初中数学人教版九年级上学期 第二十三章 23.1 图形的旋转

初中数学人教版九年级上学期 第二十三章 23.1 图形的旋转
一、单选题
1．（2020八下·扶风期末）在绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：ACD、 不是由某个基本图形经过旋转得到的，故ACD不符合题意；
B、是由一个基本图形经过旋转得到的，故B符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据旋转的特征，逐项进行判断，即可求解.
2．（2020·广西模拟）如图， 中， ， ， ，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，则 的长为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转得AE=AB，∠BAE=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=6，
故答案为：D.
【分析】利用旋转的性质得出AE=AB，∠BAE=60°，从而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证得△ABE是等边三角形，进而根据等边三角形的三边相等即可得到BE=AB=6.
3．（2019八下·潍城期末）如图， 绕点 逆时针旋转 得到 ，若 ， ，则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可知：∠C=∠A=110°
在△COD中，∠COD=180°-110°-40°=30°
旋转角∠AOC=85°，所以∠α=85°-30°-55°
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和180度求出4．（2020七下·覃塘期末）如图，已知 ，把一块含30°的直角三角尺按如图方式摆放，边 在直线 上，将 绕点 顺时针旋转50°，则 的度数为（　　）
A．20° B．50° C．80° D．110°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 将 绕点 顺时针旋转50°
∴∠ACA＇=50°
∴∠BCA＇=∠ACA＇+∠ACB=50°+30°=80°；
∵l1∥l2，
∴∠BCA＇=∠1=80°.
故答案为：C.
【分析】利用旋转的性质可求出∠ACA＇的度数，再利用∠BCA＇=∠ACA＇+∠ACB，求出∠BCA＇的度数，然后利用两直线平行内错角相等即可求出∠1的度数。
5．（2020·静安模拟）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，其中点B、C分别与点D、E对应，如果B、D、C三点恰好在同一直线上，那么下列结论错误的是（　　）
A．∠ACB＝∠AED B．∠BAD＝∠CAE
C．∠ADE＝∠ACE D．∠DAC＝∠CDE
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵ 绕点A逆时针旋转得到
∴ ，则A选项的结论不符合题意
由旋转的性质可得
即
∴ ，则B选项的结论不符合题意
∵ 绕点A逆时针旋转得到
∴
和 都是等腰三角形
∵
∴
∴ ，则C选项的结论不符合题意
∵ ，即
又
∴
∵AD不能确定平分
∴ 不能确定等于
∴ 不能确定等于 ，则D选项的结论符合题意
故答案为：D．
【分析】利用旋转的性质直接对A选项进行判断；利用旋转的性质得 ，再利用角的和差可得 ，则可对B选项进行判断；利用旋转的性质得 ，然后根据等腰三角形顶角相等时底角相等得到 ，则 ，则可对C选项进行判断；先判断 ，而 不能确定等于 ，则可对D选项进行判断．
6．（2020·长沙模拟）Rt△ABC，已知∠C＝90，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD （如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝（　　）
A．80 B．80或120 C．60或120 D．80或100
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AB边上的B′点位置，如图1，
∴∠BDB′＝m，DB′＝DB，
∴∠1＝∠B＝50°，
∴∠BDB′＝180°﹣∠1﹣∠B＝80°，
即m＝80°；
当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AC边上的B′点位置，如图2，
∴∠BDB′＝m，DB′＝DB，
∵BD＝2CD，
∴DB′＝2CD，
∴∠CB′D＝30°，则∠B′DC＝60°，
∴∠BDB′＝180°﹣∠B′DC＝120°，
即m＝120°，
综上所述，m的值为80°或120°．
故答案为：B．
【分析】分类讨论：当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AB边上的B′点位置，如图1，根据旋转的性质得∠BDB′=m，DB′=DB，则∠1=∠B=50°，然后根据三角形内角和定理可计算出m=80°；当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AC边上的B′点位置，如图2，根据旋转的性质得∠BDB′=m，DB′=DB，由BD=2CD得到DB′=2CD，利用含30度的直角三角形三边的关系得到∠CB′D=30°，则∠B′DC=60°，所以∠BDB′=120°，即m=120°．
二、填空题
7．（2020·镇江）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）.这个图案绕点O至少旋转　 　°后能与原来的图案互相重合.
【答案】72
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合，
∠AOE＝ ＝72°.
故答案为：72.
【分析】直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角.
8．（2020八下·江阴期中）一个正三角形至少绕其中心旋转　 　度，就能与其自身重合.
【答案】120
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由于等边三角形三角完全相同，旋转时，只要使下一个角对准原角，就能重合，因为一圈360度，除以3，就得到120度.
故答案为：120.
【分析】因为正三角形的中心角为120°，所以根据旋转的性质“旋转前后的图形完全重合”可知旋转角等于中心角.
9．（2020·柘城模拟）如图， 中， ， ， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ， 与 相交于点 ，当 时， 　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：设CD=x，
∵B'C'/AB，
∴∠BAD=∠B'，
由旋转的性质得：∠B=∠B'，AC=AC'=3，
∴∠BAD=∠B，
∴AD=BD=4-x，
∴(4-x)2=x2+32，
解得：x= ，
故答案为：x=
【分析】设CD=x， 由B'C'∥/AB， 可推得∠BAD=∠B'， 由旋转的性质得：∠B=∠B'， 于是得到∠ BAD=∠B，AC=AC'=3，AD=BD=4-x，在直角△ADC中，由勾股定理可求得结论.
10．（2020八下·江都期末）如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶点.若 COD是由 AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转　 　°.
【答案】90
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，
∴OB=OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小，
∵∠BOD=90°，
∴旋转的角度为90°，
故答案为： 90.
【分析】由△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案
11．（2020·吉林模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB 为钝角，边 AC 绕点 A 沿逆时针方向旋转 90°得到AD，边 BC 绕点 B 沿顺时针方向旋转 90°得到 BE，作 DM⊥AB 于点 M，EN⊥AB于 点 N， 若 AB＝10，EN＝4， 则 DM＝　 　．
【答案】6
【知识点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，如图所示
由旋转的性质可知，AD=AC，BE=BC
∵DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，CF⊥AB于点F
∴∠AMD=∠AFC=∠BFC=∠BNE=90°
∴∠D+∠DAM=90°
∵∠ACD=90°
∴∠CAF+∠DAM=90°
∴∠D=∠CAF
∴△DAM≌△ACF
∴DM=DF
同理可得，△BFC≌△ENB
∴BF=EN=4
∵AB=10
∴AF=6
∴DM=6
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，如图所示，根据题意由旋转的性质，证明△DAM≌△ACF以及△BFC≌△ENB，根据全等三角形的性质即可得到DM即可。
12．（2020·张家界）如图，正方形 的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到 位置，使得点B落在对角线 上，则阴影部分的面积是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，如下图所示，
∵B在对角线CF上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，
∴△ENC为等腰直角三角形，
∴MB=CN= EC= ，
又BC=AD=CD=CE，且CP=CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，
∴△PEC≌△PBC(HL)，
∴PB=PE，
又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE，
∴△MPE为等腰直角三角形，
设MP=x，则EP=BP= ，
∵MP+BP=MB，
∴ ，解得 ，
∴BP= ，
∴阴影部分的面积= ．
故答案为： ．
【分析】如下图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB=NC= ，证明△PBC≌△PEC，进而得到EP=BP，设MP=x，则EP=BP= ，解出x，最后阴影部分面积等于2倍△BPC面积即可求解．
三、计算题
13．（2019八下·丹江口期末）如图，正方形 中， 经顺时针旋转后与 重合.
（1）旋转中心是点　 　，旋转了　 　度；
（2）如果 ， ，求 的长.
【答案】（1）A；90
（2）解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
∴BF=DE，S△ABF=S△ADE，
而CF=CB+BF=8，
∴BC+DE=8，
∵CE=CD-DE=BC-DE=4，
∴BC=6，
∴AC= BC=6 .
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
即旋转中心是点A，旋转了90度；
故答案为A，90；
【分析】（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，则根据旋转的定义得到△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合；（2）根据旋转的性质得BF=DE，S△ABF=S△ADE，利用CF=CB+BF=8得到BC+DE=8，再加上CE=CD-DE=BC-DE=4，于是可计算出BC=6，于是得到结论.
四、解答题
14．（2020八下·莲湖期末）如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，使得点B、C、D恰好在同一条直线上，求 的度数.
【答案】解：∵将 绕点A逆时针旋转150°，得到 ，
.
∵点B、C、D恰好在同一条直线上
是顶角为150°的等腰三角形，
，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】由旋转的性质得出∠BAD=150°，AD=AB，∠E=∠ACB，由点B，C，D恰好在同一直线上，则△BAD是顶角为150°的等腰三角形，求出∠B=15°，由三角形内角和定理即可得出结果.
15．（2019九上·港口期中）如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转 至 , 点 的对应点 恰好落在 上，求 的长.
【答案】解： 将 绕点 顺时针旋转 至
和 均为等边三角形
点 在 上，
在 中,
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】先利用旋转的性质得CA=CA′，CB=CB′，∠ACA′=∠BCB′=60°，则可判断△ACA′和△BCB′均为等边三角形，于是得到BB′=BC，∠A=60°，∠CBB′=60°，接着计算出∠ABC=90°-∠A=30°，则可计算出BC的长，从而得到BB′的长
16．（2019九上·宁波期中）在平面直角坐标系中，已知A(2，0)，B(3，1)，C(1，3)
①将△ABC沿x轴负方向平移2个单位至△ ，画图并写出的C1坐标。
②以 点为旋转中心，将△ 逆时针方向旋转90°得△ ，画图并写出C2的坐标。
【答案】解：如图所示，C1坐标为(－1，3)；C2坐标为(－3，－1).
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】①按照平移变换的定义和性质作图，可得C1坐标；②按照平移变换的定义和性质作图，可得C2坐标.
五、作图题
17．（2020·武汉）在 的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形 的顶点坐标分别为 ， ， ， .仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
（1）将线段 绕点C逆时针旋转 ，画出对应线段 ；
（2）在线段 上画点E，使 （保留画图过程的痕迹）；
（3）连接 ，画点E关于直线 的对称点F，并简要说明画法.
【答案】（1）解：如图示，线段 是将线段 绕点C逆时针旋转 得到的；
（2）解：将线段 绕点D逆时针旋转 ，得到线段 ，
将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，
则四边形 是正方形，连接 ，DB， 交AB于点E，
则E点为所求，
理由如下：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
则有 ，
∴E点为所求；
（3）解：连接OE交AC于O'点，连接BO'并延长交AO于点F，
则F为所求；
理由如下：由勾股定理易得AO=AB=5，即四边形AOCB为菱形，
此时AC平分∠OAB，画点E关于直线AC的对称点，即在AO上找一点使得AF=AE.
由对称可证，△AOO'≌△ABO'(SAS)
进而可证，△FOO'≌△EBO'(ASA)
从而得证此时AE=AF.故此时点F为所求.
【知识点】菱形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据题意，将线段 是将线段 绕点C逆时针旋转 即可；
（2）将线段 绕点D逆时针旋转 ，得到线段 ，将线段 绕点B顺时针旋转 ，得到线段 ，则四边形 是正方形，连接 ，DB， 交AB于点E，则E点为所求；
（3）简易分析图形性质，不难得出四边形AOCB为菱形，进而在菱形的对称基础上找出点E关于对称轴AC的对称点，由点E为边AB上的非格点不可直接取得，进而利用该对称边上的点B和O，通过对称与全等原理进而可作出点F.
1 / 1初中数学人教版九年级上学期 第二十三章 23.1 图形的旋转
一、单选题
1．（2020八下·扶风期末）在绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是由某个基本图形经过旋转得到的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2020·广西模拟）如图， 中， ， ， ，将 绕点A顺时针旋转 得到 ，则 的长为（　　）
A．2 B．4 C．5 D．6
3．（2019八下·潍城期末）如图， 绕点 逆时针旋转 得到 ，若 ， ，则 的度数是（　　）
A． B． C． D．
4．（2020七下·覃塘期末）如图，已知 ，把一块含30°的直角三角尺按如图方式摆放，边 在直线 上，将 绕点 顺时针旋转50°，则 的度数为（　　）
A．20° B．50° C．80° D．110°
5．（2020·静安模拟）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，其中点B、C分别与点D、E对应，如果B、D、C三点恰好在同一直线上，那么下列结论错误的是（　　）
A．∠ACB＝∠AED B．∠BAD＝∠CAE
C．∠ADE＝∠ACE D．∠DAC＝∠CDE
6．（2020·长沙模拟）Rt△ABC，已知∠C＝90，∠B＝50°，点D在边BC上，BD＝2CD （如图）．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m＝（　　）
A．80 B．80或120 C．60或120 D．80或100
二、填空题
7．（2020·镇江）点O是正五边形ABCDE的中心，分别以各边为直径向正五边形的外部作半圆，组成了一幅美丽的图案（如图）.这个图案绕点O至少旋转　 　°后能与原来的图案互相重合.
8．（2020八下·江阴期中）一个正三角形至少绕其中心旋转　 　度，就能与其自身重合.
9．（2020·柘城模拟）如图， 中， ， ， ，将 绕点 逆时针旋转得到 ， 与 相交于点 ，当 时， 　 　.
10．（2020八下·江都期末）如图，小正方形方格的边长都是1，点A、B、C、D、O都是小正方形的顶点.若 COD是由 AOB绕点O按顺时针方向旋转一次得到的，则至少需要旋转　 　°.
11．（2020·吉林模拟）如图，在△ABC 中，∠ACB 为钝角，边 AC 绕点 A 沿逆时针方向旋转 90°得到AD，边 BC 绕点 B 沿顺时针方向旋转 90°得到 BE，作 DM⊥AB 于点 M，EN⊥AB于 点 N， 若 AB＝10，EN＝4， 则 DM＝　 　．
12．（2020·张家界）如图，正方形 的边长为1，将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到 位置，使得点B落在对角线 上，则阴影部分的面积是　 　．
三、计算题
13．（2019八下·丹江口期末）如图，正方形 中， 经顺时针旋转后与 重合.
（1）旋转中心是点　 　，旋转了　 　度；
（2）如果 ， ，求 的长.
四、解答题
14．（2020八下·莲湖期末）如图，在 中， ，将 绕点A逆时针旋转 ，得到 ，使得点B、C、D恰好在同一条直线上，求 的度数.
15．（2019九上·港口期中）如图，在 中， ，将 绕点 顺时针旋转 至 , 点 的对应点 恰好落在 上，求 的长.
16．（2019九上·宁波期中）在平面直角坐标系中，已知A(2，0)，B(3，1)，C(1，3)
①将△ABC沿x轴负方向平移2个单位至△ ，画图并写出的C1坐标。
②以 点为旋转中心，将△ 逆时针方向旋转90°得△ ，画图并写出C2的坐标。
五、作图题
17．（2020·武汉）在 的网格中建立如图的平面直角坐标系，四边形 的顶点坐标分别为 ， ， ， .仅用无刻度的直尺在给定网格中按下列步骤完成画图，并回答问题：
（1）将线段 绕点C逆时针旋转 ，画出对应线段 ；
（2）在线段 上画点E，使 （保留画图过程的痕迹）；
（3）连接 ，画点E关于直线 的对称点F，并简要说明画法.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：ACD、 不是由某个基本图形经过旋转得到的，故ACD不符合题意；
B、是由一个基本图形经过旋转得到的，故B符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据旋转的特征，逐项进行判断，即可求解.
2．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转得AE=AB，∠BAE=60°，
∴△ABE是等边三角形，
∴BE=AB=6，
故答案为：D.
【分析】利用旋转的性质得出AE=AB，∠BAE=60°，从而根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形证得△ABE是等边三角形，进而根据等边三角形的三边相等即可得到BE=AB=6.
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质可知：∠C=∠A=110°
在△COD中，∠COD=180°-110°-40°=30°
旋转角∠AOC=85°，所以∠α=85°-30°-55°
故答案为：C.
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和180度求出4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵ 将 绕点 顺时针旋转50°
∴∠ACA＇=50°
∴∠BCA＇=∠ACA＇+∠ACB=50°+30°=80°；
∵l1∥l2，
∴∠BCA＇=∠1=80°.
故答案为：C.
【分析】利用旋转的性质可求出∠ACA＇的度数，再利用∠BCA＇=∠ACA＇+∠ACB，求出∠BCA＇的度数，然后利用两直线平行内错角相等即可求出∠1的度数。
5．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵ 绕点A逆时针旋转得到
∴ ，则A选项的结论不符合题意
由旋转的性质可得
即
∴ ，则B选项的结论不符合题意
∵ 绕点A逆时针旋转得到
∴
和 都是等腰三角形
∵
∴
∴ ，则C选项的结论不符合题意
∵ ，即
又
∴
∵AD不能确定平分
∴ 不能确定等于
∴ 不能确定等于 ，则D选项的结论符合题意
故答案为：D．
【分析】利用旋转的性质直接对A选项进行判断；利用旋转的性质得 ，再利用角的和差可得 ，则可对B选项进行判断；利用旋转的性质得 ，然后根据等腰三角形顶角相等时底角相等得到 ，则 ，则可对C选项进行判断；先判断 ，而 不能确定等于 ，则可对D选项进行判断．
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AB边上的B′点位置，如图1，
∴∠BDB′＝m，DB′＝DB，
∴∠1＝∠B＝50°，
∴∠BDB′＝180°﹣∠1﹣∠B＝80°，
即m＝80°；
当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AC边上的B′点位置，如图2，
∴∠BDB′＝m，DB′＝DB，
∵BD＝2CD，
∴DB′＝2CD，
∴∠CB′D＝30°，则∠B′DC＝60°，
∴∠BDB′＝180°﹣∠B′DC＝120°，
即m＝120°，
综上所述，m的值为80°或120°．
故答案为：B．
【分析】分类讨论：当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AB边上的B′点位置，如图1，根据旋转的性质得∠BDB′=m，DB′=DB，则∠1=∠B=50°，然后根据三角形内角和定理可计算出m=80°；当把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，点B恰好落在AC边上的B′点位置，如图2，根据旋转的性质得∠BDB′=m，DB′=DB，由BD=2CD得到DB′=2CD，利用含30度的直角三角形三边的关系得到∠CB′D=30°，则∠B′DC=60°，所以∠BDB′=120°，即m=120°．
7．【答案】72
【知识点】旋转对称图形
【解析】【解答】解：连接OA，OE，则这个图形至少旋转∠AOE才能与原图象重合，
∠AOE＝ ＝72°.
故答案为：72.
【分析】直接利用旋转图形的性质进而得出旋转角.
8．【答案】120
【知识点】等边三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由于等边三角形三角完全相同，旋转时，只要使下一个角对准原角，就能重合，因为一圈360度，除以3，就得到120度.
故答案为：120.
【分析】因为正三角形的中心角为120°，所以根据旋转的性质“旋转前后的图形完全重合”可知旋转角等于中心角.
9．【答案】
【知识点】勾股定理；旋转的性质
【解析】【解答】解：设CD=x，
∵B'C'/AB，
∴∠BAD=∠B'，
由旋转的性质得：∠B=∠B'，AC=AC'=3，
∴∠BAD=∠B，
∴AD=BD=4-x，
∴(4-x)2=x2+32，
解得：x= ，
故答案为：x=
【分析】设CD=x， 由B'C'∥/AB， 可推得∠BAD=∠B'， 由旋转的性质得：∠B=∠B'， 于是得到∠ BAD=∠B，AC=AC'=3，AD=BD=4-x，在直角△ADC中，由勾股定理可求得结论.
10．【答案】90
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得，
∴OB=OD，
∴旋转的角度是∠BOD的大小，
∵∠BOD=90°，
∴旋转的角度为90°，
故答案为： 90.
【分析】由△COD是由△AOB绕点O按顺时针方向旋转而得到，再结合已知图形可知旋转的角度是∠BOD的大小，然后由图形即可求得答案
11．【答案】6
【知识点】全等三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点C作CF⊥AB于点F，如图所示
由旋转的性质可知，AD=AC，BE=BC
∵DM⊥AB于点M，EN⊥AB于点N，CF⊥AB于点F
∴∠AMD=∠AFC=∠BFC=∠BNE=90°
∴∠D+∠DAM=90°
∵∠ACD=90°
∴∠CAF+∠DAM=90°
∴∠D=∠CAF
∴△DAM≌△ACF
∴DM=DF
同理可得，△BFC≌△ENB
∴BF=EN=4
∵AB=10
∴AF=6
∴DM=6
【分析】过点C作CF⊥AB于点F，如图所示，根据题意由旋转的性质，证明△DAM≌△ACF以及△BFC≌△ENB，根据全等三角形的性质即可得到DM即可。
12．【答案】
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过E点作MN∥BC交AB、CD于M、N点，设AB与EF交于点P点，连接CP，如下图所示，
∵B在对角线CF上，∴∠DCE=∠ECF=45°，EC=1，
∴△ENC为等腰直角三角形，
∴MB=CN= EC= ，
又BC=AD=CD=CE，且CP=CP，△PEC和△PBC均为直角三角形，
∴△PEC≌△PBC(HL)，
∴PB=PE，
又∠PFB=45°，∴∠FPB=45°=∠MPE，
∴△MPE为等腰直角三角形，
设MP=x，则EP=BP= ，
∵MP+BP=MB，
∴ ，解得 ，
∴BP= ，
∴阴影部分的面积= ．
故答案为： ．
【分析】如下图所示，△ENC、△MPF为等腰直角三角形，先求出MB=NC= ，证明△PBC≌△PEC，进而得到EP=BP，设MP=x，则EP=BP= ，解出x，最后阴影部分面积等于2倍△BPC面积即可求解．
13．【答案】（1）A；90
（2）解：∵△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
∴BF=DE，S△ABF=S△ADE，
而CF=CB+BF=8，
∴BC+DE=8，
∵CE=CD-DE=BC-DE=4，
∴BC=6，
∴AC= BC=6 .
【知识点】正方形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90°，
∴△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合，
即旋转中心是点A，旋转了90度；
故答案为A，90；
【分析】（1）根据正方形的性质得AB=AD，∠BAD=90°，则根据旋转的定义得到△ADE绕点A顺时针旋转90°后与△ABF重合；（2）根据旋转的性质得BF=DE，S△ABF=S△ADE，利用CF=CB+BF=8得到BC+DE=8，再加上CE=CD-DE=BC-DE=4，于是可计算出BC=6，于是得到结论.
14．【答案】解：∵将 绕点A逆时针旋转150°，得到 ，
.
∵点B、C、D恰好在同一条直线上
是顶角为150°的等腰三角形，
，
，
.
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【分析】由旋转的性质得出∠BAD=150°，AD=AB，∠E=∠ACB，由点B，C，D恰好在同一直线上，则△BAD是顶角为150°的等腰三角形，求出∠B=15°，由三角形内角和定理即可得出结果.
15．【答案】解： 将 绕点 顺时针旋转 至
和 均为等边三角形
点 在 上，
在 中,
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；旋转的性质
【解析】【分析】先利用旋转的性质得CA=CA′，CB=CB′，∠ACA′=∠BCB′=60°，则可判断△ACA′和△BCB′均为等边三角形，于是得到BB′=BC，∠A=60°，∠CBB′=60°，接着计算出∠ABC=90°-∠A=30°，则可计算出BC的长，从而得到BB′的长
16．【答案】解：如图所示，C1坐标为(－1，3)；C2坐标为(－3，－1).
【知识点】坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】①按照平移变换的定义和性质作图，可得C1坐标；②按照平移变换的定义和性质作图，可得C2坐标.
17．【答案】（1）解：如图示，线段 是将线段 绕点C逆时针旋转 得到的；
（2）解：将线段 绕点D逆时针旋转 ，得到线段 ，
将线段 绕点 顺时针旋转 ，得到线段 ，
则四边形 是正方形，连接 ，DB， 交AB于点E，
则E点为所求，
理由如下：∵四边形 是正方形，
∴ ， ，
则有 ，
∴E点为所求；
（3）解：连接OE交AC于O'点，连接BO'并延长交AO于点F，
则F为所求；
理由如下：由勾股定理易得AO=AB=5，即四边形AOCB为菱形，
此时AC平分∠OAB，画点E关于直线AC的对称点，即在AO上找一点使得AF=AE.
由对称可证，△AOO'≌△ABO'(SAS)
进而可证，△FOO'≌△EBO'(ASA)
从而得证此时AE=AF.故此时点F为所求.
【知识点】菱形的性质；坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据题意，将线段 是将线段 绕点C逆时针旋转 即可；
（2）将线段 绕点D逆时针旋转 ，得到线段 ，将线段 绕点B顺时针旋转 ，得到线段 ，则四边形 是正方形，连接 ，DB， 交AB于点E，则E点为所求；
（3）简易分析图形性质，不难得出四边形AOCB为菱形，进而在菱形的对称基础上找出点E关于对称轴AC的对称点，由点E为边AB上的非格点不可直接取得，进而利用该对称边上的点B和O，通过对称与全等原理进而可作出点F.
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