1．已知点A(1,2)，B(2,3)，C(－2,5)，则·等于________．
解析 ·＝(1,1)·(－3,3)＝－3＋3＝0.
答案 0
2．已知a＝(－1,3)，b＝(2，－1)，则a与b的夹角为________．
解析 cos θ＝
＝＝－，又θ∈[0,2π]．
∴θ＝.
答案
3．已知a＝(4,7)，b＝(－5，－2)，则|a－b|＝________.
解析 因为a－b＝(9,9)，所以|a－b|＝＝9.
答案 9
4．向量m＝(x－5,1)，n＝(4，x)，m⊥n，则x＝________.
解析 4(x－5)＋x＝0，∴x＝4
答案 4
5．已知a＝(3，－1)，b＝(1,2)，向量c满足a·c＝7，且b⊥c，则c的坐标是__________．
解析 设c＝(x，y)，则a·c＝3x－y＝7.
b·c＝x＋2y＝0，解得x＝2，y＝－1.
答案 (2，－1)
6．已知a＝(4，－3)，b＝(2,1)，若a＋tb与b的夹角为45°，求实数t的值．
解 由已知a＋tb＝(4，－3)＋t(2,1)＝(2t＋4，t－3)．
∴(a＋tb)·b＝2(2t＋4)＋(t－3)＝5t＋5.
|a＋tb|＝＝，
又|b|＝＝.
∵(a＋tb)·b＝|a＋tb||b|cos 45°，
∴5t＋5＝××.
即(t＋1)＝.
两边平方整理，得t2＋2t－3＝0.
解得t＝1或t＝－3.
经检验t＝－3是增根，舍去，故t＝1.
7．已知a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，则a·(b·c)＝________，(a·b)·c＝________.
解析 b·c＝(－1，－2)·(2,1)
＝－1×2＋(－2)×1＝－4，
a·(b·c)＝(2,3)×(－4)＝(－8，－12)；
a·b＝(2,3)·(－1，－2)
＝2×(－1)＋3×(－2)＝－8，
(a·b)·c＝－8×(2,1)＝(－16，－8)．
答案 (－8，－12) (－16，－8)
8．已知a＝(4,2)，与a垂直的单位向量b＝________.
解析 设b＝(x，y)，则由
得或
答案 或
9．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角为________．
解析 依题a＋b＝(－1，－2)．
设c＝(x，y)．而(a＋b)·c＝，∴x＋2y＝－.
cos θ＝＝＝＝－.又0°≤θ≤180°
∴a与c的夹角为120°.
答案 120°
10．已知向量a＝(2cos θ，2sin θ)，θ∈，b＝(0，－1)，则向量a与b的夹角为________．
解析 ∵|a|＝2，|b|＝1
设a与b的夹角为α，则
cos α＝＝＝－sin θ＝cos
∵θ∈
∴－θ∈
答案 －θ
11．已知在△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC边上的高为AD.
(1)求证：AB⊥AC；
(2)求点D和向量的坐标；
(3)设∠ABC＝θ，求cos θ.
解 (1)＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)
＝(2，－1)
∵·＝－3×2＋(－6)×(－1)＝0，
∴⊥，即AB⊥AC.
(2)设D点的坐标为(x，y)，
则＝(x－2，y－4)，＝(5,5)，
∵AD⊥BC，∴·＝5(x－2)＋5(y－4)＝0①
又＝(x＋1，y＋2)，而与共线，
∴5(x＋1)－5(y＋2)＝0②
联立①②，解得x＝，y＝，
故D点坐标为，
∴＝＝.
(3)cos θ＝＝＝.
12．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠CDA＝∠DAB＝90°，CD＝DA＝AB，求证：AC⊥BC.
证明 以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，如图所示．设AD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴＝(－1,1)，＝(1,1)
∴·＝－1×1＋1×1＝0
∴⊥，即BC⊥AC.
13．(创新拓展)已知a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得：(1)a与b的夹角为直角；(2)a与b的夹角为钝角；(3)a与b的夹角为锐角．
解 设a与b的夹角为θ，|a|＝＝，
|b|＝ ，a·b＝(1,2)·(1，λ)＝1＋2λ.
(1)因为a与b的夹角为直角，
所以a·b＝0，
所以1＋2λ＝0，所以λ＝－.
(2)因为a与b的夹角为钝角，所以cos θ＜0且cos θ≠－1，
即a·b＜0且a与b不反向．
由a·b＜0得1＋2λ＜0，故λ<－，
由a与b共线得λ＝2，故a与b不可能反向．
所以λ的取值范围为－∞，－.
(3)因为a与b的夹角为锐角，所以cos θ＞0，且cos θ≠1，
即a·b＞0且a，b不同向．
由a·b＞0，得λ＞－，由a与b同向得λ＝2.
所以λ的取值范围为－，2∪(2，＋∞).
课件26张PPT。单击此处进入 活页规范训练课件30张PPT。教学目标1.知识与技能:
(1)理解掌握向量共线的条件(平行向量基本定理)
及其应用;
(2)了解单位向量、轴上向量、基向量、轴上向量
的坐标等概念;
(3)理解掌握轴上向量的坐标公式、数轴上两点间
距离公式及公式的应用. 2.过程与方法:
(1)借助几何直观引导学生理解平行向量基本定理和轴上
向量的坐标运算;
(2)通过平行向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般
的思维方法;
(3)通过解题实践,体会平行向量基本定理的应用. 3.情感、态度与价值观:
通过本节课的学习,使学生体会到向量的深刻的几何背
景,它是解决几何问题的有力工具,从而激发学生的学
习兴趣. 教学重点难点教学重点：平行向量基本定理.教学难点：平行向量基本定理的应用.知识链接1.共线向量（平行向量）：（1）方向相同或相反非零向量，称为共线向量（2）如果向量的基线互相平行或重合，则称
这些向量共线。注意：向量的共线和平行是同一个含义,它与直线的平行、重合不同，直线共线即为重合。2.数乘向量课前预习思考1：结论1：思考2：上式有什么用途？由结论1、2得平行向量基本定理：即：单位向量: 非零向量a的单位向量: 给定一个非零向量 a , 与 a 同方向且长度等于1的向量,叫做向量a的单位向量. 如果a的单位向量记作a0, 由数乘向量的定义可知: a=|a|·a0或 注意有何差别例2：如图MN是△ABC的中位线，求证：
MN= BC，且MN//BC.例3：如图：已知 AD = 3AB，DE =3BC ，试证明 A、C、E 三点共线． ∴A、C、E三点共线轴上向量的坐标及其运算 轴：规定了方向和长度单位的直线。 已知轴l，取单位向量e, 使e的方向与l同方向, 根据向量平行的条件,对轴上任意向量a,一定存在唯一实数x,使a=xe. 若a=xe b=ye ,则x，y唯一吗？ 反过来, 任意给定一个实数x, 我们总能作一个向量a=xe, 使它的长度等于这个实数的绝对值, 方向与实数的符号一致.基向量和坐标： 这里的单位向量e叫做轴l的基向量, x叫做a在l上的坐标(或数量). x的绝对值等于a的长, 当a与e同方向时, x是正数, 当a与e反向时, x是负数.例如： AB=3 e ，则AB 的坐标记为AB=3轴上的向量a与实数x建立起一一对应关系.于是可用数值表示向量（轴上的向量）.AB轴上两个向量相等的条件 ：轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等;轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和. 轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和. AB+BC=AC 公式(1) 设e是l上的一个单位向量，在l上任取三点A，B，C，则ABe+BCe=ACe, 因为e ≠ 0, 所以 AB+BC=AC. 设e是轴l的基向量, 向量a平行于轴l,以原点O为始点作 =a, 则点P的位置被向量a所唯一确定。则 =xe(平行向量基本定理)其中数值x是点P的位置向量在轴l上的坐标; 在数轴l上, 已知点A的坐标为x1,点B的坐标为x2.由公式(1)得 AB=AO+OB
=－OA+OB
=x2－x1 .结论：AB =x2－x1 公式(2)
轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标 |AB|=|x2－x1| 公式(3)
数轴上两点的距离公式 例3：已知数轴上三点A，B，C的坐标分别是
4, －2, －6, 求 的坐标和长度.巩固练习（ ）（ ）（ ）√ √× ×（ ）2. 已知向量a , b是两非零向量，在下列四个条件中，能使a ,b共线的条件是（ ）
① 2a－3b=4e 且a+2b=－3e
② 存在相异实数λ，μ，使λa －μb=0
③ xa+yb=0 (其中实数x, y满足x+y=0)
④ 已知梯形ABCD，其中 =a , =b
A．①② B．①③
C．② D．③④A小结回顾:1.平行向量基本定理及其应用
2. 轴上的向量坐标运算思考:学习了平行向量基本定理,有何作用?作业:P93 练习 B 2, 3 ABCDMABCO平行向量基本定理的应用（选做）课件20张PPT。向量数量积的坐标运算
与度量公式教学目标
1、 掌握两个向量数量积的坐标表示法,会进行平面向量数量积的运算.
2、 能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
3、 提高学生的运算速度,培养学生的运算能力.教学重点
向量数量积的坐标运算与度量公式的掌握
教学难点
灵活运用公式解决有关问题知识链接 1、平面向量的数量积是如何定义的，它有哪些重要的性质？2、两非零向量垂直的充要条件是什么？ 3、两平面向量共线的充要条件又是什么，
如何用坐标表示出来？1.向量内积的坐标运算两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.课前预习-1-96-152.用向量的坐标表示两个向量垂直的条件.换用两向量的数量积坐标表示,即为:⑵判断(b1,b2)与 (-b2,b1)是否垂直?
判断 (b1,b2)与k(-b2,b1)是否垂直?
例如:向量(3,4)与向量____,____,____………都垂直.3.向量的长度,距离和夹角公式.向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根（1）向量的长度（2）向量的长度（两点之间的距离公式）（3）两个向量夹角的坐标表达式:例4：达标练习 平面向量数量积的坐标表示以及运用平面向量数量积性质的坐标表示解决有关垂直、长度、角度等几何问题。（1）两向量垂直的充要条件的坐标表示（2）向量的长度（模）（3）两向量的夹角课堂小结课本P115
B组 4 、 5课后作业：课件23张PPT。平面向量数量积的物理背景与定义教学目标
知识与技能目标 掌握平面向量的数量积的定义、性质及其物理意义 过程与方法目标 （1）通过向量数量积物力背景的了解，体会物理学和
数学的关系 （2）通过向量数量积定义的给出，体会简单归纳与严
谨定义的区别 （3）通过向量数量积性质的学习，体会类比，猜想，
证明的探索式学习方法
情感、态度与价值观目标 通过本节探究性学习，让学生尝试数学研究的过程。 教学重点
平面向量数量积的定义及性质
教学难点
对向量数量积定义及性质的理解和应用课前预习一、两个向量夹角 已知非零向量a与ｂ，作 ＝a， ＝ｂ，则∠ＡＯＢ＝θ（0≤θ≤π）叫a与ｂ的夹角.记作 ＜a，b＞。规定1： 0≤＜a，b＞≤π在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直。问题1 当θ为何值时，向量 a 与向量 b 同向？ 当θ为何值时，向量 a 与向量 b 反向？ 当向量 a 与向量 b 共线时，θ为多少？二、向量在轴上的正射影 该射影在轴l上的坐标，叫做a在轴l上的数量或在轴l方向上的数量。lOAA1O1问题2 设向量a的方向与轴l的正向所成的角为θ，
则向量a在轴l上的数量al等于多少？lOAA1O1θ例1 已知轴l，向量练习1 已知轴l，向量三、力做功的计算定义 ︱a|︱b︱cos＜a，b＞叫做向量a与b的数量积
（或内积），记作a·b，即
a·b=︱a|︱b︱cos ＜a，b＞.四、向量的数量积（内积）例2 已知︱a︱＝5，︱b︱＝4，a与b的夹角120°，
求a·b. －10 练习2 课本109页 练习A 1（1）（2）何时为正数？何时为负数？何时为零？ 问题3 两向量的数量积是向量还是数量？当没有零向量时问题4：根据投影的概念，数量积
a·b=︱a|︱b︱cosθ的几何意义如何？ 数量积a·b等于a的模与b在a方向上的正投影的数量︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的正投影的数量的︱a︱cosθ的乘积，练习3的数量。数量为2，五、向量的数量积（内积）的性质问题5 a·b与b·a是什么关系？为什么？ 问题6 若a⊥b，则a·b等于多少？反之成立吗？ 问题8 对于向量a，b，如何求它们的夹角θ？ 达标练习边长为4， 时，三角形各是什么样的三角形？课堂小结3.向量的数量积。2.向量在轴上的正射影的数量1.两个向量夹角0≤＜a，b＞≤π4、向量的数量积（内积）的性质课后作业：
课本109页 练习A 2（3）（4）
练习B 2课件19张PPT。 向量的正交分解
与向量的直角坐标运算 教学目标
知识与技能目标 (1)掌握平面向量的坐标表示,会用坐标表示平面向量的加、减与数乘向量运算; (?2?)上述知识的简单应用
过程与方法目标
(1)通过在直角坐标系中求向量的坐标,让学生体会向量正交分解的几何意义; (2)通过本节学习,使学生能够解决具体问题,知道学有所用;
情感、态度与价值观目标
通过本节学习,培养学生的理性与探索精神. 教学重点向量的直角坐标运算教学难点 应用向量直角坐标运算的法则解决具体问题1、平面向量基本定理的内容是什么？ 2、什么是平面向量的基底？知识链接一.向量正交分解的概念:在正交基底下分解向量,叫做正交分解。课前预习 如果两个向量的基线互相垂直，则称这两个向量互相垂直二 、平面向量的坐标表示有且只有一对实数 , ，使 其中a1叫做向量a在x轴上的坐标分量 ，a2叫做向量a在y轴上的坐标分量。(1 , 0)(0, 1)(0,0)练习：yxOaA1AA2BB1B2探究一 过向量的起点、终点分别做x轴y轴的垂线，则坐标分量a1与向量A1B1在x轴上的坐标有什么关系？坐标分量a2与向量A1B1在x轴上的坐标有什么关系？
设A、B的坐标
则向量的坐标为？结论：
一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标。探究二 当向量起点与原点重合时，向量的坐标与终点A的坐标有什么关系？探究三 记以x轴的正半轴为始边，向量a的方向为终边形成的角为θ，能否用θ的三角函数来表示a1，a2？平面向量可以用坐标表示，向量的运算可以用坐标来运算吗？探究四：（1）已知a =(x1 , y1), b= (x2 , y2) ，
求a + b , a – b .
（2）已知a =(x1 , y1)和实数 ，
求 a的坐标 .如何计算？ 三 、平面向量的直角坐标运算向量的坐标运算例5 在直角坐标系xoy中，已知点A、B的坐标分别为
（1）求线段AB中点M和三等分点P，Q的坐标。
（2）求向量OA+OB的坐标。课本101页：例3、例4例6 已知平行四边形ABCD的三个定点A、B、C的坐标分别为（－2，1）、（－1，3）、（3，4），求顶点D的坐标1、若向量 a 的起点坐标为（3，1）,终点坐标为（－3，－1）求 a 的坐标.2、已知向量 ＝（6，1），
＝（1 ,－3）， ＝（－1,－2）， 求向量 .达标训练3.已知 满足等式 求 课时小结：2 向量的坐标运算a + b=( x2 , y2) + (x1 ,? y1)= (x2+x1 , y2+y1) λa =λ(x i+y j )=λx i+λy j =(λx , λy) 若A(x1 , y1) , B(x2 , y2)1 向量坐标定义则 =(x2 - x1 , y2 – y1 ) a - b=( x2 , y2) - (x1 ,? y1)= (x2- x1 , y2-y1)课后作业：课本103页：练习B 1、2、3、4课件8张PPT。用平面向量坐标表示向量共线条件 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b是非零向量,那么可以知道，a//b的充要条件是存在一实数λ，使 a= λb探究： 共线向量如何用坐标来表示呢？这个结论如果用坐标表示，可写为
（x1，y1）= λ(x2，y2)
即 x1= λx2
y1= λy2
消去λ后得
也就是说，a//b(b≠0)的等价表示是
x1y2-x2y1=0x1y2-x2y1=0
这是在假设b≠0的条件下推出的。事实上，如果
在讨论平行问题时，规定零向量可以与任意向量
平行，所以可以去掉b≠0的假设。如果向量b不平行于坐标轴，即 ，
上式可以化为：
上式用语言可以表述为：
两个向量平行的条件是，相应坐标成比例例2、已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5），判断A、B、C三点的位置关系。1、 下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底，正确的是（ ）
（1）e1=( -1 , 2 ),e2=( 5 , 7 )
（2）e1=( 3 , 5 ),e2=( 6 , 10 )
（3）e1=( 2 , -3 ),e2=( 1/2 , -3/4 )
练习：小结：作业：
105页练习B 1、2
1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝__________.
解析：∵a＝(1,1)，b＝(2,5)，∴8a－b＝(8,8)－(2,5)＝(6,3)．又∵(8a－b)·c＝30，∴(6,3)·(3，x)＝18＋3x＝30.∴x＝4.
答案：4
2．已知a＝(－5,5)，b＝(0，－3)，则a与b的夹角为________．
解析：∵cosθ＝＝＝－.∴θ＝.
答案：
3．已知向量a＝(2,4)，b＝(1,1)，若向量b⊥(a＋λb)，则实数λ的值是__________．
解析：b·(a＋λb)＝b·a＋λb·b＝2×1＋4×1＋2λ＝0?λ＝－3.
答案：－3
4．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于__________．
解析：2a－b＝(3，n)，由2a－b与b垂直可得(3，n)·(－1，n)＝－3＋n2＝0，∴n2＝3，|a|＝2.
答案：2
一、填空题
1．已知向量a＝(4，－3)，|b|＝1，且a·b＝5，则向量b＝______.
解析：设b＝(m，n)，则由a·b＝5得4m－3n＝5， ①
又因为|b|＝1，所以m2＋n2＝1， ②
由①②可得(5n＋3)2＝0，∴n＝－，
∴ ∴b＝.
答案：
2．已知i＝(1,0)，j＝(0,1)，a＝i－2j，b＝i＋mj，给出下列命题：①若a与b的夹角为锐角，则m＜；②当且仅当m＝时，a与b互相垂直；③a与b不可能是方向相反的向量；④若|a|＝|b|，则m＝－2.
其中正确命题的序号为__________．(把所有正确命题的序号全填上)
答案：②③
3．设向量a＝(1,2)，b＝(x, 1)，当向量a＋2b与2a－b平行时，a·b等于__________．
解析：a＋2b＝(1＋2x,4)，2a－b＝(2－x,3)，∵a＋2b与2a－b平行，∴(1＋2x)×3－4×(2－x)＝0，∴x＝，a·b＝(1,2)·＝1×＋2×1＝.
答案：
4．已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝，若(a＋b)·c＝，则a与c的夹角是__________．
解析：设c＝(x，y)，则(a＋b)·c＝(－1，－2)·(x，y)＝－x－2y＝，又|c|＝，且a·c＝x＋2y＝|a||c|·cosα，故cosα＝－，α＝120°.
答案：120°
5．若平面向量b与向量a＝(1，－2)的夹角是180°，且|b|＝3，则b＝__________.
解析：a与b共线且方向相反，∴b＝λa(λ＜0)，设b＝(x，y)，则(x，y)＝λ(1，－2)，得由|b|＝3，得x2＋y2＝45，即λ2＋4λ2＝45，解得λ＝－3，∴b＝(－3,6)．
答案：(－3,6)
6．以原点O及点A(5,2)为顶点作等腰直角三角形OAB，使∠A＝90°，则的坐标为__________．
解析：设＝(x，y)，
则有||＝||＝＝，①
又由⊥，得5x＋2y＝0，②
由①②联立方程组，解得x＝2，y＝－5或x＝－2，y＝5.
答案：(－2,5)或(2，－5)
7．已知向量＝(2,2)，＝(4,1)，在x轴上有一点P使·有最小值，则点P的坐标是__________．
解析：设点P的坐标为(x,0)，则＝(x－2，－2)，＝(x－4，－1).·＝(x－2)(x－4)＋(－2)(－1)＝x2－6x＋10＝(x－3)2＋1.当x＝3时，·有最小值1，∴点P的坐标为(3,0)．
答案：(3,0)
8．直角坐标平面内有三点A(1,2)、B(3，－2)、C(9,7)，若E、F为线段BC的三等分点，则·＝__________.
解析：∵＝(6,9)，
∴＝＝(2,3)，＝＝(4,6)．
又＝(2，－4)，
∴＝＋＝(4，－1)，＝＋＝(6,2)，
∴·＝4×6＋(－1)×2＝22.
答案：22
二、解答题
9．平面内三个点A，B，C在一条直线上，且＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求实数m，n的值．
解：∵A，B，C三点在同一直线上，
∴∥.
∵＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，
∴＝－＝(7，－1－m)，
＝－＝(n＋2,1－m)，
∴7(1－m)－(n＋2)·(－1－m)＝0，
即mn－5m＋n＋9＝0.①
∵⊥，∴(－2)×n＋m×1＝0，即m－2n＝0.②
联立①②解得或
10．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时：
(1)ka＋b与a－3b垂直？
(2)ka＋b与a－3b平行？平行时它们同向还是反向？
解：(1)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．当(ka＋b)·(a－3b)＝0时，这两个向量垂直．由(k－3)×10＋(2k＋2)×(－4)＝0.解得k＝19，即当k＝19时，ka＋b与a－3b垂直．
(2)当ka＋b与a－3b平行时，存在惟一的实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，得：
解得
所以当k＝－时，ka＋b与a－3b平行，
因为λ＜0，所以－a＋b与a－3b反向．
11．已知c＝ma＋nb＝(－2，2)，a与c垂直，b与c的夹角为120°，且b·c＝－4，|a|＝2，求实数m，n的值及a与b的夹角θ.
解：∵a与c垂直，∴a·c＝0.
又∵c＝ma＋nb，∴c·c＝ma·c＋nb·c，
∴12＋4＝－4n，∴n＝－4.
∵b·c＝|b||c|cos120°，
∴－4＝|b|×4×，∴|b|＝2.
∴a·c＝ma2－4a·b，|a|＝2，∴a·b＝2m.
又b·c＝m(a·b)－4b2，
∴－4＝2m2－16，∴m2＝6，∴m＝±.
当m＝时，a·b＝2.
∴cosθ＝＝＝，∴θ＝.
当m＝－时，a·b＝－2.
∴cosθ＝－，∴θ＝.
因此m＝，n＝－4时，θ＝；
m＝－，n＝－4时，θ＝.
第十一课时 平面向量数量积的坐标表示
教学目标：
掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.
教学重点：
平面向量数量积的坐标表示.
教学难点：
向量数量积的坐标表示的应用.
教学过程：
Ⅰ.课题引入
上一节我们学习了平面向量的数量积，并对向量已能用坐标表示，如果已知两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，怎样用a和b的坐标表示a·b呢?
这是我们这一节将要研究的问题.
Ⅱ.讲授新课
首先我们推导平面向量的数量积坐标表示：
记a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
∴a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j
∴a·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y2
1.平面向量数量积的坐标表示：
已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
∴a·b＝x1x2＋y1y2
2.两向量垂直的坐标表示：
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)
则a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0
［例1］已知a＝(1，)，b＝(＋1，－1)，则a与b的夹角是多少?
分析：为求a与b夹角，需先求a·b及｜a｜｜b｜，再结合夹角θ的范围确定其值.
解：由a＝(1，)，b＝(＋1，－1)
有a·b＝＋1＋ (－1)＝4，｜a｜＝2，｜b｜＝2.
记a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝
又∵0≤θ≤， ∴θ＝
评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定.
［例2］已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，求x，y的值使(xa＋yb)⊥a，且｜xa＋yb｜＝1.
分析：这里两个条件互相制约，注意体现方程组思想.
解：由a＝(3，4)，b＝(4，3)，有xa＋yb＝(3x＋4y，4x＋3y)
又(xa＋yb)⊥a(xa＋yb)·a＝0
3(3x＋4y)＋4(4x＋3y)＝0
即25x＋24y＝0 ①
又｜xa＋yb｜＝1｜xa＋yb｜2＝1
(3x＋4y)2＋(4x＋3y)2＝1
整理得：25x2＋48xy＋25y2＝1
即x(25x＋24y)＋24xy＋25y2＝1 ②
由①②有24xy＋25y2＝1 ③
将①变形代入③可得：y＝±
再代入①得：x＝
∴或
［例3］在△ABC中，＝(1，1)，＝(2，k)，若△ABC中有一个角为直角，求实数k的值.
解：若A＝90°，则·＝0，
∴1×2＋1×k＝0，即k＝－2
若B＝90°，则·＝0，又＝－＝(2，k)－(1，1)＝(1，k－1)
即得：1＋(k－1)＝0，∴k＝0
若C＝90°，则·＝0，即2＋k(k－1)＝0，而k2－k＋2＝0无实根，
所以不存在实数k使C＝90°
综上所述，k＝－2或k＝0时，△ABC内有一内角是直角.
评述：本题条件中无明确指出哪个角是直角，所以需分情况讨论.讨论要注意分类的全面性，同时要注意坐标运算的准确性.
［例4］已知：O为原点，A(a，0)，B(0，a)，a为正常数，点P在线段AB上，且＝t (0≤t≤1)，则·的最大值是多少?
解：设P(x，y)，则＝(x－a，y)，＝(－a，a)，由＝t可有：
，解得
∴＝(a－at，at)，又＝(a，0)，
∴·＝a2－a2t
∵a＞0，可得－a2＜0，又0≤t≤1，
∴当t＝0时，·＝a2－a2t，有最大值a2.
［例5］已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a，b夹角为60°，m为何值时两向量3a＋5b与ma－3b互相垂直？
解法：(3a＋5b)·(ma－3b)
＝3m｜a｜2－9a·b＋5ma·b－15｜b｜2
＝27m＋(5m－9)×3×2cos60°－15×4＝42m－87＝0
∴m＝＝时，(3a＋5b)⊥(ma－3b).
Ⅲ.课堂练习
课本P82练习1～8.
Ⅳ.课时小结
通过本节学习，要求大家掌握两个向量数量积的坐标表示方法，掌握两个向量垂直的坐标形式条件，能运用两个向量的数量积的坐标表示解决有关长度、角度、垂直等几何问题.
Ⅴ.课后作业
课本P83习题 6，8，9，10
平面向量数量积的坐标表示
1．在已知a＝(x，y），b＝(－y，x)，则a，b之间的关系为 （ ）
A.平行 B.不平行不垂直 C.a⊥b D.以上均不对
2．已知a＝（－4，3），b＝(5，6），则3|a|2－4a·b为 （ ）
A.63 B.83 C.23 D.57
3．若a＝（－3，4），b＝(2，－1），若（a－xb)⊥（a－b)，则x等于 （ ）
A.－23 B. C.－ D.－
4．若a＝（λ，2），b＝(－3，5），a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围为 （ ）
A.（，+∞） B.［，+∞）
C.（－∞，） D.（－∞，］
5．已知a＝（－2，1），b＝（－2，－3），则a在b方向上的投影为 （ ）
A.－ B. C.0 D.1
6．已知向量c与向量a＝（，－1）和b＝（1，）的夹角相等，c的模为，则
c＝ .
7．若a＝（3，4），b＝(1，2）且a·b＝10，则b在a上的投影为 .
8．设a＝（x1，y1)，b＝(x`2，y`2)有以下命题：
①|a|＝ ②b2＝ ③a·b＝x1x`2＋y1y`2 ④a⊥bx1x`2＋y1y`2＝0，其中假命题的序号为 .
9．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4），
（1）求证：⊥ ；（2）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标.
10．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？
11．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值.
平面向量数量积的坐标表示答案
1．C 2．B 3．C 4．A 5．B 6．(，)或(－，) 7．2 8．②
9．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4），
（1）求证：⊥ ；（2）若四边形ABCD为矩形，求点C的坐标.
（1）证明：∵＝（1，1），＝（－3，3）
∴·＝1×3＋1×(－3)＝0， ∴⊥.
（2）解：∵ABCD为矩形，设C（x，y），
∴＝，（1，1）＝（x+1，y－4)
∴x＝0，y＝5，∴C（0，5）.
10．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，当k取何值时，t有最小值？最小值为多少？
解：∵a－b＝(3－k，－2－k)
∴t＝|a－b|＝
＝＝
∴当k＝时，t取最小值，最小值为.
11．设向量a，b满足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值.
解：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2),
∴|a|＝|b|＝1，
∴x12＋y12＝1，x22＋y22＝1 ①
3a－2b＝3(x1，y1)－2(x2，y2)＝(3x1－2x2，3y1－2y2),
又|3a－2b|＝3,
∴(3x1－2x2)2＋(3y1－2y2)2＝9,
将①代入化简，
得x1x2＋y1y2＝ ②
又3a＋b＝3(x1，y1)＋(x2，y2)＝(3x1＋x2，3y1＋y2),
∴|3a＋b|2＝(3x1＋x2)2＋(3y1＋y2)2＝9(x12＋y12)＋(x22＋y22)＋6(x1x2＋y1y2)＝12,
故|3a＋b|＝2.
