积及运算律(二)
教学目标：
掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题.
教学重点：
平面向量数量积及运算规律.
教学难点：
平面向量数量积的应用.
教学过程：
Ⅰ.复习回顾
上一节，我们一起学习向量数量积的定义，并一起由定义推证了5个重要性质，并得到了三个运算律，首先我们对上述内容作一简要回顾.
这一节，我们通过例题分析使大家进一步熟悉数量积的定义、性质、运算律，并掌握它们的应用.
Ⅱ.讲授新课
［例1］已知：｜a｜＝3，｜b｜＝6，当①a∥b，②a⊥b，③a与b的夹角是60°时，分别求a·b.
分析：由数量积的定义可知，它的值是两向量的模与它们夹角余弦值的乘积，只要能求出它们的夹角，就可求出a·b.
解：①当a∥b时，若a与b同向，则它们的夹角＝0°，∴a·b＝｜a｜｜b｜cos0°＝3×6×1＝18；
若a与b反向，则它们的夹角θ＝180°，
∴a·b＝｜a｜｜b｜cos180°＝3×6×(－1)＝－18；
②当a⊥b时，它们的夹角θ＝90°，
∴a·b＝0；
③当a与b的夹角是60°时，有
a·b＝｜a｜｜b｜cos60°＝3×6×＝9
评述：两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当a∥b时，有0°或180°两种可能.
［例2］已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角.
分析：要求a与b的夹角，只要求出a·b与｜a｜，｜b｜即可.
解：由已知(a＋3b)⊥(7a－5b)(a＋3b)·(7a－5b)＝07a2＋16a·b－15b2＝0 ①
又(a－4b)⊥(7a－2b)(a－4b)·(7a－2b)＝07a2－30a·b＋8b2＝0 ②
①－②得：46a·b＝23b2
即有a·b＝b2＝｜b｜2，
将它代入①可得：
7｜a｜2＋8｜b｜2－15｜b｜2＝0
即｜a｜2＝｜b｜2有｜a｜＝｜b｜
∴若记a与b的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝
又θ∈［0°，180°］，∴θ＝60°
所以a与b的夹角为60°.
［例3］四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形?
分析：四边形的形状由边角关系确定，关键是由题设条件演变、推算该四边形的边角量.
解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：∵a＋b＋c＋d＝0，
∴a＋b＝－(c＋d)，
∴(a＋b)2＝(c＋d)2
即｜a｜2＋2a·b＋｜b｜2＝｜c｜2＋2c·d＋｜d｜2
由于a·b＝c·d，
∴｜a｜2＋｜b｜2＝｜c｜2＋｜d｜2 ①
同理有｜a｜2＋｜d｜2＝｜c｜2＋｜b｜2 ②
由①②可得｜a｜＝｜c｜，且｜b｜＝｜d｜即四边形ABCD两组对边分别相等.
∴四边形ABCD是平行四边形
另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，而由平行四边形ABCD可得a＝－c，代入上式得b·(2a)＝0
即a·b＝0，∴a⊥b也即AB⊥BC.
综上所述，四边形ABCD是矩形.
评述：(1)在四边形中，，，，是顺次首尾相接向量，则其和向量是零向量，即a＋b＋c＋d＝0，应注意这一隐含条件应用；
(2)由已知条件产生数量积的关键是构造数量积，因为数量积的定义式中含有边、角两种关系.
［例4］已知｜a｜＝2，｜b｜＝5，a·b＝－3，求｜a＋b｜，｜a－b｜.
解：∵｜a＋b｜2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝22＋2×(－3)＋52＝23
∴｜a＋b｜＝，∵(｜a－b｜)2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝22－2×(－3)＋52＝35，
∴｜a－b｜＝.
［例5］已知｜a｜＝8，｜b｜＝10，｜a＋b｜＝16，求a与b的夹角θ.
解：∵(｜a＋b｜)2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝｜a｜2＋2｜a｜｜b｜cosθ＋｜b｜2
∴162＝82＋2×8×10cosθ＋102， ∴cosθ＝，∴θ≈55°
［例6］在△ABC中，＝a，＝b，且a·b＜0，则△ABC的形状是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.不能确定
分析：此题主要考查两向量夹角的概念，应避免由a·b＝｜a｜｜b｜cosB＜0得cosB＜0，进而得B为钝角，从而错选C.
解：由两向量夹角的概念，
a与b的夹角应是180°－B
∵a·b＝｜a｜｜b｜cos(180°－B)＝－｜a｜｜b｜cosB＜0
∴cosB＞0
又因为B∈(0°，180°)所以B为锐角.
又由于角B不一定最大，
故三角形形状无法判定. 所以应选D.
［例7］设e1、e2是夹角为45°的两个单位向量，且a＝e1＋2e2，b＝2e1＋e2，
试求：｜a＋b｜的值.
分析：此题主要考查学生对单位向量的正确认识.
解：∵a＋b＝(e1＋2e2)＋(2e1＋e2)＝3(e1＋e2)，
∴｜a＋b｜＝｜3(e1＋e2)｜＝3｜(e1＋e2)｜＝3
＝3＝3
＝3.
［例8］设｜m｜＝2，｜n｜＝1，向量m与n的夹角为，若a＝4m－n，b＝m＋2n，c＝2m－3n，求a2＋3(a·b)－2(b·c)＋1的值.
解：∵｜m｜＝2，｜n｜＝1且m⊥n，
∴m2＝｜m｜2＝4，
n2＝｜n｜＝1，m·n＝0.
∴a2＋3(a·b)－2(b·c)＋1
＝(4m－n)2＋3(4m－n)·(m＋2n)－2(m＋2n)·(2m－3n)＋1
＝16m2－8m·n＋n2＋12m2＋24m·n－3n·m－6n2－4m2－6m·n－8n·m＋12n2＋1
＝24m2＋7n2＋1＝104.
Ⅲ. 课时小结
通过本节学习，要求大家掌握平面向量数量积的运算规律，掌握两个向量共线、垂直的几何判断，能利用数量积的5个重要性质解决相关问题.
Ⅳ. 课后作业
课本P83习题 4，7
平面向量的数量积及运算律
1．设a，b，c为任意非0向量，且相互不共线，则真命题为 （ ）
（1）（a·b）·c－(c·a)·b＝0 （2）|a|－|b|＜|a－b|
（3）(b·c)·a－(c·a)·b不与c垂直 （4）（3a+2b)(3a－2b)=9|a|2－4|b|2
A.（2）（4） B.（2）（3） C.（1）（2） D.（3）（4）
2．已知|a|＝3，|b|＝4，（a＋b）·（a＋3b）＝33，则a与b的夹角为 （ ）
A.30° B.60° C.120° D.150°
3．△ABC中，＝a，＝b，且a·b＞0，则△ABC为 （ ）
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形
4．已知等边△ABC的边长为1，且＝a，＝b，＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于 （ ）
A.－ B. C.0 D.
5．已知|a|2＝1，|b|2＝2，（a－b)⊥a，则a与b的夹角为 （ ）
A.60° B.90° C.45° D.30°
6．设e1，e2是两个单位向量，它们的夹角为60°，则（2e1－e2）（3e1＋2e2）＝ .
7．已知| i |＝| j |＝1，i·j＝0，且a＋b＝2i－8j，a－b＝8i＋16j，求a·b＝ .
8．已知|a|＝3，|b|＝5，如果a∥b，则a·b＝ .
9．已知a，b，c两两垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求r＝a＋b＋c的长及它与a，b，c的夹角的余弦.
10．设a，b为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k，使向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角为60°，若存在，求k值；若不存在，说明理由.
11．非零向量（a＋3b)⊥(2a－b)，(a－2b)⊥(2a＋b)，求向量a与b夹角的余弦值.
平面向量的数量积及运算律答案
1．A 2．C 3．C 4．A 5．C 6． 7．－63 8．±15
9．已知a，b，c两两垂直，且|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求r＝a＋b＋c的长及它与a，b，c的夹角的余弦.
解：|r|＝|a＋b＋c|＝
＝＝
设a＋b＋c与a、b、c的夹角分别为θ1，θ2，θ3
则cosθ1＝＝
同理cosθ2＝＝，cosθ3＝.
10．设a，b为两个相互垂直的单位向量，是否存在整数k，使向量m＝ka＋b与n＝a＋kb的夹角为60°，若存在，求k值；若不存在，说明理由.
解：∵|a|＝|b|＝1，又a·b＝0
m·n＝(ka＋b)·(a＋kb)＝2k，
又|m|＝，|n|＝
若cos60°＝＝＝
∴k2＋4k＋1＝0
∵k＝2±Z，∴不存在.
11．
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平面向量
总课时
第25课时
分 课 题
向量的数量积（1）
分课时
第 1 课时
教学目标
理解平面向量数量积的概念及其几何意义；知道两个向量数量积的性质；了解平面向量数量积的概念及其性质的简单应用。
重点难点
平面向量数量积的概念的理解；平面向量数量积的性质的应用。
?引入新课
1、已经知道两个非零向量与，它们的夹角是，我们把数量
叫做向量与向量的数量积，记作·。即·= 。·= 。
2、两个非零向量，夹角的范围为 。
3、（1）当，同向时，= ，此时·= 。
（2）当，反向时，= ，此时·= 。
（3）当时，= ，此时·= 。
4、·= = = 。
5、设向量，，和实数，则（1）（）·=·（ ）=（ ）=·
（2）·= ； （3）（+）·= 。
?例题剖析
例1、已知向量与向量的夹角为, ||=2 , ||=3 , 分别在下列条件下求·。
（1）=135° （2）// （3）⊥
变1：若·=，求。
变2：若=120°，求（4+）（3－2）和|+|的值。
变3：若（4+）（3－2）=－5，求。
变4：若|+|，求。
?巩固练习
判断下列各题正确与否，并说明理由。
（1）若，则对任意向量，有·； ______________________________
（2）若，则对任意向量，有·0； ______________________________
（3）若，·0，则； ______________________________
（4）若·0，则，中至少有一个为零； ______________________________
（5）若，··，则； ______________________________
（6）对任意向量，有； ______________________________
（7）对任意向量，，，有（·）··（·）；___________________
（8）非零向量，，若|+|=|－|，则；___________________________
（9）|·|≤||||。 ______________________________
2、在中, =, =, 当·<0 , ·=0时, 各是什么样的三角形？
?课堂小结
1、平面向量数量积的概念及其几何意义；2、数量积的性质及其性质的简单应用。
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、已知向量、，实数λ，则下列各式中计算结果为向量的有 。
①＋ ②－ ③λ ④· ⑤· ⑥(·)· ⑦·
2、设||=12，||=9，·=－54，则与的夹角= 。
3、在中，||=3, ||=4, ∠C=30°，则·=______________。
4、在中，=, =，且·>0，则是 三角形。
5、在中，已知||=||=4，且·=8，则这个三角形的形状为_________。
二、提高题
6、已知向量与向量的夹角为=120°，||=2 , |+|，求||。
7、已知，，且与的夹角为45°，设=5+2，=－3，求|+|的值。
三、能力题
8、在中，三边长均为1，且=，=，=，求·+·+·的值。
9、已知||=||=1，与的夹角是90°，=2+3，= k－4，且⊥，试求的值。
10、若||=||=2，与的夹角为=120°，那么实数为何值时，|－|的值最小。
总 课 题
平面向量
总课时
第26课时
分 课 题
向量的数量积（2）
分课时
第 2 课时
教学目标
掌握平面向量数量积的坐标表示；知道向量垂直的坐标表示的等价条件。
重点难点
平面向量数量积的坐标表示以及由此推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示。
?引入新课
1、（1）已知向量和的夹角是，||=2，||=1，则(+)2= ，|+|= 。
（2）已知：||=2，||=5，·=－3，则|+|= ，|－|= 。
（3）已知||=1，||=2，且(－)与垂直，则与的夹角为 。
2、设轴上的单位向量，轴上的单位向量，则·= ，·= ，·= ，·= ，若=，=，则= + . = + 。
3、推导坐标公式：·= 。
4、（1）=，则||=____________；，则||= 。
（2）= ；（3）⊥ ；（4） // 。
5、已知=，=，则||= ，||= ，·= ，
= ；= 。
?例题剖析
例1、已知=，=，求(3－)·(－2)，与的夹角。
例2、已知||=1，||=，+=，试求：
（1）|－| （2）+与－的夹角
例3、在中，设=，=，且是直角三角形，求的值。
?巩固练习
1、求下列各组中两个向量与的夹角：
（1）=，= （2）=，=
2、设，，，求证：是直角三角形。
3、若=，=，当为何值时：
（1） （2） （3）与的夹角为锐角
?课堂小结
1、向量数量积、长度、角度、平行、垂直的坐标表示；
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、设，，是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有 ：
① (·)－(·)= ② ||－||<|－
|③ (·)－(·)不与垂直 ④ (3+4)·(3－4)=9||2－16||2
⑤ 若为非零向量，·=·，且≠，则⊥（－）
2、若=，=且与的夹角为钝角，则的取值范围是 。
3、已知=，则与垂直的单位向量的坐标为 。
4、已知若=，=，则+与－垂直的条件是 。
二、提高题
5、已知的三个顶点的坐标分别为，，，判断三角形的形状。
6、已知向量=，||=2，求满足下列条件的的坐标。
（1）⊥ （2）
三、能力题
7、已知向量=，=。（1）求|+|和|－|；
（2）为何值时，向量+与－3垂直？
（3）为何值时，向量+与－3平行？
8、已知向量，，，其中分别为直角坐标系内轴与轴正方向上的单位向量。
（1）若能构成三角形，求实数应满足的条件；
（2）是直角三角形，求实数的值。
总 课 题
向量的线性运算
总课时
第27课时
分 课 题
向量的数量积（3）
分课时
第3课时
教学目标
熟练掌握向量数量积的相关知识。
重点难点
参数的确定
?引入新课
1、，则与的夹角为 。
2、若，，则的取值范围为 。
3、，与的夹角为，则= 。
= ， ， 。
4、，，则 。
5、，，则与垂直，则 。
6、，，，则与的夹角的余弦值是 。
?例题剖析
例1、已知，，，求满足下列条件的的范围：
（1） （2） （3）∥
例2、已知，，。
（1）若时，求的模； （2）求；
（3）△为锐角三角形，求的范围。
?巩固练习
1、已知是夹角为的两个单位向量，，
（1）求 （2）求证：
2、已知直角坐标平面内，，
求证：△为等腰直角三角形。
?课堂小结
熟练掌握向量数量积的相关知识。
?课后训练
班级：高一（ ）班 姓名__________
一、基础题
1、已知，，若与轴的正方向的夹角的正切值为，则
2、，，与的夹角为，则与的夹角为 。
3、，，，与的夹角为，则 。
4、，， ，则 。
5、是与的夹角为的单位向量，则 。
二、提高题
6、设与是两个非零向量，如果，且，求与的夹角。
7、，若，，求向量。
三、能力题
8、已知与是两个夹角为的单位向量，且与的夹角为，求。
9、设△中， 且。
试判断△的形状。
1．设a，b，c为平面向量，有下面几个命题：
①a·(b－c)＝a·b－a·c；
②(a·b)·c＝a·(b·c)；
③(a－b)2＝|a|2－2|a||b|＋|b|2；
④若a·b＝0，则a＝0，b＝0.
其中正确的有__________个．
解析：由向量的数量积的性质知①正确；由向量的数量积的运算不满足结合律知②不正确；由(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝|a|2－2|a||b|cosθ＋|b|2知③不正确；对于④，∵a·b＝|a||b|·cosθ＝0，∴|a|＝0或|b|＝0或cosθ＝0.∴a＝0或b＝0或a⊥b，故④不正确．
答案：1
2．已知a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b夹角为__________．
解析：∵cosθ＝＝＝，∴θ＝.
答案：
3．设a与b的模分别为4和3，夹角为60°，则|a＋b|＝______.
解析：|a＋b|＝＝
＝＝.
答案：
4．在边长为的等边三角形ABC中，设＝c，＝a，＝b，则a·b＋b·c＋c·a＝__________.
解析：a·b＋b·c＋c·a＝××cos120°×3＝－3.
答案：－3
一、填空题
1．已知|a|＝3，|b|＝4，a、b的夹角为120°，则a·b＝________.
解析：a·b＝|a||b|cos＝120°＝3×4×cos120°＝－6.
答案：－6
2．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为__________．
解析：设向量a与b的夹角为θ，由题意知(a＋b)·a＝0，
∴a2＋a·b＝0，∴|a|2＋|a||b|cosθ＝0，∴1＋2cosθ＝0，∴cosθ＝－，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝120°.
答案：120°
3．设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，且a⊥b，|a|＝1，|b|＝2，则|c|2＝__________.
解析：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－(a＋b)．又∵a⊥b，∴a·b＝0.∴|c|2＝c2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝5.
答案：5
4．如图所示的是正六边形P1P2P3P4P5P6，则下列向量的数量积中最大的是__________．(只填序号)
①·； ②·；
③·； ④·.
解析：利用向量的数量积的定义逐项计算．根据正六边形的几何性质，得·＝0，·＜0，·＝||·||·cos＝||2，·＝||·2||·cos＝|P1P2|2，经比较可知·最大．
答案：①
5．已知非零向量a，b，若(a＋2b)⊥(a－2b)，则＝__________.
解析：∵(a＋2b)⊥(a－2b)，∴(a＋2b)·(a－2b)＝0，
∴a2＝4b2，∴|a|＝2|b|，∴＝2.
答案：2
6．点O是△ABC所在平面上一点，且满足·＝·＝·，则点O是△ABC的__________．
解析：∵·＝·＝·，∴·(－)＝0?·＝0?OB⊥AC.同理可得OA⊥BC，OC⊥AB，故O为△ABC的垂心．
答案：垂心
7．在△ABC中，若(＋)·(－)＝0，则△ABC的形状为__________．
解析：(＋)·(－)＝||2－||2＝0，
∴||＝||，∴△ABC为等腰三角形．
答案：等腰三角形
8．已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝__________.
解析：由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcos，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
答案：－8或5
二、解答题
9．已知a、b是两个非零向量，同时满足|a|＝|b|＝|a－b|，求a与a＋b的夹角．
解：根据|a|＝|b|，有|a|2＝|b|2，
又|b|＝|a－b|，得|b|2＝|a|2－2a·b＋|b|2，
∴a·b＝|a|2.
而|a＋b|2＝|a|2＋2a·b＋|b|2＝3|a|2，
∴|a＋b|＝|a|.
设a与a＋b的夹角为θ，
则cosθ＝＝＝，θ∈[0°，180°]．
∴θ＝30°.
10．若等边△ABC的边长为2，平面内一点M满足＋＋，求·MB.
解：如图所示．
·＝(－)·(－)＝
·
＝·
＝·－2－2＋·
＝·－2－2
＝×(2)2×－(2)2－(3)2
＝－2.
11．四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，＝d，且a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形ABCD是什么图形？
解：四边形ABCD是矩形，这是因为：
一方面：∵a＋b＋c＋d＝0，
∴a＋b＝－(c＋d)，
∴(a＋b)2＝(c＋d)2，
即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2，
由于a·b＝c·d，
∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2. ①
同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2. ②
由①②可得|a|＝|c|，且|b|＝|d|，
即四边形ABCD的两组对边分别相等．
∴四边形ABCD是平行四边形．
另一方面，由a·b＝b·c，有b·(a－c)＝0，
而由平行四边形ABCD可得a＝－c，
代入上式得b·(2a)＝0，
即a·b＝0，
∴a⊥b也即AB⊥BC，
综上所述，四边形ABCD是矩形．
